Об оценке времени безубыточного существования финансовых пирамид Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ФИНАНСОВЫЕ ПИРАМИДЫ

ОБ ОЦЕНКЕ ВРЕМЕНИ БЕЗУБЫТОЧНОГО СУЩЕСТВОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ ПИРАМИД1 (дополнительные исследования)

Г. Г. Димитриади, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института системного анализа РАН

Модель финансовой пирамиды : сценарный подход. Существуют различные понимания термина «финансовая пирамида», существенно отличающиеся друг от друга [1]. Кратко изложим основные идеи сценарного подхода к описанию финансовых пирамид в соответствии с [2, 3].

Под финансовой пирамидой будем понимать следующую финансовую схему. Организатор финансовой пирамиды (далее — Организатор) продает обязательства, по которым он обязуется выплатить определенную сумму в будущем, причем их исполнение происходит только за счет выручки от продаж новых обязательств. Организатор выполняет все свои обязательства вплоть до некоторого момента, называемого крахом финансовой пирамиды.

Обязательства Организатора без ограничения общности будем считать бескупонными облигациями, а сумму обязательств по каждой бумаге будем называть ее номиналом. Без ограничения общности примем номинал равным единице.

Считаем, что финансовая пирамида начинается в момент времени /= 0; V{t) — доход Организатора финансовой пирамиды; g(0 — объем распроданных в момент времени t облигаций Организатора по номиналу; 0 > 0 — фиксированный срок, через который наступает момент выполнения обязательств Организатора (т.е. срок, на который выпускаются его облигации), отсчитываемый от момента их продажи;се(0 € [0; 1 ] — цена, выраженная в долях от номинала, по которой происходят продажи облигаций в момент времени t.

1 Работа подготовлена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 03-06-80052.

Итак, предполагается, что ценные бумаги Организатора финансовой пирамиды суть, например, бескупонные облигации с одинаковым сроком погашения 0 относительно момента их продажи.

Организатор выполняет свои обязательства перед вкладчиками только за счет выручки от продажи ценных бумаг в рамках финансовой пирамиды, т.е. не привлекая средств со стороны. Значцт, можно записать, что О

Л ~\с^Ш)-ё{1-в),1>в, У(0) = 0,

Кроме того, в модели вводится функция спроса Ф(с) на облигации Организатора пирамиды: = боФ(с8(0)/(0 при Г> 0, где/(0 - априорный сценарий притока вкладчиков пирамиды в зависимости от времени.

В качестве развития модели был предложен ее вариант с учетом расходов на рекламную кампанию, позволяющую стимулировать продажи облигаций Организатора финансовой пирамиды. Считается, что рекламная кампания финансовой пирамиды приносит как дополнительные издержки Организатору, так и дополнительный приток инвесторов.

Для учета рекламной кампании вводится дополнительный параметр — управление:.^/) -доля вложений в рекламную кампанию (доля от текущей выручки от продажи ценных бумаг Организатора), $ (0 е [0,1] - Тогда верно, что:

л ~\с^)8(1)ё{1)-ё{1-в),1>е, г(0) = 0,

Здесь кроме функции спроса Ф(с8) вводится функция эффективности вложений в рекламу ё<*:

:£(/) = 0 при/>0.

Были обсуждены различные целевые установки Организатора финансовой пирамиды, конкретизирующие его поведение. Показано, что крайними взаимоисключающими вариантами целей являются следующие.

Цель 1. Целью Организатора является максимизация своей выручки К(7)в момент ^окончания (краха) финансовой пирамиды.

Цель 2. Целью Организатора является максимальное увеличение времени жизни (безубыточного существования) финансовой пирамиды, т.е. величины Т — момента окончания (краха) финансовой пирамиды.

Утверждения о времени безубыточного существования финансовой пирамиды. В ст. [2] рассмотрен вопрос о зависимости времени безубыточного существования финансовой пирамиды от цены продажи обязательств ее Организатора при дополнительном предположении о независимости объема продаж обязательств Организатора g(t) от их цены cg(t) в некотором диапазоне цен. Получено следующее утверждение.

Утверждение 1. Зависимость времени безубыточного существования финансовой пирамиды от цены продажи обязательств ее Организатора2.

Пусть объем продаж обязательств Организатора финансовой пирамиды g(t) не зависит от их цены c(t) в некотором диапазоне цен.

Тогда в этом диапазоне цен для Организатора, преследующего цель 1, верно: если финансовая пирамида с зависимостью от времени объема продаж обязательств Организатора^/) и ценой их продажи ср) существует до момента времени Т> 0, то до этого же момента Гсуществует и пирамида, отличающаяся от первой только ценой продажи обязательств Организатора, c°(t), где с°(() > cg(t)

Vfe[0,T].

