CC BY
163. Коляда В.И. О соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1988. 181. 117-136.
4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965.
5. Potapov M.K., Simonov B.V. On interrelation of the generalized Besov-Nikol'skii and Veyl-Nikol'skii classes of functions // Anal. math. 1996. 22. 299-316.
6. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.
7. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Об одном неравенстве П. Л. Ульянова // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 5. 33-36.
8. Simonov B., Tikhonov S. Weak inequalities for moduli of smoothness and K-functionals and embedding theorems. CRM Preprints, 2008. N 841.
Поступила в редакцию 21.11.2008
УДК 517.977.1+517.925.5
ОБ УПРАВЛЕНИИ РЕШЕНИЯМИ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
И. Н. Сергеев1
Положительно решены проблемы глобальной достижимости и глобальной приводимости управляемой системы, эквивалентной линейному уравнению. Кроме того, доказано существование линейного уравнения, имеющего на данном отрезке заданную матрицу Коши, а слева и справа от него совпадающего с заданными уравнениями. Полученные результаты позволяют конструировать линейное уравнение с фундаментальной системой решений, обладающей наперед заданными свойствами.
Ключевые слова: линейное дифференциальное уравнение, фундаментальная система решений, управляемая система, глобальная достижимость, глобальная приводимость.
Both global attainability and global reducibility problems for a control system equivalent to a linear differential equation are positively solved. Furthermore, the existence of a linear equation having a given Cauchy matrix on a given segment and coinciding with given equations on the left and right of that segment is proved. The results obtained allow one to construct a linear equation with the fundamental solutions system possessing preassigned properties.
Key words: linear differential equation, fundamental solutions system, control system, global attainability, global reducibility.
Для фиксированных n G N, к G No = N U {0, oo} и промежутка I С К рассмотрим множество 8(1) линейных однородных дифференциальных уравнений
y(n = ai(t)y + a2{t)y + ■■■ + an(t)y(n-1\ t e I, (1)
каждое из которых отождествляется со своей строкой a = (ai,...,an) ограниченных коэффициентов ai,...,an e Ck(I). Наделим множество E(I) структурой линейного нормированного пространства с равномерной на промежутке I нормой || ■ || и обозначим
Ea(I) = {a eE(I)| a < a},
а кроме того, для нормированного пространства G квадратных матриц порядка n с положительными определителями обозначим
Ga = {H e Gl max{||H ||, IIH-1||} < a}, Br (Ho) = {H eGl ЦИ - Ho|| < r}
(нормы в пространствах строк, столбцов и матриц определим как максимум модулей их элементов).
1 Сергеев Игорь Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
В работе прежде всего доказывается основная
Теорема 1. Для любых а,Т > 0 существуют такие в, г > 0, что для каждой пары уравнений а,Ь € Еа(1), отрезка
1о = [¿с; и] = [1о; ¿с + Т] С I (2)
и каждой матрицы Н €Яа найдется уравнение с € Ев(I) с матрицей Коши 2, удовлетворяющее условиям
с(г) = [а(г) г ^гс г€ 1; (3)
\ь(г), г ^ ¿1, г € I,
2 (г1,гс) = н, (4)
а если, кроме того, фиксирована матрица Нс € Яа, то указанное уравнение можно выбрать еще и для каждой матрицы Н € Вг(Нс) бесконечно дифференцируемым по ней (как по параметру).
Требование положительности определителя матрицы Н в формулировке приведенной теоремы является необходимым (см. равенство (4) для оператора Коши 2).
