Об учете противодавления в задаче о взрыве с образованием пустоты в центре взрыва Текст научной статьи по специальности «Физика»

На рис. 2 приведены проекции на плоскость (ш,х) ветвей дисперсионного спектра и асимптотик корней для нескольких первых мод для случая v = 0.3, k = 0.53, в = 1- Асимптотики корней изображены серыми линиями. Численные решения представлены черными линиями. На рис. 3 приведены проекции на плоскость (ш, а) ветвей дисперсионного спектра и асимптотик корней для нескольких первых мод для того же случая.

Из графиков видно, что численные и асимптотические решения хорошо совпадают па интервале 0 ^ ш ^ 0.4. А с увеличением номера n наблюдается расширение интервала совпадения асимптотик с численным решением.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кожанова, Т. В., Коссович Л. Ю. Дисперсионные уравнения Релея — Лэмба", Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1990. 21 с.

2. Kapïunov J. D., Kossovich L. Ju., Nolde E. V. Dinamics of Thin Walled Elasfie Bodies Jan Diego : Academic Press, 1998. PP. 226.

3. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев : Наук, думка, 1981. 284 с.

4. Анофрикова Н. С., Сергеева Н. В. Гармонические волны в наследственно-упругом слое: случай симметричного по нормальной координате НДС //Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 119-122.

5. Работное Ю. И. Элементы наследственной механики твердых тел. Наука. 1977. 384 с.

6. Верезин В. Л., Харитонова К. Ю. Применение метода математического микроскопа при решении трансцендентных уравнений //Проблемы точной механики и управления : Сб. науч. тр./ Институт проблем точной механики и управления РАН. Саратов. 2004. С. 119-122.

УДК 532.5:533.6.011.5

И. А. Чернов

ОБ УЧЕТЕ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О ВЗРЫВЕ С ОБРАЗОВАНИЕМ ПУСТОТЫ В ЦЕНТРЕ ВЗРЫВА

Л. И Седов и независимо от него Тейлор [1] показали, что при сильном точечном взрыве в случаях показателя адиабаты 7 > 7 в центре взрыва (ЦВ) возникает пустота, граница которой движется от ЦВ. В статье приведены детали двух типов (с- и без каверны) таких течений в автомодельной постановке, дано обсуждение задачи об учете противодавления для течения с каверной и расчет поправки к автомодельному течению. Обширная библиография по задаче о точечном взрыве есть в [2].

1. Система уравнений, описывающих неустановившиеся одномерные сферически симметричные течения идеального совершенного газа, имеет вид

§ + рдг + 2^ = 0, § + 1 (дг + -тИ =0,

ат. I дт т ' ат ^ \ дт п дт I '

ЗЬ ' дт г ' ЗЬ 7 у дт р дт / - / \

=0 ( = д + и А ^

ЗЬ \р1-1) =0, ЗЬ = дт + идт,

где Ь — время, г — координата, и = и(г, Ь) — скорость частицы жидкости, а2 = а2(г, Ь) — квадрат скорости звука, р = р(г, Ь) — плотноеть, 7 — показатель адиабаты.

Если ударная волна (УВ) распространяется по области покоя ср = р1, с = с1? и1 = 0, то сразу за У В и меем и2, р2, р2 давление:

2 1 - Я 7 + 1 27 - (7 - 1 )д и2 = аи Р2 = -:—Ръ Р2 = --—тт-Ръ (2)

7 + 1 у/Я 7 - 1 + 2я (7 + 1)Я

где я = §2 = с — скорость УВ, г2 = г2(Ь) — закон движения У В.

В задаче о точечном взрыве при условии адиабатичности есть 5 определяющих параметров {7, г, Ь, р1 ,р1, Е0 - энергия заряда}. Так как размерности {р1,р1, Е0} независимы и их три, а не две, то это означает [1], что задача неавтомодельна.

Переход к безразмерным переменным осуществляется введением

{А, я} вместо {г, Ь} по формулам

{А = (3)

в качестве независимых переменных и

/ (А,Я) = -,д(А,д) = ^ (4)

и2 Р2

— в роли искомых безразмерных скорости, плотности и давления.

Траектория УВ определяется дифференциальным уравнением (здесь коэффициенты А1, А2, • • • определяют ее отклонение от обобщенной параболы г2 яз5 что реализуется в автомодельном случае (когда пренебре-Р1

1 ЗЯ

г2 • 1г2Я = 1 + А19 + •• • (5)

В [3, с. 44, ф-лы (1.44)] выписана система трех дифференциальных уравнений, эквивалентная системе (1) для {/, д, в зависимости от

{А, Я }•

Решение задачи о точечном взрыве представляют в виде асимптотических рядов (см. [3]) по степеням д:

{/, 0, Н} (Л, д) = {/о, Но} (Л) + д {/1, 01, М + 0(д2). (6) Функции

{/о,0о,Но}

это автомодельное решение Седова-Тейлора [1]. Удивительно то, что это решение записывается в явной аналитической форме. В фазовых переменных

