Об управляемости линейных сингулярно возмущенных систем с малым запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ

УДК 517.977

ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ С МАЛЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Канд. физ.-мат. наук, доц. КОПЕЙКИНА Т. Б., ГУСЕЙНОВА А. С.

Белорусский национальный технический университет

Математическими моделями многих процессов в динамике полета, автоматическом регулировании, химической кинетике, теории нелинейных колебаний, квантовой механике могут служить сингулярно возмущенные системы (СВС), т. е. системы дифференциальных уравнений, часть из которых содержит малый параметр при старшей производной. К настоящему времени достаточно хорошо изучена проблема управляемости сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений, СВС с постоянным запаздыванием [1]. В настоящей работе исследуется проблема относительной управляемости сингулярно возмущенных систем с малым запаздыванием. Получены достаточные условия рангового типа относительной управляемости по медленной переменной х, по быстрой переменной у, по совокупности переменных {х, у}, выраженные через условия относительной управляемости, соответствующие вырожденной системе и системе пограничного слоя.

1. Постановка задачи. Вывод уравнений вырожденной системы и системы пограничного слоя. Пусть поведение некоторого управляемого объекта описывается системой п + т линейных сингулярно возмущенных уравнений с малым запаздыванием (СВСМЗ):

Xt = ахі + A2xt- Mh + + Cy(i + C2-Kt- Mh) + BUi; мУі = AXi + AXt-Mh + + Ci УІ + CaXt- Mh) + BUi,

(i)

где x(t) є Rn - медленная; y(t) є Rm - быстрая

переменные; u(t) e Rr; r < n + m; u(•) - вектор-функция управляющих воздействий из класса U кусочно-непрерывных вектор-функций, называемых далее допустимыми; h = const > 0; t e [0, T]; T - фиксированное число; ц - малый положительный параметр, 0 < ц << 1.

Система (1) является системой с существенно различными скоростями %t), }t), X('), л(')} = = z(-) - состояние системы в произвольный момент времени t; z(0) = Zt+0); 0e[-^,h, 0]. Предположим, что в (1) det С21 = 0 и det C22 = 0, но

det(C2i + C22) Ф 0. (2)

Для определения решения СВСМЗ (1) зададим начальные условия:

x(-) = {ф(0); 0 e [-мА0); X0) = х}

Дб(-) = {Ф(0); 0 e [-цН0); У0) = л};

Ut+V-H) = 0; £<-цН (3)

Определение 1. Система (1), (3) при заданном ц называется относительно управляемой на отрезке [0,T ] по медленной переменной х (по быстрой переменной у), если для любого c1 e Rn (c2 e Rm) и любых начальных условий (3) существует допустимое управление u(-) e U такое, что соответствующая им компонен-

та х(-;Х0О);у,(-);ц) (у(-;Х0(^);у,(-);ц)) решения {х(-; х0(^);у,(-);ц), у(-;X0G);уД-); ц)} удотлетю-ряет условию Х7х0;Л>0; ц) = С (у(Т; х0(0;

(л(-); ц) = С2).

Определение 2. Система (1), (3) при заданном ц называется относительно управляемой

по совокупности переменных {х, у}, если для любых: с1 е Яп; с2 е Ят и начальных условий (3) найдется допустимое управление и() е и такое, что соответствующее им решение

{х(-; хо (•);Уо (•); ц), у(-; хо(-);у,(0;ц)} удотлетвд-

ряет условию х(Т;х<(^);у<(^);ц) = Cl, (у(Т; х^О;

лО; ц = с.

Цель работы - вывести эффективные условия относительной управляемости СВСМЗ (1), (3) по х, у, по совокупности переменных {х, у}, выраженные непосредственно через параметры свойственных (1) вырожденной системе и системе пограничного слоя.

Для решения задачи управляемости СВСМЗ (1), (3) воспользуемся методом, предложенным в [2]. Будем искать формальное решение системы (1), (3) в виде асимптотического разложения г (—, ц) = {х(—, ц), у(—, ц)} в ряд по малому параметру ц:

г(—, Ц) = ^ (—, ц) + гг (т, ц), т= —, (4)

Ц

где г, (—, ц), г у (т, ц) - ряды;

(—,ц) = ^(—) + ц^(—) + ц2^(—) +..., — <Т ; (5)

?/ (т, Ц) = ^ г (т) + Ц^ г (т) + Ц2 г2 / (т) +т<

Т ц ’

(6)

относительно — и растянутого времени т. Естественно управление и(—) искать в виде:

и(—) = us(—) + и/(т), — е [0,Т]; те [0,Т/ц],

где и,,(—) - управление только медленными; иу (т) - только быстрыми переменными.