Теорема 1 тесно связана с методом поворотов В. М. Миллионщикова, позволившим его изобретателю совершать малые возмущения матрицы Коши линейной системы путем равномерно малых возмущений ее коэффициентов. Впоследствии этот метод был приспособлен [1] и к линейным уравнениям. Дальнейшее его развитие в отношении гладкости коэффициентов возмущенного уравнения как по времени, так и по возмущению матрицы Коши представляет следующая
Теорема 2. Для любых а,Т,е > 0 существует такое 5 > 0, что для каждого уравнения а € Еа(1) с матрицей Коши У, отрезка (2) и каждой матрицы Н € В§(Е) найдется бесконечно дифференцируемое по ней уравнение с € Е(I) с матрицей Коши 2, удовлетворяющее условиям
Ус - а\\ ^ е, 2(г1,гс) = ну(¿1 ,гс) и с(г) = а(г), г € I\ ^.
Обозначим через 5(а) множество всех решений уравнения а €Е. Из теоремы 1 выводится Теорема 3. Для каждой пары уравнений а,Ь € Е(I), отрезка (2) и пары фундаментальных систем решений Х1, ...,хп € 5(а), у1,...,уп € 5(Ь) с образованной ими парой фундаментальных матриц X(гс),У(г{) € Я найдется уравнение с € Е(I) с фундаментальной системой решений г1,...,гп € 5(с), удовлетворяющей условиям
гг(г) =
Хг(г), г ^ гс, г € I; уг(г), г ^ гь г € I,
г = 1,
,п,
(5)
а если, кроме того, фиксирована пара матриц Нс,Н1 € Я, то существует такое 5 > 0, что указанное уравнение можно выбрать еще и для каждой пары матриц X(¿с) € В§(Нс), У(г1) € В§(Н\) бесконечно дифференцируемым по ним (как по параметрам).
Этот результат сформулирован (правда, не в полном объеме) в докладе [2]. Условие положительности определителей матриц X(гс),У(г1) в нем, безусловно, можно заменить условием совпадения их знаков, от чего результат формально даже усилится, хотя и будет сводиться к исходному одновременной сменой знака (при необходимости), скажем, у решений Х1,у1,г1.
Возможное применение теоремы 3 с доказательством лишь в одном частном случае описано в работе [3, лемма 14], где построено семейство уравнений с заданными свойствами фундаментальных систем решений.
Для описания следующих двух результатов, вытекающих из теоремы 1 и анонсированных в докладе [4], рассмотрим стационарную управляемую систему с ограниченным и бесконечно гладким на прямой или полупрямой (при к = ж и I = М или I = М+) управлением и = (щ,... ,ип) € Е(I), эквивалентную линейному однородному уравнению (1) при а = и, т.е. имеющую вид
г = (Л + Би(г))г, г € Мп
г е I,
(6)
где
Л=
/01... 0\
00... 1 \0 0... 0/
Б =
0
0 1
Определение 1 [5]. Назовем управляемую систему (6) (равномерно дифференциально) глобально достижимой в классе гладких управлений, если для любых a,T > 0 существует такое @ > 0, что для каждого отрезка (2) и каждой матрицы H eGa матрица Коши Z системы (6) с некоторым управлением u e Ев(I) удовлетворяет равенству (4).
Теорема 4. Управляемая система (6) глобально достижима в классе гладких управлений. Обозначим через M(I) пространство линейных однородных дифференциальных систем
v = D(t)v, v e Rn, t e I,
каждая из которых отождествляется со своей ограниченной и кусочно-непрерывной матричной функцией D (норма в пространстве матричных функций также равномерна на I). В частности, система (6) отождествляется с функцией
Cu = A + Bu, u e E(I). (7)
Определение 2 [5]. Назовем управляемую систему (6) глобально ляпуновски приводимой в классе гладких управлений, если каждая система D e M(I) ляпуновски приводима к системе Cu e M(I) с некоторым управлением u e E(I) (т.е. существует ляпуновское преобразование координат
v = L(t)z, t e I, где max{||L||, ЦЬ-11|} < то,
переводящее систему D eM(I) в систему Cu = LDL-1 + Lb-1).
