CC BY
31
УДК 517.948
ОБ ОЦЕНКЕ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
А.И. Сидикова
Статья посвящена проблеме разработки метода проекционной регуляризации, исследованию вопросов повышения его эффективности с помощью получения точных по порядку оценок погрешности этого метода и приложению его для решения обратных граничных задач теплообмена. В настоящей работе решается одномерная задача о восстановлении условий теплообмена на одном из концов однородного стержня конечной длины по результатам измерений температуры с конечной ошибкой в точке, находящейся на некотором расстоянии от этого конца. Рассматриваемая обратная задача является некорректной. В работе дается аналитическое решение этой задачи в терминах преобразования Фурье, выписан регуляризующий оператор, указан способ выбора параметра регуляризации и доказана оптимальность по порядку, используемого регу-ляризующего алгоритма в пространстве Ь2. Установлено, что точность приближений имеет порядок 1п-1 6.
В настоящее время, при использовании вычислительных методов все больше внимания уделяется оценкам погрешности применяемых алгоритмов, их точности и оптимальности. Особую роль эти вопросы играют при численном расчете некорректных задач с использованием различных регуляризаторов. В работе разработана новая технология получения оценки погрешности при решении обратных граничных задач теплообмена. Результаты могут быть использованы как при реальных численных расчетах тепловых характеристик обратных задач теплообмена,так и при разработке новых регуляризующих алгоритмов подобных задач.
Ключевые слова: обратная задача, регуляризация, оценка погрешности, некорректная задача, преобразование Фурье.
Введение
При решении обратных и некорректно поставленных задач важное место занимает математическое моделирование, более адекватно отражающее суть изучаемого процесса или явления. Это приводит к необходимости использования более сложных моделей, учитывающих неоднородность изучаемого объекта, его взаимодействие с окружающей средой, нелинейность теплового процесса, а также многие другие моменты. Для численного решения некорректно поставленных обратных задач требуется разработка специальных методов, демонстрирующих высокую точность. Особое место, в связи с этим, занимает теория оценивания методов решения некорректно поставленных задач, а также получение точных и точных по порядку оценок погрешности приближенных решений [1].
1. Постановка обратной задачи
Для исследования обратной задачи для уравнения теплопроводности рассмотрим соответствующую ей прямую задачу Пусть тепловой процесс описывается уравнением
дп(хЛ) д2п(хЛ) . .
-ж1--х-1' 0 <х<1 (> 0' (1>
решение п(х, Ь) € О([0,1] х [0, го)) П О2,1((0,1) х (0, го)).
п(х, 0) = 0; 0 < х < 1, (2)
п(0, Ь) = Н(Ь); Ь > 0 (3)
+ кп(1,Ь) = 0; к> 0, Ь > 0, (4)
дх
Н(Ь) € О2[0, го), Н(0) = Н'(0) = 0, (5)
и существует число ¿о > 0 такое, что для любого Ь > Ьо
Н(Ь) = 0. (6)
Факт существования классического решения задачи (1) —(4) для функции п(х, Ь) доказан в работе [2].
—
функция Н(Ь) нам не известна и подлежит определению, а вместо нее в точке х1 € (0,1) измеряется температура / (Ь) стержня, соответствующая данному процессу
п(х1,Ь) = /(Ь); Ь > 0. (7)
Пусть множество Мг определено формулой
Мг = |Н(Ь): Н(Ь) € Ь2[0, го), ! \Н(Ь)\2(Ь + J \Н'(1)\2(1 < т2 >, (8)
где Н (Ь)— производная от функции Н(Ь) € W2:[0, го) Р| О 2[0, го), а т известное положительное число. Предположим, что при /(Ь) = /о(Ь), существует функция Но(Ь), удовлетворяющая условиям, сформулированным выше, и такая, что при Н(Ь) = Но(Ь) существует решение п(х,Ь) задачи (1) — (4), удовлетворяющее условиям (7), но функция /о(Ь) нам не известна, а вместо нее даны некоторая приближенная функция /(Ь) € Ь2[0, го) П Ь1[0, го) и число 6 > 0 такие, что
\/б — /о\\ь2 < 6 (9)
Требуется, используя /$,6 и Мг, определить приближенное решение Н^(Ь) задачи (1)-(3), (7) И оценить уклонение \\Н$ — Но||ь2 приближенного ре шения Н (Ь) от точно ГО Но(Ь).
