CC BY
8
Известия Коми научного центра УрО РАН № 2(34). Сыктывкар, 2018.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 539.3
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЕЦ, ПОДКРЕПЛЕННЫХ НИТЯМИ ОДНОСТОРОННЕГО ДЕЙСТВИЯ
В. Ю. АНДРЮКОВА, В. Н. ТАРАСОВ
Физико-математический институт Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар [email protected], [email protected]
Численно решена задача устойчивости колец при односторонних ограничениях на перемещения. Рассмотрены два вида нагрузки: нормального внешнего давления и случай центральных сил. Проведен сравнительный анализ полученных результатов. Изучено влияние на критическую нагрузку двух видов подкрепления: центральные нити и нити, расположенные по сторонам правильного многоугольника. Данная проблема сводится к определению параметров, при которых происходит бифуркация решения некоторой задачи нелинейного программирования.
Ключевые слова: кольцо, критическая нагрузка, устойчивость, нерастяжимые нити, вариационная задача, прогиб
V.YU. ANDRYUKOVA, V. N. TARASOV. ON THE STABILITY OF THE RINGS BACKED BY THREADS OF UNILATERAL ACTION
The problem of the stability of the rings with one-sided restrictions on the movement is analytically solved. Two cases of external pressure: normal pressure and the external pressure of the central forces are considered. A comparative analysis of the obtained results is made. The influence of two types of strengthening on the critical load is studied: central bracing wires and bracing wires located on the sides of a regular polygon. This problem is in determination of parameters at which a bifurcation of the solution of some problem of nonlinear programming takes place.
Keywords: ring, critical load, stability, non-stretchable thread, variational problem, deflection
Введение
Исследуется устойчивость упругих колец, подкрепленных нерастяжимыми нитями. В отличие от классического случая наличие односторонних связей приводит к определению параметров, при которых вариационная задача с ограничениями на искомые функции в виде неравенств имеет нетривиальное решение. В работе дано численное решение задачи устойчивости подкрепленных нитями колец, находящихся под действием центральных сил или внешнего нормального давления с применением сплайн-аппроксимации. Изучены два вида подкрепления: центральные нити и нити, расположенные по сторонам правильного т—угольника. Некоторые задачи устойчивости с неудерживающими связями рассматривались авторами в работах [1,2].
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу устойчивости упругого кольца радиуса К, нагруженного внешним давлением Р, и подкрепленного упругими нитями, которые не воспринимают сжимающих усилий. Пусть $ - цен-
тральный угол, x($) = R cos $, y($) = R sin $ - координаты точек кольца. Введем систему единичных ортов (i,j), орт j - единичный вектор касательной, орт i - единичный вектор, направленный в сторону внешней нормали. Рассматривается случай плоской деформации кольца, тогда вектор перемещений имеет вид
П = w($)i + v($)j,
где w($) - прогиб, v($) - касательное перемещение.
Предположим, что кольцо подкреплено нитями одностороннего действия. Нити являются нерастяжимыми и не воспринимают сжимающих усилий.
Изучаются два вида подкрепления: в первом случае один конец нити прикреплен к неподвижному центру кольца, а другой - к некоторой его точке, $ = - соответствующий угол, таким образом, что расстояние между центром кольца и точкой прикрепления нити не может увеличиваться. Это приводит к ограничениям на перемещения
w($j) < 0, j е Mi = [l..mi],
(1)
где т\ - количество таких нитей. Во втором случае один конец нити прикреплен к точке кольца, соответствующей углу $ = е^ , а второй - к углу $2 = е2]
Известия Коми научного центра УрО РАН. № 2(34). Сыктывкар, 2018
таким образом, что расстояние между точками прикрепления нити не может увеличиваться. Пусть
ал
£2j — £ij ■
Обозначим pj = 2R sin aj - расстояние между точками прикрепления нитей до деформации. Пусть
£l = w{£ij), {2 = w{£2j), П1 = v(£1j), П2 = v(e2j).
Тогда расстояние между точками после деформации будет равно
p* = (( - R sin О- + £2 cos aj - П2 sin aj - £1) 2+
+ (R cos а + {2 sin aj — cos aj — ni)'
2\ 2
2
(2)
Таким образом, для этого подкрепления должно выполняться неравенство
Здесь S(r) - производная порядка r. Введем вектор
z = (zi,Z2, ..,zn),Zi = w(tfi), i e [0..n|.