Теорема 5. Управляемая система (6) глобально ляпуновски приводима в классе гладких управлений. Перечисленными в теоремах 4 и 5 свойствами обладают помимо управляемой системы (6) все (ляпу-новски приводимые к ней [6, лемма 1]) вполне управляемые стационарные системы. Теперь перейдем к доказательству всех сформулированных выше теорем. Доказательство теоремы 1. Пусть заданы числа a,T > 0.
1. Возьмем уравнение d e E(R) с постоянными коэффициентами и с матрицей Коши V, удовлетворяющей условию
V(т,т + T) = E, т e R. (8)
Для выполнения этого условия достаточно, чтобы все решения уравнения d были T-периодическими, для чего в свою очередь достаточно, чтобы его характеристический многочлен в случаях n = 2m и n = 2m — 1 (m e N) имел соответственно следующие наборы корней:
2п 2n(m — 1) 2nm 2п 2n(m — 1) ±г-,...,±г--±г— и 0, ±г—,..., ±г—^-
Увеличив, если потребуется, заданное число а, считаем без ограничения общности, что d e Ea(R).
2. Пусть ЦМ||o — операторная норма матрицы М оператора, действующего на пространстве Rn с евклидовой нормой. Тогда для некоторых констант l,L> 0 выполнены оценки
ЦМ||o < L ЦМ||, ЦМ|| < l ЦМ||o, ||MN||o < ЦМ||o ЦМ||o, M,N e EndRn. (9)
Для заданного числа а и сразу для всех чисел Т1 и всех уравнений d e Еа (R) (в том числе и для взятого в п. 1) с матрицей Коши V укажем числа 2j > 0 и Г — 1 > 0, для которых в силу ограниченности числом L(1 + а) операторной нормы матрицы A + Bd системы (6) справедливы оценки
||V±1(т,Т1)Ц < l |V±1(T,T1 )||o < leWA+BdW°(T1 -T) < leL(1+a)T = Г — 1,
Затем выберем такое 5 > 0, что если для какого-либо т e Т — T; Т1] выполнено условие W e Bs(V(т, Т1)), то верны и оценки det W ^ 7, HWЦ ^ Г. Возможность такого выбора вытекает из того, что при достаточно малом 5 справедливы неравенства
HW — V(Т,Т1)Ц < 5 < 1, HWЦ < HV(Т,Т1)|| + 5 < Г — 1 + 5 < Г,
| det W — det V(т,п)| < n! 5 Гп-1 < 7, det W ^ 2j — 7 ^ 7.
Без ограничения общности считаем, что число Г — 1 ограничивает сверху также и норму производной последней строки матрицы V(т,т\) (или, что то же, n-й производной ее первой строки v(t,t\)), что в силу оценки
\v(n)(T,n)\ = a(t)v + a2(t)V(T,T1 ) + ... + an(t)v(n-1)(T,T1)\ < па(Г — 1)
достигается простым увеличением числа Г. Аналогично, если для строки w выполнено неравенство \w — (т,т\)\ ^ 5, то выполнено и неравенство \w\ ^ \v(n(т,т\)\ + 5 ^ Г — 1 + 5 ^ Г.
3. Обозначим
фУ =
( У \
\y(n-1)/
и фиксируем функцию в G Cœ(R), удовлетворяющую условиям
т ^ 0;
в(т ) =
1, т ^ 1,
(10)
возрастающую на отрезке [0; 1] и ограниченную по модулю вместе со своими первыми п производными некоторой константой Б > 0.
