Об установившихся поперечных колебаниях прямоугольной пластинки из ортотропного материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 733 с.

27. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. 2-е изд. М.: Наука, 1978. 687 с.

28. Palymskiy I.B., Fomin P.A., Hieronymus H. The Rayleigh-Benard convection in gas with chemical

УДК 539.3

ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ ИЗ ОРТОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА

О.М. Ромакина

Саратовский государственный университет, кафедра компьютерной алгебры и теории чисел E-mail: [email protected]

При предположениях классической теории Кирхгофа рассматривается задача об установившихся колебаниях тонкой прямоугольной пластинки из упругого ортотропного материала. Двумерная краевая задача сводится к одномерной модифицированным методом сплайн-коллокации. Одномерная задача решается численно устойчивым методом дискретной ортогонализа-ции. Приведены результаты вычислений первых трех резонансных частот и графики, изображающие форму деформированной срединной поверхности, для трех вариантов условий на контуре.

Ключевые слова: метод сплайн-коллокации, ортотропная пластинка.

reactions // Сиб. журн. вычисл. математики. 2007. Т. 10, № 4. P. 371-383.

29. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. 378 с.

30. Турбулентность. Принципы и применение / Под ред. У. Фроста, Т. Моулдена. М.: Мир, 1980. 535 с.

Orthotropic Plate O.M. Romakina

Saratov State University,

Chair of Computer's Algebra and Theory of Numbers E-mail: [email protected]

The problem of the steady transverse vibrations of a rectangular orthotropic plate under the classical Kirchhoff theory assumptions is considered. Two-dimensional problem is reduced to one-dimensional via the modified spline-collocation method. One-dimensional problem is numerically solved with the stable discrete orthogonalization method. Numerical results for three resonance frequencies and plots for deformed middle-surface are presented for three types of boundary conditions on the edges.

Key words: modied method of spline collocation, ortotropic plate.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ

Уравнение для определения прогиба — при динамическом изгибе ортотропной пластинки в рамках классической теории Кирхгофа, как известно [1], имеет вид

^ д4 — ^^ д4 — ^ д4 — , д2 —

+2°3 дИд? + °2 + ^ = (1)

где — = —(х,у,Ь) — прогиб точек срединной плоскости; Н — толщина пластинки; Ь — время; координатные оси х и у направлены по главным направлениям анизотропии; Di (г = 1, 2,3) — соответствующие жесткости; р — плотность материала.

Будем рассматривать установившиеся колебания пластинки под действием поперечной нагрузки интенсивности

д(х,у,Ь) = до(х,у)вт шЬ. (2)

Тогда в безразмерных переменных £ = х/а, п = у/Ь (а и Ь — размеры пластинки в плане) для безразмерной амплитуды Ш(£,п) прогиба —(х,у,Ь) = НШ(£, п) втшЬ из (1) с учетом (2) следует уравнение

д4 Ш 2 д4 Ш 4 д4 Ш _

+ ^с2дёзП? + ^с4^ - Д4Ш = ^ П)/^ (3)

где Л4 = рНОа2ш2/Б* — безразмерный частотный параметр.

Амплитудные значения внутренних моментов и обобщенных поперечных усилий выражаются через функцию Ш по формулам

^ *{ д2Ш 2 д2 Ш \ „,* 2^* ( д2 Ш 2 д2 Ш \ ~ * д 2Ш

МХ = —а Б + ^ с2^ , М*у = —а Б * ц + с2^^ , Нху = -а2Б *

лг„ f d3W 2 d3W \ _ _ / d3W 2 д3W\

NX = Ж + *c2дёдП^;' Ny = -aDfc Гдё^ + *c V) ■ (4)

В формулах (3) и (4) обозначено ^ = Df/Df, ^2 = 2Df/Df, ^3 = (Df + 2Df)/Df, = 2Df/Df, Df = Djha-4 (i = 1, 2, 3,k).

Граничные условия для функции W определяются способом закрепления и нагружения контура пластинки. Для численного решения соответствующей краевой задачи применим модифицированный метод сплайн-коллокации [2].

2. СПЛАЙН-АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ W(£, п) ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

Предположим, что на сторонах £ = £0 = 0 и £ = £n = 1 заданы произвольные граничные условия с единственным ограничением, что вид этих условий в пределах каждой стороны остается неизменным. Края п = 0 и п = 1 могут быть закреплены произвольно (в частном случае свободны) или загружены усилиями и моментами, меняющимися во времени пропорционально sin ot.