Подставляя сплайн S(w,$) в (5), получаем две квадратичные формы
1 1'2п 1
f (z) = - J (s''2 - 2s'2 + s2)dti = 2(Az,z) (8)
и
1 f2n 1 5(z) = 2 J (s'2 - bs2)d# = 2(Qz,z) (9)
(дифференцирование в (8) - (9) осуществляется по $.) Интегралы от сплайна S(w; $) и его производных вычисляются с помощью системы MAPLE 13. Используя условие несжимаемости (6), запишем
pj — Pj < 0, j £ М2 = [mi + 1..Ш2]■ (3) v(ß.) = — w($)d$ = s(z,
"l INTOn ПОлК^ГМЮ! HUI UOnLIIIII М.ЛМП1Л ПГМ.^ПИ J 0 J 0
Считая деформации малыми, можно прибли зительно предположить
Pj— pj = siny 6— cos— 6 +cos— ni+sin— П2 ■
2
2
2
(4)
Для ] € М2. Выражение (4) есть первый ненулевой член ряда Тейлора по переменным Пь П2■
Считая деформации кольца плоской, приходим к задаче : найти минимальное значение силы Р, при которой вариационная проблема
B г 2п
J (w) = ^/0 (w" + wfddß —
— — í (w'2 — bw2)d'& ^ min 2 J o w
(5)
при ограничениях (1) - (3) имеет нетривиальное решение. В (5) Ь = 1 в случае сил внешнего нормального давления (нагрузка все время остается нормальной к деформированной оси кольца), и Ь = 2 в случае центральных сил (нагрузка до и после деформации направлена к неподвижному центру кольца). В (5) В - жесткость кольца при изгибе, первый интеграл представляет собой упругую энергию кольца, второй - работу внешних сил [1]. Прогиб w($) связан с касательным перемещением v($) условием несжимаемости
V = —w ■ (6)
Для конечномерной аппроксимации прогиб w($) будем приближать интерполяционными кубическими периодическими сплайнами
5ф) = Wj(1 — г)2(1 + 2г) + wi+lí2(3 — 2г) +
+miht(1 — i)2 — wi+iht2(1 — i),
(7)
2П
г = н-1(ф — фл г € [0; 1], н = фт — ф = —,
п
п - число точек сетки. При этом должны быть выполнены условия периодичности
5(г)^;0) = 5(r)(w;2п), г = 0,1, 2.
Для численного интегрирования по формуле трапеций находим
1
1
) = 2 J2(wj-i + wj)h = 2 J2(zj-i + zj)h'
j=i
j=i
(10)
причем, можно положить из условия периодичности
V0 =0, Vn = Vo.
2. Решение задачи нелинейного программирования
Ограничения (1), (3), (4) образуют конус, определяемый линейными неравенствами
(aj,z) < 0, j е Ml U M2. (11)
Если j е M1, то ограничения (11) записываются в виде Zj < 0. Если же j е M2, то коэффициенты линейной формы (11) определяются следующим образом: ф^) = р* — pj. Полагаем zk = 1, j0 е M2, Zj = 0, при j = k. Тогда ak = ф^) — ф(0). Обозначим через Г конус, определяемый неравенствами (11), и рассмотрим задачу нелинейного программирования
f (z) = 2 ^(^z,z) ^ min, (12)
при ограничениях
g(z) = 1 £(Qz,z) ^ min, (13)
2 z
(aj,z) < 0, j £ Mi U M2.
(14)
Пусть z* - решение задачи (12) - (13). Тогда по теореме Куна-Таккера найдутся множители Лагранжа
ЛФ и |J,j, ] € М1 и М2, такие, что
AzФ — ЛФQzФ + £ I ^ = 0. (15)
jeм1uм2
Jj > 0 и выполнены условия дополняющей нежесткости
I ,z*) = 0■ (16)
v
Известия Коми научного центра УрО РАН. № 2(34). Сыктывкар, 2018
Умножая скалярно (15) на г*, находим f(г*) — Л*д(г*) = 0, ||г*|| > 0. Так как г* - решение (12) - (14), то, очевидно, для всех Л < Л* квадратичная форма
2 ^(Лг,г) — Л1 ^($г,г) > 0
для всех г € Г, т.е. является условно положительно определенной на конусе Г. Таким образом, множитель Лагранжа Л* есть значение безразмерного параметра
р. = РК3
* В
критической нагрузки. Задача (12)-(14) является задачей невыпуклого математического программирования. Для ее решения можно предложить метод последовательных приближений [1].