2. Сведение задачи (1)—(3), (7) к задаче вычисления значений неограниченного оператора
Пусть Н = Ь2[0, го) + 1Ь2[0, го) над полем комплексных чисел, а Е — оператор , отображающий Ь2[0, го) в Ни определяемый формулой
Е[Н(Ь)] = —= / Н(1)е-гтЬ(И; т > 0. (10)
.! о
Из теоремы Планшереля [3] следует, что оператор Е, определяемый формулой (10), изометричетт.
Применяя преобразование Фурье Е к правой и левой части уравнения (1) и условиям (7), а также используя (2), получим
д п(х,т) = ^тп(х,т); х € (0,1), т > 0, (11)
дх2
где п(х,т) = Е[п(х,Ь)].
Из (4) и (7) следует
+ кп(1,т) = 0, т > 0 (12)
дх
п(х1,т) = /(т), т > 0, (13)
где /(т) = Е[/(Ь)].
Из леммы , доказанной в [2], следует, что решение и(х,т) задачи (11) - (13) непрерывно [0, 1] х [0, го).
п(х, т) = А(т)е^0Х^т + В(т)е-^0Х^т, (14)
где Цо = ~^(1 + ъ), а А(т) и В(т) произвольные функции. л/2
Из (12) - (14) следует, что
еИ цо^т + (^оУт) 1 к вИ Цо^Г А Цо(1 — х{)у/т + (^ол/т)-1к вИ Цо(1 — х{)у/т'
-/П ч е11 иол/ т + (Иоу I ) к иоу т ? / ч ,1Сч
п(0,т) = ттттт^—- — , л. 1^ .. П—;гт^/(т), (15)
т > 0.
Обозначим знаменатель правой части формулы (15) через ф(т)
ф(т) = еИ Ио(1 — хх)^Г + (ио\/т)-1к вИ Ио(1 — х\)^[т.
Лемма 1. Пусть к < ^. Тогда существует число с1 > 0 такое, что для любого т > 0
\Ф(т)\ > с1-
Доказательство. Так как
Ке[ф(т)] = — х1)\/2
^ вь(1 — х1)^2 +еИ(1 — х1)^\
+
+\1‘2уеь(1—х1 )\[2й1п(1—х1)^\ ^
(16)
1ш[ф(т)] =
вт(1 — х1)\/2
2^г еИ(1 — х1)^2 + вЪ(1 — х1)^2
-у ^~sh(1 — Xl^\f2 cos(1 — Xl^\f2 ^ ^
/т п ¡т 1
- < —, COs(1 — Xi)\ — > — и
2 3 у 2 2
\ ф(т ) \ >cos(i—xi )^2ch(i—^ > 2 • ^
П Т П Т 1
Если — < (1 — Xl)\ — < —, ТО sin(1 — Xl)\ — > - и из (16) следует, что
3 \ 2 2 V 2 2
\ф(т)\ >у ^ sin(1 — Xi)^2ch(1 — X1)^2 > (1 П"1^ А П• (19)
■л п [г 3п fr V2 , .
Если — < (1 — X1) \ — < , ТО sin(1 — Xl)\ — > —— и из (16) следует, что
2 у 2 4 у 2 2
\Ф(т)\ > ——кch2• (20)
3п IТ IТ
Если — < (1 — Xl)J— < п, то — cos(1 — Xl)J— > и из (17) следует, что
4 у 2 у 2 2
\Цт)\ > (1 —П} — кsh3-. (21)
Таким образом, из (18) - (21) следует существование числа С2 > 0 такого, что для любого
2П2 И
т € і0- (г—\\ф(т>\ >С2
Так как к < 2, а
\ Ф(т)\ > \ chßo(1 — Xl)VT\ — К\shßo(1 — Xl)VT\,
VT
то нетрудно проверить существование числа Сз > 0 такого, что для любого т >
2п2
(1 — х1)2
\Ф(т) \ >сз. (22)
Из (18) и (22) следует утверждение леммы. □
Так как функции еИ цо\/т + (ио^/т)-1к йИ цо\/т и еИ цо(1 — х1)\/т + (иол/т)-1к йИ цо(1 —
х\)\[т непрерывны на [0, го), то из леммы 1 следует непрерывность функции
________еИио\/т + (иоУт)-1к йИ иол/т_________
еИ ио(1 — х{)у/т + (иол/т)-1к йИ ио(1 — х{)у/т
па этой полупрямой.
