CC BY
35
УДК 517.9
ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА С ОТНОСИТЕЛЬНО СЕКТОРИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ
О.А. Рузакова, Е.А. Олейник
В работе исследуется вопрос е-управляемости линейных дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной по времени L x (t) = Mx(t) + Bu(t), 0 < t < T. Предполагается, что ker L = {0}, а оператор M
сильно (Х,р)-секториален. Данные условия гарантируют существование аналитической в секторе разрешающей полугруппы однородного уравнения L x (t) = Mx(t). С помощью теории вырожденных полугрупп операторов с ядрами исходное уравнение редуцировано к системе двух уравнений: регулярного, т.е. разрешенного относительно производной (на образе разрешающей полугруппы однородного уравнения) и сингулярного (на ядре полугруппы) с нильпотентным оператором при производной. Используя результаты об е-управляемости регулярного и сингулярного уравнений, получен критерий е-управляемости исходного уравнения соболевского типа с относительно р-секториальным оператором в терминах операторов, входящих в уравнение. Абстрактные результаты использованы при исследовании е-управляемости конкретной начально-краевой задачи, которая является линеаризацией в нуле системы уравнений фазового поля, описывающих в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода.
Ключевые слова: относительно р-секториальные операторы, управляемость.
Введение
Пусть X, Y, U — банаховы пространства, операторы L £ L(X; Y) (т. е. линейный непрерывный), ker L = {0}, M £ Cl(X; Y) (т. е. линейный замкнутый, плотно определенный в X), B £ L(U; Y). Рассмотрим задачу Коши
x(0) = xo (1)
для уравнения
L x (t) = Mx(t) + Bu(t), 0 <t<T. (2)
Основной целью данной работы является исследование е-управляемости уравнения (2) при условии, что оператор M сильно (L, р)-секториален [1]. Данные условия гарантируют существование аналитической в секторе разрешающей полугруппы однородного уравнения L x (t) = Mx(t).
Уравнения вида (2), называемые уравнениями соболевского типа, все чаще привлекают внимание исследователей [2, 3]. При этом в приложениях часто вместо условия Коши (1) рассматривают обобщенное условие Шоуолтера-Сидорова
P (x(0) — x0) = 0, (3)
где P - проектор, являющийся единицей полугруппы операторов.
Если оператор L непрерывно обратим, то уравнение (2) сводится к уравнению
x (t) = Sx(t) + L-1Bu(t) (4)
на пространстве X. Обзор результатов об е-управляемости уравнения (4) см. [4].
Отметим, что управляемость уравнения (2) в случае, когда кегЬ = {0}, изучалась ранее В.Е. Федоровым и О.А. Рузаковой в предположении (Ь, ^-ограниченности оператора М и сильной (Ь,р)-радиальности оператора М в работах [5 - 7]. Используя данные результаты, мы формулируем критерий е-управляемости уравнения (2) для случая сильной (Ь, р)-секториальности оператора М, что позволяет исследовать вопрос об е-управляемости начально-краевой задачи для системы уравнений фазового поля.
1. Относительно р-секториальные операторы и сильные решения
Приведем необходимые для дальнейшего изложения вспомогательные результаты, доказательства которых можно найти в [1, 2].
Пусть X, ф - банаховы пространства. Через С(Х; ф) будем обозначать банахово пространство линейных непрерывных операторов, действующих из X в Если ф = X, то обозначение сократится до С^). Множество линейных замкнутых операторов с областями определения, плотными в пространстве X, действующих в ф, будем обозначать С¡(X; ф)• Множество операторов С¡(X; X) обозначим через С1^).
Всюду в дальнейшем предполагаем, что операторы Ь £ С(X; ф), М £ а^; ф). Обозначим рь(М) = {р £ С : (рЬ - М)-1 £ С(ф; X)}, Е^(М) = (рЬ - М)-1Ь, Ь^(М) =
ЦрЬ - М)-1, В1Л(М) = ГЕ=0 «к(М). Ь1,Р)(М) = Ш=0 (М). N0 = N и {°}, М+ =
{а £ М : а > 0}, М+ = М+ и {0}.