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях ц из (5) при ц0, имеем:

Х(?) = ( А1 + А2)х(Е) +

+ (Сі + 02)у8(і) + В8); 0 = (А + ^2)х!(£) +

+ (С21 + С22)у8^) +

(7)

что совпадает с вырожденной системой, получаемой из (1) при ц = 0 .

В силу предположения (2) из второго уравнения системы (7) следует

у, (—) = -(С21 + С22 ) ((^21 + ^22 )хх (—) + В2и, (—)) .

(8)

Подставив (8) в первое уравнение системы

(7), получим систему относительно медленной переменой х, (—)

где

Хз ()= Л X ()+ В0и* (),

В0 = В1 -(С11 + С12 )(С21 + С22 ) В2;

(9)

А0 = (А11 + Л2) (С11 + С12)(С21 + С22) (А21 + А22) .

(10)

В силу (4), (5), (3) начальные условия для медленной переменной х,, (—) имеют вид:

хх0=Ш; ее[-цЛ°); х} (11)

а для у, (—) в силу (8), (11) следует

А

: (о) (С21 + С22) ЧА21 + А22) Х0 . (12)

Начальные условия для ху (—) и у у (—) определим из (4), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ц:

х0, (0)+х0 г (0)=х0; у0, (0)+у0 / (0)=у0; (13)

х0^(0)+х0 /(0)=ф(0); >0.*(0)+>о /(0)=ф(0);

0 є [- цй,0).

Из (6) при ц получаем уравнения

(14)

йх/ (т)

йт

= 0;

+ А2Х£г - Й)+ + С21Уііт) + С^2У/(т - Й) + Ви (т)

(15)

Поскольку из (13), (11) следует х0, = 0, из первого уравнения (15) х0у (т) = 0, и, следовательно, имеем систему пограничного слоя в виде

аУ^ = С21 уг (т) + C22 уг (т-А) + 52м(х) , т = ґ,

ат ц

(16)

начальные условия для которой в силу условий (13), (14) и (12) примут вид:

Л)/0 = {Ф(0) + (£-21 + С22) 1(^2і + 4ї2)Ф(0);

0 є [- Д°); у До) = у + (с21 + С,2)-1(а + А,2)х)}.

(17)

Таким образом, вырожденная система (9) и система погранслоя (16) являются системами дифференциальных уравнений относительно первых коэффициентов z0s (ґ), г0у (т) асимптотического разложения решения z(t, ц) = = {х(ґ ц), У, ц)} в ряд (4) по малому параметру ц.

2. Решение задачи относительной управляемости. Введем невырожденную замену переменных:

х(ґ)! Г Е и\ 1Г?(ґ)!

(18)

п X

1 ( ґ 1 ' Еп ^ "

_ у(ґ)_ 1 % 1 1 1 1 ( ґ 1

где §(?), п(^) - новые вектор-функции; х т-матрица Б и т х «-матрица Я подлежат определению.

Преобразование (18) является невырожденным для любых Я, Б, так как определитель блочной матрицы равен единице [3]. Используя формулу Фробениуса [3] для определения ^), умножим уравнение относительно П(*) на ц и продифференцируем полученную систему по t:

(19)

|4(ґ) = (Е-ц^Х) -цУ0;

[ ціП (ґ) = ц^Х(ґ) + цу(ґ).

В силу (1) из (19) имеем:

40 = А - СцЯ- а + ^^21^+ ФМ)+

+ (А2 - С12^- А2 + SC22R + С(ц));(ґ- цЛ) +

+ (с - SC1 + Оц))п0+(с_2 - с + о(ц))х

х п(ґ- ц^)+ (В - SB2 + О(ц)М0;

ц'Л0) = (с21 + °ц))гІ0)+ (с22 + °ц))гІ(ґ- ц^+

+ (В2 + 0х'ЬіиІ)+ (А1 - С21^ + °Ш +

+ (^2:2 - С22& + 0(ц))4(ґ - цА). (21)

Здесь О(ц) - вектор-функция /(ц), для которой существуют постоянные ц*, с (ц* > 0, с > 0) такие, что норма /(ц) удовлетворяет

неравенству / < сц для любого це(о, ц*] [4]. Неизвестные матрицы Б, Я преобразования (18) в системе (20), (21) выберем из условия равенства нулю (п х т) -матричных коэффициентов