Таким образом, для любого т > 0 найдется чи ело ст > 0 такое, что для л юбого т € [0,т]
еИ ио—т + (ио—т)-1к йИ иол/т <
chцо(1 — Xl)y/r + (^ол/т)-1к sh ¡Iq(1 — Xl)y/r
Обозначим й(0,т) через Ь(т) и преобразуем формулу (15)
„ сЬіо/т +-т=^ цо/т ^
к(т) = -^----------------------------/(т), т > 0. (24)
тТшсЬ 1°(1 — х )^т+йЬ 1 (1 - х^
Пусть в(т) определена формулой
йЬ в (т) =----. (25)
іо\т + ІК2
Из свойств функции АтвЬ, доказанных в [4] на стр. 84-86, следует разрешимость (25),
и что функция в(т) отображает комплексную плоскость С, из которой выброшены лучи
п п
1 < у < ГО И —Го < у < — 1 В полосу — 2 < V < 2.
Таким образом, из (25) следует существование функции в(т), удовлетворяющей соотношению (25).
Кроме того, (25) следует, что
в(т) ^ 0 при т ^ж, (26)
а из (24), что
Ь(т) =сЬ[іо/т + в(т)] • А_1 [іо(1 — хі)/т + в(т)}/(т). (27)
Далее, используя формулу (27), определим оператор Т, положив
Т /(т) =сЬ[іо/т + в(т)} • сЬ-1[іо(1 — хі)/т + в(т)}/(т). (28)
О(Т) = {/(т) : /(т) Є Н и Т/(т) Є Н}. (29)
Т
Т / (т ) = Ь(т). (30)
Пусть Ьо(т) = Т/о(т), /о(т) = Е[/о(г)}, а /(т) = Е[/(*)].
Из формулы (9) следует, что
У и — /о\\н < 5. (31)
Обозначим через Мг множество из Н такое, что Мг = Е[Мг}, и
Мг = |к(т): Ь(т) Є Н, J (1 + т2) | Ь(т) | 2йт < т2|. (32)
Из того, что Но(Ь) Є Мг будет следовать, что
Ьо(т) Є Мг. (33)
3. Решение задачи (30) -(33)
Лемма 2. Для любого е > 0 существует число те > 0 такое, что для любого т > те
| сЪ[^у/т + в(т)]|
1 -
еХ1М 2 <
4 + е)' | сЪ[^о(1 - хх)у/т + в(т)
Доказательство. Так как в(т) = в1(т) + гв2(т), то
< I 1+------— \РХ1У 2
4 + е
I сЪ[^оу/т + в(т)]| = \ сЪ2
1,+ Рг(т)
— в1П
1,+ в2(т)
(34)
(35)
| сЪ[/ло(1 - Х1)у/т + в(т)]| = ^вЪ2
Из (35) и (36) следует, что
| сЪ[^ол/т + в(т
(1 - Х1)\Ь;+ в\(т)
+ сов2
(1 - Х1)\12+ в2(т)
| сЪ[^о(1 - Х1)у/т + в(т)
<
сЪ >/2 + в1(т)
вЪ (1 - ~Х1 )^2 + в\(т)
• (36)
(37)
сЪ ■\Д + в1(т) еуД+в1(т ) 1 + е—^2т—2в1(т)
вЪ (1 - Х1)^2 + в1(т) е(1-х1) У2+в1(т) 1 - е—(1—Х1)^2т—2в1(т)
(38)
Так как из (26) следует, что в(т) ^ 0 при т ^ ж, то из (37) и (38) следует, что для любого
V > 0 н айдется т\ > 0 такое, что для л юбого т > т\
} < Ц.
