CC BY
23
УДК 519.24
А. Ю. Ш о м а х о в
ОБ ОЦЕНКЕ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ СТАТИСТИКИ LT К ЛИНЕЙНОМУ ФУНКЦИОНАЛУ ОТ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ L(f) СТАЦИОНАРНОГО ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА
Для вещественнозначного стационарного гауссовского центрированного процесса X(t), t £ R,R = (-<х>, +ж), имеющего спектральную плотность f (А), рассматривается проблема оценивания скорости сходимости математического ожидания статистики LT = f ДА)IT(A)dA, А £ (-ж; +ж), где IT(А) — периодограмма процесса X (t), t £ R, к линейному функционалу от спектральной плотности L(f) = f ДА)f (A)dA стационарного гауссовского процесса на основе выборки {X (t), 0 < t < T}.
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: стационарный процесс, периодограмма процесса, спектральная плотность, спектральное среднее, асимптотическая несмещенность, классы Никольского, ядро Фейера.
Пусть X(t), t £ R, R = (-ж, +ж), — стационарный гауссовский центрированный процесс, обладающий спектральной плотностью f (Х) с f (-А) = f (А), т.е.
EX(t) = 0, t £ R. (1)
EX(t)X(t') = K(t,t') = cov(X(t),X(t')) = k(t - t) =
= f e’""-,')f (A)dA, (2)
где E — оператор математического ожидания; t,t' £ R, а K(t, t') = = k(t - t') — ковариационная функция процесса X(t), t £ R.
Процесс X(t), t £ R, предполагаем вещественнозначным (действительным). Так как рассматривается стационарный процесс с непрерывным временем, областью изменения переменной t является вещественная (действительная) ось R = (—ж, +ж). Область изменения Q переменной А (частоты) также вещественная (действительная) ось Q = (-ж, +ж).
Рассмотрим так называемое спектральное среднее процесса X (t), t G R, т.е. линейный функционал L(f) вида [4, 6]
+га
L(f) = p(A)f (A)dA, (3)
где <^(A) — суммируемая функция, называемая спектрально-усредняющей функцией. В дальнейшем будем предполагать, что спектральноусредняющая функция <^(A) вещественная и четная.
Если <^(А) индикатор полуинтервала (-то; ^], то
L(f) = [ f (A)dA = F(»),
— га
где F(^) — спектральная функция процесса X(t), t G R. Если <^(A) = etX(t—t,), то
+ ra
L(f )= ( e*A|t—(A)dA = k(t - t'),
где k(t — t') — ковариационная функция процесса X(t), t G R.
В качестве оценки L(f) будем рассматривать статистику LT [5,7,8] вида
+га
L
т
— ГО
v(A)It (A)dA,
(4)
где IT(A) — периодограмма процесса X(t), t G R, которая имеет следующий вид
IT (A)
1
2Пт
т
2
X (t)e—iAt dt
(5)
0
Оценка LT функционала L(f) называется асимптотически несмещенной, если
Tim [E(Lt) — L(f)] = 0, (6)
т
где E — оператор математического ожидания.
В работе [1] проведена оценка скорости сходимости в (6), когда f (A) и <^(A) принадлежат функциональным классам Никольского Hp(y), которые определяются следующим образом [9]:
Hp(Y) = {«A) G Lp, ||V/r)(A + h) — Gr)(A)||p < C |h|“} , (7)
где 0 < а < 1; r G N, N = {1, 2, 3,...}; 7 константа, не зависящая от h;
r + а, p < 1; С —
Lp = LP(Q) = { /;
|f(A)|PdA < to
1 ^ p <
,
— пространства суммируемых функций. Неравенство (7) выполняется
при A G (-to; +to).
В работе [1] оценена скорость сходимости в (6), когда спектральная плотность /(A) G Hp(7i), 71 > 0, p < 1; спектрально-усредняющая
функция p(A) G Hq (72), 72 > 0, q ^ 1 при —|— = 1 для случаев,
p q
когда y1 < 1, y2 < 1 и когда у1 ^ 1, у2 ^ 1. Случаи у1 ^ 1, у2 < 1 и
71 < 1, y2 ^ 1 не рассматривались автором в работе [1].
Цель настоящей работы — оценить скорость сходимости в (6), при
Y1 > 1, 72 < 1 и при Y1 < 1, 72 > 1.
Pассматриваемая проблема является частью общей проблемы непараметрического статистического оценивания L(f) на основе выборки {X(t), 0 ^ t ^ T} или, по-другому, по наблюденному отрезку траектории X(t), 0 < t < T.
