Об условии стационарности в двухскоростной модели переменного роста Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

3(27) - 2010

Оценка бизнеса

ОБ УСЛОВИИ СТАЦИОНАРНОСТИ В ДВУХСКОРОСТНОЙ МОДЕЛИ ПЕРЕМЕННОГО РОСТА

а. г. перевозчиков,

доктор физико-математических наук, академик РАЕН, профессор кафедры финансов и менеджмента

E-mail: pere50@mail. ru Тверской институт экологии и права

а. и. лесик,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики и системного анализа

E-mail: lesik56@mail. ru Тверской государственный университет

Рассматривается задача прогнозирования изменения чистого операционного дохода (ЧОД) ц( от аренды недвижимости в зависимости от предполагаемого изменения ее стоимости Х(на прогнозный период п в методе дисконтирования доходов (ййМ) в рамках доходного подхода для определения рыночной стоимости недвижимости.

Ключевые слова: прогноз, доход, недвижимость, операционный, период, рост.

Рассмотрим задачу прогнозирования изменения чистого операционного дохода (ЧОД) qt от аренды недвижимости в зависимости от предполагаемого изменения ее стоимости Xt на прогнозный период n в методе дисконтирования доходов (DDM) в рамках доходного подхода для определения рыночной стоимости недвижимости [3, 2].

Предполагаемые темпы изменения jt стоимости на ближайшее время бывают известны поквартально, например из прогноза индекса роста стоимости СМР, имеющегося в известном издании КО-ИНВЕСТ на ближайшие три года, а соответствующий прогноз изменения арендных ставок и вытекающий из него прогноз изменения ЧОД если и известен из обзоров рынка, то весьма приблизительно и получается на основе экстраполяции ретроспективных данных.

В связи с этим в работе [5] была предложена детерминированная модель прогнозирования темпов vt изменения ЧОД qt и соответствующей ей в силу модели САРМ [2] переменной ставки дисконта it в зависимости от предполагаемых темпов изменения стоимости недвижимости Х. В работе [6] было предложено рекуррентное уравнение для ставки капитализации Kt, которое предполагает знание только i t , v t а в [4] — новое точное граничное условие для Kt . Наконец, в работе [1] было показано, что классическое граничное условие Гордона в рассматриваемой модели переменного роста является точным только при выполнении условия стационарности постпрогнозной последовательности темпов it , v на уровне in+1 , v г

В связи с этим в настоящей работе изучаются условия наступления стационарности в рассматриваемой модели переменного роста. Показано, что стационарность наступает с третьего периода, после наступления стационарности последовательности jt, темпов изменения базового индекса изменения стоимости СМР. Таким образом, для корректности использования классического условия Гордона необходимо заменить постпрогнозные темпы jt наjn —1, начиная с t = n; тогда действительно с t = n +1последовательности темпов it , vt станет

финансовая аналитика

проблемы и решения

Оценка бизнеса

3 (27) - 2010

стационарной на уровне in+1 , V г В данной работе рассматривается численный пример, иллюстрирующий это утверждение.

1. Детерминированный аналог модели постоянного роста стоимости

Предположим вначале, что текущая цена Х1 актива в виде недвижимости меняется от периода к периоду по правилу:

X = X—! (1+/; ), ; = 1, 2, ..., п, (1)

где {/ } —предполагаемая последовательность темпов ее изменения, которая в настоящей статье предполагается неслучайной (детерминированной). По отношению к соответствующей стохастической модели переменного роста, рассмотренной в [6], эти темпы представляют собой средние значения для соответствующих случайных темпов. Таким образом, в настоящей статье рассматривается детерминированный вариант модели переменного роста.

Аналогично (1) предположим, что чистый операционный доход qt от аренды недвижимости меняется от периода к периоду по правилу:

Чг = Чг_/ 1 + г = \,2,...,п, где —соответствующая последовательность темпов изменения ЧОД, которая также предполагается неслучайной (детерминированной).

Начальные значения Х0 — стоимости недвижимости и ЧОД q0предполагаются известными соответственно из затратного подхода и из ретроспективных данных. Требуется определить последовательность {V} если известна последовательность {/ }.

