ОБ ОЦЕНКЕ НОРМЫ ФУНКЦИОНАЛА ПОГРЕШНОСТИ НА ПРОСТРАНСТВАХ Hα КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ, ТОЧНЫХ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ХААРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.87

К.А. Кириллов

ОБ ОЦЕНКЕ НОРМЫ ФУНКЦИОНАЛА ПОГРЕШНОСТИ НА ПРОСТРАНСТВАХ Ha КВАДРАТУРНЫХ

ФОРМУЛ, ТОЧНЫХ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ХААРА

На пространствах Ha получена верхняя оценка нормы функционала погрешности квадратурных формул, обладающих d-свойством Хаара.

Ключевые слова: d-свойство Хаара, пространства функций Ha, функционал погрешности квадратурной формулы.

K.A. Kirillov

ON THE NORM ASSESSMENT OF THE ERROR FUNCTIONALIN HaSPACES OF QUADRATURE FORMULAS

EXACT FOR HAAR POLYNOMIALS

On the Ha spaces the upper norm assessment of the error functional of quadrature formulas possessing the Haar's d-propertyis obtained.

Key words: Haar's d-property, Ha function spaces, error functional of quadrature formula.

Введение. Задача построения и исследования кубатурных (квадратурных) формул, точных на некотором конечномерном классе функций, характеризует одно из важных направлений теории приближенного интегрирования. Ранее эта задача в основном решалась для вычисления интегралов, точных на алгебраических и тригонометрических многочленах. Кубатурные формулы, точные для конечных сумм Хаара, можно найти в [1]. Минимальные весовые квадратурные формулы, обладающие ^-свойством Хаара (формулы, точные для полиномов Хаара степеней, не превосходящих заданного числа б), были описаны в [2, 3]. Исследование погрешности обладающих б-свойством Хаара квадратурных формул проводилось на пространствах Бр. Оценки нормы функционала погрешности указанных формул в случае весовой функции д(х) = 1 получены в [4-6], в случае весовой функции д(х) + 1 - в [7-9].

В настоящей работе получена верхняя оценка нормы функционала погрешности 5 N [| обладающих б-свойством Хаара квадратурных формул с N узлами на пространствах На

Щ\н"

< 2

- а d-1

(2а -1.

Как и для исследованных в [1] формул с N = 2б узлами, образующими Пг-сетки, для обладающих б-свойством Хаара квадратурных формул с наименьшим возможным числом узлов N = 2(Н) величина Ш| . удовлетворяет асимптотическое равенство Ц^Ц , = 0(Ы~а), N^ «. В то же время обладающие

II \\Н а II "На

б-свойством Хаара квадратурные формулы с N = 2(Н узлами, будучи минимальными формулами приближенного интегрирования, обеспечивают наилучшую поточечную сходимость 5N[I] к нулю при N^ «.

1. Основные определения

В настоящей работе используется оригинальное определение функций Хаара, введенное в [10], отличное от определения этих функций из [1].

Двоичными промежутками Ц- назовем промежутки с концами в точках (] -1)/2т2т-1 (т = 1,2,..., ] = 1,2,.. ,2т-1). Если левый конец двоичного промежутка совпадает с 0, то будем считать

этот промежуток замкнутым слева, если правый конец совпадает с 1, - замкнутым справа. Остальные двоичные промежутки считаются открытыми. Левую и правую половины Ц- (без середины этого двоичного промежутка) будем обозначать ш у и 1Щ" у соответственно.

Система функций Хаара строится группами: группа номер т содержит 2т-1 функций Хт] (х), где ш = 1,2,..., у = 1,2,..,2м-1. Функции Хаара хт,.](х) определим следующим образом:

Хт, }(х) = 1

2<М-1)/2

_ 2(ш-1 )12 0

пРи х е пРи х е С,у,

при х е [0 1]\1ш,р 0,5 [хш,/х _ 0) + хш,/х + 0)], если х _ внутренняя

точка разрыва,

где 1шу = [(] _ 1)/2ш1,7/2ш1 ], ш = 1,2,., у = 1,2,.,2ш 1. В систему функций Хаара включают

также функцию Хо,1 (х) = 1, которая образует нулевую группу.

Полиномами Хаара степени б назовем линейные комбинации с вещественными коэффициентами

функций Хол(х), Хщ(х), где ш = 1,2,., у = 1,2,.,2ш-1, такие, что хотя бы один из коэффициентов при функциях Хаара хф(х) группы номер б отличен от нуля. Будем рассматривать квадратурные формулы

1 N

1[/] = | /(х)Ос - £ С1/(х(1)) = 0[/], (1)

0 '=1

где х(1)е [0,1] - узлы формулы (1); С, - коэффициенты при ее узлах (вещественные числа), ' = 1,2,. N.

Будем говорить, что формула (1) обладает б-свойством Хаара, или просто б-свойством, если она точна для любого полинома Хаара Р(х) степени, не превосходящей б, т. е. 0[Р| = /[Р|.

