Об устойчивости линейных гибридных функционально-дифференциальных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ

2015. Вып. 2 (46)

УДК 517.977 © П. М. Симонов

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ГИБРИДНЫХ ФУНЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ1

Рассматривается линейная гибридная система фунционально-дифференциальных уравнений с последействием. Применен М'-метод. Получены условия ее разрешимости в парах пространств. Рассмотрены простые примеры двух уравнений. Задача сводится к одной переменной или другой переменной.

Ключевые слова: линейная гибридная система функционально-дифференциальных уравнений с последействием, разрешимость в парах пространств, метод модельных уравнений.

Введение

Исследованию по устойчивости решений к настоящему времени посвящено крайне мало работ. В работе В.М. Марченко и Ж.Ж. Луазо [1] исследована задача об устойчивости решений стационарных линейных гибридных систем функционально-дифференциальных уравнений с последействием (ЛГСФДУП).

Построенная в настоящее время общая теория функционально-дифференциальных уравнений [2-6] позволила дать ясное и лаконичное описание основных свойств решений, в том числе свойства устойчивости решений. В то же время широкие и актуальные для приложений классы систем ЛГСФДУП формально не охватываются построенной теорией и во многом остаются вне поля зрения специалистов.

Постановка задачи: одно уравнение линейное разностное, определенное в дискретном множестве точек, а другое — линейное функционально-дифференциальное уравнение с последействием (ЛФДУП) на полуоси.

Исследование продолжает работы [7-11]. Обозначим через

У = {у(-1),у(0),у(1),...,у(ж),...}

бесконечную матрицу со столбцами у(—1), у(0), у(1), ..., у(^), ... размер ами и, а через д = {д(0),д(1),... ,д(^),...} — бесконечную матрицу со столбцами д(0),д(1),... ,д(^),... рази.

Каждой бесконечной матрице

У = {у(-1),у(0),у(1),...,у(Ж),...} можно сопоставить вектор-функцию

у = у(-1)Х[-1,о}(*) + у(0)Х[о,1}(*) + у(1)Х[1,2)(*) + ... + у(^ +!)(*) + ....

Аналогично каждой бесконечной матрице д = {д(0),д(1),... ,д(Ж),...} можно сопоставить вектор-функцию

д(*) = д(0)х[о,1) (*) + д(1)х[1,2) (*) +... + д(^ ^^+1) (*) +....

Символом у(£) = у [¿] обозначим вектор-функцию у(£) = у([£]), I € [—1, го). Символом д[¿] обозначим вектор-функцию д(£) = д([£]), t € [0, го).

1 Статья подготовлена в рамках реализации комплексного проекта по созданию высокотехнологичного производства, договор № 02.025.31.0039 (Постановление Правительства РФ № 218 от 09.04.2010 г. «О мерах государственной поддержки развития кооперации российских высших учебных заведений и организаций, реализующих комплексные проекты по созданию высокотехнологичного производства» при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации).

Множество таких вектор-функций y[•] обозначим символом lo. Множество таких вектор-функций $[•] обозначим символом l. Обозначим (Ay)(t) = y(t) — y(t — 1) = y[t] — y[t — 1] при t i 1 (Ay)(t) = y(t) = y[t] = y(0) при t € [0,1). Запишем ЛГСФДУП в виде

Liix + Li2y = X — Fnx — Fi2y = f, ^

L21X + L22y = Ay — F21X — F22y = g.

Здесь и ниже Rn — пространство век торов а = colla1,..., an} с действительными компонентами и с нормой ||а||кп. Пусть L — пространство локально суммируемых f : [0, то) — Rn

Т

с полунормами ||f | |l[0,t] = 11f (t)| R dt для всех T > 0 D пространство локально абсолют-

on

но непрерывных функций x : [0, то) — Rn с полунормами ||x||d[0,t] = ||X||l[0,t] + ||x(0)|R для

всех T > 0 C — банахово пространство непрерывных и ограниченных функций x : [0, то) — Rn

с нормой ||x||c = sup ||x(t)||Rn. tio

Пусть l — пространство вектор-функций

g(t) = g(0)X[o,i) (t) + g(1)X[i,2) (t) + ... + g(N )x[n,n+1) (t) + ...

Т

с полунормами ||g||iT = ^ ||gi||r™ Для всех T i 0 lo — пространство вектор-функций

i=0

y (t) = y(—1)X[-i,o) (t) + y(0)X[o,i)(t) + y (1)X[i,2) (t) + ... + y(N )x[n,n+i)(t) + ...

