Об устойчивости краевой задачи для уравнения четного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. № 1(10). C. 5-11. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА

УДК 517.953

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА

А.В. Юлдашева

Национальный Университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека, 100174, Узбекистан, г. Ташкент, ул. ВУЗ городок E-mail: [email protected]

В статье рассматриваются вопросы устойчивости некорректной задачи для уравнения высокого четного порядка. Доказывается однозначная разрешимость при дополнительных условиях и условиях на область.

Ключевые слова: уравнения в частных производных высокого порядка, некорректная задача, метод разделения переменных, цепные дроби.

© Юлдашева А.В., 2015

MATHEMATICS

MSC 35C05

ON THE STABILITY OF THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR EVEN ORDER EQUATION

A.V. Yuldasheva

National University of Uzbekistan by Mirzo Ulugbeka, 100174, Uzbekistan, Tashkent c., VUZ gorodok st. E-mail: [email protected]

In this paper not well posed problem for the even-order equation is studied. The stability of the problem is restored by additional conditions and conditions to domain.

Key words: partial differential equations of higher order, not well posed problem, method of separation of variables, simple continued fractions.

© Yuldasheva A.V., 2015

Введение

Рассмотрим следующую задачу для уравнения четного порядка: д 2ки д2Ри п I л, п

= 0, к, р е N, 0 < х < п, 0 < г < ап,

дx2k dt2P

д2mu , х д2mu , х

(0,t) = -j- (n,t) = 0, m = 0,1,...,k- 1, 0 < t < an, д x2m

(x,0) = Vj (x), j = 0,1,...,p- 1, 0 < x < п,

dx2m 7 д x2m

д ju

д г-'

д 'и

(х, ап) = у (х), ' = 0,1,...,р- 1, 0 < х < п,

здесь а - положительная постоянная.

Если к = р = 1 мы получим задачу Дирихле для уравнения колебания струны, которая является классической некорректной задачей. Ее решение может не существовать, быть неединственным или непрерывно не зависеть от данных [1]-[3].

В [2], задачи Дирихле для волнового уравнения была исследована с дополнительным предположением об априорной ограниченности градиента решения. Случай когда р = 1, к е N был исследован в [4]-[5].

Настоящее исследование приводится к некоторым проблемам теории Диофанто-вых приближений. Так же отметим, что сформулированная задача некорректна при четных к- р.

Основные результаты

Пусть функции (х), у(х), (' = 0,1,...,р — 1) из С2к [0,п] такие, что ф'2г) (0) =

ц>{2\п) = у]2г)(0) = у]2г)(п) = 0, I = 0,1,...,к — 1, ] = 0,1,...,р — 1 .

Пусть г, Е, а, 8 положительные постоянные. Мы рассмотрим решения и из Схк,2р ([0, п] х (0, +Н) следующей задачи:

д2ки д2Ри

dx2k dt2P

= 0, к, p е N, 0 < x < п, t > 0,

д2mu , х д2mu , х

^ (0,t)= м- (п, t ) = 0, m = 0, ^ к- 1, t > 0,

д ju

д tj

Cx0) - Vj (x)

д ju

д tj

тjп) - уj (x)

L2[0,n ]

< SnVE, j = 0,1,...,p- 1,

L2[0,n ]

< 8пл/Е, j = 0,1,...,p- 1, |Tj - a| < 8,

2 Z^uN

дxk) + l д tp У

| dx < E, t > 0.

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

ж

2

для действительных чисел Tj, j = 0,1,...,p — 1 зависящих от и и удовлетворяющих \т] — а \ < 8. I Tj — а \ < 8 означает, что конечное время ап известно с заданной погрешностью.

Обозначим через Г8 множество всех решений задачи (1-(5) из С2/2р ([0, п] х (0, Заметим, что если 8 = 0, тогда задача (1-(5) приводится к классической краевой задаче с дополнительным предположением (5).

Пусть DiamF8 = sup ||v — w||. Возьмем v1, v2 e Г8. Тогда существуют Tj такие,

v,weT5

что

д ju

д tj

x,T j к) - yj (x)

L2 [0,n ]

< 8k Ve, i = 0,1, j = 0,1,..., p - 1, I Tí - a |< 8

и пусть

и (х, г) = VI (х, г) - у2 (х, г), (х, г) е [0, п] х [0, (6)

Тогдаи е ([0, п] х [0, +то)). Более того, что легко проверить, и удовлетворяет уравнению (1), условиям (2) и следующим

д ju

д tj

j (x, 0)

L2[0,n ]

< 28лVE, j = 0,1,...,p - 1,

д ju ~dt¡

(x, an) - Yj (x)

¿2 [0,П]

< 48nVE, j = 0,1,...,p - 1,

д kU ^ -^

д xk

+ ( ^pU) \dx < 4E, t > 0.