Аналогичное утверждение верно для Организатора, преследующего цель 2.

Также в [2] приведены следствия из утверждения 1, в частности такое.

Следствие 1. Верхние и нижние оценки времени жизни финансовой пирамиды.

Пусть объем продаж обязательств Организатора финансовой пирамиды не зависит от их цены в некотором диапазоне цен.

2 Здесь и далее рассматривается модель финансовой пирамиды без рекламной кампании.

3 При этом распространение указанного предположения на все возможные цены не является экономически адекватным (см.Ш).

Тогда в этом диапазоне цен в качестве верхней и нижней оценок времени жизни финансовой пирамиды для Организатора, преследующего цель 1, с произвольной зависимостью цены продажи обязательств Организатора от времени с (/) можно взять времена Тх и Т2 жизни финансовой пирамиды при постоянных ценах с™* = эир с (0 и

СГ" = соответственно. Здесь Т — время,

превышающее Тх и Т2.

Аналогичное утверждение верно для Организатора, преследующего цель 2.

Во всех приведенных утверждениях используется понятие «диапазон цен».

Здесь укажем на возможные варианты его понимания — такие, что приведенные утверждения остаются верными. &

Интерпретации понятия «диапазон цен». В приведенных утверждениях под термином «диапазон цен» понимается некоторое множество вида

[с^],0<с; < с* <1 , в котором должны лежать

цены, для того чтобы утверждения были верны.

Такое ограничение вполне адекватно реальности: исходя из опыта (маркетинговых исследований), априорных предположений и т.п. можно считать, что спрос на обязательства Организатора не зависит от их цены при ценах из некоторого отрезка [сгг;сг]3. Отметим, что границы указанного отрезка предполагаются постоянными (не зависящими от времени).

Однако в каких-то случаях, в особенности, когда происходит сильное изменение предпочтений покупателей (т.е. изменение функции спроса со временем), такое ограничение может оказаться слишком жестким.

Когда говорим об изменении свойств функции спроса с течением времени, то в свете рассматриваемых утверждений для нас важна потенциальная изменчивость диапазона независимости функции от цены.

Конечно, можно попытаться абстрагироваться от такой изменчивости. Например, применять утверждение к наиболее узкому диапазону независимости, имеющему место для всех моментов времени одновременно. Но при этом, во-первых, этот диапазон может оказаться очень узким (так что практические результаты утверждений будут бессмысленными), а, во-вторых, во многих ситуациях он просто не будет существовать (например, для

этого достаточно даже однократного существенного изменения свойств функции спроса со временем). Поэтому попытаемся обобщить понятие «диапазон цен» для более широкого круга ситуаций.

«Диапазон цен» — это фактически границы области цен (точнее: одной из нескольких областей), где имеет место независимость функции спроса от цены.

Откажемся от предположения, сделанного в [2], о постоянстве этих границ, т.е. будем считать границы зависящими от времени:

[< (0] ,0<с^(/)<с|(/)<1 е[0;Г]. Здесь в

качестве Гможно рассматривать достаточно большое время, заведомо охватывающее период существования финансовой пирамиды (для удобства можно принять Т=+оо). В приведенных ниже формулировках утверждений значение Гконкретизи-руется.

Также будем считать, что в какие-то моменты времени возможно равенство с^ (/) = с1 (/).

Обобщение утверждений. Переформулируем приведенные выше утверждение и следствие с учетом нового понимания «диапазона цен».

Утверждение 1-1. Зависимость времени безубыточного существования финансовой пирамиды от цены продажи обязательств ее Организатора.

Пусть объем продаж обязательств Организатора финансовой пирамиды #(/) не зависит от их цены ср)

в некотором диапазоне цен сДОе[с],(0>сг(0] ,

Тогда для Организатора, преследующего цель 1, верно: если финансовая пирамида с зависимостью от времени объема продаж обязательств Организатора g(í) и ценой их продажи с (0 существует до момента времени Т> 0, то до этого же момента Т существует и пирамида, отличающаяся от первой только ценой продажи обязательств Организатора с°(0е[с^(*);с](*)] У/е[0,Г], где

с°(/)>с?(0 У<е[0,Г].

Аналогичное утверждение верно для Организатора, преследующего цель 2.

Доказательство проводится аналогично доказательству утверждения из статьи [2].

Следствие 1-1. Верхние и нижние оценки времени жизни финансовой пирамиды.