Т

с полунормами ||y||i0T = ||y¿||r™ для всех T i —1.

i=-1

Операторы Lii,Fn : D — L, Li2,Fi2 : lo — L, L21, F21 : D — l, £22,-^22 : lo — l предполагаются линейными непрерывными и вольтерровыми.

Пусть модельное уравнений [2-6] Liix = z и банахово пространство B с элементами из пространства L (B С L и это вложение непрерывно) выбраны так, что решения этого уравнения обладают интересующими нас асимптотическими свойствами. Пространство D(Lii,B), порождаемое модельным уравнением, будет состоять из решений вида

x(t) = (Ciiz) (t) + (Xna)(t) = í Cn(t,s)z(s) ds + Xn(t)a (a € Rn, z € B).

o

Норму в пространстве D(Lii,B) можно ввести равенством

||x||d(Lii ,в) = ||liix||b + ||x(0)||Rn.

Предположим, что оператор W11 непрерывно действует из пространства B в пространство B и оператор Хц действует го пространства Rn в пространство B. Это условие эквивалентно тому [2,5], что пространство D(Lii, B) линейно изоморфно пространству С.Л. Соболева wB [0, то) с нормой

||X||<) [0>те) = ||X ||b + ||х||в .

Дальше будем это пространство обозначать как wb При этом wb С D, и это вложение непрерывно.

Уравнение L11x = z с оператор ом L11 : wb — B wb-устойчиво [2,5] тогда и только тогда, если оно сильно B-устойчиво. Уравнение Liix = z сильно B-устойчиво, если для любого z € B каждое решение x этого уравнения обладает следующим свойством: x € B и X € B [2, гл. IV, §4.6; 5].

§ 1. Сведение к ЛФДУП

Предположим, что общее решение уравнения £22y = g Для g € I принадлежит пространству 1о и представляется формулой Коши:

t

y[t] = Y22[i]y(-1)^ C22[t, s] g[s].

s=0

Поставим задачу: пусть g € M С l, где M — банахово пространство, и тогда будет y € M0 С l0, где M0 — банахово пространство, причем M0 изоморфно M.

Обозначим (C22g)[t] = £ C22[t,s]g[s], 0>22y(-1))[t] = Y22[t]y( 1)•

s=0

y

y = -C22 L21X + Y22 y(-1) + C22 g.

Подставим в первое уравнение в (0.1):

£ПЖ + Ll2y = LllX - L12C22L21X + Ll2^22y(-1) + Ll2^22g = f, LllX - Ll2^22L2lX = fl = f - Ll2^22y(-1) - Ll2^22g-

Введем обозначение £ = £n-£l2<C22£2l, тогда первое уравнение в (0.1) примет вид £x = Д.

Предположим, что вольтерров оператор £ : WB — B вольтеррово обратим, где

WB = {x € Wb : x(0) = 0},

то есть когда задача для уравнения £x = fl обладает следующим свойством: при любом fl € B ее решения x € Wb- Таким образом, мы решили задачу, когда для уравнения (1) при любом {f, g} € B х M ее решения {x,y} € WB х M0.

Пример 1.1. Рассмотрим два уравнения:

x(t) + ax(t) + by [t] = f (t),

y[t] - dy[t - 1] + cx(t) = g[t],

Причем

y(0) - dy(-1) + cx(0) = y[t] - dy[t - 1] + cx(t) = g[t] = g(0), t € [0,1).

Введем пространства

l^0 = {y € I0 : ||y||iTOa = SUP Hy(k)llR" < +ro},

fc=-l,0,l,-

= {g € l : ||g||iTO = sup ||g(fc)||Rn < +ro}. fc=0,l,-

Через S обозначим оператор (Sy)[t] = dy[t - 1], t ^ 1, (Sy)[t] =0 t € [0,1), тогда второе уравнение запишется в виде

y[t] - (Sy)[t] + cx(t) = gl[t] = g[t] + dy[t - 1], t € [0,1),

y[t] - (Sy)[t]+ cx(t) = g[t], t € [1, ro).

Рассмотрим оператор S : — l^. Известно, что оператор (I - S) : — вольтеррово обратим тогда и только тогда, когда спектральный радиус оператора (S) в пространстве l^ меньше единицы: (S) < 1 [12, гл. 4, §4.1, задачи и упр. 1.11, к), с. 87, с. 140]. Для оператора S условие (S) < 1 эквивалентно неравенству |d| < 1 [12, гл. 4, §4.1, задачи и упр. 1.11, к), с. 87, с. 140].

t € [0, ro), t € [0, ro).