(7)

(8) (9)

Функцию, удовлетворяющую (1) и (2) можно записать в следующей форме:

^ . ÍAn sinnp (ап -1) . Р Д u(x,t) = £ sinnx <-k--+ Bnsinnpt >.

n>i [ sin np ап )

Аналогично, условия (7)-(9) переписываются следующим образом:

£ аП < 852пE,

n>1

£ B„sin2np ап < 3252E, dpu

n> 1

д ku

д xk

(•, t)

+

L2 [0,П]

Введем следующее обозначение:

д tp

(•, t)

¿2[0,П ]

< 4E, t > 0.

(10) (11)

On = \ ~

к An sin np (an -1) . k

2 I —-k-- + Bn sin npt

sin np an

и из (12) мы находим

д 2 (■, t)

д хк

< £ n2Kа2 < 4E,

L2[0,n ] n>1

откуда

N ™ N 4E

I" (*'t)IIL2[о,п]= £ а2 + £ а»2 < £ а2+^

n=1 n=N+1 n=1 iv

Итак, мы получили следующую оценку:

I" (■, t)||

L2[0,n ]

< п max (sinnp an

2 n=1,N

-2 N

£

n=1

A;;sln2np (an — t) + B;;sln2np an ■ sin2np t +

+2 |An||Bn| sinnp (an — t)

81и прг

sin np an

+ -4E

+ N2k .

Поэтому, из (10) и (11) следует

max II"(■,t)||L [0n] = II "II2 < 4052n2E max (sinn

E[0.an] 2[ , ] n=1,N V

t e[0, an ] Пусть

к \—2 4E

гр an) + ^,N = 1,2,.

N 2K'

a=

1

a1 +

1

«2 + ...

цепная дробь для а, где ап натуральные числа, ап > 1.

Мы рассматриваем множество иррациональных чисел с ограниченными ап, т.е такие числа а, для которых существует постоянная Аа такая, что ап < Аа для всех п . Отметим, что если а иррациональное число второго порядка, тогда разложение а в цепную дробь будет периодичным, а следовательно и все ап будут ограничены. Из теории непрерывных дробей [6] легко получается

max fsinnp an^) < | sin

n=1,N V )

Ж

(Aa + 2) Np

, N = 1,2,....

Т.к. sinx > ^П3x при x e [0,ж/3 , то для каждого N имеем

2k

" <

160

4E

27 52 n 2E (Aa + 2)2N р + N2K, N = 1,2,..

Теперь рассмотрим функцию

160

2k

g (t) = 52n2E(Aa + 2)2t p + 4Et—

2k

Свое минимальное значение при г > 0 функция g достигает в

t=

270р) 2к (pP+ 1)(5n (Aa + 2)) — к (pP+ 1)

(13)

2

Т.к. g возрастает на интервале [t, +») , находим

g([t + 1]) < g(t + 1)

Тогда получаем

. Il2 160E._

|u||2 < —(8л (Aa + 2))p+1

1 +

27 p\ Tp+rn ^ (p+1)k

^J +(8n (Aa + 2))

2k p

(14)

Итак, мы доказали следующую

Теорема 1. Пусть а иррациональное число, разложимое в цепную дробь с ограниченными коэффициентами. Тогда (01атГ§) удовлетворяет неравенству (14).

Для дальнейшего используем некоторые результаты полученные в [7]. Согласно следствию 6 из [7], если а имеет порядок П < ^ , тогда существует постоянная К = К (в, а) > 0 что для любого 8 > 0 , и число % е такого, что

IE - a| < 8,

(15)

выполняется следующее

max (sin n%E) 2 < I sin

n=1,N

ж (3 - V5

2

2N

(16)

при всех N > К8—в. Из (15) следует, что для каждого Tj удовлетворяющего \тj — а| < 8 верно — Tj | < 28.

Если и определено (6), из (8) находим

д ju

д tj

(x, En)

¿2[0,П ]

< 48xVE, j = 0,1,...,p - 1.