8ир{е-\/2г-2в1(т) ,р-{1-Х1)л/2т-2в1(т)
Из (39) следует, что т\ = т,!^2 — •
Таким образом, из (37)—(39) следует, что для любого т > т\
| сЪ[^0у/т + в (т )]| < 1 + (I еХ1^Г
| сЪ[^о(1 - Хх)у/т + в(т)^ ~ 1 - V •
Аналогично, (37) можно показать, что
| сЪ[^оУт + в(т)]|
| сЪ[/Ло(1 - Х\)у/т + в(т)
>
вЪ ■\Д + в1(т)
сЪ (1 - -Х^А + в1(т)
(39)
(40)
(41)
вЪ ■\Д + в1(т) еу/12+в1(т)[1 - е—^2т—2в1(т)]
сЪ (1 - ~Х1)Лт + в1(т) е(1—Х1)у/12+в1(т )[1 + е—{1—Х1)^2Г—2в1(т)]
(42)
Из (39), (41) и (42) следует, что при т > т\
\ сЪ[^0л/т + р(т)]| 1 - ц X!—2
\ сЦцо(1 - х\)\[т + в(т)}\ ~ 1 + ц '
£
Нетрудно проверить, что если мы положим ц =--------------, то из (40) и (43) будет следовать
8 + 3е
утверждение леммы. □
Рассмотрим две комплекснозначные функции ф\(т) и ф/(т) € С [а, го) и \фг(т )\ ^ го при т ^го, % = 1, 2 и введем опера торы Т\ж Т/, действующие из комплексного пространства Ь2[а, го) в себя, и определяемые формулами
Тг/(т) = фг(т)/(т); % = 1,2. (44)
В дальнейшем операторы Тг будем предполагать инъективными, а через шг(5, т) обозначим соответствующие модули непрерывности операторов Тг на классе корректности Мг.
Шг = ыр[\\Тг/II : / € Т-1(Мг), \\/||<5}. (45)
Лемма 3. Пусть Тг операторы, определенные формулой (44) и для любого т € [а, го) \'ф1(т)\<\'ф2(т)\. Тогда ш1(5,т) < ш2(5,т).
Доказательство леммы сразу следует из определения модулей непрерывности шг(5,т) см. (45).
Теперь для исследования и решения задачи (ЗО)-(ЗЗ) разобьем ее па две. Первая из этих задач является корректной, а оператор второй удовлетворяет условиям (34).
Таким образом, первая из задач имеет вид
Т И 1(т) с%о^г + в (т)] $ 1(т, ц(_); П/ ,ЛСЛ
Т/ (т] = / (т) =п (т0 <т <т” ( е)
где те описано в лемме (2), / 1(т) = /(т) при 0 < т < те и Ь}(т) = Н(т) при 0 < т < т£.
Из леммы (1) И соотношений (24)-(26) следует, ЧТО при К < 2 функция
сЪ\цо^т + в(т)] г 1 , . 1
—— ---------- —=--- непрерывна на отрезке |0,те|, а из формулы (4о), что оператор Т
сЪ[цо(1 - Х1)у/т + в(т)] _
ограничен в пространстве Н1 = Ь/[0,те] + гЬ/[0,те], и существует число се > 0 такое, что
ЦТ 1Ц<Се. (47)
Т2
определяемого формулой
Т2Р(т) = , с1^° —т+в(т)1 ¡2(т) = 1Лт), (48)
сЪ[цо(1 - Х1)у/т + в(т)]
где т > те, /2(т) = /(т) при т > те, а Н2(т) = Н(т) при т > те, и действующего в
пространстве Н2 = Ь2[те, го) + гЬ2[те, го).
Для решения задачи (48) используем семейство операторов {Т^ : а > те }, определяемое формулой
т/ / 2(т ) = IТ/(т Ге<т < а <49>
0 ; т > а.
Приближенное значение К//,а (т) задачи (48) определим формулой
К/,а(т)= Т1/2/(т); т > те. (50)
Для выбора параметра регуляризации а = а(6, т) в формуле (50) используем условие
К/(т) € М2, (51)
М2 = {к2(т) : ( (1 + т2)\К2(т)\2йт < т^. (52)
Из (48)—(51) следует, что *М\\Т2аЇКт) - Т2І2(т)\\2 : ¡2(т) Є [Т2]-1(М?), У2 - ї2||<П = Д?(а) + \\Т2а\\262, (53) где [Т2]-1 оператор, обратный Т2 , а
Аг(а) = *ир{\\ТЇ2(т) - Т2¡2(т)\| : }2(т) Є [Т2]-1(М?)}. (54)
Теперь перейдем к оценке ||Т2||.
Лемма 4. При сформулированных выше условиях справедливы соотношения
(1 - 4+^)>’Х1'/аГ2 < Т\| < ( 1 + 4+;Ух"/аГ2. а > т..