(1.1)

Введем следующие обозначения: (•£иж)(£) = х(*) + ах(£), = Ьу ], (¿21Ж)(*)= сх(*), (¿22у)М = у - £ ^ 0.

Построим функцию Коши С22 и фундаментальное решение У22 для уравнения у[£] — ^у[£] = д[£]:

[г]

уМ = — 1) + ^ ф]^-* = Г22[*]у(-1) + (¿22 <?)[*].

5=0

Отсюда выразим у[£] из второго уравнения системы (1.1):

[г]

уй = ^+1у(-1) + - еждаМ-* = ^2[¿]у( 1) + (¿22(5 - сх))[*].

5=0

Подставим найденное у в первую формулу в (0.1) (или (1.1)), получим

[г]

(£цх)(£) + (А2у)И = ¿(¿) + ах(*) + М4+1у(-1) + Ь^№] - сф])^]-* = / (¿).

5=0

Преобразуем к виду

[г]

(£х)(*) = ((£п - £12^22^21)^) (¿) = ¿(¿) + ах(*) - Ьс^х[^[г]- = У1(^) =

5=0

[г]

= / (¿) - Ь^+1у(-1) -

5=0

Видно, что /1 € если < 1.

Возьмем модельное уравнение £цх = ^ ^ € Запишем формулу Коши для уравнения [г] "

(£цх)(¿) = *(*) = Ьс £ ф]^]-5 + /1 (¿):

5=0

,г [5]

х(£) = Хп(*)х(0)+ / Си(М)(Ьс У"х[г]^]-г + /1(5))

г=0

Здесь Х11 (¿) = е-"г, С11 (¿,8) = е-а(г-5). Возьмем а > 0. Получаем, что норма оператора С11ЬсС22 меньше 1, когда |Ьс| < а(1 - |^|). Получили, что для любого /1 € решение х задачи £х = /1 принадлежит пространству кроме того, получили, что производиая решения хх принадлежит пространству Таким образом, показали, что для любого /1 € решен ие х задач и £х = /1 принадлежит пространству .

Таким образом, мы решили задачу, когда для уравнения (1.1) при любом {/,5} € х ее решения {х,у} € ЭД^ х

Пример 1.2. Рассмотрим два уравнения:

(£пх)(*) + (£12у)И = гс(^) + ах(* - т) + Ьу[^] = /(¿), £ ^ 0, т > 0, х(£) = 0, £ < 0,

(хг(¿) = х(£ - т), £ ^ т, хг(¿) =0, 0 < í < т), (£пх)(*) + (¿12у)И = х(*) + ахт(¿) + Ьу[¿] = /(¿), I > 0, (/ € Ьте, х,х € Ьте, Я0Сп,Ьте) = ^ 0 < ат < п/2), (¿21х)(*) + (¿22у)М = сх(*) + у[*] - (5у)М = £ ^ 0.

Выполним преобразование £ж = (£ц — £12^22^21)^ = /1. Запишем в исходных терминах: (£ж)(Ь) = ж(Ь) + аж(Ь — т) — Ьс(С22ж)[Ь] = /1(^), ж(£) = 0, £ < 0.

Перепишем его так:

(£цж) (Ь) = ж(Ь) + ажг (Ь) = Ьс(С22х) [Ь] + Д(Ь). Здесь (£пж)(Ь) = ж(Ь) + ажт(Ь) = ¿(¿) — модельное уравнение, а ж(Ь) = Хп(Ь)ж(0) + + / С11 5)2(5) — формула Коши для него. Обозначим в) = Са>Т)ц(£, в). Положив

ж(0) = 0 ж(Ь) = Ъс / С0>Т)11(^, з)(С22ж)[з] ^ + /2(¿), мы уравнение £ж = /1 свели левой

о

^-подстановкой к операторному уравнению.

Дадим оценку нормы оператора Коши уравнения £цж = /3:

г^о Jо

Из результата С.А. Гусаренко [13] следует ||Са>Т)11||ь^^с = <(т)/а 0 < ат < п/2, <(т) = ||С,1>т,11||ьте^с, <(т) = 1 ^ 0 < т < 1/е.

