CC BY
14
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 3 (2016). С. 135-140.
УДК 517.956.3
ОБ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ В КВАДРАТУРАХ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Е.А. СОЗОНТОВА
Аннотация. В данной работе рассматриваются граничные задачи для гиперболических систем второго порядка со старшими частными производными иху, vxy и ихх, vyy. Целью исследования является отыскание достаточных условий разрешимости рассматриваемых задач в квадратурах. Предлагается способ отыскания решения указанных задач в явном виде, основанный на факторизации уравнений исходных систем. В результате в терминах коэффициентов этих систем получено по 14 условий разрешимости в квадратурах каждой граничной задачи.
Ключевые слова: гиперболическая система, задача Гурса, граничная задача, разрешимость в квадратурах, факторизация уравнения.
Mathematics Subject Classification: 35L51, 35L53, 35G45 1. В работах [1, с. 62-67; 2, 3] с различных точек зрения изучалась система, имеющая в векторно-матричной форме вид
иху + Аих + Виу + Си = F.
В частности известно, что для нее является однозначно разрешимой задача Гурса. Здесь предлагается для определенного частного случая способ отыскания решения той же задачи в квадратурах путем факторизации каждого из уравнений, которые оказывается удобным рассматривать в формах
иху + а\их + b\uy + с\vy + d\u + e\v = 0, (1)
vxy + a,2Ux + b2vx + C2Vy + d2U + e2V = 0. ()
Для реализации проводимых рассуждений достаточно предполагать, что в рассматриваемой области D = {х0 < х < Х\, у0 < у < у1} выполняются включения
а\, а2, Ъ2 Е С(1'0), h, di, d2 е Сdi, d2, еъ е2 е С(0'0). (2)
Также предлагается аналогичный подход к исследованию некоторой характеристической задачи для системы со старшими частными производными ихх, vyy.
Задача 1. В области D найти регулярное решение системы (1), удовлетворяющее условиям
и{хо,у) = tpi (y), и(х,у0) = фl{x), (з)
V(Xo,y) = <р2 v{x,yo)= ^2(x). ()
При этом предполагается, что ф1, ф2 Е С 1(Х), ф1, гф2 Е С 1(Y) (X, Y — стороны характеристического прямоугольника D при х = х0, у = у0 соответственно) и выполняются условия согласования
V1(У0) = Фl(Xo), V2(У0) = Ф2(Х0). (4)
E.A. Sozontova, On solvability by quadratures conditions for second order hyperbolic systems.
© СозонтовА Е.А. 2016. Поступила 7 августа 2015 г.
Попытаемся найти такие функции а\, 0]_, 71, чтобы первое уравнение (1) имело вид
(-§-у + а1)(их + 0щ + 71^) = 0. (5)
Произведя указанные в (5) действия, убеждаемся, что совпадение (11) с (5) имеет место, если выполняются тождества
Ь1у + а1Ь1 — ¿1 = 0, С1у + ацс! — е1 = 0, и при этом
«1 = аь 01 = 61, 71 = С1. (7^
Аналогично получаем, что если имеют место тождества
Ь2х + Ь2С2 — е2 = 0, (
6)
то второе уравнение (1) представимо в виде
^ + а2)(Щ
(£ + «2)(% + р2и + 72^) = 0,
где
«2 = С2, 02 = «2, 72 = &2. (9)
Таким образом, задачу 1 можно редуцировать к следующим трем задачам
т1У + «1^1 = 0, Wl(х,уо) = ф1Х + Р1Ф1 + 71^2, (10)
™2х + «2^2 = 0, ^2 (Хо,у) = ^2у + ^2 <Р1 + Ъ'^2, (11)
{
их + 01и + 71^ = т1, уу + @2и + 72^ = ^2,
'12)
и(Хо,у) = <fl(У), У(Х,У0) = ф2(х). (13)
Задачи (10)-(13) следует решать последовательно, начиная с первой из них. Функции вычисляются непосредственным интегрированием, причем в случае задачи (10) х рассматривается как параметр, а в случае задачи (11) в качестве параметра выступает у. Таким образом, остается решить задачу Гурса (12)—(13), которая является однозначно разрешимой [4]. Для отыскания условий ее разрешимости в явном виде мы воспользуемся возможностью редукции системы (12) к двум уравнениям вида
©ху + авх + Ьву + с© = ¡, (14)
которые получаются путем исключения из рассматриваемой системы одной из искомых функций. При выполнении неравенства 71 = 0, эквивалентного в силу (7)
С1 = 0, (15)
приходим к (14) для © = и. При этом коэффициенты уравнения даются формулами
а = 72 — (1п 71)у, Ь = 01, с = 01У + ^172 — 0211 — А(1п 71)^, (16)
f = 'Ш1У + 72^1 — 71^2 — ^(1п >у1)у. ( )
При выполнении неравенства 02 = 0, равносильного вследствие (9)
«2 = 0, (17)
приходим к (14) для © = V с коэффициентами
а = 72, Ь = 01 — (1п 02)х, С = 12х + 0112 — 0211 — 72(1п 02)х, / = Ы2х — 02Ы1 + 0^2 — Ш2(1п 02)X.