Для заданного отрезка [то; т\] = [т\ — Т; т\], уравнения с! € £«(К) и заданной матрицы Р € ВГ0(Е) можно выбрать решения п\,...,ип € 5(с!) с начальными условиями
фп^ (т{) = РфУз (Т1), 3 = 1,...,п,
где решения ы,...,ьп € 5(!) образуют первую строку матрицы Коши V(т,то). Тогда при достаточно малом значении Го > 0, каковым его теперь и будем считать, будут выполнены неравенства
I (m) / ч (m) / >| ^ 5
te[ro;ti] 2 D
j = 1,...,n, m = 0,1 ...,n,
причем число Го, зависящее от чисел а и 5, можно выбрать единым для всех уравнений с! € £«(К) и чисел т\, так как в силу оценок из п. 2 для соответствующих выбранным решениям фундаментальных матриц V и и имеем (см. оценки (9))
\\и(т) — V(т)|| < 11|V(т,п)(Р — Е^(п,т)\\о < I (ЬГ • Ьго • ЬГ),
\\и(т) — У(т)\\ < I \\(А + В!)(и(т) — V(т))\\о < 1Ь(1 + а)(ЬГ • Ьго • ЬГ), т € [то; п].
Возьмем набор функций
wj(т) = Vj(т) + (uj(т) — Vj(т)) в
Т -Т0\ _ ) Vj(t), т ^ го; Т ) [«¿(т), r^ri,
j = 1,...,п,
(11)
удовлетворяющих условиям w\,..., wn G Cfc+n(R) и
(w3 (т) — Vj (т))(m) = ((Uj (т) — Vj (t)) в(т — та)){m) cm (Uj (t) — Vj (t))(i
i=0
(m-i)(T _
(т — т0)
<
^ 2m
5
2nD
D ^ 5, j = 1,...,n, m = 0,1 ...,n, т G [то;t\}.
Матрица W, составленная из столбцов фwj, удовлетворяет условиям
V(т,то), т ^ то;
W (т ) =
V(t,ti) PV(ti,to), t ^ ti,
W (t ) GB& (V (t,ti)), t g [то; n},
а значит, согласно п. 2 настоящего доказательства, имеем
фо(т) = ёе1 W(т) ^ \щ(т)(т)| < Г, т = 0,1 ...,п, т € [то;п].
Следовательно, функции (11) образуют фундаментальную систему решений некоторого уравнения /р € ¿(К), которое находится известным способом (см., например, [7]) по матрице, составленной из самих этих функций и их производных до п-го порядка включительно: его коэффициент с номером т представляет собой дробь с определителем фт(т) некоего минора этой матрицы в числителе и с определителем фо(т) в знаменателе. Поэтому при некотором во ^ а выполнена оценка
\/р(т)\ < тах
т=1,...,п
фт(т )
фо(т )
Г
7
а если обозначить через 5т(т) и §о(т) аналогичные определители, составленные по решениям ы, ...,ьп € Б((I), то для любого наперед заданного е > 0, уменьшив, если потребуется, выбранное число 5 (а по нему и число Го), можно добиться выполнения неравенств
фт(т) 5 (т)
фо(т) 5о(т)
<
(фт(т) - 5т(т)) 5о(т) + 5т(т)(5о(т) - фо(т))
фо (т )5о (т)
<
2Г
2п— 1
п!5
< е,
^2
т = 1,...,п, т € [то;т{],
в результате чего будут выполнены условия
\\/р - 1\\ < е, /р(т) = 1(т), т € [то; т1].
По коэффициентам матрицы Р бесконечно дифференцируемы как решения у^ вместе с их первыми п производными по Ь (в силу дифференцируемости решений по начальным значениям), так и функции Wj, а значит, и задаваемое последними уравнение /р.
Наконец, учитывая равенство W(то) = V(то,то) = Е, заключаем, что W(т) = W(т,то) — матрица Коши уравнения /р. Используя специальное условие (8), получаем еще и равенство
W (т1,то) = Р.