Далее оценка нормы в операторном уравнении дает такой результат: |Ъс|<(т)/(а(1 —1^|)) < 1. А это значит, |Ъс| < а(1 — |^|)/а(т), то есть это достаточное условие, что при любом /1 € ее решения ж € Таким образом, мы решили задачу, когда для системы уравнений при

любом {/, д} € х ее решения {ж, у} € х

Пример 1.3. Рассмотрим два уравнения:

(£пж)(*) + (£12у)М = ж(Ь) + а1ж(Ь) + а2ж(Ь — т)+ Ъу[^] = /(Ь), Ь ^ 0, т> 0, ж({) = 0, {< 0,

(£пж)(Ь) + (¿12у)М = + а^Ь) + а2жт(Ь) + Ъу[Ь] = /(Ь), Ь ^ 0, / € ж,ж € £(£шЬте) ^ ^ {а1,а2} € А

(А — это угол Андронова-Майера на плоскости двух параметров [14]),

(£21ж)(Ь) + (£22у)[Ь] = сж(Ь) + у И — (5у)[Ь] = д[^], Ь > 0.

Введем следующие обозначения: (£пж)(*) = ж(Ь) + а1ж(Ь) + а2жт(Ь), (А2у)М = Ъу[Ь], (¿21ж)(*) = сж(Ь), (£22у)[Ь] = у[Ь] — (5у)[Ь].

Выполним преобразование £ж = (£п — £12<?22£21)ж = /1.

Запишем в исходных терминах:

(£ж)(Ь) = ж(Ь) + а1ж(Ь) + а2жт(Ь) — Ьс(С22ж)[Ь] = Д(Ь), Ь € [0, го).

Примем за модельное уравнение (£11ж)(Ь) = ж(Ь) + а1ж(Ь) + а2жт(Ь) = ¿(¿), Ь ^ 0. Обозначим через Сц(Ь, 5) = Са1 ,а2,т,11(Ь, 5) функцию Коши модельного уравнения. Сделаем в модельном уравнении подстановку ж(Ь) = у(Ь)е-"1г, 2(Ь) = и(Ь)е-"1г, а1 > 0. Тогда модельное уравнение примет вид у(Ь) + а2еа1 тут(Ь) = и(Ь), Ь ^ 0.

Возьмем р = а2е"1т, обозначим через (Ь, 5) функцию Коши этого уравнения. Из результатов С.А. Гусаренко [13] следует, что ||^>т= <(т)/р ^ 0 < рт < п/2. Отсюда следует ||Саьа2,т,11|ито ^с = ||^Р,т ^С/а1 = < (т)/(а1 Р).

Положим ж(0) = 0 тогда ж(Ь) = Ъс / Са1)а2)т>11(Ь, з)(С22ж)[5] ^ + /2(Ь).

]о

Оценим норму оператора, стоящего справа, она будет меньше 1, если 0 < р = а2е"1 т < п/2 и а1 > 0 и выполняется неравенство |Ъс| < а1р(1 — |^|)/<(т) ^ |Ъс| < а1а2е"1т(1 — |^|)/<(т). Таким образом, мы решили задачу, когда для системы уравнений при любом {/, д} € х ее решения {ж, у} € х

§ 2. Сведение к линейному разностному уравнению с последействием

Для уравнения (0.1) будем пользоваться такими обозначениями, которые приняты в пункте 1.

Предположим, что общее решение уравнения £цж = / для / £ В (В непрерывно вложено в Ь) принадлежит пространству £(¿11, В) и представляется формулой Коши:

ж(г) = Хп(г)ж(0)+ / СИ(М)/(в)^. Jо

Из первого уравнения в (0.1) найдем ж:

ж = -С11А2У + Хпж(0)+ С11/. Подставим во второе уравнение в (0.1):

¿21Ж + ¿22 У = -^21^11 ^12У + £21ХПж(0) + + ¿22у = 9,

-^21^11^12^ + ¿22У = 91 = 9 - £21ХПЖ(0) - ¿21^11 /.

Введем обозначение С = ¿22-¿21^11^12, тогда второе уравнение в (0.1) примет вид ¿у = 91.

Предположим, что вольтерров оператор С : Мо ^ М вольтеррово обратим, то есть когда задача для уравнения ¿у = 91 при любом 91 £ М ее решения у £ Мо. Таким образом, мы решили задачу, когда для уравнения (0.1) при любом {/,9} £ В х М ее решения {ж, у} £ £ £(¿11 ,В) х Мо.