Рассмотрим два возможных непротиворечивых варианта условий при £ = £0 и £ = £n . а) Пусть при £ = £0 и £ = £N заданы прогиб и угол поворота

,, , dw(£0,п,t) , Я / ч . w(£0, n, t) = hw0(n) sinot, -д£-= h©0(n) sinot,

w(£N,n,t) = hwN(n) sinot, t) = (n) sinot. (5)

Функция W(£, n) ищется в виде

N+2

W(£,n)= £ B5,j(£)Wj(n), (6)

j=-2

где B5>j- — нормализованные B-сплайны пятой степени [3], построенные по системе равноотстоящих узлов А = {£j}, £ = ihx, i = -5,N + 5, = 1/N.

Из условий (5) после отделения временной переменной получаются две системы линейных алгебраических уравнений, из которых функции W&(n) (k = —1, -2,N + 1,N + 2) выражаются через функции Wr(n) (r = 0, N) и заданные значения прогиба и угла поворота при £ = £0 и £ = £N. Тогда после несложных преобразований разложение (6) записывается в виде

N

W (£, П) = £ Pj (£) Wj (n) + M (£, n), (7)

j=0

где обозначено

¿0 = B5,- 1 (£0 )B5 ,-2 (£0) — B5,- 1 (£0)B5,-2 (£0 ), ¿N = B5,N+1 (£N )B5 ,N+2(£N ) — B5 ,N+1 (£N )B5,N+2 (£N ); M0(£, n) = 1 [B5.-2(£)B5,- 1 (£0) — B5,—1 (£)B5,-2(£0)] W0(n)+

+ [B5,-2(£)B5,- 1 (£0) - B5, — 1 (£)B5,-2(£0)] ©0(П^ ,

mn(£,n) = 1 ^ [b5,n+1 (£)B5,N+2(£n) - b5,n+2(£)B5,N+1 (£n)] wn(n)-- [B5,N+1(£)B5,N+2(£n) - B5,N+2(£)B5,N+1 (£n)] ©N(n)) ,

M (£, n) = M0 (£, n) + mn (£,n),

Pj (£) = B5,j (£) + 1 (b5,-2(£) [B5,j (£0)B5,-1 (£0) - B5,j (£0)B5,-1 (£0)] -

B5,-1 (£) [B5,j (£0)B5,-1(£0) - B5,j (£0)B5,-1 (£0)^ (j = 072), Pj (£) = B5,j (j = 3, N - 3),

^ (0 = B5,j (0 + ¿-1 (-B5,N+1 (0 [B5,j (Cn,N+2 (Ce) - B,j (Cn)BS,n+2 (Cn)] +

+B5,N+2(C) [B5,j (Cn)B5,n+1 (Cn) - B5(Cn)B5,n+1 (Co)]) (j = N - 2,N),

б) Если при C = C0 и C = Cn заданы распределенные изгибающие моменты и перерезывающие силы, то граничные условия будут иметь вид

Mx(Co, n, t) = mo (n) sin wt, Qx(Co, n, t) = po(n) sin wt,

Mx(Cn,n,t) = mN (n) sin wt, Q*(Cn,n,t) = Pn (n) sin wt. (8)

Функция W(C, n) по-прежнему ищется в виде (6). В этом случае из условий (8) для функций Wk(n) (k = —1, -2,N + 1,N + 2) получаются не алгебраические, а дифференциальные уравнения, которые могут быть представлены в виде

d2 W_r , , ^ ттг , , ^ d2 Wk ^ , ттг , ,

, 2 = mo,r(n) + 2^ ar,kWk(n) + 2^ cr,fc d 2 + dr,sW_s(n),

' k=o k=o ' s=1

d2 WN N N d2 Wk 2

—d = mN,r (n) + ^ ar,k Wk(n) + ^ cr,fc d 2k + E dr,N+s Ww_(n) (r = 1, 2). (9)

n k=N _2 k=N _2 n s=1

В формулах (9) функции mo,r (n),mN,r (n) и постоянные ar,k,cr,k, dr,s и dr,N+s определяются соотношениями

mo,r(n) = (-1)r(¿oD*ac2)-1 (B,_з+г(Co) - ^B5,_3+r(Co)) ,

V v2a M3 /

mN,r(n) = (-1)r(¿nD*ac2)-1 fB5 +3_r^) - ^ B,,n+3-r(Cn)) , r = (0,1),

V v2a M3 /

ap,k = (-1)p(¿oc2)-1 (v—1 B5,_3+p(Co)B5',k(Co) - Д01 B5,_3+p(Co)B5',k(Co)) (k = 0,2),