3. Обсуждение результатов
Результаты вычислений представлены в таблицах 1,2. Для множества М1 нити прикрепляются в вершинах правильного т-угольника, для множества М2 нити расположены по сторонам правильного т-угольника, как изображено на рисунке.
Рис. Способ подкрепления: при Mi = 0 и = 0 (слева),
при Mi = 0 и M2 = 0 (в центре), при M1 U M2, M1 = 0 и M2 = 0 (справа).
Fig. The way of reinforcement: for Mi = 0 an d M2 = 0 (left), for M1 = 0 and M2 = 0 (middle), for M1 U M2, M1 = 0 and M2 = 0 (right).
Случай центральной нагрузки The case of central load
Таблица 1 Table 1
m 5 7 10 14 20 25
M2 = 0 7.73 10.84 13.16 15.34 17.99 18.71
Mi = 0 4.92 9.12 13.89 17.98 32.98 43.41
Mi y m2 7.73 12.30 20.31 32.65 53.24 84.96
В работе [2] получено точное значение безразмерного критического параметра в случае непрерывного распределения центральных нитей (M2 = 0) P* = 18.72. Значение критической нагрузки для кольца без подкреплений P* = 4.5.
Таблица 2
Случай нормальной нагрузки
Table 2
The case of normal load
m 5 7 10 14 20 25
M2 = 0 4.90 5.63 7.19 7.20 7.73 8.001
Mi = 0 3.18 7.20 10.07 14.76 31.03 41.06
Mi y M2 5.41 9.21 17.59 29.30 48.40 79.58
В случае непрерывного распределения центральных нитей (M2 = 0) вдоль обода кольца точное значение критической нагрузки P* = 8.0 [1]. По результатам численных экспериментов при подкреплении кольца центральными нитями для m > 25, нити можно считать непрерывно распределенными по ободу кольца. Значение критической нагрузки для кольца без подкреплений P* = 3.0.
Таким образом, при малых m подкрепление нитями вдоль сторон правильного многоугольника слабо влияет на значение критической силы. При возрастании m значение критической нагрузки быстро растет.
Заключение
В работе показано, что значение критической силы значительно возрастает при подкреплении кольца нитями вдоль сторон правильного m—угольника. Особенно эффективн ы м является комбинированное подкрепление (M1 [J M2). При большом количестве нитей подкрепления (m = 20), значение критической силы возрастает в почти в три раза в случае центральной нагрузки и почти в семь раз при нормальной нагрузке.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований УрО РАН, проект № 18-1-1-7.
Литература
1. Андрюкова В.Ю., Тарасов В.Н. Об устойчивости упругих систем с неудерживающими связями // Известия Коми НЦ УрО РАН. 2013. № 3(15). С. 12-18.
2. Андрюкова В.Ю. Некоторые задачи устойчивости упругих систем с односторонними ограничениями на перемещения // Вычислительная механика сплошных сред. 2014. Т. 7. №4. С. 412-422.
References
1. Andryukova V.Yu., Tarasov V.N. Ob usto-ichivosti uprugih sistem s neudergivayuschimi svyazyami [On the stability of elastic systems under uncontrolled connections] // Izvestiya Komi NTs UrO RAN [Proc. of Komi Sci. Centre, Ural Br. RAS]. 2013. No. 3(15). P. 12-18.
2. Andryukova V.Yu. Nekotorye zadachi ius-toichivosti uprugih sistem s odnostoronnimi ogranicheniyami na peremescheniya [Some stability problems of elastic systems with unilateral constraints on displacements] // Vychislitel-naya mexanika sploshnyx sred [Computational mechanics of continuum]. 2014. Vol. 7. №4. P. 412-422.
Статья поступила в редакцию 16.02.2018.