Обозначим: т= Х1 / qt . Эта величина представляет собой известный мультипликатор Р / Е = = цена / прибыль. Иногда удобнее выразить обратную к ней величину 1/ т1 в процентах.

Начальное значение мультипликатора т0 = =Х/ qo получается из начальных условий, а дальше используется рекуррентное уравнение:

(1 + 1 }

тм = т1 7 г+1 ,г = 0,1,...,п-1.

Обозначим для краткости: Дг = г - гу. Здесь ^ — безрисковая ставка дохода, г — среднерыночная рыночная доходность. В [5] было получено следующее выражение для неизвестного темпа +1:

Л+1 - гг -Дг - с

(Дг / (1 + Л+1)- 1)/т,

-1 =

Л+1 - я

(Дг/( 1 + л+,) - 1)/тт

-1.

(2)

финансовая аналитика

проблемы и решения

7х"

Соответствующая ставка дисконта определяется по формуле:

4+1

1 1 + +1

= гг + (---— +1) ■Дг + с.

т 1 + Л г+1

(3)

Здесь с — поправка на факторы, не учтенные в классической модели САРМ, Я = Гу + Дг + с — постоянная величина.

2. Достаточное условие стационарности в модели переменного роста

Предположим, что Лк = Л\,к = г, г +1,... Покажем, что

1

1

(4)

Откуда в силу (2) будет следовать: V г+3 = V г+2, т. е. стационарность последовательности темпов vt, начиная с третьего шага. В силу (3) отсюда будет вытекать стационарность последовательности it , начиная с третьего шага, что и требовалось доказать.

Доказательство (4).

1

1 1 + vt_

1 1 + V.

т+2 тг+1 1+л+2 т+1 1+Л

Таким образом, для доказательства (4) достаточно показать, что справедливо равенство:

1 + V + 2 = 1 + Л (5)

Доказательство (5), в свою очередь, вытекает из следующей цепочки равенств:

Л+2 - Я = Л - Я =

1 + 2 =(

Дг

1 + Л+2

-1

1

Г

т.

г+1

Дг

1+Л

-1

1 1 + vt

т

Л - Я

Дг

-1

1

Л - Я

1

1 + Л - = 1 + Л,

1 + Л ) т( (Дг / (1 + Л -1)-1 / тг 1 + Л что и требовалось доказать.

3. Пример прогноза по индексу роста стоимости СМР

Приведем числовой пример прогноза темпов изменения ЧОД от аренды недвижимости для следующих исходных данных в пересчете на квартал:

г= 7,8/4 = 1,95%; г = - 3,53%;

Дг = - 5,48%; с = 5/4 = 1,25%;

1/т0 = 1%; п = 11.

В качестве исходной последовательности темпов используем докризисный прогноз темпов

т+1 т+2

vt+1 =

7

3(27) - 2010

оценка бизнеса

изменения индекса роста стоимости СМР из издания КО-ИНВЕСТ № 60 за 2007 г. на 12 кварталов, начиная с июля 2007 г. [5], стабилизировав последовательность j t на уровне jn—1, начиная с t = n = 11. Тогда, действительно, с t = n+1 последовательности темпов it , vt станет стационарной на уровне in+l , vn+1, как мы сейчас убедимся.

Безрисковая ставка r= 7,8% взята по данным cbr. га по депозитам в рублях для юридических лиц со сроком свыше одного года до кризиса 2008 г. Средняя квартальная доходность индекса СМР r = — 3,53% подсчитана для наглядности по тем же прогнозным данным. Начальное значение мультипликатора ЧОД / цена выбрано на уровне , 1/rnQ = 1,46%, что соответствует мультипликатору арендная ставка / удельная стоимость 10 % и рентабельности (ЧОД / валовая выручка) 58,4 % с учетом пересчета на квартал. Все выбранные значения вспомогательных мультипликаторов соответствуют рыночному уровню (до кризиса).