Определение 1. Оператор М называется сильно (Ь,р)-секториальным, р £ N0, если (1) существуют константы а £ М и 0 £ (2 ,п) такие, что сектор
бЬ,&(м) = {Ц Є С : I а^(ц - а)\ < ®,Ц = а} С рЬ(М);
(іі) существует константа К Є К+ такая, что
шах{,р)(М11Чм,Р)(М^ДШ)} ^ -Т~К
ь
Х^р)
П \Цк — а\
К
Р
\\ — а\ П \Цк — а\
к=0
о
(Гу) существует плотный в ф линеал ф такой, что
\Х — а\ П \Цк — а\
к=0
при любых X, ц0, Ці,..., ЦР Є Бь&(М).
Теорема 1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален. Тогда
(і) х = х0 ® Xі, % = %0 ® %1;
Є С(Хк; %к), Мк = М
хк
Є С 1(Хк; %к), ёстМк = ёстМ П Хк
ёотМк
(ii) Ьк = Ь к = 0,1;
(iii) существуют операторы М—1 Є £(%0; X0) и Ь-1 Є С 1(%1; Xі);
(іу) существует аналитическая в секторе полугруппа {X* Є С(Х) : Ь Є К+}, разрешающая уравнение Ь х (Ь) = Мх(Ь);
(у) инфинитезимальным генератором аналитической полугруппы {X* = X* ЄС(Х1):
_ Xі
Ь ЄК+} является оператор Бі = Ь-іМі єС 1(Х1);
(уі) оператор Н = М—іЬо Є С(Х°) нильпотентен степени не больше р.
Через Р (ф) обозначим проектор вдоль Х0 (%0) на Х1 (%1).
При заданной функции / : (0, Т) ^ % рассмотрим задачу Коши
х(0) = х0 (5)
и задачу Шоуолтера-Сидорова
Р (х(0) — х0) = 0 (6)
для уравнения
Ьх (Ь) = Мх(Ь) + /(Ь), 0 <Ь<Т. (7)
Определение 2. Сильным решением задачи (5), (7), ((6), (7)) назовем вектор-функцию
х Є ШІ(Х), если она удовлетворяет условию (5), ((6)) и почти всюду на интервале (0,Т) удовлетворяет уравнению (7).
Существование и единственность сильного решения задач доказаны в [8],[9].
Теорема 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, / Є W(p+l(Y)
Р
хо єРх = \ х Є (їстМ : (I — Р)х = — ^ НкМ—1(1 — ф)/(к)(0) ¡> .
к=0
Тогда существует единственное сильное решение задачи (5), (7), имеющее вид
} р
х(Ь)= Х*Х0 + Х*-*Ь-1ф/(8^8 — £ Нкм—1((1 — Я)/)(к\і). (8)
0 к=0
Теорема 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, у Є Wp+l(%), Х0 Є іт(цЬі — Мі)-іЬі. Тогда существует единственное сильное решение задачи (6), (7), имеющее вид
(8).
2. ^-управляемость
Будем следовать результатам, изложенным в [6]. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, р £ N0, а функции управления п(1) принадлежат V(Т) = Ш%+1(ф). Кроме того, необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие Х0 £ Рх теоремы 2 о разрешимости задачи Коши (в случае задачи Шоуолтера-Сидорова Х0 £ \т(рЬ1 — М^-1 Ь\). Мно-
жество функций управления из V(Т), удовлетворяющих этому условию, обозначим Vx0 (Т)• Рассмотрим сначала задачу Коши (1), (2).
В силу теоремы 1 задача (1), (2) редуцируется к системе двух задач:
Х1 (I) = Б1х1(1) + Ь-lQBu(t), х1(0) = Рх0 = х0 (9)
на пространстве Х1,
НхР(Ь) = х°(Ь) + М—1(1 — ф)Ви(Ь), х°(0) = (1 — Р )х0 = х°° (10)
на пространстве Х0. При этом первые два слагаемых в формуле (8) дают решение задачи
(9), а выражение
Р
— ^ НкМ—і(I — ф)Ви(к)(Ь) к=0
задает решение задачи (10) при выполнении условия согласования.
Говоря об управляемости системы, описываемой некоторым уравнением, будем через х(Т; Х0; и(Ь)) обозначать значение в момент времени Т решения задачи (1), (2) с начальным значением Х0 и функцией управления и(Ь).