4. Для заданных уравнений а,Ь € £а(/), числа Т > 0 и отрезков (2) и
/о = [«о; «1] = [«1 - Т; «1] = 1о - ¿1 + 81
(12)
(13)
с помощью функции (10) и уравнения I € £а уравнения /-, /+ со строками коэффициентов
из п. 1 настоящего доказательства можно определить
/- (т) = а(т) + (( - а(т)) в /+(т) = I + (Ь(т - «1 + ¿1) - I) в
т - ¿0
Т
т - в о
Т
I а(т), т ^ ¿о; [ё, т ^ Ь1,
I т ^ «о;
Ь(т - «1 + ¿1), т ^ «1,
откуда
/- € Ск(/), /+ € Ск(7) (7 = / - Ь1 + «1), \\/±\\ < тах{\\а\\, \\Ь\\, \\(\\} < а,
а значит, /- € £а(/) и /+ € ¿а(7)•
Поэтому матрицы Коши W± уравнений /± соответственно в силу ограниченности операторной нормы матриц А + В/± эквивалентных им систем (6) будут удовлетворять неравенствам (см. оценки (9))
(¿1; Ьо)\\о < ^А+В1--Ьо) < вь(1+а)т = Я, ^(«1; «о)\\о < Я.
(14)
5. Пусть для некоторого Л > 0 задана матрица Л € Я\. Возьмем ее полярное разложение Л = ПБ, где матрица П ортогональная и, значит, представляемая как композиция поворотов в р взаимно ортогональных плоскостях на углы ф± € [0; п], г = 1,...,р, а матрица Б симметрическая, положительно определенная, с собственными значениями (см. оценки (9))
Л, € [ИЛ
-1 -1 \ о ;
о] С [(Ь\\Л-1 \\)-1; Ь\\Л\\] С [(ЬЛ)-1; ЬЛ] , 3 = 1,...
,п.
п
Через иN обозначим ортогональную матрицу, представляемую как композиция поворотов в тех же плоскостях, что и и, но на углы ^N соответственно, а через Бм — симметрическую матрицу с теми же собственными векторами, что и 5, но с собственными значениями соответственно. Теперь если
положить
Лт = и^Бм и1ы-т, т = 1,...,М, то будут верны соотношения (см. оценки (9))
Лм ... Л2 Л\ = им БМ = иБ = Л, \\Лт — Е\\ < I \\ит-1\\о \\имБм — Е\\о \|и 1-т\\о < 1(\\Бм — Е\\о + \\им — Е\\о \\Бм\\о) < < I (( Ш - 1) + £ Ш) = глг(А), ЦЛ-1 - Е\\ < глгСЛ),
Лт {х)(Е), т = 1,...,Ы,
причем
гм(X) ^ 0 при N ^ю. (15)
6. Пусть для матриц Ш, Ро, а также Но €Яа и Н € Вг (Но) выполнены условия
\\Ж±1\о < ^ Ро = Ш-1НН-1Ш.
Тогда если
П ^ г <Г
аШВ2
то справедливы неравенства (см. оценки (9))
\\Ро — Е\\ < I \\Ш-1\\о \\Н — Но\\о \\Н0-1\\о \\Ш\\о < ¡КЬгЬаК < го,
из которых вытекает условие Ро € ВГ0 (Е).
7. Пусть при Т < То для отрезков (2) и
1о = [¿о; 81] = [1о; ¿о + То] (17)
задано преобразование времени
1 = (Т0-Т), (18)
в котором функция 9 = во, удовлетворяющая условиям (10), выбрана так, чтобы функция % возрастала: для этого ограничена сверху производная
< 1 + ^[0;1Ь
г0
обеспечившая выполнение дополнительного условия
» 1 ~ 11 + Щ^т)) =
Тогда
%Ш = 1о, х(т) = < ^ т ^
[т — 81 + ¿1, т ^ $1,
и если на промежутке 1 = %-1(1) построено уравнение f € Ер0 (1) относительно функции -ш(т) со строкой коэффициентов, подчиненной вне интервала (¿о; 81) условиям
/(т^+,. т<(Ю)
\Ь(т — 81 + г1), т ^ $1,
то в результате преобразования (18) получится новое уравнение с € Е(/) относительно функции ¿(¿) = w(x-1(t)) со строкой коэффициентов, подчиненной вне интервала (¿о; ¿1) условию (4), и с матрицей Коши 2, связанной с матрицей Коши W уравнения / равенством 2(¿1, ¿о) = W(«1, ¿о).