Замечание. Далее через С будут обозначены различные положительные постоянные.
Для доказательства представленной ниже теоремы приведем некоторые предварительные результаты.
Функция FT (u), называемая ядром Фейера, определяется следующим образом:
( • Tu\
sin —
FT (u) =
2nT
2
u
V 2
, u G (-to; 0) U (0;+to); Ft(0) = —.
2n
(8)
Лемма 1. Определенное по (8) ядро FT (u) является четным, неотрицательным и обладает следующими свойствами:
2
1
FT (u)du = 1;
(9)
J Ft (u)du < CT-1; (10)
1
FT(u)uadu ф
CT~a при a < 1, CT— 1 ln T при a = 1, СT—1 при a > 1.
Доказательство этих соотношений приведено в [9]. Лемма 2. Справедливо следующее соотношение
E(Lt)= / FT(x - y)f (x)^(y) dy^
(11)
(12)
где f (x) — спектральная плотность; <^(y) — спектрально-усредняющая функция; FT(x — y) — ядро Фейера. Доказательство приведено в работе [1].
Лемма 3. Пусть ф(Х + u) £ Hp(y) с y = r + a, где r £ N,
N = {1, 2, 3,...}, 0 < a < 1. Тогда справедливы следующие утверждения:
ll^0)llp ф C< ^ j = 1,r; (13)
функция ф(Х + u) разлагается в ряд Тейлора
r F(n)(X)
Ф(Х + u) = ^2 un + R(X + u, X), (14)
где R(X + u, X) — остаточный член, удовлетворяющий неравенству
C
l|R(X + u,X)\\p ф - \u\r+a . (15)
Доказательство этих соотношений приведено в работе [9]. Перейдем теперь к формулировке и доказательству поставленной задачи.
Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1) спектральная плотность f(X) £ Hp(y1), Y1 ^ 1, - > 1; спектрально-усредняющая функция p(X) £ Hq(y2), 0 < Y2 < 1, q > 1
11
при —I— = 1; pq
2) спектральная плотность f (X) £ Hp(y1 ), 0 < Y1 < 1, P > 1; спектрально-усредняющая функция <^(X) £ Hq(y2), Y2 ^ 1, q ^ 1 при 11
- + - = 1; pq
Тогда \KT\ ф CT 1 при y1 + Y2 > 1, где KT = E(Lt) — L(f). Доказательство. Согласно (12) имеем
E(Lt )
FT (u)f (X + u)^(X)dXdu =
1
2
FT (u)f (Л + u)^(Л)dЛdu+
1
+ 2
FT (u)f (Л + u)lp(Л)dЛdu.
— ОС —ОС
Функция FT(u) является четной, т.е. FT(—u) = FT(u), поэтому выражение FT(u)f (Л + u)^(X) во втором двойном интеграле можно представить следующим образом:
Ft (u)f (Л + u)^) = Ft (u)f (Л)<р(Л + u).
Тогда
E(Lt ) = -
FT (u)f (Л + u)^(Л)dЛdu+
— OO — OO
1
+ 2
FT (u)f (Л)р(Л + u)dЛdu. (16)
—сю —сю
Учитывая (3), (9) и равенство
J f (Л)ф(Л)dЛ = J f (Л + u)^(Л + u)dЛ,
— ГО — ГО
получаем
L(f) = [ f (Л)<р(Л) [ Ft(u)dudA = [ Ft(u) [ f (Л)^(Л)dЛdu =
- j j FT(u)f(Л)^(Л)dЛdu+- FT(u)f(Л+u)^(Л+u)dЛdu =
2
FT(u) / (f(Л)^(Л) + f(Л + u)^^ + u))dЛdu.
— OO —OO
Таким образом, линейный функционал L( f) можно представить в следующем виде:
L (/) = 1 [ Ft(u) / (f (ЛМЛ) + /(Л + и,)^(Л + u)^d«. (17)
—сю —сю
1
Учитывая (16) и (17), получаем
E(Lt) - L(f) = -
— СЮ —СЮ
2 f t Ft(u)f (А)^(А + +u)dAdu - 2
Ft (u)f (A + u)^(A)dAdu+
Ft (u)f (A)^(A)dAdu-
— OO — OO
— OO — OO
Ft (u)f (A + u)<^( A + u)dAdu =
-ГО -ГО
— OO —oo
Ft(u) f (AMA + u) - f (AMA)-
- f (A + uMA + u) + f (A + uMA)
dA du.