Определение 3. Система (2) называется є-управляемой за время Т, если для любых точек Х0 Є ёстМ, X Є Х и для любого є > 0 существует управление и(Ь) Є УХ0 (Т) = 0 такое, что \\х(Т; Х0; и(Ь)) — х\\ < є.
Аналогично результатам [6] справедлива
Теорема 4. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален. Система (2) є-управляема за время Т (за свободное время) в том и только в том случае, когда
8рап{ітХ8Ь-^В, 0 < 8 < Т} = Х1 (8рап{ітХтЬ-^В, Т > 0} = Х1),
8рап{ітНкМ-і(І — Q)B, к = 0, р} = ёстМ0.
3. Начально-краевая задача для системы уравнений фазового поля
Рассмотрим начально-краевую задачу
в(х, 0) + р і (х, 0) = у0(х), х Є 9, (11)
дв
— (х,Ь) + Хв(х,Ь) = 0, (х,Ь) є д9 х (0,Т), (12)
(х,Ь) + Х^і(х,Ь)=0, (х,Ь) є д9 х (0,Т), і = 1,т, (13)
дп
для системы уравнений
дв дш
— (х,Ь) + д-(х,Ь) = Ав(х,Ь) + щ(х,Ь), (х,Ь) є 9 х (0,Т), (14)
т
Ау і (х,Ь) + ^ а у Шз (х,Ь) + в(х,Ь) + и і (х,Ь) = 0, (х,Ь) Є 9 х (0,Т), (15)
з=і
т
Аш1(х,Ь) + ^2 ауШз(х,Ь) + щ(х,Ь)=0, (х,Ь) Є 9 х (0,Т), і = 2,т, (16)
з=і
которая является линеаризацией в нуле системы уравнений фазового поля, описывающих в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода [10, 11]. Здесь 9 С К5 -ограниченная область с границей д9 класса С, Х,ау Є К, і,] = 1,т. Искомыми функциями являются в(х,Ь), Ші(х,Ь), і = 1,т.
Редуцируем задачу (11) - (16) к задаче (1), (2). Сначала сделаем замены в(х,і) +
уі(х,і) = у(х,І), Фі(х,Ї) = ті(х,і), і = 1,т. Тогда задача примет вид
у(х, 0) = у0(х), х Є 9,
ду
— (х, і) + Ху(х, і) = 0, (х, і) є д9 х (0, Т),
дт' _____
дп(х,і) + Хті(х,і)=0, (х,і) Є д9 х (0,Т), і = 1,т,
(17)
(18)
(19)
Уі(х,і) = Ау(х,і) — Аті(х,і) + и0(х,і), (х,і) є 9 х (0,Т), (20)
т
Аті(х, і) + (аіі — 1)ті(х, і) + ^ ауту(х, і) + у(х, і) + иі(х, і) = 0, (х, і) є 9 х (0, Т), (21)
з=2
Аті(х,і) + ^ауту(х,і) + щ(х,і)=0, (х,і) Є 9 х (0,Т), і = 2,
т.
(22)
з=і
Возьмем Х = % = и = (Ь2(9))т+і,
1 0 ... 0 \
0 0 ... 0
Ь= ,
0 0 ... 0 1
/ А А 0 0 \
1 аіі - 1 + А аі2 аіт
0 а2і а22 + А а2т
V 0 аті ат2 атт + А
М=
(їотМ = {(у, ті,.. .,тт) Є (Н2(9))т+і : {^ц + Х)у(х) = (дп + Х)ті(х) =0, х Є д9,і = 1, т}. Тем самым определены операторы Ь Є С(Х), М Є СІ(Х), причем кег Ь = {0} х (Ь2(9))т. Обозначим
0
Лк = 1 0 аіі — 1 + Хк а2і аі2 . . . а22 + Хк . . . аіт а2т
0 аті ат2 . . . атт + Хк
Аг = Аг, ёотА = Н2д ,.(9) дп +А = {г Є Н2(9) ш (х) + Хг(х) = 0, X Є д9}
0
\
обозначим ортонормированные в смысле скалярного произведения (-, ■) в Ь2(9) собственные функции оператора А, занумерованные по невозрастанию собственных значений {Хк : к Є М} с учетом их кратности. Кроме того, введем в рассмотрение оператор ^ : К емый матрицей
( 1 — аіі —аі2 ... — аіт \
— а2і —а22 . . . —а2т
т -— Кт, задава-
\ — аті —ат2
ат
/
Согласно результатам [12] справедлива Теорема 5. Пусть а(А) П а(Е) = 0. Тогда оператор М сильно (Ь, 0)-секториален. Теорема 6. Если а (А) П а(Е) = 0, то задача (17)-(22) є-управляема.