Решение и(х,у) первого уравнения, выведенного при 71 = 0, позволяет вычислить функцию у(х,у) из первого уравнения в (12). Аналогично, при 02 = 0 по известному решению
18)
V второго уравнения функция и определяется из второго уравнения (12). Однако, для отыскания © = и или © = V к условиям (13) необходимо из (3) добавить еще значения
и(х,уо) = ■фl(x), ь(х0,у) = ^2(У) (19)
и условия согласования (4). Понятно, что первые (вторые) соотношения в (13) и (19) есть граничные условия задачи Гурса для первого (второго) уравнения вида (14). При этом для получения решения исходной задачи 1 достаточно построить решение хоть одной из указанных задач Гурса.
Известно [5, с. 172; 6, с. 14], что решения сформулированных задач Гурса записываются через соответствующие функции Римана, причем для последних имеются [6, с.15—16; 7, 8] различные случаи их построения в явном виде. В только что указанных источниках обеспечивающие эти случаи условия представлены в терминах следующих соотношений:
1) ах + аЬ — с = 0;
2) Ьу + аЬ — с = 0;
3) ах = Ьу, с — ах — аЪ = (х)^о(у) = 0;
4) Ьу — ах = ах + аЬ — с = = 0; (20)
5) ах — Ьу = Ьу + аЬ — с = £2(х)т(у) = 0;
6) тах — Ьу = тЬу — ах = (т — 1)(аЬ — с);
7) - = , [<х)+ ^ (У) = 0.
Здесь Щ € С1 (к = 0, 2), 8, I, т € С2, причем т зависит только от одной из переменных (х,у) и не принимает значение 2. В остальном указанные функции произвольны: то есть в соответствующем классе должны найтись функции, при которых перечисленные соотношения выполняются. Коэффициенты а, Ь, с имеют гладкость, обеспечивающую возможность выполнения записанных формул. Классы гладкости задаются на замкнутых множествах определения соответствующих функций. Каждого из тождеств 1)—2) и наборов 3)—5) достаточно для получения явного вида функций Римана. Формулами же 6)—7) следует пользоваться совместно: при выполнении набора 6) функцию Римана можно построить, когда левая часть хотя бы одного из соотношений 1), 2) имеет вид а, указанный в 7). Иными словами, имеется по семь вариантов условий разрешимости в квадратурах каждой из двух полученных задач Гурса. Для всех вариантов виды функций Римана можно найти в [6]—[8]. Понятно, что общее количество вариантов обсуждаемой разрешимости равно 14.
Используя формулы (7), (9), (16), (18), запишем 1)—7) через коэффициенты системы (1). Начнем с первой задачи Гурса, связанной с неравенством (15):
1) Ь2Х — Ь1У — (1псл)Ху + а,2С1 = 0;
2) а2 = 0;
3) Ь2Х — Ь1У — (1псл)Ху = 0, Ь1У — Ъ2Х + (1псл)ху — а,2С1 = Со(х)^о(у) = 0;
4) 2[(1псл)Ху — Ъ2Х + М = а2сл, (1псл)ху — Ъ2Х + Ь1У = ^1(х)щ(у) = 0; (21)
5) Ь2Х — Ь1У — (1псл)ху = а2С1 = £2(х)щ(у) = 0;
6) т[Ь2Х — (1псл)Ху] — Ь1У = тЬ1У — Ь2Х + (1псл)ху = (т — 1)(а2С1 — );
7) ^ = , ^(х) + Ь(^(^(У) = 0,к = 1 2.
В последней строке нужно считать а1, а2 равными левой части тождеств 1), 2) соответственно. Кроме того учтем, что для обеспечения возможности реализации соотношений (20) необходимо повысить гладкость коэффициентов системы (1) и функций <Рг, Фг (г = 1, 2). Пусть теперь щ,...,е1 € С ¡2'2), фг € С2 (г = 1, 2). Тогда справедлива
Теорема1. Пусть при выполнении тождеств (6), (8) и неравенства (15) или удовлетворяется одно из тождеств 1), 2) совокупности (21), или существуют такие функции
т, Ск, (к = 0, 2), , (к = 1, 2) указанных выше классов, что для совокупности (21) либо выполнена одна из трех групп соотношений 3) - 5), либо вместе с тождеством 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций а1, а2. Тогда задача 1 разрешима в квадратурах.