(Сп - БС21 + О(ц)); (С12 - БС22 + О(ц)) при n(t -

- АцИ), / = 0,1 в уравнении (20) и (т х п) -матричных коэффициентов (А21 - С21Я + 0(ц)) , (А22 - С22Я + О(ц)) при ^(^ -/цй), / = 0,1 в уравнении (21). Тогда в результате попарного сложения соответствующих матричных коэффициентов и в силу предположения (2) следует:

б = (с„ + С12 ХС2! + С22 )-1 + О(ц); (22)

Я = (С21 + С22 ) 1 (А21 + А22 ) + 0(ц) . (23)

Подставив (22), (23) в (20), (21) и введя обозначения:

А = А1 - ^11(^21 + + А2)--С + С2ХС1 + ^УЧ + + (С + С2ХС1 + СУСС + С22)-1(А,1 + А);

А = А2 С2(С21 + С22) (А1 + А2)

-С + С12ХС21 + С22)-1 А2 +

+ (С1 + С12Х^1 + С^С + С-2)-1(А,1 + А

(24)

получим систему с разделенными переменными и с малым запаздыванием (СРПМЗ):

40=(А + Оц))40+ (А + Оц))4(ґ- ц/»)+

+ (В + Оц))Ц); цт0=(с21 + °ц))г10+(с22 + °ц))п(ґ- цА)+ +(В + °ц))и).

(25)

Отметим, что невырожденное преобразование (18) сохраняет все качественные свойства (управляемость, наблюдаемость и так далее) системы (1). Поэтому далее вместо (1) будем исследовать управляемость СРПМЗ (25). По-

ложив в первом уравнении (25) ц = 0, найдем вид вырожденной системы для СРПМЗ

(ґ ) = 4о4(ґ)+ вои(ґ),

(26)

что, очевидно, совпадает с системой (9).

Известно [5], что система (26) полностью управляема на отрезке [0,Т ] тогда и только тогда, когда

гапВо,АВ,...,А-Во}= п. (27)

Найдем связь между условиями управляемости системы (26) и невозмущенной системой

4 (ґ) = 44(ґ)+А4(ґ - цЛ)+В)Ы() (28)

первого уравнения (25).

Теорема 1 [6]. Для того чтобы система (28) была относительно управляема на отрезке [о,т ], необходимо и достаточно, чтобы

гапк{Хк($) к= 1, 2, ..., п 5є [0,аА} = п

а =

Т - 0 цh

(29)

В (29) Хк (5) е Мпхг - матричные решения определяющего уравнения [5] системы (28):

Хк+1(5) = А Хк (5 ) + А2 Хк (5-цй) + Б0ик (5 ),

к = 1,2,3,..., (30)

с начальными условиями:

Х0 = 0ЛГ Уз; Х) = 0Ж; и$ = 0- Уз< 0;

А= 0,1,2,...; ]= 1,2,3,...; (31)

и>(0) = Ег; и>(5) = 0Г при 5 Ф 0 .

Заметим, что сложение А1 и А2 из (24)

дает А0 вида (10), т. е. А0 = А1 + А2. Нетрудно видеть, что условие (27) эквивалентно

гапк{Х, к= 1,2,..., л} = п, (32)

где Хк е Мпхг - матричные решения определяющего уравнения системы (26):

Хк+1 = А0Хк + Б0^к , к = 1,2,3,..., (33)

с начальными условиями:

Хк = 0^; к< 0; и, = Е; и = 0Г; кФ 0.

Лемма 1. Для любого I > 0 (I е 2) справедливо тождество

(А + а2)Ч - х,+1. (34)

Доказательство проведем методом математической индукции по I. При I = 0 в силу (33) следует Х1 = А0Х0 + Б0и0 = Б0, а также

(А1 + А2)0 Б0 = Б0, следовательно, (34) выполняется при I = 0. Предположим, что (34) верно при I = к , т. е. (А1 + А2)кБ0 = Хк+1. Докажем его для I = к +1. Имеем

(А + А)к+В = (А + А)(А + А)кВ0 =

= (А + А)Хк+1 = АХ+1 = Вик+1 = Хк+ 2.

Лемма доказана.

Лемма 2. Для любого к = 1, п справедливо тождество

к-1

XХк (іцИ) - Хк .