В силу равенств
и(т) = *(х(т)), у'(т) = г'(г)х'(т), п"(т) = г"(г)х'2(т) + г'^х"(т),...
уравнение с будет иметь коэффициенты, каждый из которых представляется в виде дроби: в ее числителе стоит вполне определенный многочлен от коэффициентов уравнения / (ограниченных по модулю числом во) и производных функции х порядка не выше фиксированного п (также ограниченных по модулю из-за ограниченности по модулю производных функции в), а в знаменателе — выражение х'п(т), отделенное от нуля числом 5о. Поэтому для некоторого числа в, зависящего только от чисел во, Т и То, будет выполнено условие с € ¿в(/).
8. Для заданных чисел а, Т > 0 проделаем следующее:
а) в соответствии с п. 3 выберем числа Го и во;
б) положим Л = а1ЬЯ2, где числа 1,Ь и Я заданы соотношениями (9) и (14);
в) пользуясь свойством (15), подберем такое N, что гм(Л) ^ Го (см. п. 5);
г) возьмем число г, удовлетворяющее неравенству (16);
д) зададим То = Т^ + 3);
е) согласно п. 7, по числам во, Т и То выберем число в.
9. Пусть теперь заданы уравнения а,Ь € Еа(/), отрезок (2) и матрицы Но €Яа, Н € Вг(Но). Тогда для построения уравнения с выполним следующие операции.
A. Введем еще отрезки (17), (13) и промежутки
/- = / п {¿\ г < г1}, /+ = (/ - ¿1 + «1) пЩ г ^ «о};
действуя в соответствии с п. 4 настоящего доказательства, найдем уравнения /- € Еа(/-), /+ € Еа(/+) с матрицами Коши W- = W-(¿1; ¿о), W+ = W+(«l; «о) и определим матрицу Л = W—1HоW—1 € Ял, где последнее условие вытекает из неравенств (см. оценки (9) и (14))
\\Л±1 \\ < I \^\\о \\Н±1\о \\W_f \\о < 1ЯЬаЯ = Л.
Б. На основании п. 5 представим последнюю матрицу в виде произведения Л = Лм ... Л2 Л1, каждый из N сомножителей которого принадлежит множеству Вгм(л)(Е) С ВГ0 (Е).
B. В соответствии с п. 3, беря последовательно при каждом т = 1, 2,... N отрезок [то; т"1 ] = /т = [¿1 + (т- 1)Т; ¿1 + тТ] и матрицу Р = Лт, определим уравнение /дт € ¿во(/т), матрица Коши W которого удовлетворяет условию (12).
Г. По отрезку /м+1 = [¿1 + N; ¿1 + N + 1] = [«о - Т; «о] и матрице Ро = Ж-1ННо-^+ € ВГо(Е) (см. п. 6) в соответствии с п. 3 определим уравнение /р0 € Ев0(/м+1), бесконечно дифференцируемое по Ро, а значит, и по Н.
Д. Уравнение, построенное, таким образом, на объединении .] = /- и /1 и /2 и ••• и /м+1 и /+ примыкающих друг к другу промежутков, обозначим через / € Ев0 (7) (в точках стыка г = ¿1 + тТ, т = 0,1,...,N + 1, этих промежутков функции / и I принимают равные значения, как и их производные вплоть до к-го порядка), при этом уравнение / удовлетворяет условиям (19), а для его матрицы Коши W справедливо равенство
W(«,о) = W+ РоЛм ...Л1 W- = W+ (Ж^НН-^) (W-1HоWГ1) W- = Н.
Е. Наконец, пользуясь рассуждением из п. 7 настоящего доказательства, сожмем отрезок (17) в отрезок (2), заменив уравнение / уравнением с € Ев(/), которое бесконечно дифференцируемо (как и /) по Н и удовлетворяет условию (3), а его матрица Коши 2 — условию (4), так как 2(¿1,¿о) = W(«1,¿о) = Н.