(17)

Итак, и удовлетворяет (1), (2), (7), (9) и (17). Решение и е C2xk,2p ([0, п] х [0, +~)) задачи (1), (2), (7), (9) и (17) запишем в форме

u(x, t) = £ sinnx ■

n1

An sin np (En -1) . k

--p-- + Bn sin npt

sin UP En

Она будет удовлетворять (10), (12) и

£ BnsinVEn < 7282E.

n1

Аналогично, как и в доказательстве теоремы 1, имеем

о / k \ — 2 4E

||и||2 < 8052п E max (sinnp+ ^, N = 1,2,...

= 1,N V

p

Используя (16) и то, что8шх > |х для всех х е [0, , находим

iui2 <

80 2 52п2EN2k + <§, N > K8-в. (3 -V5)2 N2k, >

(19)

Исследуем следующую функцию

2k

g(t ) =

80 ~ 2 — 4E п 82п2Et p + , t > 0.

(3 — л/5)2 г

Функция g достигает своего минимума при г > 0 в точке

(20)

p p

t = (p) 2k(p + 1)/"3k(p + 1).

Выберем 8 из интервала

k( p + 1)

0 < 8 << K( 20

p / ^ \ тг^—TT 1 ke (p +1) - p

(Z)2k(^TT)(3-v^jk(p+1) l .

(21)

Тогда из (21) следует, что 1 < К8—6. Пусть N натуральное число > К8—6, при котором правая часть неравенства (20) достигает минимального значения. Т.к. функция g возрастающая на интервале [г, , N удовлетворяет К8—6 < N < К8—6 + 1, то

||и||2 < g ГК8—6 + Л ,

и наконец

, ||2 80п2E u 2 <

(3 ->/5)2

■ k K 8 p-e + 8 p

2k

p 4E 8 2ke + ""K2T"

(22)

что доказывает следующую:

Теорема 2. Пусть а иррациональное число порядка & < <*>. Тогда для любого

фиксированного в,

что

Q + 1

< 0 < 1, существует постоянная К = К(0, а) > 0 такая,

. ||2 80п2E

u2 <

(3 -V5)2

kk

—-в —

K 8 p + 8 P

2k

p 4E 8 2ke

+

при любом 0 < 8 < { K( 20

p p 1

( Z ) 2k(^+T)^3-V5^ k(p + 1) 1

K2k

k( p + 1) I_1 ke (p + 1) - p

В заключении приведем следующую:

Теорема 3. Задача (1)-(5) устойчива тогда и только тогда, если а иррационально. Более того, если а иррационально,тогда lim (DiamF§) = 0 равномерно по

8 ^0

9j М, ¥j W, (j = 0,1,..., p - 1)

Доказательство. Пусть а ф Q. Тогда согласно следствию 9 из [4], существует функция f(8) такая, что

lim f (8) = lim 8 f (8) = 0, (23)

8 ^0 8 ^0

и для всех достаточно малых 8, числа % Ф Q, удовлетворяющая (15) и (16) при всех N > f (8) . Подставляя эту функцию вместо аргумента при доказательстве теоремы 2 получаем, что

INI2 < g(f (8) + 1),

где g определена по формуле (20), т.е.

2k

4E

+ JWk.

, „о 80п2E и 2 <

(3 -V5)2

k k f (8 ) 8 P + 8 P

Из (23), заключаем

lim (DiamF8) = 0.

8 ^0

□

Библиографический список

1. Bourgin D.G., Duffin. R. The Dirichlet problem for the vibrating string equation // Bull. Amer. Math. Soc. 1939. vol. 45. p. 851-858.

2. D.Fox-C. Pucci. The Dirichlet problem for the wave equation // Ann. Mat. Pura Appl. 1958. (IV). vol. XLVI. p. 155-182.

3. John F. The Dirichlet problem for a hyperbolic equation // Amer. J. Math. 1941. vol. 63 . p.141-154.

4. Юлдашева А.В. Об одной задаче для уравнения высокого порядка // Доклады Академии наук Республики Узбекистан. 2012. №5. C. 11-14.

5. Юлдашева А.В. Об одной задаче для уравнения высокого порядка // Вестник КРАУНЦ. физико-математические науки. 2014. №2(9). C. 17-22.

6. Khinchin A.Ya. Continued fractions. The Universiry of Chicago Press, 1964. 112 p.

7. Viola C. Diophantine approximation in short intervals // Ann. Scuola. Norm. Sup. Pisa.1979. vol. 6. p. 703-717.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 23.03.2015