Доказательство. Из определения нормы оператора
Тії = Яф , . №)
т<т<а | СЪ[^0(1 - Хі)у/Г + в(т)]|
Из (55) и леммы (2) следует утверждение леммы. □
Пусть
ш2(а) = ипр^ І^о(т)12т : %0(т) Є Мг|. (56)
Тогда из (52), (54) и (56) следует, что
А"1(а) = ш2(а). (57)
Из (52) следует, что при условии %(т) Є МГ
/ (1+ т2)ІН20(т)І2(Іт < т2. (58)
■)тЕ
Из (56) и (58) следует, что
т
2
шЧа) = ТГа2. (59)
Так как
Дй[Т2а] = 8ир{\\Т2аЦ(т) - Т2 ї2(т)\\ : ¡2(т) Є [Т2}-\М2), II¡2 - ¡2\\<8}, (60)
то из (60) следует, что
т2
Д2[т2] = 1Т-2 + \\Т2а\\252, (61)
а из леммы 4 и (61) следует
2 / \ 2 2 / \ 2
—^ + 82( 1 --^) в2*1^2 < А/[Т/] < —^ + 82( 1 + -^) в2*1^2. (62)
1 + а2 V 4 + е) 6 а 1 + а2 V 4 + е)
Параметр регуляризации а = а(8, т) в формуле (50) выберем из условия
= вХ1^а/2Ь. (63)
\/1 + а2
ния
Через а = а(8, т) обозначим значение параметра регуляризации, выбранное из уравне-
= ЦТ/Ц5. (64)
\/1 + а2
Для получения окончательной оценки погрешности приближенного значения введем еще два значения параметра регуляризации а = 0,1(8, т) и а/ = а/(8,т), выбранные, соответственно, из уравнений
= (1 --^]вх^^а25 (65)
л/1 + а2 \ 4 + 2
Т = (1 + -^)вХ1'Уа26. (66)
л/1 + а2 \ 4 + е ,
Из леммы 4 и соотношений (60)-(66) следует существование 8е > 0 такого, что а,/(8е, т) > ае, а следовательно, для любого 8 < 8е
а2(8, т) < а(8, т) < а1(8, т) (67)
а2(8, т) < а(8, т) < а1(8, т). (68)
Из (61) и (64) следует, что
Аб [Т/^г) ] = —2ЦТ/^Ц, (69)
аналогично, из леммы 4 и соотношений (63)- (66) следует, что для любого 8 < 8е
'Л 8{ 1 < Д& [Т2г)] <^2 8(1 + ^X4^. (71)
4+ЄГ - 2 Т а(2^-у —
Теорема 1. Для, любого 8 Є (0,8Є) справедливы соотношения
(1 - 2) Д2 [Т^і(2,г)'] < Д2 [Т^(&,г)] < (^ + 2) Д2 [Т^і(2,г)].
т
Доказательство. Так как
Д2 [ТІ(2,т)] < Д2 [ТІі(2,т)] + 1Д2 [ТІ(2,т)] - Д2[Т(2,г)]| (72)
Д2[ТІ(2,г)] > Д2[ТІт] - Д[Ті(2г)] - Дб[ТІт]І. (73)
Из (72) и (73) следует, что для доказательства теоремы достаточно оцепить величину
|Д2[Т^(6,т)] - Д[Т^і(2,г)]|.
Из (65), (66) и (67) следует, что
Д[Т|(2,,)] - Д2[Т|і(2,,)]| < ¿2(1 + УХ1^Н8 - ¿2(1 - Ухі^щр8, (74)
а різ (67) її (74) следует
Д№2,)] - Д2[Т2і(2,г)]| < ¿2(1 + ^Уі^ШРІ8 - ¿2(1 - ^У1^15?38. (75)
Из (75) следует, что
^ ^ і— 2 Г®-1
|Д2[Т|(2.Г)] - Д2[Т|і(2,г)]| <-Л- ехіV — 8. (76)
Из (72), (73) и (76) следует утверждение теоремы. □
Теорема 2. Для метода {Т2(2Г) : 0 <8 < 8Є}, определяемого формулами (49) и (63),
справедлива точная по порядку оценка погрешности
^(1 - 2)еХі^8 < Д2[Т1(Ы] < ¿2(1 + 8.
Доказательство. Из теоремы 1 и соотношений (61) и (67) следует, что для любого 8 Є (0, 8Є]
Д2 йОІМ + а + ї 'Є ^ ^ '77'
Т2 Л Є\ 2х^/ аі(Б,г)
Д2 т^)]> т+ат + і1 - ^ ^ *. (78)
Из (63), (66), (77) и (78) следует, что
2
ДЖ^)] < [ 1 + є ) е2^^82 +{1 + 2) е2хіГ-^-82 (79)
Д2ЛТ^Г)] > (1 - 2) е2хіГ^82 Л1 - 2) е:82. (80)
Из (67) следует, что а из (79) и (81), что
2
2Хц/ а(5’г) 2х^. аі (в>г) , .