Сформулируем определения классов функций одной переменной На(Ц) и БР(А), приведенные в [1]. Множество функций f (х), определенных на отрезке [0, 1] и удовлетворяющих неравенству

\/(х) _ /(у)\ < Цх _ у|а для любых х,у е [0,1] (0 < а< 1, Ц > 0), называют классом На(Ц). Константа Ц

носит название определяющей постоянной этого класса. В [1] показано, что множество функций ^х), принадлежащих всем классам На(Ц) (со всевозможными значениями Ц, значение а фиксировано), является линейным пространством, на котором норма вводится по формуле

/(х + г) _ /(х)\\г\ .

Указанное линейное нормированное пространство обозначается через На, при этом все функции f (х), отличающиеся постоянными слагаемыми, рассматриваются как одна функция.

Множество функций f (х), определенных на отрезке [0, 1] и представимых в виде ряда Фурье-Хаара

ш 2 ш_1

/(х) = С0,1 Сш,у !ш,/х) (2)

ш=1 у=1

с вещественными коэффициентами с0 1, сш ■ (ш = 1,2,., у = 1,2,.,2ш_1), удовлетворяющими условию

/

= sup

а х,х+ге[0,1

Ap(f) = У 2

(m-1 )/ 2

УI

j=1

V p

< A

(3)

(1 < р< », Л - вещественная константа), определяется как класс Бр(А). В [1] доказано, что множество функций f(х), принадлежащих всем классам Бр(А) (со всевозможными А, значение р фиксировано), является линейным пространством, на котором норма вводится по формуле / = Лр (/). Указанное линейное

п и^р р

нормированное пространство обозначается через Бр, при этом все функции f(х), отличающиеся постоянными слагаемыми, рассматриваются как одна функция.

2. Вывод оценки нормы функционала погрешности квадратурных формул

Обозначим через 5N [/| функционал погрешности кубатурной формулы (1)

SN[f] = I[f] - Q[f] = j f(x)dx CJ(x(l)).

0 i=1

(4)

Лемма 1. Если функция f е Бр (р> 1), то для модуля функционала погрешности квадратурной формулы (1) имеет место неравенство

K[f]\ <у

У С I

j=1

V p

У \Q[ Xmj\

j=1

V q

(5)

где числа р и ц связаны соотношением 1/р + 1/ц=1.

Доказательство. В [1] доказано, что если fе Бр, то ряд (2) сходится абсолютно и равномерно. Подставим его в выражение (4) для 5N [/|. В соответствии с определением коэффициентов Фурье-Хаара [1] имеем

1

С0,1 = jf(x)dx .

(6)

Учитывая (6), получим

K[f]\ =

У У Cm,jQ[Xm.j ]

m=1 j=1

(7)

Применяя к выражению (7) для [ / ]| неравенства треугольника и Гельдера, приходим к соотношению (5). Лемма доказана. Введем обозначение

Zq(m) = 2

_ rs-(m-2)/2

I I'

У |Q[Xm,j]\

j=1

V q

, m = 1,2,.., q > 1.

(8)

Лемма 2 [4]. Если квадратурная формула (1) обладает d-свойством, то

supЪq(m) <(2d)-1 p .

m-1

p

m,j

m-1

m-1

p

m=1

m-1

m-1

m>1

Лемма 3 [1]. Для коэффициентов Фурье-Хаара суммируемой функции f(х) класса На(Ц) имеют место неравенства

ст \ < 2-ш(а+112;_1/2Ц, ш = 1, 2, ., у = 1, 2, ., 2ш_1

(1о)

Лемма 4 [1]. Если ар> 1, то Иа(Ь) с $р(Л) при Л = 0,5Ь/(2а _ 21/р).

Лемма 5 [1]. Для функции f (х) класса На (Ц) 11/| < Ц. Если для f (х) выбрать наименьшую возможную

II IIИа

определяющую постоянную Ц, то I|/|| = Ц .

Теорема. Если функция f е На, то для нормы функционала погрешности квадратурной формулы (1), обладающей б-свойством, имеет место оценка

||^||И, < 2_ай_1(2а _ 1 )-\

(11)

Доказательство. Пусть р> а-1, Ц - определяющая постоянная одного из классов На(Ц), содержащих функцию f(х). Тогда в соответствии с леммой 4 f е 5р(А), где Л = 0,5Ь/(2а _ 21 р).

