CC BY
25
УДК 517.O83
ОБ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ
О.А. ПОКРУЧИН
А.В. ГЛУШАК Устанавливаются свойства решений задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и доказано необходимое условие ее
разрешимости.
Белгородский государственный
нсшионаттый исслед0ватель- Ключевые слова: абстрактная задача Коши, уравнение Эйлера-
ский университет Пуассона-Дарбу, операторная функция Бесселя, необходимое усло-
вие разрешимости.
e-maib
Пусть А - замкнутый оператор в банаховом пространстве Ес плотной в Еобластью определения Б(А). При к>0 рассмотрим абстрактную задачу Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу
и "(г ) + к и '(* ) = Аи (г )
г , (1) и(0) = и0 ^ и ’(0) = 0 _ (2)
Определение 1. Решением уравнения (1) называется функция и(1), которая при 1> 0 дважды сильно непрерывно дифференцируема, при 1>0 принимает значения, принадлежащие Б(А),
и (г) Е С2 (Я + , Е ) П С ( Я+, Д А) )
то есть, , и удовлетворяет уравнению (1).
Определение 2. Задача (1), (2) называется равномерно корректной, если существуют за-
У (і)
данная на Екоммутирующая с Аоператорная функция и числа М> 1,ю > о, такие, что для
щ ЄБ(А) У,(ґ)ип
любого 0 функция к 0 является ее единственным решением и при этом
У (і) | | < М ехр(Ші ), Ук (і)и0 < М ехр(Ші ) 11 Ащ
У (і)
Функцию к назовем операторной функцией Бесселя (ОФБ) задачи (1), (2), а множені
ство операторов, для которых задача (1), (2) равномерно корректна, обозначим через к .
А Є Ок и, Є П(А)
Теорема і.Пусть задача (1), (2) равномерно корректна, к , и 0 Тогдаэта
АЄ вт
задача равномерно корректна и для т>к, то есть т , при этом соответствующая
У (і)
ОФБ т имеет вид
2 1
Ут (Ґ)и0 = ■ П, | (1 - ^ )(т"к "2)'2 * У (^)иА
В(к / 2 + 1/ 2, т / 2 - к / 2) *
где В(а, Ь) - бета-функция Эйлера.
2012. № 19 (138). Выпуск 24/1
Теорема 2. Если задача (1), (2) равномерно корректна и ^Є Х > ^ , то
X2 Є р (А)
и
х Є Е
для любого справедливо представление
0(1-к ) /2 «
X ( 1-к )/2д (X2 ) х = —2--------------Г к (Хі)і<к+|)/2у (ґ) хл
Г((к + 1) / 2) •!, 4 к
У (і )
Теорема 3.Пусть задача (1), (2) равномерно корректна и пусть - ОФБ дляэтой за-
С0
дачи. Тогда оператор Аявляется генератором -полугруппы Т(1) и для этойполугруппы справедливо представление
ю
Т (ґ ) х = окг//0^ Г ^ еХР(-* 2 / (4ґ ))У ( * ) хй3,
2 Г((к +1) / 2) 0 х Є Е
Теорема 4. Если задача (1), (2) равномерно корректна и ^Є Х > ^ , то Х принадлежит
резольвентному множеству р(А) оператора А, для дробной степени резольвентысправедливо представление
Л/1Г0-к Ю ,
Я1+к/ 2 (X 2 ) =----------------------------—-— Г * ехр(-Х*)У, (з)ск,
У ' Г(к / 2 + 1)Г(к / 2 +1/ 2)Х I ' к
и при этом выполняются оценки
dn
d X '
л/По k M Г(k і n і I)
_ Г(" I о і і)Г(" I о і II о)(Яє- Ш)k+n+I , n = 0 I о
При исследовании проблемы разрешимости и доказательстве упомянутых выше теорем использовалась следующая литература.
Литература
1. Fattorini H.O. Ordinary differential equations in linear topological space, II. J. Different.Equat. і9б9. б.
P.50-70.
2. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения.Киев: Выща школа, і989.
3. Васильев В.В., Крейн С.Г., Пискарев С.И. Полугруппы операторов, косинус-оператор функции и линейные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техники. Серия Математический анализ. ВИНИТИ. 1990. 28. C.87-202.
4. Васильев В.В., Пискарев С.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве II. Теория косинус оператор-функций // http://www.srcc.msu.su
5. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя // ДАНЛ997.Т. 352, №5. С.587-589.
6. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // УМН. і95і. Т. і. №2(42). С.і02-і43.
7. BraggL.R. FundamentalsolutionsandpropertiesofsolutionsoftheinitialvalueradialEuler-Poisson-Darboux // J. Math. Mech. і9б9. і8. P. б07 - біб.
8. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.М.: Наука, і974.
9. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, і9б7.
10. FattoriniH.O. Anoteonfractionalderivativesofsemigroupsandcosinefunctions // PacificJ. Math. і98з. V. і09. № 2. P. 335 - 347.
11. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, і98б.
ABOUT RESOLVABILITY CONDITIONS OF THE CAUCHY PROBLEMFOR ABSTRACT EULER-POISSON-DARBOUX EQUATION
A.V. GLUSHAK О.А. POKRUCHIN
Belgorod National Research University
e-mail: [email protected] [email protected]
Some properties of Cauchy’s problem solutions of the Euler- Poisson-Darboux equation and also necessary condition of its solvability are proved.
Keywords: abstract Cauchy problem, Euler-Poisson-Darboux’s equation, operational Bessel function, solvability necessary condition.