" 2 < е2 * 2 , (81)
ДЖ^)] < (1 + 2) е2хіГ-^82 +[1 + 2) е2хі^82. (82)
Из (80) и (82) следует утверждение теоремы. □
Теорема 3. Метод {Т2(2Г) : 0 <8 < 8.} решения задачи (48), определяемый формулами (49) и (63), оптимален по порядку на классе М,:, и для него справедлива оценка погрешности
Д2[Т2(2г)] <¿2(1+ є) ДТ.
Доказательство. Из лемм 2 и 3 следует, что
ш1(8,т) < ш2(8,т), (83)
где ш2(8,т) = 8ир{\\т2/2(т)|| : ¡2(т) Є [т2\-1 (M^), ||/2(т)|| < 8},
а
л/1 + aj(5, т)'
где а\(8,т) определена уравнением (65). Из (65) и (85) следует, что
Так как
то из теоремы 2 следует, что при 5 < 5Є
А iTi(S,r)} < V2^1 + 2)
. 2
Єт
2) л/1 + а\(5, т)
Для получетшя асрімптотрікрі оцєпкрі (90) рассмотрим два уравнения
(84)
ш1(5, т) = sup
f2(T) € (і - ,^) ‘e-x1Vi(M2), Wf'2(T)|| <
Из (32) pi (84) следует, что
т
ш2(5,т)= _ :, (85)
^ (5,_)= (1 - УУ1^^ 5. (86)
АТ > (5,т), (87)
то різ (83), (86) pi (87) рімєєм
А?‘ > (! - —£)в114^8. (88)
Из теоремы 2 и соотношения (88) следует утверждение теоремы. □
Так как ртз соотпоптепрш (65) следует, что
5 =h+ Є)—J_2^=, (89)
V V \/1 + а2(5, т)
(90)
еХ1^2 = _ (91)
в2хЧ% = ' (92)
8
Решения уравнений (91) и (92) обозначим через к 1(8, т) ж 0/(8,т).
8
соотношения
0.2(8, т) < аі(8, т) < а 1(8, т). (93)
2 т 1 т
Из (91) и (92) следует, что а 1(8, т) = —^ 1п2 7 и а2(8, т) = —^ 1п2 т, а из (93), что
х і 8 2х і 8
а1(8,т) ~ 1п2 8 при 8 ^ 0. (94)
Из соотношения (94) следует
Теорема 4. Для любого т > 0 существуют числа
с1(т), с2(т) > 0 и 81 Є (0,8.) такие, что для любого 8 Є (0,81) справедливы оценки
7^72I
с1(т) 1п2 8 < ^ 1 + а\(8, т) < с2(т) 1п2 8
Далее решение задачи (46) обозначим через
Ц(т) = ТЧё (т). (95)
Из (47) и (95) следует, что
\\Ц(т) - Ко(т)Ц<Се8, (96)
где Ц(т) = Т1/1(т).
Решение задачи (ЗО)-(ЗЗ) определим формулой
Ц(т) = Ц(т) + К/а т (т). (97)
Тогда из соотношений (90), (96) и (97) следует, что
\К(т) - Ц0(т)Ц<Л(1 + е-} —=^== + Се8. (98)
V 2/ у 1 + а/(8, т)
Заметим, что функцию К(т), определяемую формулой (97), можно определить иначе, введя регуляризующее семейство операторов {Та : а > 0}, определяемое формулой
Т/ (г )= / > ; < а- (99)
I 0 ; т > а.
Тогда
Кб (т) = Та/б (т). (100)
Если значение параметра регуляризации а(8, т) в формуле (100) выбрать из условия
т = вХ1^2 8, (101)
л/1 + а2
то для решения (т) задачи (30)—(33) будет справедлива оценка
\\tis(т) - ко(т)\\ <Л(1 + 2^ ~^==^= + с.8. (Ю2)
V Ч -¿1 + а2(8,т)
Из теоремы 4 следует существовапие числа 8о < 8. такого, что для любого 8 < 8о
2
^ £ т
с.8 «/2 • 2 ■ (!°3)
2 л/1 + а2(8,т)
Тогда из соотношений (102) и (103) будет следовать теорема
Теорема 5. Метод {Та(¿>г) : 0 < 8 < 80} решения задачи (30)-(33) оптимален по порядку на классе Мг, и для него справедлива оценка
А-6[Та(б,г)\ < ¿2(1 + £ + е:2)-
л/1 + а1(8, т)'
которая является точной по порядку.