ap,k = (-1)p(¿nc2)-1 (v—1 B5,n+3_p(Cn)B5,k(Cn) - Д-1 B5,n+3_p(Cn)B5,k(Cn)) (k = N - 2,N), cp,k = (-1)p¿01 (B5,_3+p(Co)B5,k(Co) - B5,_3+p(Co)B5,k(Co)) (k = 0,2), cp,k = (-1)p¿01 (B5,n+3_p(CN)B5,k(Cn) - B5,n+3_p(Cn)B5,k(Cn)) (k = N - 2,N), dp,s = (-1)p(¿oc2)-1 (v—1 B5,_3+p(Co)B5,_s(Co) - M—1 B5,_3+p(Co)B5%(Co)) (s = 1, 2),

dp,s = (-1)p(¿Nc2)-1 (V2-1B5,N+3_p(CN)B5,s(Cn) - +3_p(Cn^(Cn))

(p = 1, 2, s = N + 1, N + 2).

3. СИСТЕМЫ РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИЙ Wj (n)

Системы разрешающих уравнений для функций Wj (n) получаются методом коллокации. Для этого вводится система точек коллокации C = C* (i = 0, N), которые выбираются по правилу: СГ = Ci + t/N (i = 0, N/2 - 1), C*/2 = Cn/2, C* = Ci - t/N (i = N/2 + 1, N), 0 < t < 1.

Из требования, чтобы функция W(C,n) в виде (7), если на сторонах С = Co и С = Cn заданы кинематические условия (5), или в виде (6) при силовых условиях (8), вдоль прямых С = С** (i = 0, N) удовлетворяла уравнению (3), получается система N+1 обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно неизвестных функций Wj (n).

При условиях (5) эта система имеет вид

£(Hjv)(c*)-AVj(с*)]Wj(n) + M4c2^j'(c*)^^+^cVj(C*)= q*(n) (i = 0,n), (10)

(д4 М(Сг*,п) 2 д4 М(Сг* ,п) 4 д4 М(С** ,п) л4 Г^л* Л где а*(п) = (С**,П)/^* " I -+ ^с -о^Пт- + ^-^^^ - д4М(Сг*, п)1 •

В рассматриваемом случае система (10) является системой разрешающих уравнений для функций Ш? (п)С? = 0, N). Далее эта система разрешается относительно старших производных функций Ш^ (п) и стандартным приемом преобразуется в записанную в нормальной форме Коши систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для новой неизвестной вектор-функции У(п)

^^ = сУ (п)+ Ё (п). (11)

а п

Компонентами функции У(п) = {уг (п)} (г = 0,+ 3) являются функции Ш^ (п) (^ = 0, N) и их производные до третьего порядка включительно.

Граничные условия для У(п) формулируются согласно условиям закрепления или нагружения сторон п = 0 и п = 1- Эти условия, выполнение которых требуется в концевых точках отрезков С = С* (г = 0, N), всегда могут быть представлены в виде

#гУ (0)= ег, #2 У (1)= (12)

где матрицы # = {Л,Г)5}, #2 = +2,*} и векторы ег = {ег}, в2 = {ег+2^+2} (г = 0, 2N + 1,

5 = 0,4N + 3) имеют известные компоненты.

В случае условий (8) из уравнения (3), записанного с учетом (6) вдоль прямых С = С* (г = 0, N), следует система уравнений

' +2 / л2 тт/ л4 тт/ \

£ ([вй^С*) - А4Б^(С*)] Ш(п) + с2£^.(С*+ мгс4Б^(С*)^/] = а**(п) (* =

(13)

где а**(п) = 00 (Сг*,п)/^*. Из этих уравнений с помощью (9) исключаются вторые производные функций Шк(п) (к = -2, -1, N + 1, N + 2) и четвертые производные этих функций, выражения для которых получаются двукратным дифференцированием формул (9). Полученная таким образом система уравнений разрешается относительно старших производных функций Ш^- (п) (^ = 0, N) и вместе с уравнениями (9) составляет полную систему для всех неизвестных функций в разложении (6). Далее эта система преобразуется в записанную в нормальной форме Коши систему уравнений первого порядка, которая в векторной форме имеет вид

^ = СУ (п)+ Ё (п). (14)

ап

Вектор-функция У(п) в этом случае имеет компоненты

У( ) { ( )} IШ аШ, а2Ш а3ш Ш Ш аШ-к ащ^+к\ У (п) = (п)} = { Шг, - ¿V -¿щт, , Ш-к,+к

(г = МЖГ7, г = 0,Ж к = 1, 2).