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2 фактически имело место в п. 2 и 3 доказательства теоремы 1, правда, в измененных обозначениях, а именно: го, !,Ш^,[то; т1],Р,/р ,W вместо 5, а,/, У, [¿о; ¿1],Н,с,2 соответственно.
Доказательство теоремы 3. Пусть заданы уравнения а,Ь € Е(/), отрезок (2) и фундаментальные системы решений ж1,...,жп € Б(а), у1,...,уп € Б(Ь), образующие фундаментальные матрицы Х,У €Я.
1. Согласно теореме 1, для любой матрицы Н = УХ-1 € 0а, где У = У(¿1), X = X(¿о), а = тах{\\Н\\, \\Н-1 \\}, найдется уравнение с € Е(I) с матрицей Коши 2, удовлетворяющее условиям (4), а значит, с фундаментальной матрицей
2 (¿) =
[X(¿), t < ¿о;
[У(¿)У-1(и)2(¿1,1о)Х(¿о) = У(I), * ^ ¿1,
или, что то же, с системой решений Х1,...,гп € 5(с), удовлетворяющей условиям (5).
2. Далее, пусть для некоторых матриц Но,Н1 в соответствии с теоремой 1 по числу
а = тах{\\Но\\, \Н-1\, ЦЩЦ, \Н-1\, ЦЩН-Ц, \ЩН-1\}
выбрано число г > 0. Тогда, рассуждая, как в п. 2 доказательства теоремы 1, можно выбрать такие числа Г > 0, что при достаточно малом 5 > 0 из условия X € В§ (Но) будут вытекать неравенства
Гп- 1
7, ЦХЦ^Г и ЦХ"1!! <-= Г',
7
а при добавлении условия У € В§(Н1) — еще и неравенство (см. оценки (9)) \\УX-1 — Н1Н-1\\ < I (\\У\\о X-1\\о \\Но — X\\о + \\У — Н\) \\Н-1\\о < I (Ь(а + 5) ЬГ' Ь5 + Ь5) Ьа < г.
Поэтому для таких матриц X, У заключительная часть формулировки теоремы 1 будет применима и к матрице Н = УX-1 € Вг(Н1Н-1), по которой уравнение с будет бесконечно дифференцируемым. Теорема 3 доказана.
Для доказательства теоремы 4 теперь достаточно для заданных а,Т > 0 взять за исходные, например, уравнения а = Ь = 0 €Ео(I) С £а(1) (здесь к = ю) и по теореме 1 найти число в > 0, а затем для каждого отрезка (2) и каждой матрицы Н € Яа найти такое уравнение с € Е(I), что его матрица Коши 2 — она же матрица Коши системы (6) при и = с — удовлетворяет равенству (4).
Доказательство теоремы 5. Возьмем уравнения а = Ь = 0 € Е(I) (к = ю) и представим весь промежуток I в виде объединения единичных отрезков
^ = [¿т-1; ¿т], т € К (К = Z, N при I = М, М+ соответственно), (20)
быть может, не включающего точку ¿о.
1. Для системы Б € МД) с матрицей Коши V определим число (см. оценки (9))
а = > I ^(1т,1т-1 )\\о ^ \У±1(1т,1т-1)\\,
по которому для каждого отрезка (20) в соответствии с теоремой 1 найдем уравнение ст € Ев(Iт) с матрицей Коши 2, удовлетворяющей условию 2(Ьт,1т-1) = V(¿т,1т-1). Этому же условию при каждом т € К будет удовлетворять и матрица Коши 2 построенного, таким образом, на объединении всех отрезков (20) (в точках стыка t = ¿т, т € К, этих отрезков функция с обнуляется, причем сразу со всеми своими производными) уравнения с € Ев(I), а с ним и системы Сс € МД) (см. обозначение (7)).