Далее,
E(Lt) - L(f) = 2
— OO —oo
Ft(u){f (A) b(A + u) - ^(A)] -- f (A + u) [p(A + u) - ^(A)fJ-dAdu =
Ft(u){f (A) - f(A + u))(^(A + u) - ^(A) jdAdu.
— OO — oo
Таким образом,
Kt = E(Lt) - L(f) =
= 2 f f ft(u)(f (a) - f(a + u))(^(a + u) - ^(A))dAdu. (18)
— OO — oo
Воспользовавшись неравенством Гельдера, из (18) находим, что
Ft(u)(f (A) - f (A + u))(^(A + u) - ^(A))dAdu ^
|Kt | =
— OO — OO
2
< -
2
Ft(u) / (f (A) - f (A + u))(p(A + u) - p(A))dA
du =
I Ft (u)|
(f (A) - f (A + u))(v(A + u) - (p(\))d\
du <
< 2 Ft(u) |(f (A) - f (A + u))(^(A + u) - ^(A))| dAdu =
Ft(uW |f (A) - f (A + u)| |<p(A + u) - <p(A)| dAdu <
< 2 Ft (u)
|f (A + u) - f (A)|p dA x
x I / |^(A + u) - ^(A)|qdA I du =
FT(u) ||f (A + u) - f (A)|L |HA + u) - ^(A)|L du-
Тогда
1
|Kt| < 2 Ft(u) |f (A + u) - f(A)||p MA + u) - ^(A)|edu. (19)
Далее, воспользовавшись неравенством Минковского (неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой р-й степенью), будем иметь
Ilf (A + u) - f (A) |l = / If (A + u) - f (A)|p dA <
i
\ p f
I p
< |f (A + u)|p dA + |-f (A)|p dA =
\—<Ж
\—OO
i
p / +^> \ p
If (A + u)|p dA\ +1 J |f (A)|p dA =
= II/(A + u)||f + ||f(A)|p . (20)
2
1
2
1
2
Аналогично имеем
МЛ + U) - p(A)||q < ||^(А + u)||q + ||^(A)|q .
Далее поскольку интегрирование ведется по всей действительной оси, то
1 1 p / \ p
|f (А + u) |p dA
I f (A)|p dA
то есть
llf(A + u)|p = llf(A)|p> где -TO <u< +^. (21)
Аналогично
IHA + u)||q = ||^(A)|q , где -TO<U< + ГО.
Тогда, учитывая (19), (20) и (21), получаем
i
|кт1 < 2 J Ft(u) ||f (A + u) - f (A)|p ||^(A + u) - ^(A)|q du +
-1
-1
+ 2 у Ft(u) ||f (A + u) - f (A)|p ||^(A + u) - ^(A)|q du +
+ 2 j FT(u) ||f (A + u) - f (A)||p IHA + u) - ^(A)||q du <
1
1
< 2 J Ft (u) ||f (A + u) - f (A)|p !^(A + u) - ^(A)|q du +
-1
— 1 +^>
+2J 2Ft(u) |f(A)|p 2 MA)||, du+2 J 2Ft(u) ||f(A)|p 2 MA)||a du =
— ГО 1
1
= 2 J FT(u) ||f (A + u) - f (A)|p IHA + u) - ^(A)||q du +2 llf (A)|p X
-1
— 1 +^>
X MA)!,/ Ft(u)du + 2 |f(A)|p MA)^/ Ft(u)du.
— ^ 1
Из четности функции FT (u) следует, что
IКТ| « Ч FT(u) ||/(Л + u) - / (A)|l ||?(A + u) - p(A)L du+
-1
+<^>
1
+ 4 |f(A)|p MA)^ Ft(u)du. (22) 1
Далее, учитывая оценку (10), окончательно получаем, что 1
IKtI « 2 / Ft(u) |/(A + u) - /(A)|p ||<?(A + u) - p(A)||, du + CT-1.
- (23)
Согласно лемме 3
|/(A + u) - /(A)|l =
jrtdA .,/> + Ri(A + u,A) ' n!
n=1
r 1
Y
n=1
(n)
(A)
u
П!
r1
+ ||R1(A + u, A)|p ^ ^
n=1
(n)
(A)
u
П!
+
+ |R1(A + u, A)||p « £ ||un/(n)(A)^p + ||Ri(A + u,A)|p =
n=1
r1
r1
c
E |unI II/(n)(A)|p + IIR(A + u, A) Bp « c£ |un| + - |u|
ri+ai
n=1
n=1
r1
Г1!