Теперь рассмотрим подпространство Но, определяемое формулой Но = Е[^[0, го)] и через К(т) обозначим элемент, определяемый формулой К(т) = ртЦ6(т); Н0].
Так как Ко(т) € Но, то из (102) следует, что
2
У л/1 + âj(ô, r)
Окончательно решение hs(t) обратной задачи (1)-(3), (7) определим формулой
\\hs(т) - Їіо(т)у <V-(1 + -} ~^=J=== + сє5.
V Ч \/1 + a^(ô,r)
(104)
hs(t) = \ F-1[hs(Т)1 ; t € [МоЬ (105)
І 0 ; 0 <t,t>to,
где F Оператор, обратный F.
Из (104), (105) для hs(t) справедлива оценка
\\hs(t) — ho(t)\\ < V^f1 + -Л ---------------- + сє§. (106)
V Ч \/1 + a^iô.r)
2
Ч л/1 + a2(ô, r)
Работа поддержана грантом р-урал-а № 10-01-96000.
Литература
1. Таттапа, В.П. Методы решения операторных уравнений / В.П. Таттапа. - М.: Наука, 1981.
2. Таттапа, В.П. О гарантированной оценке точности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики / В.П. Таттатта, А.И. Сидикова // Тр. Итт-та Математики и Механики УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 2. - С. 1-15.
3. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1972.
4. Привалов, П.П. Введение в теорию функций комплексттого переметтттого / П.П. Привалов. - М.: Наука, 1984.
Amia Ивановна Сидикова, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Вычислительная математика:», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected].
Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software»,
2013, vol. 6, no. 2, pp. 74-87.
MSC 65N20
On Estimated Accuracy of the Approximate Solution of Inverse Boundary Problem for Parabolic Equation
A.I. Sidikova, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected]
This paper is devoted to the development of projection regularization method, analysis of the efficiency with the help of accurate error estimates of this method obtained in order and its application for the solution of the inverse boundary value problems of heat transfer. In the article there is one-dimensional problem on the restoration of heat exchange conditions at one end of the homogeneous rod of a finite length by the results of temperature measurements with finite error at the point, which is located at some distance from the end. The inverse problem is ill-posed. The paper provides an analytical solution of this ill-posed problem in terms of the Fourier transform, regularizing operator is discharged, the method for the selection of the regularization parameter is given and its optimality in order is proved. It is established, that the accuracy of the approximations is of order ln-1 S.
Now while using computational methods great attention is paid to the error estimate of the algorithms used, its accuracy and optimality. These questions are of a great importance at numerical calculation of ill-posed problems with the application of various regularizers. A new technology of error estimates to solve the inverse boundary value problems of heat transfer is developed in the paper. The results can be used for numerical calculation of the thermal characteristics of the inverse problems of heat exchange as well as for the development of new regularizing algorithms of similar problems.
Keywords: inverse problem, regulariza,tion, error estimate, ill-posed problem, Fourier transformation.
References
1. Tanana V.P. Metody reshenia operatornykh uravneniy [Methods for Solving of Operator Equations]. Moscow, Nauka, 1981. 228 p.
2. Tanana V.P., Sidikova A.F On the Guaranteed Accuracy Estimate of an Approximate Solution of One Inverse Problem of Thermal Diagnostics [O garantirovannoy otsenke tochnosti priblizhennogo resheniya odnoy obratnoy zadachi t.eplovoy diagnostikij. Trudy Instituto. Materna,tiki i Mekhaniki UrO RAN, 2010, vol. 16, no. 2, pp. 1-15.
3. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elernenty teorii functsiy i functsional'nogo analiza [The Elements of Functions and Functional AnalisesJ. Moscow, Nauka, 1972. 623 p.
4. Privalov I.I. Vvedenie v teoriu functsiy kornpleksnogo perernennogo [Introduction in Theory of Function Complex Variable]. Moscow, Nauka, 1984. 432 p.
Поступила в редакцию 1 ноября 2011 г.