В таблице приведен расчет соответствующих ставок капитализации K, полученных как решение фундаментального рекуррентного уравнения из [6]:

К =

1 + it

1 +

1 + К+

,t = n,n -1, ... , 1.

(6)

Точное граничное условие для уравнения (6) дает формула [4]:

1 + V,+,

Kn+1 = ■

(7)

m,„

При известных из формулы (2) темпах V, , = 1, 2, ..., п уравнение (8) можно решить последователь-

но для , = п, п—1, ... 1, отправляясь от граничного условия.

В условиях стационарности постпрогнозной последовательности в модели переменного роста точным является также классическое граничное условие Гордона [1]:

Kn+1 in+1 Vn+1. •

(8)

В пятой строке таблицы приведено решение фундаментального уравнения (6) с точным граничным условием (7). В шестой строке для сравнения приводится решение фундаментального рекуррентного уравнения (6) с классическим условием Гордона (8). Видно, что оба решения совпадают с точным, которое можно получить по формуле (7) при n = 0 . Это связано с тем, что в данном случае выполнено условие стационарности постпрогнозных значений темпов в модели переменного роста

на уровне in+1 , vn+1 .

В заключение отметим: в настоящей работе изучены условия наступления стационарности в двухскоростной модели переменного роста. Показано, что стационарность наступает с третьего периода, после наступления стационарности последовательности j ,, темпов изменения базового индекса изменения стоимости СМР. Эти соображения имеют самостоятельное методологическое значение для применения метода прямой капитализации в условиях прогнозирования темпов роста с использованием двухскоростной модели переменного роста и носят фундаментальный характер.

Расчет прогнозных значений темпов изменения ЧОД

Наименование 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Темп изменения стоимости j,, % 3,82 3,77 3,72 3,67 3,62 3,58 3,53 3,48 3,44 3,44 3,35 3,35 3,35

Мультипликатор ЧОД / цена 1/т,, % 1,00 1,00 1,05 1,10 1,14 1,19 1,24 1,28 1,33 1,33 1,42 1,42 1,42

Темп изменения ЧОД V,, % 3,7261 8,6465 8,4745 8,1224 7,8004 7,5898 7,3915 7,1248 3,4370 10,3172 3,3470 3,3470

Ставка дисконта i ,, % 4,8063 4,8070 4,8078 4,8085 4,8093 4,8100 4,8108 4,8115 4,8115 4,8129 4,8129 4,8129

Квартальная ставка капитализации К, полученная из фундаментального уравнения (6) с точным граничным условием (7), % 1,04 1,09 1,14 1,18 1,23 1,28 1,33 1,37 1,37 1,47

Квартальная ставка капитализации К, полученная из фундаментального уравнения (6) с граничным условием Гордона (8), % 0,0104 0,0109 0,0114 0,0118 0,0123 0,0128 0,0133 0,0137 0,0137 0,0147

финансовая аналитика

проблемы и решения

8

Оценка бизнеса

3 (27) - 2010

Список литературы

1. Лесик А. И., Перевозчиков А. Г. О применимости формулы Гордона в условиях финансового кризиса // Финансовая аналитика. 2009. № 12. С. 62—65.

2. Методология и руководство по проведению оценки бизнеса и/или активов ОАО РАО «ЕЭС России» и ДЗО ОАО РАО «ЕЭС России». Deloitte&Touche. Декабрь 2003 — март 2005.

3. Оценка бизнеса: учебник / под ред. А. Г. Гряз-новой, М. А. Федотовой. М.: Финансы и статистика, 2002.

4. Перевозчиков А. Г. К граничному условию для фундаментального рекуррентного уравнения для ставки капитализации // Финансовая аналитика. 2009. № 9. С. 64—67.

5. Перевозчиков А. Г. К рекуррентному уравнению для ставки капитализации чистого операционного дохода от аренды недвижимости. Финансовая аналитика. 2009. № 8. С. 34—37.

6. Перевозчиков А. Г. Стохастическая модель переменного роста для оценки стоимости неко-тируемых активов // Финансы и кредит. 2004. № 27. С. 22—26.

финансовая аналитика

проблемы и решения