Об оценках аналогов неполных сумм Клоостермана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 2 (2013)

УДК 511.33

ОБ ОЦЕНКАХ АНАЛОГОВ НЕПОЛНЫХ СУММ КЛООСТЕРМАНА

П. В. Снурницын (г. Москва)

Аннотация

Получена оценка аналога неполной суммы Клоостермана.

Ключевые слова: неполные суммы Клоостермана, тригонометрические суммы.

NEW BOUNDS FOR INCOMPLETE KLOOSTERMAN SUMS

P. V. Snurnitsyn (Moscow)

Abstract

New bounds for analogs of incomplete Kloosterman sums are given.

Keywords: Kloosterman sums, exponential sums.

Работа посвящается светлой памяти Г. И. Архипова.

В работах [1,2] получены оценки для аналогов неполных сумм Клоостемана вида

где m — целое, m > 1, N — некоторая последовательность целых чисел, взаимно простых с m, число элементов которой меньше m, а запись n означает, что nn* = 0 (mod m).

Приведем результат из [1], где в качестве N рассматривается последовательность произведений простых чисел из заданных интервалов. Здесь и далее используются следующие обозначения:

Теорема 1. Пусть к,1 — натуральные числа, а — целое, взаимно простое с т, Х,Х1,У,У1 — вещественные числа такие, что

e(x) = exp (2nix), em(x) = exp

k < X < Xi ^ 2X, k(2X)2k-1 < m

152

П. В. Снурницын

1<У <Уг ^ 2У, І(2У )21-1 < т.

Тогда для тригонометрической суммы

Б = ^ ^ ет (ар*як),

Х<р4Хі У<д^Уі

где суммирование распространяется по простым числам, не являющимся делителями т, справедлива оценка

\Б\ ^ кІХУХ-1/(21)У-1/(2к)т-1/(ш),

С помощью модификации метода работы [1] автором получен следующий результат:

Теорема 2. Пусть к, І — целые положительные числа, к < X, І < У. Тогда справедлива оценка

, ч 3к-2—1 31-2к-1 1

\Б \ ^ С (к, І)ХУХ 2ш У^к^ т-ш, где 0(к,1) зависит только от к и І.

Метод оценки подобных сумм опирается на получение оценок количества решений симметричных сравнений вида

X Л-----Л хк = уі Л-Л ук (шоа т).

В работе [1] используется следующее утверждение:

Теорема 3. Пусть т,к — натуральные числа, т> 1, Х,Х1 — действительные числа такие, что

к<Х <Хі ^ 2Х, к(2Х )2к-1 < т.

Тогда для числа решений сравнения

Р* + • • • + Рк = Я* + ••• + Як (шо^. т),

в простых числах р1,...,рк,д1,... ,як из промежутка (Х, Х1] не являющихся делителями т справедлива оценка

Ік(Х) ^ к!Хк.

В работе [3] получена оценка числа решений указанного сравнения без ограничения на Х:

Теорема 4. Пусть m,k — натуральные числа, m> І, X,Xl — действительные числа такие, что k < X < Xl ^ 2X. Тогда для числа решений сравнения

p* + • • • + pk = q* + ••• + qk (mod m),

в простых числах pl,...,pk,ql,... ,qk из промежутка (X, Xl] не являющихся делителями m справедлива оценка

Ik(X) ^ C(k)-Xik-\ m

где C(k) = k!k22k+2.

Используя последнее утверждение в схеме доказательства из [І] для теоремы І получим теорему 2.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Карацуба А. А. Аналоги неполных сумм Клоостермана и их приложения // Tatra Mt. Math. Publ. І997. Vol. ІІ. P. 89—І20.

2. Карацуба А. А. Новые оценки коротких сумм Клоостермана // Мат. заметки. 20І0. Т. 88, вып. 3. С. 384—398.

3. Снурницын П. В. Об оценке среднего значения короткой суммы Клоостер-мана // Ученые записки Орловского гос. ун-та. Сер. Естественные, технические и медицинские науки. 20ІЗ. № б, ч. 2. С. 2І2—2І5.

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Поступило 28.05.20ІЗ