Для однозначного решения задачи к уравнению (14) необходимо добавить граничные условия, которые записываются в виде

#1У (0)= ег, #2 У (1)= ё2 • (15)

Эти условия получаются из условий закрепления или нагружения сторон п = 0 и п = 1, выполнение которых в отличие от предыдущего случая требуется не только в точках коллокации, но и в угловых точках пластинки.

Аналогичным образом получаются краевые задачи, когда одна сторона пластинки деформирована определенным образом, а на другой задан закон изменения нагрузки, а также в случае условий смешанного типа — прогиб и изгибающий момент или угол поворота и поперечная нагрузка.

Численное решение задач типа (11)—(12) выполняется методом дискретной ортогонализации, который обеспечивает высокую точность результатов.

4. ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ КВАДРАТНОЙ ПЛАСТИНКИ

Изложенная в разд. 2, 3 методика была применена при численном исследовании колебаний квадратных пластинок под действием распределенной нагрузки интенсивности q(x,y,t) = q0 sin ot, q0 = const. Рассматривались пластинки из ортотропных материалов АГ-4с (р = 1900кГ/м3, E1 = 2.1 ■ 104МПа, E2 = 1.6 ■ 104МПа, G = 0.42 ■ 104МПа, v2 = 0.07 [4]) и дельта-древесины (р = 1400кГ/м3, E1 =3.05 ■ 104МПа, E2 = 0.467■ 104МПа, G = 0.22 ■ 104МПа, v = 0.02 [1]) и стальная пластинка (р = 7800кГ/м3, E = 2 ■ 105МПа, v = 0.3 ) с геометрическими размерами a = b = 1.0м, h = 0.01м. Вычисления проводились для следующих вариантов закрепления контура пластинки: задача 1 — стороны £ = 0 и п = 0 жестко закреплены, остальная часть контура свободна от закрепления и нагрузки; задача 2 — угловая точка £ = п = 1.0 подкреплена шарниром, при £ = 0 и п = 0 — жесткая заделка, стороны £ = 1 и п = 1 свободны; задача 3 — контур пластинки свободен от нагрузки и закрепления за исключением угловых точек, которые подкреплены шарнирами. В задачах 1 и 2 безразмерная амплитуда W(£, п) аппроксимируется выражением

N+2

W(£,п)= £ ъ(£)Wj(п), j=o

где функции ъ(£) определяются по формулам ъ(£) = B5,j(£) + ó-1 {£5,-2(£)[B5,j(£o)B5_1(£o) -- B5(£0)B5,_i(£o)] - £5,-1 (£)[B5,j(£o)B5,_1 (£0) - B5,.(£0)B5,_1 (£0)]} (j = 0,2), ъ(£) = B5tj(£) (j = 3, N + 2). В задаче 3 для W(£,п) используется выражение (6).

Некоторые результаты этих расчетов приведены в табл. 1-3, где указаны приближенные значения (k = 1, 2, 3) первых трех резонансных частот o^l = - ó, где ó < 0.01c-1 при k = 1 и ó < 1c-1, если k = 2, 3, номера таблиц соответствуют номерам рассмотренных задач. В этих же таблицах даны значения локальных экстремумов функции w* (£, п) = W(£, п)/max |W(£, п)|, которые характеризуют размеры «горбов» и «впадин» на изогнутой срединной поверхности колеблющейся пластинки.

Таблица 1

Значения локальных экстремумов функции w* (£,n) при первых трех резонансных частотах. Задача 1

Материал k —1 Uk, c Локальные экстремумы w* (£, n)

1 106.05 w* (1.0; 1.0) = 1.000

Сталь 2 407 w* (0.55; 0.55) = 0.388; w* (1.0; 1.0) = -1.000

3 731 w* (0.40; 1.00) = 0.958; w* (0.45; 0.45) = -0.624; w*(1.0; 1.0) = -1.000

1 57.61 w* (1.0; 1.0) = 1.000

АГ-4с 2 233 w*(1.0; 0.45) = 0.529; w*(1.0; 1.0) = -1.000

3 385 w* (0.40; 1.00) = 0.815; w* (0.45; 0.45) = -0.568; w*(1.0; 0.40) = 0.836; w* (1.0; 1.0) = -1.000