(35)

Доказательство проведем методом математической индукции по к. При к = 1 в силу (30), (31) Х1(0) = Б0, с другой стороны, в силу леммы 1 Б0 = Х1, следовательно, (35) выполняется

при к = 1. Предположим, что (35) верно при

1 -1

к = I, т. е. XХ1 (/цй) - Х1. Докажем тождество

/=0

для к = I +1. С учетом свойств решений определяющих уравнений (30) и леммы 1 имеем

X Х+1(уцА) =

А=0

+ х+1(0) + хм(цН)+... + хм(1цЬ) = АХ(0) +

+ АХ(-цЯ) + ви(0) +

+ Ах/цЯ) + АХ(0) + ви(цЯ)+... + + АЩ1-?цЯ + АХ(1- 1)цЯ - цЯ) + + в0и/((1-1)цЯ) + АХк1ця + Ах((1- 1)цЯ) + + Ц>и(1цЯ) = (А + А)Х1(0)+(А + А)Х(мЯ) + .. +

і-1

+ (А + А)Х((і- 1)цА) = (А + А)Х ХіА) =

і=0

= (А + А)(А + А)к-1В = (А + А)В = X-

что и требовалось доказать.

і=0

Теорема 2. Если система (26) полностью

управляема, то система (28) относительно

управляема на отрезке [0,Т ].

Доказательство. Предположим противное:

пусть система (26) управляема, но условие (29)

не выполнено. Это означает, что гапк{Хк(5),

— Т - 0

к = 1, п 5 є [0, аА]} < п а =---. Следователь-

цh

но, существует вектор g є Яп ; g Ф 0, такой, что для каждого фиксированного к = 1, п

g Хк(5) = ^ 5 є[0, аh], и в силу леммы 2 спра-

к-1

ведливо 0 = Х g'Хк (iцh) = g'Хк , что противо-

і=0

речит полной управляемости системы (26). Теорема доказана.

Теорема 3 [1]. Если система (28) относительно управляема на отрезке [0,Т], то существует ц* > 0 такое, что Уцє(о, ц*] система (28) также относительно управляема по 4(ґ).

Из сказанного выше следует вывод.

Теорема 4. Система (1), (3) относительно управляема на отрезке [0,Т ] по х тогда и только тогда, когда выполняется условие (32).

Сделав замену т = ґ/ц из второго уравнения системы (25), получим систему погранслоя с постоянным запаздыванием h

+

1ї(т) = (с>1 + °ц))і(т:) + (с22 + °ц))г|(т - Л)+ (В + °цМт).

(36)

Из [6] следует, что необходимым и достаточным условием относительной управляемости невозмущенной системы

п(т)= С21П(т)+ С22П(т-Я)+ В2«(т) (37)

является условие:

гапк{Ук$ъ к= 1,2, ...,п, 5е[0, аЯ]} = ш

Т - 0

а=

h

(38)

В (38) Ук (5) є Мтхг - матричные решения определяющего уравнения системы (37)

¥к+, (5) = С21Гк (5) + С22Гк (5 - И) + В2ик (5), к = 1,2, 3,...,

с начальными условиями:

4) = От; У$ 4) = 0т,; и(5= 0,; У*< 0; і= 0,1,2,...; (= 1,2,3, ...; ио(о)= Бп ио (5) = 0 г при 5 Ф 0 .

Теорема 5 [1]. Если система (37) относительно управляема на [0, Т/ц], то существует ц* > 0 такое, что Уцє(о, ц*] система (36) также относительно управляема на 0, Т/ц.

Поскольку система (37) с точностью до обозначений совпадает с (17), справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Система (1), (3) относительно управляема на отрезке [0,Т ] по у тогда и только тогда, когда выполняется условие (38).

Объединение теорем 4 и 6 позволяет сформулировать следующий результат.

Теорема 7. Система (1), (3) относительно управляема на отрезке [0,Т ] по совокупности переменных {х,у} тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия (38) и (32).

В Ы В О Д

Полученные в статье эффективные достаточные условия относительной управляемости позволяют сводить исследование линейных СВС с малым запаздыванием к анализу достаточно простых решений алгебраических определяющих уравнений.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Копейкина, Т. Б. Об управляемости линейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием / Т. Б. Копейкина // Дифференциальные уравнения. - 1989. - Т. 25, № 9. - С. 1508-1518.

2. Васильева, А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. - М.: Наука, 1973. - 272 с.

3. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантма-хер. - М.: Наука, 1967. - 576 с.

4. Ли, Э. Б. Основы теории оптимального управления / Э. Б. Ли, Л. Маркус. - М.: Мир, 1972. - 352 с.

5. Калман, Р. Е. Об общей теории систем управления / Р. Е. Калман // Труды І конгресса ИФАК. - М.: Изд-во АН СССР. - 1961.

6. Габасов, Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. - М.: Наука, 1971. - 508 с.

Поступила 7.07.2005