Пример 2.1. Рассмотрим два уравнения:

ж(£) + аж(г) + Ьу[г] = /(г), г £ [0, то),

у[г] - ¿у[* - 1] + сж[г] = 9[^], г £ [0, то). 1 ' '

ж

записывается в виде

ж(г) = Хц(г)ж(0) + Гсп(г, в)(/(в) - Ьу[в]) ^

о

или так:

ж( г) = е -ж

(г) = е-аАж(0) + / е-а(4-5)(/(8) - ЬуИ)^ . о

ж

лч

- йу[г - 1] + с(е-"мж(0) + е-а(М-5)(/(8) - Ьу[в])

о

о

/•М /■[*]

- йу[г - 1] - Ьс / е-а(М-5)уИ ^ = 91 [г] = 9[г] - се-а[4]ж(0) - с е-а(М-5)/(8) оо

Вычислим интеграл:

Г М /■[*] М-1 гг+1

Ьс / е-а(М-5)уИ ^ = Ьсе-"м / е^уИ ^ = Ьсе-"м V у[г] / е"5 ^ = Jо Jо ¿=о Л

м-1 Ь м-1

= 6се"аМ ^ у[г](еа(т) - е°*)/а = — ^ ^(е""^-1) - е"а(М^)).

а

г=о г=о

Получаем уравнение

bc

[t]-i

dy[t - 1 УЙ(е"а(М^_1) - = gi[t], t € [0, oo).

i=0

Обозначим

bc

[t]-i

= - J] уИ(е"а(М"г_1) - е-а(М"г)).

г=0

Предположим, что а > 0. Найдем оценку нормы ||K

||КУ||1ТО = suP

fc=0,1,2,...

[t] —1

г=0

^ sup |y[k]| ■ sup k=0,1,2,... fc=0,1,2,...

|bc|

bc

fc-1

г=0

<

<

fc-1

^IMkcoO'^ SUP

а fc=0,1,2,...^

—a,(fc—г— 1) _ e-a(fc-i)

< ||y||

|bc|

г=0 fc—1

<

^o-— sup yVe-^-^-e"0^) а fc=0,1,2,...i^

I I I опп„ И kooo • — sup (1 - e ) = а fc=0,1,2,...

Дальше оценим норму ||(/ — 5)

||(/ - < ||(/ - 5)"1||,оо^оо0 • 11^1 1^0^00 < ^^ '

Получаем, что норма оператора ||(1 — 5)-1Кменьше 1, когда

|Ьс| < а(1 — |^|).

Получили, что для любого € решение у уравнения £у = $1 принадлежит пространству

Таким образом, мы решили задачу, когда для уравнения (2.1) при любом {/, $} € х ее решения {ж, у} € х

Список литературы

1. Марченко В.М., Луазо Ж.Ж. Об устойчивости гибридных дифференциально-разностных систем // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 728-740.

2. Азбелев Н.В., Симонов U.M. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Перм. ун-т, 2001. 230 с.

3. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков A.B. Устойчивость линейных систем с последействием. II // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 4. С. 555-562.

4. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков A.B. Устойчивость линейных систем с последействием. III // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 10. С. 1659-1668.

5. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков A.B. Устойчивость линейных систем с последействием. IV // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, № 2. С. 196-204.

6. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика. 1997. № 6 (421). С. 3-16.

а

оо0

7. Ларионов А.С., Симонов П.М. Устойчивость гибридных функционально-дифференциальных систем с последействием (ГФДСП) // Вестник РАЕН. Тематический номер «Дифференциальные уравнения». 2013. Т. 13. № 4. С. 34-37.

8. Симонов П.М. Устойчивость линейных гибридных функционально-дифференциальных систем с последействием (ЛГФДСП) // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2013. Т. 18. Вып. 5-2. С. 2670-2672.

9. Ларионов А.С., Симонов П.М. Устойчивость гибридных функционально-дифференциальных систем с последействием (ГФДСП). II // Вестник РАЕН. Тематический номер «Дифференциальные уравнения». 2014. Т. 14. № 5. С. 38-45.

10. Ларионов А.С., Симонов П.М. Устойчивость линейных гибридных функционально-дифференциальных систем с последействием // Динамика систем и процессы управления: Труды международной конференции, поев. 90-летию со дня рождения акад. Н.Н. Красовского. Екатеринбург, Россия, 15-20 сентября 2014 г. ИММ УрО РАН, 2015. С. 243-250.

11. Симонов П.М. К вопросу об устойчивости гибридных функционально-дифференциальных систем с последействием // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2015. Т. 20. Вып. 5. С. 1428-1435.