Доказательство. Действительно,
( g \Л12\(;ук)ук к=1
M—1 =
-\лк\
Е
к=1
\Лк\
g \Лк,т + 1К-»^к )Ык
\ к=1
(—1)т\Лк\
g
Е
\Лк.2 \{'’!£к )фк
к 1 \лк\
к=1
g \лк,з\<-,^кы
Е
к=1
\лк\
Е
к=1
\Лк.т + 1\{',^к )(Рк
(—1)m+1 \Лк \
g \Лт+1,2\(-’^к)Ук \
к=1 (—1)т\Лк \
g \лт+1,3
g \Л3+1,з\<;Ук)Ук (—1)т+1\лк\
к=1
Е
к=1
\Л3з + 1,т + 1\(-,(Рк )Ык
—\лк \
/
где Лк - матрица Лк с вычеркнутыми первой строкой и первым столбцом, Лк ^ - матрица Лк
с вычеркнутыми первой и г-й строками и первым и ]-м столбцом, г,] = 2,т + 1. Условие из теоремы 4
8рап{1шИкМд *(1 — Q)B, к = 0, р} = ёошМ0
имеет вид
span < im
g \Л(к,2 \<*Ык)Ык к=1
g \лк<ыы
— \Лк \
Е
к=1
g \лк,2\<*Ык)Ык к=1
g \Л§з<ЫкЫ
\лк\
\лк\
Е
к=1
\лк\
g \лк,т+1\<-,Ык)Ык V к=1 (—1)т\лк\
Е
(— 1)т + 1\Лк \
ЕЧ— к=1
Е
к=1
g ^ *т+1,3
(—1)т\Лк \
g \Л3+1,з\<~. Ык)Ык (—1)т+1\лк\
к=1
g \Л3+1,з+1\<• ЫкЫ
Е
к=1
— \Лк \
= (Н2(П)У
Оператор L—1 = I : L2(Q) ^ L2(Q), тогда условие
span{imXsL— 1QB, 0 < s < T} = X1
при в = 0 принимает вид ^В = Ь2(0,), следовательно, так же выполняется.
По теореме 4 получаем требуемое.
□
Авторы выражают искреннюю благодарность и признательность Георгию Анатольевичу Свиридюку за проявленный интерес к работе.
Литература
1. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47 - 74.
2. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003.
3. Demidenko, G.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest - Order Deriative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - N. Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.
4. Шолохович, Ф.А. Об управляемости линейных динамических систем / Ф.А. Шолохович // Изв. УрГУ. - 1998. - № 10, вып. 1. - С. 103 - 126.
5. Федоров, В.Е. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, № 8. - C. 1137 - 1139.
6. Федоров, В.Е. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Мат. заметки. - 2003. -T. 74, № 4. - С. 618 - 628.
7. Федоров, В.Е. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно p-радиальными операторами / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Изв. вузов. Математика.
- 2002. - № 7. - C. 54 - 57.
8. Свиридюк, Г.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, А.А. Ефремов // Диффе-ренц. уравнения. - 1995. - Т. 31, № 11. - С. 1912 - 1919.
9. Федоров, В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Мат. сб. - 2004. - Т. 195, № 8. -С. 131 - 160.
10. Плотников, П.И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, А.В. Клепачева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 3. -С. 651 - 669.
11. Плотников, П.И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П.И. Плотников, В.Н. Старовойтов // Дифференц. уравнения. - 1993. -Т. 29, № 3. - С. 461 - 471.
12. Федоров, В.Е. Ограниченные решения линеаризованной системы уравнений фазового поля / В.Е. Федоров, М.А. Сагадеева // Неклассические уравнения математической физики: тр. семинара, посвящ. 60-летию проф. В.Н.Врагова / отв. ред. А.И. Кожанов; Рос. Акад. наук, Сиб. отд-ние, ин-т математики им. С.Л. Соболева. - Новосибирск, 2005.