Пусть объем продаж обязательств Организатора финансовой пирамиды не зависит от их цены

в некотором диапазоне цен cg(t) е [с^ (t)',c2g (/)],

0<c;(/)<c^(i)<l Vie[0,71.

Тогда в качестве верхней и нижней оценок времени жизни финансовой пирамиды для Организатора, преследующего цель 1, с произвольной зависимостью цены продажи обязательств Организатора от времени cg(t) можно взять времена 7j и Тг жизни финансовой пирамиды (здесь Т — время, превышающее Т, и Т2)\

Г при постоянных ценах с™" = sup cg(t) и

isio.n

с™" = inf с At) соответственно — только в случае

g (€[0,Г) g

если с; (/) < с™" и с™ < c2g (t) Vi е [0;Г]. 2° при ценах с™" (/) = < (/) и Cf- (/) = с\ (/). 3° при произвольных ценах с™"1 (/) и с™х (i), удовлетворяющим условиям cg(<)<c"'n(i)<cg(<)

иС) (')*<£(') v/e[0;r].

Аналогичное утверждение верно для Организатора, преследующего цель 2.

Обобщенные утверждения описывают большое количество ситуаций.

* # #

В качестве основного подхода к описанию финансовых пирамид выбран сценарный подход. В его рамках продолжены исследования, начатые в ранее вышедшей статье [2].

Основной рассматриваемый вопрос - как оценить срок жизни финансовой пирамиды (т.е. время ее существования, безубыточного для ее Организатора), зная только часть информации, например историческую статистику и прогноз цен на обязательства Организатора. Такая оценка важна как для участников рынка (а стоит ли иметь дело с данным контрагентом? Какой лимит риска на него выставить?), так и для регулирующих органов (необходимость пресечения заведомо мошеннических действий).

Отметим, что поскольку как финансовая пирамида на каких-то промежутках времени может рассматриваться политика организации, например на каком-то этапе реализации долгосрочного инвестиционного проекта; создания «чистой» кредитной истории; улучшения ликвидности рынка своих обязательств и т.п., то такая постановка задачи вполне оправданна.

Здесь получены утверждения, помогающие ответить на этот вопрос. В случае если известны историческая статистика и прогноз (сценарий) цен на обязательства Организатора в будущем, они дают возможность произвести оценку времени жизни финансовой пирамиды при сравнении ее с пирамидами, имеющими известные свойства, в предположении о независимости продаж обязательств ее Организатора от их цены в некотором диапазоне цен.

Таким образом, по сравнению с работой [2] понятие «диапазон цен» расширено на случай зависящих от времени границ, соответственно предложен обобщенный вариант утверждений. Полученные результаты позволяют получать гибкие оценки времени безубыточного существования финансовой пирамиды во многих реальных случаях.

Литература

1. Г. Г. Димитриади. Что такое «финансовые пирамиды»: подходы и определения // Электронный журнал «Исследовано в России», 2004. С. 2619 — 2626, http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/ 245.pdf.

2. Г. Г. Димитриади. Об оценке времени безубыточного существования финансовых пирамид // Финансы и кредит. - 2005. - № 13 - С. 40 - 44.

3. Г. Г. Димитриади. Государственные и корпоративные долговые обязательства как финансовые пирамиды. Моделирование и прогнозирование. - М.: Изд-во МГУ, 2004.

КЯ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СОЮЗ ВЫСТАВОК И ЯРМАРОК

КРАСНОЯРСКАЯ ЯРМАРКА

ВЫСТАВОЧНАЯ КОМПАНИЯ

20-23

сентября

2005 гола

г. Красноярск, о. Отдыха ВК «Красноярская ярмарка» Тел./факс [3912) 36-24-25 [email protected] www.krasfair.ru

СИБИРСКИЙ ФОРУМ ЛЕДОВЫХ УСЛУГ

В РЕКЛАМНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ и ДИЗАЙН

выставка рекламной продукции, РИ-технологий, дизайнерских и рекламных услуг, бизнес-сувениров

В ОФИС-2005

выставка оргтехники, офисного и презентационного оборудования, офисной мебели

В БУХУЧЕТ, ФИНАНСЫ, УПРАВЛЕНИЕ

выставка программного обеспечения финансово-экономической деятельности предприятий; консалтинговые и аудиторские услуги

В БАНКОВСКОЕ ДЕЛО

банковские, инвестиционные, кредитные, страховые услуги; банковское оборудование

В ПОЛИГРАФИЯ. КНИГА

выставка книжной и полиграфической продукции; оборудование и материалы для полиграфической промышленности

Информаиионная поддержка:

ЯРМАРКИ stive&barton

рекламное агентство

реклама ^GjC(MCIjDnpCKP