Рассмотрим неравенство (5). Так как квадратурная формула (1) точна на функциях Хаара, номера групп которых не превосходят б, то это неравенство с учетом (8) можно переписать в следующем виде:

(12)

2ш_1 V р 2ш_1 19 2ш_1 1 р

ш > й £ \Сш,у\ _ 1=1 _ £ б[ Хш,}]]\ _ у=1 _ <£ 2(ш_1)/2 ш > й _ у=1 _ sup Е 9( ш ). ш > й

В силу (10) имеем

£ 2(ш_1)/2

ш > й

£ к,

_]=1

_2_1_1/ рц 2_ т(а_1 р)_2_й (а_1 р) ц(2}+а 21+1 р )_1

1 р

< £ 2(ш_1)/2 ^ш_1 (2_ш(а+1/2)_1/2 ц )р р =

ш > й

(13)

ш> й

Из неравенства (12) с учетом (9) и (13) получаем

\SN[/]| < 2_й(а_1р)ц(2й)_1р (21+а _ 21+1 р)_1 = 2_ай_1 ц(2а _ 21 р)_1

Следовательно,

/]| < 2_ай_1 Ц(2а _ 1)_1,

(14)

поскольку выражение в правой части (14) имеет вид

1п/ ¡2^_1 Ц(2а_ 21 р)_1}.

р >1 а

Выберем в качестве Ц наименьшую возможную определяющую постоянную для f(х). В соответствии с леммой 5 из (14) получим

%[/]\ < 2_а_1(2а_ 1)_ откуда следует неравенство (11). Теорема доказана.

ш_1

р

Замечание. В [2] описаны обладающие С-свойством минимальные весовые квадратурные формулы

1 N

\g(x)f(x)dx-у С1/(х(1)), (15)

0 г=1

т. е. формулы с наименьшим возможным числом узлов среди всех квадратурных формул вида (17), обладающих С-свойством. Доказано, что в случае весовой функции д(х) = 1 минимальная формула, обладающая С-свойством (при фиксированном с), единственна: число ее узлов N = 2е-1, узлы этой формулы хм = (2/- 1)/2с, коэффициенты при узлах С/ = 2-с+1, /' = 1,2,...,N. Указанная квадратурная формула имеет вид (1), и для нормы ее функционала погрешности неравенство (11) записывается следующим образом:

< 2- а-1(2 а -1N~а. Отсюда получаем, что для рассматриваемой формулы

¿II = O(N-а ) при N ^ «. (16)

II \\п а

3. Заключение

В [1] рассмотрены кубатурные формулы

111 1 N

{{... | ^^..„х^ dx2 ..Лхп - - у Дх*^,...^) (17)

0 0 0 ^ '=1

с 2с узлами (x1(г),..,x((li е [0,1]п, образующими Пг-сетки (0 < т< с), и доказано, что эти формулы

точны на полиномах Хаара степеней 5 ^ С - т, т. е. обладают (С - т)-свойством. Для нормы функционала погрешности таких формул на пространствах На доказано асимптотическое равенство, которое в одномерном случае принимает вид (16).

Таким образом, обладающие С-свойством минимальные квадратурные формулы вида (1) (см. замечание) имеют тот же порядок сходимости нормы функционала погрешности 5N [Щ к нулю при N^ «, что и формулы (17) в одномерном случае. В то же время рассмотренные в замечании квадратурные формулы, будучи минимальными формулами приближенного интегрирования, обеспечивают наилучшую поточечную сходимость 5NЩ к нулю при N^ «.

Литература

1. Соболь ИМ. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. - М.: Наука, 1969. - 288 с.

2. Кириллов К.А., Носков М.В. Минимальные квадратурные формулы, точные для полиномов Хаара // Журн. вычислительной математики и математической физики. - 2002. - Т. 42. - № 6. - С. 791-799.

3. NoskovM.V., KirillovK.A. Minimal cubature formulas exact for Haar polynomials // J. of Approximation Theory. - 2010. - Vol. 162. - Issue 3. - P. 615-627.

4. Кириллов К.А. Об оценках погрешности квадратурных формул, точных для полиномов Хаара // Вычислительные методы и программирование. - 2011. - Т. 12. - С. 330-337.

5. Кириллов К.А. Оценки нормы функционала погрешности квадратурных формул, точных для полиномов Хаара // Журн. СФУ. Сер. Математика и физика. - 2011. - Т. 4. - № 4. - С. 479-488.

6. Кириллов К.А. Оценки на пространствах Sp нормы функционала погрешности квадратурных формул, точных для полиномов Хаара // Журн. вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Т. 52. - № 10. - С. 1747-1755.

7. Кириллов К.А. Об оценке погрешности минимальных весовых квадратурных формул, точных для функций Хаара // Вычислительные технологии. - 2006. - Т. 11 (спец. вып.). - С. 44-50.

8. Кириллов К.А. Оценки нормы функционала погрешности на пространствах Sp весовых квадратурных формул, точных для полиномов Хаара // Вычислительные методы и программирование. - 2012. -Т. 13. - С. 324-331.

9. Кириллов К.А. Об оценке нормы функционала погрешности на пространствах Sp весовых квадратурных формул, точных для полиномов Хаара // Вестн. КрасГАУ. - 2013. - № 7. - С. 30-36.

10. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme // Math. Ann. - 1910. - Vol. 69. - P. 331-371.