CY, |“n| + C |u|
ri+ai
n=1
Итак,
r 1
|l/(A + u) - /(A)|p ^ CY |un| + C |u|
Аналогично,
ri+ai
n=1
r2
IHA + u) - ^(A)|q < C^ |uj I + C |u|
r2+a2
(24)
(25)
j=1
p
p
p
Рассмотрим два случая.
Случай 1: y1 ^ 1, y2 < 1. Учитывая (23), (24) и то, что ^ £ Hq (y2) означает, что ||^(r2)(A + u) - ^(r2)(A)||q < C |u|a2, где y2 = r2 + a2, 0 < a2 < 1 (здесь r2 = 0, так как y2 < 1), имеем следующую оценку:
r 1
|Kt| < - Ft(u) C ^ |un| + C |u|r1+ai C |u|“2 du + CT-1 =
1
n=1
r1
Ft(u)C |u|“2 £ |un| du + - Ft(u)C |u|“2 |u|ri+ai du + CT-1.
1
n=1
1
1
1
1
-
1 1
|Kt | < CYl J un+a2 Ft (u)du + C J ■
n=1 n n
Окончательно оценка имеет вид
1 1
u—Ft(u)du + C J uai+ri+a2Ft(u)du + CT”1 0 0 Учитывая (11), получаем
|Kt | < CT-1.
Случай 2: y1 < 1, y2 ^ 1. Учитывая (23), (25) и то, что f £ Hp(y1) означает, что ||f(ri)(Л + u) — f (п)(Л)||р < C |u|ai, где y1 = r1 + a1, 0 < a1 < 1 (здесь r1 = 0, так как y1 < 1), имеем следующую оценку
|Kt| < 1 f Ft(u)C |u|ai H:|uj| + C |u|r2+“2 ) du + CT-1 =
1
j=1
1 r2 | | 1
CFt(u) |u|ei£ |uj| du +- CFt(u) |u|“i+r2+“2 du + CT-1.
-
( u) | u| | u
j=1
-1 -1 Окончательно оценка имеет вид 1
|KtK c 5=:/uj+ai Ft «0*.+C / u~ ft (u)du+C T
j=10 0
Учитывая (11), получаем
|Kt| < CT
1
Теорема доказана.
1
1
1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ginovian M. S. Asymptotic properties of spectrum estimate of stationary Gaussian processes // Izvestiya Natsionalnoi Akademii Nauk Armenii. Matematika. - 1995. -Vol. 30, no. 1. -P. 1-16.
2. Г и х м а н И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1977. - 568 с.
3. В о л к о в И. К., З у е в С. М., Цветкова Г. М. Случайные процессы. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 448 с.
4. БенткусР., РудзкисР., СтатулявичусВ. Экспоненциальные неравенства для оценок спектра стационарной гауссовской последовательности // Литовский матем. сборник. - 1975. - Т 15. - С. 25-39.
5. Г и н о в я н М. С. Асимптотически эффективное непараметрическое оценивание функционалов от спектральной плотности, имеющей нули // Теор. вероятн. и ее применен. - 1988. - Т 33, вып. 2. - С. 315-322.
6. Ибрагимов И. А. Об оценке спектральной функции стационарного гауссовского процесса // Теор. вероятн. и ее примен. - 1963. - Т. 8, вып. 4. - С. 391430.
7. Г и н о в я н М. С. Об оценке значения линейного функционала от спектральной плотности стационарного гауссовского процесса // Теор. вероятн. и ее примен. - 1988. -Т 33, вып. 4. - С. 777-781.
8. Ибрагимов И. А., ХасьминскийР.З. Об оценке значения линейного функционала от плотности распределения // Записки научного семинара ЛОМИ. - 1986. -Т 153. - С.45-53.
9. Н и к о л ь с к и й С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1969. - 480 с.
Статья поступила в редакцию 10.07.2009
Алексей Юрьевич Шомахов родился в 1973 г., окончил в 1997 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана, в 2000 г. — аспирантуру кафедры “Прикладная математика” МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Старший преподаватель кафедры “Высшая математика” РЭА им. Н.Э. Плеханова. Специализируется в области стационарных случайных процессов и спектрального анализа временных рядов.
A.Yu. Shomakhov (b. 1973) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 1997. Senior teacher of “Higher Mathematics” department of the Russian Economical Academy n. a. G.V. Plekhanov. Specializes in the field of stationary random processes, spectral analysis of time series.