Аналогами формул (21) для второй задачи Гурса (отвечающей условию (17)) являются
1) сх = 0;
2) - Ъ2х + Ъ\у - (1п а2)ху + а2с\ = 0; 3) Ь2х - Ьху + (1па,2)ху = 0, -а,2С1 = £з(х)т(у) = 0; 4) Ъ\у - Ъ2Х - (1па,2)ху = а,2С\ = & (х)щ(у) = 0; (22)
5) 2[(1п а,2)ху + Ь2Х - Ьху] = а2СХ, (1п а2)ху + Ь2Х - = ^ь(х)^5(у) = 0;
6) тЪ2Х + (1па,2)Ху - Ь1у = т(Ь\у - (Ьа2)ху) - Ь2Х = (т - 1)(а2СЛ - Ь2Х);
7) ^ = , ^(Х) + (У)]8*(Ж(У) = 0,к = 3, 4
В последней строке а3, а4 равны соответственно левой части тождеств 1), 2) совокупности (22).
Таким образом, имеет место
Теорема 2. Пусть при выполнении тождеств (6), (8) и неравенства (17) или удовлетворяется хоть одно из тождеств 1), 2) совокупности (22), или существуют такие функции т, ^, (к = 3,5), ^, (к = 3,4) указанных выше классов, что для совокупности (22) либо выполнена одна из трех групп соотношений 3) - 5), либо вместе с тождеством 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций а3, а4. Тогда задача 1 разрешима в квадратурах.
2. Применим теперь описанный выше алгоритм для отыскания условий разрешимости в квадратурах следующей задачи
Задача 2. В области Б = {х0 < х < х1, у0 < у < у{\ найти регулярное решение системы
ихх + а\их + ЪгУх + с\и + = 0, (23)
Ууу + а2Щ + Ь2Уу + С2и + ¿2У = 0, () удовлетворяющее условиям
и(Хо,у) = ^l(y), и(х,уо) = фl(x), (24)
(их + Ь1ь)(хо,у) = <Р2(у), (ъу + а.2и)(х,Уо) = -ф^(х), ( )
где , Е С 1(Х), ф1, ф2 Е С 1(у). Гладкость коэффициентов системы (23) определяется включениями
а.1, Ь1 Е С(1>°\ а,2, Ь2 Е С(0>1\ С1, С2, &1, &2 Е С(0'0). (25)
Система (23) изучалась, например, в работах [9], [10]. В частности, в [9] получено решение задачи 2, записанное в терминах матрицы Римана. Целью нашего исследования является получение условий разрешимости задачи 2 в квадратурах.
Непосредственными вычислениями можно убедиться, что первое уравнение (23) пред-ставимо в виде
если выполняются тождества
и при этом Аналогично, если
(-§- )(их + рт + ци) = 0,
0>1х - С1 = 0, (26)
Ъъ: - ¿1 = 0, (26)
р1 = си, ъ = Ь1. (27)
а2у - С2 = 0, (28)
02у - а-2 = 0,
то второе уравнение (23) можно записать в виде
(дду, Ж + Р2и + Ъу) = 0,
где
02 = а>2, 12 = Ь2. (29)
Таким образом, задача 2 редуцируется к трем задачам вида
1^1х = 0, W1 (Хо,у) = ф2 + 01^1, (30)
т2у = 0, т2(х,уо) = Ф2 + 12Ф1, (31)
{
их + 01и + 11У = (32)
Ьу + 02П + 12Ь = т2, ( )
и(х0,у) = ^l(y), у(х,уо) = ф1(х). (33)
Задачи (30)-(33) следует решать последовательно, начиная с первой из них. Функции из (30), (31) вычисляются непосредственным интегрированием, причем в случае задачи (30) х рассматривается как параметр, а в случае задачи (31) в качестве параметра выступает у. Задача (32)-(33), как известно из п.1, редуцируется к двум задачам Гурса для уравнения (14). Причем, при выполнении неравенства
Ъ1 = 0 (34)
приходим к (14) для в = и с коэффициентами (16), а при
а2 = 0 (35)
приходим к (14) для в = V с коэффициентами (18). Условия разрешимости указанных задач Гурса определяются соотношениями (20). Используя формулы (16), (18), (27), (29), запишем эти соотношения в терминах коэффициентов системы (23). Для первой задачи Гурса, связанной с неравенством (34), имеем
1) Ь2х - а1у - (1п Ь1)ху + а2Ь1 = 0; 2) а2 = 0;
3) Ь2х - а1у - (1пЬ1)ху = 0, а1у - Ь2х + (1пЬ)ху - а2Ъ1 = £о(х)щ(у) = 0;
4) 2[(1п Ь)ху - Ь2х + а1у] = а2Ъ1, (1п Ь^ху - Ь2х + а1у = £1(^1 (у) = 0; (36)
5) Ь2х - а1у - (1пЬ1)ху = а2^ = &(х)щ(у) = 0;
6) т[Ъ2х - (1пЬ1)ху] - а1у = та,1у - Ь2х + (1пЬ)ху = (т - 1)(а2&1 - а1у);
/ /
7) ^ = , [^(х) + 4(у)К(х%(у) = 0, к = 1, 2.