1 59.25 w* (1.0; 1.0) = 1.000

Дельта-древесина 2 149 w*(1.0; 0.45) = 0.744; w*(1.0; 1.0) = -1.000

3 350 w*(1.0; 0.30) = -1.00; w*(1.00; 1.00) = -0.981; w*(1.0; 0.70) = 0.725

Таблица 2

Значения локальных экстремумов функции -ш* при первых трех резонансных частотах. Задача 2

Материал k —1 Uk, c Локальные экстремумы w* (£, n)

1 232.00 w* (0.72; 0.72) = 1.000

Сталь 2 603 w* (0.46; 0.46) = 1.00; w*(0.7; 1.0) = -0.937

3 829 w* (0.36; 1.00) = -1.00; w* (0.35; 1.00) = 0.199; w* (0.80; 1.00) = 0.419

1 104.93 w* (1.0; 0.60) = 1.000

АГ-4с 2 320 w* (0.45; 0.45) = 0.945; w* (1.0; 0.67) = -1.000; w* (0.67; 1.00) = -0.788

3 568 w* (0.35; 0.75) = 0.498; w* (0.65; 0.30) = -0.435; w*(0.72; 1.00) = -1.00

1 104.97 w* (1.0; 0.58) = 1.000

Дельта-древесина 2 324 w* (0.35; 0.55) = 0.465; w* (0.50; 1.0) = 0.504; w* (1.0; 0.72) = -1.00

3 492 w* (0.45; 0.70) = 0.636; w* (0.50; 0.30) = -0.778; w*(0.75; 1.00) = -0.590; w* (1.00; 0.82) = -1.000

Таблица 3

Значения локальных экстремумов функции ш*(£,п)при первых трех резонансных частотах. Задача 3

Материал к -1 Шк, с Локальные экстремумы ш*(£, п)

1 108.94 ш* (0.50; 0.50) = 1.000

Сталь 2 679 ш*(0.50; 0.50) = -1.00; ш*(0.50; 0.00) = 0.788

3 1411 ш*(0.15; 0.00) = 0.547; ш*(0.00; 0.50) = -1.00; ш*(0.50; 0.50) = 0.072

1 59.16 ш* (0.50; 0.50) = 1.000

АГ-4с 2 343 ш* (0.50; 0.50) = 1.00; ш*(0.00; 0.50) = 0.882; ш*(0.50; 0.00) = 0.759

3 776 ш*(0.00; 0.50) = -1.00; ш*(0.50; 0.50) = 0.174; ш* (0.50; 0.00) = -0.910; ш* (0.00; 0.15) = 0.803; ш* (0.15; 0.00) = 0.497

1 46.00 ш* (0.50; 0.50) = 1.000

Дельта-древесина 2 354 ш* (0.00; 0.50) = 1.00; ш* (0.50; 0.0) = 0.228; ш* (0.50; 0.50) = -0.849

3 789 ш* (0.50; 0.50) = 1.00; ш* (0.00; 0.15) = 0.794; ш* (0.00; 0.50) = -0.674; ш*(0.30; 0.00) = 0.795; ш*(0.50; 0.20) = -0.964

В табл. 1 и 2 для стали, а в табл. 3 и для ортотропных материалов значения п) приводятся с учетом симметрии деформированного состояния.

Формы изогнутой поверхности для пластинки из АГ-4с при ( = ( (к = 1, 2,3) изображены на рис. 1-2.

Данные таблиц и графики позволяют оценить влияние анизотропии материала и способа закрепления на форму изогнутой поверхности и значения резонансных частот и локальных экстремумов прогиба.

в

Рис. 1. Форма поверхности пластинки из АГ-4с. Задача 1: а — при первой резонансной частоте, б — при второй резонансной частоте, в — при третьей резонансной частоте

25 О в

25 О

д е

Рис. 2. Форма поверхности пластинки из АГ-4с. Задача 2: а — при первой резонансной частоте, б — при

второй резонансной частоте, в — при третьей резонансной частоте. Задача 3: г — при первой резонансной частоте, д — при второй резонансной частоте, е — при третьей резонансной частоте

Библиографический список

1. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: науч. конф. Самара: Самар. гос. техн. ун-та, 2005. Ч.1

ГИТТЛ, 1957. 463 с.

С. 203-209.

2. Недорезов П.Ф., Шевцова Ю.В., Ромакина О.М. Мо- 3. Завьялов Ю.С., Квасов Ю.И., Мирошниченко В.Л. дифицированный метод сплайн-коллокации в задачах Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

изгиба прямоугольных пластинок // Математическое 4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.:

моделирование и краевые задачи: Тр. Второй Всерос. Наука, 1967. 268 с.

г