/о (Л) Но (Л)

V =

г =

Л ' Л20о(Л)

оно сводится к алгебраической кривой третьего порядка (0а = 7):

(7)

¿(V ) =

V2(—да + 2У - 1) —1 — да + 2даУ

(8)

-JPG.pdf

Рис. 1

На рис. 1 показана кривые (8) для 7 = 5,3, Ц, 10, 20. Начало координат (0,0) изображает область покоя, по которой движется УВ. Скачок из точки (0,0) в (1,1), — это разрыв па УВ. Течение позади У В может развиваться двояко: 1) если 7 < 7 (на рис.1 это две кривые с 7 = |и3), то следует идти налево-вверх с вертикальной асимптотой вплоть до бесконечности по г, где интегральная кривая совпадает с сепаратриссой расположенной там особой точки типа седла. Такое поведение соответствует приходу в ЦВ с условием /о = 0 при Л = 0; 2) если 7 > 7 (па рис.1 это три кривые с 7 = у, 10, 20), то течение изображается кривой, идущей от (1,1) вправо и затем вниз до оси г = 0 и попадающей па сепаратриссу другого седла при г = 0. Это соответствует границе каверны с 0 < Ло < 1, где выполняется условие до(Ло) = Но(Ло) = 0. При

7 = 7 течение позади УВ вырождается (изображается точкой бифурка-(1, 1)

На рис. 2 показана величина относительного радиуса каверны А0 при различных 7 > 7. Максимум его реализуется при 7 близком к 15.4987.

На рис. 3 изображены скорость частиц /0; плотноеть д0 и давление ^о для автомодельного течения при 7 = 15, которое выбрано в качестве примера.

Рис. 2 Рис. 3

3. Построение поправки к автомодельному приближению {/1,д1,^1} (А) в целом соответствует методике, изложенной в [1-3], но осложняется наличием второй деформируемой в силу метода ПЛГ границы в краевой задаче для систем ОДУ — это граница каверны: Ак = А0 + д • А1 + 0(д2). Для нахождения ее формы в неавтомодельном случае используется ОДУ вида (5) с заменой г2 на гк; а (1 + А1 • д + ...) — на (Ао + А1 • д + • • •). Другая деталь — это вычисление коэффициента а (см. [1-3]), который отвечает за сохранность полной энергии движущегося объема жидкости и вводится по формуле Е0 = (а0 + д • а1 + • • •) • Е , при этом

а0 = Мп / (т^-г +1 д1/0+д0/0/^1А.

По автомодельному приближению находим А0 = 0.249384; а0 = = 0.269510.

На рис. 4 представлены функции {/1,д1,^1} первой поправки. Для определения двух коэффициентов {А1, А1} использовались краевые условия:

^1(А0) ^ - д1(А0) • (А0) = 0 А1 = - ^А!),

которые следуют из равенств: Н(Ак) = д(Ак) = 0, Ак = А0 + д • А1 + 0(д2) В результате получилось: Ах1 = 1.802244876422, А1 = -?.255763; а1 = -0.0449122

Mech/Chernov/ChernovlA-pi

c4-JPG.pdf

Рис. 4

Этих данных достаточно для вычисление траекторий УВ и каверны на плоскости ((Я2,Я^),т), а также оценки эволюции течения на малом интервале времени, когда начинает сказываться противодавление.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М, : Наука, 1965. 386 с.

2. Коробейников В. П. Задачи точечного взрыва. М, : Наука, 1985. 400 с.

3. Коробейников В. П., Мельникова Н. С., Рязанов Е. В. Теория точечного взрыва. М, : Физматгиз, 1961. 332 с.

УДК 517.984

Г. П. Шиндяпин, Р. И. Ливеровский

РЕЖИМЫ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕФРАКЦИИ УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СРЕДАХ

Исследованы процессы нелинейной рефракции ударных волн (УВ) на свободной поверхности, разделяющей газожидкостные среды (ГАЗ/ГАЗ; ГАЗ/ ГЖС; ГЖС/ГЖС), методами асимптотической теории коротких волн [1]. Для режимов с возникновением волны разрежения (RR, RRW) и режимов с возникновением отраженной ударной волны (RW) при падении ударной волны со стороны более плотной среды (режим fast-slow ) получены аналитические выражения для основных характеристик (q+ = (p3 — po)/(Pi — po), в пространстве параметров подобия. Результаты развивают [2, 3] и представляют практический интерес для многочисленных приложений [4].

1. При падении УВ (AR) (рис. 1, 2) относительно малой интенсивности P10 = (p1 — p0)/B0— , = р—c— 2 под углом а к вертикали па свободную поверхность AE, разделяющую различные газожидкостные среды y y —, возникают различные режимы рефракции: RR (рис. 1),