В последней строке нужно считать а1, а2 равными соответственно левой части тождеств 1), 2) совокупности (36). Кроме того, необходимо повысить гладкость коэффициентов системы (23) и функций <рг, фг (г =1, 2). Пусть теперь аг,... Е С(2'2), фг Е С2 (г = 1, 2). Тогда справедлива
Теорема 3. Если наряду с выполнением тождеств (26), (28) и неравенства (34) или удовлетворяется одно из тождеств 1), 2) из (36), или существуют такие функции ш, , Щ (к = 0, 2), $к, 1к (к = 1, 2) указанных выше классов, что для совокупности (37) либо выполнена одна из трех групп соотношений 3) - 5), либо вместе с тождеством 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций а1, а2, тогда задача 2 разрешима в квадратурах.
Аналогами формул (36) для второй задачи Гурса (отвечающей условию (35)) являются:
1) Ь = 0; 2) а,1У - Ъ2Х - (1п а2)ху + а,2Ь = 0; 3) Ь2Х - а,1у + (1па,2)ху = 0, -а,2Ь = £з(х)щ(у) = 0; 4) а,1У - Ъ2Х - (Ьа2)ху = а^Ь = ^(хУПЛУ) = 0; (37)
5) 2[(1па2)ху + Ь2Х - а,1У] = а,2Ь1, (1па,2)ху + Ь2Х - а^ = ^ь(х)^5(у) = 0; 6) тЬ2Х + (1па2)ху - а1у = т(агу - (1п а,2)ху) - Ь2Х = (ш - 1)^1 - Ъ2Х);
7) ъ = , ^(х) + ^(У)]8*(Ж(У) = 0,к = 3,4
где а3, а4 равны соответственно левой части тождеств 1), 2) совокупности (37). Таким образом, имеет место
Теорема 4. Если наряду с выполнением тождеств (26), (28) и неравенства (35) или удовлетворяется одно из тождеств 1), 2) из (37), или существуют такие функции т, Ск, Щ (к = 3, 5), , (к = 3,4) указанных выше классов, что для совокупности (37) либо выполнена одна из трех групп соотношений! 3) - 5), либо вместе с тождеством 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций а3, а4, тогда задача 2 разрешима в квадратурах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. БицадзеА.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.
2. ЖиберА.В., Михайлова Ю. Г. Алгоритм построения общего решения п-компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа и краевые задачи // Уфимск. матем. журн. 2009. Т. 1. № 3. С. 28-45.
3. Воронова Ю. Г. О задаче Коши для линейных гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Уфимск. матем. журн. 2010. Т. 2. № 2. С. 20-26.
4. ЧекмаревТ. В. Решение гиперболической системы двух дифференциальных уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями // Изв. вузов. Математика. 1959. № 6. С. 220-228.
5. БицадзеА.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982.
6. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань, 2001.
7. Жегалов В. И. К случаям разрешимости гиперболических уравнений в терминах специальных функций // Неклассические уравнения математической физики Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. С. 73-79.
8. Жегалов В. И., СарвароваИ. М. К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах // Изв. вузов. Математика. 2013. № 3. С. 68-73.
9. Миронова Л. Б. О характеристических задачах для одной системы с двукратными старшими частными производными // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2006. Вып.43. С. 31-37.
10. Жегалов В. И., Миронова Л. Б. Об одной системе уравнений с двукратными старшими частными производными // Изв. вузов. Математика. 2007. № 3. С. 12-21.
Елена Александровна Созонтова,
Елабужский институт КФУ,
ул. Казанская, 89,
423600, г. Елабуга, Россия
E-mail: [email protected]