12. Цалюк З.Б., Пуляев В.Ф. Задачи по функциональному анализу. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. 152 с.

13. Гусаренко С.А. Признаки разрешимости задач о накоплении возмущений для функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1987. С. 30-40.

14. Андронов А.А., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 7. № 2, 3. С. 95-106.

Поступила в редакцию 30.09.2015

Симонов Пётр Михайлович, д. ф.-м.н., профессор, кафедра информационных систем и математических методов в экономике, Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Россия, г. Пермь, ул. Букирева, 15. E-mail: [email protected]

P. M. Simonov

On the stability of linear hybrid functional differential systems

Keywords: linear hybrid system of functional differential equations with aftereffect, solvability in couples of spaces, method of model equations.

MSC: 34D20, 93D20

We consider a linear hybrid system of the functional differential equations with aftereffect. By using W-method we obtain conditions for its solvability in couples of spaces. We consider simple examples of two equations. The problem is reduced to one variable or other variable.

REFERENCES

1. Marchenko V.M., Loiseau J.-J. On the stability of hybrid difference-differential systems, Differential Equations, 2009, vol. 45, no. 5, pp. 743-756. DOI: 10.1134/S0012266109050139

2. Azbelev N.V., Simonov P.M. Ustoichivost' reshenii uravnenii s obyknovennymi proizvodnymi (Stability of solutions to equations with ordinary derivatives), Perm: Perm University, 2001, 230 p.

3. Azbelev N.V., Berezanskii L.M., Simonov P.M., Chistyakov A.V. Stability of linear systems with aftereffect: II, Differentsial'nye uravneniya, 1991, vol. 27, no. 4, pp. 555-562 (in Russian).

4. Azbelev N.V., Berezanskii L.M., Simonov P.M., Chistyakov A.V. Stability of linear systems with aftereffect: III, Differentsial'nye uravneniya, 1991, vol. 27, no. 10, pp. 1659-1668 (in Russian).

5. Azbelev N.V., Berezanskii L.M., Simonov P.M., Chistyakov A.V. Stability of linear systems with aftereffect: IV, Differentsial'nye uravneniya, 1993, vol. 29, no. 2, pp. 196-204 (in Russian).

6. Azbelev N.V., Simonov P.M. Stability of equations with delay, Russian Mathematics, 1997, vol. 41, no. 6, pp. 1-14.

7. Larionov A.S., Simonov P.M. Stability of hybrid functional differential systems with aftereffect (HFDSA), Vestnik Ross. Akad. Estestv. Nauk, 2013, vol. 13, no. 4, pp. 34-37 (in Russian).

8. Simonov P.M. Stability of linear hybrid functional differential systems with aftereffect (LHFDSA), Vestn. Tambov. Univ. Ser. Estestv. Tekh. Nauk, 2013, vol. 18, no. 5-2, pp. 2670-2672 (in Russian).

9. Larionov A.S., Simonov P.M. Stability of hybrid functional differential systems with aftereffect (HFDSA) II, Vestnik Ross. Akad. Estestv. Nauk, 2014, vol. 14, no. 5, pp. 38-45 (in Russian).

10. Larionov A.S., Simonov P.M. Stability of linear hybrid functional differential systems with aftereffect, Systems Dynamics and Control Processes: Proceedings of Internationa! Conference dedicated to the 90th Anniversary of Academician N.N. Krasovskii, Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of RAS, Yekaterinburg, 2015, pp. 243-250 (in Russian).

11. Simonov P.M. About stability of hybrid functional differential systems with aftereffect, Vestn. Tambov. Univ. Ser. Estestv. Tekh. Nauki, vol. 20, no. 5, pp. 1428-1435 (in Russian).

12. Tsalyuk Z.B., Pulyaev V.F. Zadachi po funktsional'nomu analizu (Problems on functional analysis), Moscow-Izhevsk: RCD, 2010, 152 p.

13. Gusarenko S.A. Indications of the solvability of the accumulation of disturbances for functional differential equations, Funktsional'no-differentsial'nye uravneniya: Trans., Perm, Perm State Technical University, 1987, pp. 30-40.

14. Andronov A.A., Maier A.G. Simplest linear systems with retardation, Avtomatika i Telemekhanika, 1946, vol. 7, no. 2-3, pp. 95-106 (in Russian).

Received 30.09.2015

Simonov Petr Mikhailovich, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Information Systems and Mathematical Methods in Economics, Perm State National Research University, ul. Bukireva, 15,

Perm, 614990, Russia.

E-mail: [email protected]