2. Преобразование координат с матрицей Ь(1) = 2(¿^о^(¿о^), t € I, переводящее систему Б в систему Сс, удовлетворяет неравенствам (см. оценки (9))
ЦЬ^т = \\(2 (1,1т)2 (1т,1о Ж (1о,1т Ж (tm,t))±1\\ < I \У±1(1т , ¿)\о \2±1 (¿, ¿т)Ь < авЬ(1+в),
где t € Im, т € а значит, является ляпуновским.
Теорема 5 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Диб К.А. Одновременная достижимость центральных показателей // Дифференц. уравнения. 1974. 10, № 12. 2125-2136.
2. Сергеев И.Н. Управление фундаментальной системой решений линейного уравнения // Там же. 2007. 43, № 11. 1577.
3. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Тр. Семинара им. И.Г.Петровского. 2006. Вып. 25. 249-294.
4. Сергеев И.Н. Глобальные свойства управляемой системы, эквивалентной линейному уравнению // Дифференц. уравнения. 2008. 44, № 6. 854.
5. Зайцев В.А. Глобальная достижимость и глобальная ляпуновская приводимость двумерных и трехмерных линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами // Вестн. Удмурт. ун-та. Матем. 2003. № 1. 31-62.
6. Габдрахимов А.Ф., Зайцев В.А. Ляпуновская приводимость четырехмерных линейных стационарных управляемых систем в классе кусочно-постоянных управлений // Там же. 2006. № 1. 25-40.
7. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.
Поступила в редакцию 03.09.2008
УДК 515.12
О ПРОСТРАНСТВАХ, СЛАБО БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПО МОДУЛЮ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ
В. В. Федорчук1
Для класса K конечных симплициальных комплексов и класса L компактных полиэдров определяются классы пространств K-wid и L-wid. Если K = L = {0,1}, то K-wid = wid, L-wid = S-wid. Доказывается, что S-wid С L-wid и L-wid = S-LT-wid для любой триангуляции т класса L.
Ключевые слова: слабо бесконечномерное пространство, симплициальный комплекс, полиэдр.
The classes of spaces K-wid and L-wid are introduced for the class K of finite simplicial complexes and the class L of compact polyhedra. If K = L = {0,1}, then K-wid = wid, L-wid = S-wid. It is proved that S-wid С L-wid and L-wid = S-LT-wid for any triangulation т of the class L.
Key words: weakly initite-dimensional space, simplicial complex, polyhedron.
1. Введение. Через 10 лет после того, как П. С. Александров [1] рассмотрел понятие слабой бесконечномерности, Ю. М. Смирнов предложил новое понятие.
Определение 1. Нормальное пространство X называется S-слабо бесконечномерным или слабо бесконечномерным в смысле Смирнова (обозначение X £ S-wid), если для любой последовательности (F{,K>), i £ N, дизъюнктных пар замкнутых в X множеств существуют такие перегородки Pi между и F£, что Р|*=1 Pi = 0 для некоторого n £ N.
В определении П. С. Александрова предполагалось, что Р|°=i Pi = 0. Для компактных пространств понятия слабой бесконечномерности в смысле Александрова и Смирнова совпадают.
Основы теории слабо бесконечномерных пространств были заложены в работах Б. Т. Левшенко [2] и Е. Г. Скляренко [3, 4]. Для нас особо важной представляется следующая теорема Б. Т. Левшенко.
Теорема 1 [2]. Нормальное пространство X S-слабо бесконечномерно тогда и только тогда, когда всякое его непрерывное отображение f : X — 1Ш в гильбертов куб несущественно. При этом Б. Т. Левшенко использует следующее
Определение 2. Отображение f : X — 1Ш = П{Ii : i £ N} называется несущественным, если для некоторого n несущественно отображение
fiA ... Afn : X - In = Ц{Ii : i < n},
где fi = Pi ◦ f, а pi : Iш — Ii — проектирование на сомножитель.
1 Федорчук Виталий Витальевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