- С. 275 - 284.
Ольга Александровна Рузакова, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Уравнения математической физики>, Южно-Уральский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), [email protected].
Екатерина Андреевна Олейник, кафедра «Уравнения математической физики>, Южно-Уральский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), [email protected].
On the Controllability of Linear Sobolev Type Equations with Relatively Sectorial Operator
O.A. Ruzakova, South Ural State University (Chelyabinsk, Russian Federation),
E.A. Oleynik, South Ural State University (Chelyabinsk, Russian Federation)
e-controllability of linear first order differential equations not resolved with respect to the time derivative L x (t) = Mx(t) + Bu(t), 0 < t < T are studied. It is assumed that
ker L = {0} and the operator M is strongly (L,p)-sectorial. These conditions guarantee the existence of an analytic semigroup in the sector of the resolution of the homogeneous equation L x (t) = Mx(t). Using the theory of degenerate semigroups of operators with kernels the original equation is reduced to a system of two equations: regular, i.e. solved for the derivative (on the image of the semigroup of the homogeneous equation) and the singular (on the kernel of the semigroup) with a nilpotent operator at the derivative. Using the results of e-controllability of the regular and singular equations, necessary and sufficient conditions of e-controllability of the original equation of Sobolev type with respect to p-sectorial operator in terms of the operators are obtained. Abstract results are applied to the study of e-controllability of a particular boundary-value problem, which is the linearization at zero phase-field equations describing the theory in the framework of mesoscopic phase transition.
Keywords: relatively p-sectorial operators, controllability.
References
1. Sviridyuk, G.A. On the General Theory of Operator Semigroups. Russian Mathematical Surveys, 1994, vol. 49, no. 4, pp. 45 - 74.
2. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston; Köln; Tokyo, VSP, 2003.
3. Demidenko G.V., Uspenskii S.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest - Order Deriative. N. Y.; Basel; Hong Kong, Marcel Dekker, Inc., 2003.
4. Sholohovich F.A. On the Controllability of Linear Dynamical Systems [Ob upravlyaemosti lineynykh dinamicheskikh sistem]. Izvestie UrGU, 1998, no. 10, issue 1, pp. 103 - 126.
5. Fedorov V.E., Ruzakova O.A. One-dimensional Controllability of Sobolev Linear Equations in Hilbert Spaces. Differential Equations, 2002, vol. 38, no. 8, pp. 1216 - 1218.
6. Fedorov V.E., Ruzakova O.A. Controllability in Dimensions of One and Two of Sobolev-type Equations in Banach Spaces. Mathematical Notes, 2003, vol. 74, no. 4, pp. 583 - 592.
7. Fedorov V.E., Ruzakova O.A. Controllability of Linear Sobolev Type Equations with Relatively p-radial Operators. Russian Mathematics, 2002, no. 7, pp. 52 - 55.
8. Sviridyuk G.A., Efremov A.A. Optimal Control of Sobolev Type Linear Equations with Relativity p-sectorial Operators. Differential Equations, 1995, vol. 31, no. 11, pp. 1882 - 1890.
9. Fedorov V.E. Holomorphic Solution Semigroups for Sobolev Type Equations in Locally Convex Spaces. Sbornik: Mathematics, 2004, vol. 195, no. 8, pp. 1205 - 1234.
10. Plotnikov P.I., Klepacheva A.V. Phase-field Equations and Gradient Flows of Marginal Functions. Siberian Mathematical Journal, 2001, vol. 42, no. 3, pp. 551 - 567.
11. Plotnikov P.I., Starovoytov V.N. Stefan Problem with Surface Tension as the Limit of the Phase-field Model. Differential Equations, 1993, vol. 29, no. 3, pp. 395 - 404.
12. Fedorov V.E., Sagadeeva M.A. Bounded Solutions of the Linearized System of Phase Field [Ogranichennye resheniya linearizovannoy sistemy uravneniy fazovogo polya]. Neklassicheskie uravneniya matematicheskoy fiziki: tr. seminara, posvyashch. 60-letiyu prof. V.N. Vragova, Ros. Akad. nauk, Sib. otd-nie, in-t matematiki im. S.L. Soboleva. Novosibirsk, 2005, pp. 275 - 284.
Поступила в редакцию 15 ноября 2011 г.
