Об отрывном обтекании дужки при больших числах Рейнольдса Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXXV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2 00 4

№ 3—4

УДК 532.526.5

ОБ ОТРЫВНОМ ОБТЕКАНИИ ДУЖКИ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

Вик. В. СЫЧЕВ

На основе асимптотического анализа системы уравнений Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса исследовано плоское течение около дужки с малой стрелкой прогиба, установленной в однородном потоке несжимаемой жидкости под нулевым углом атаки. Рассмотрены два возможных режима обтекания — по схемам Кирхгофа и Чаплыгина. Для положения точки отрыва, длины области отрыва, коэффициентов сопротивления и подъемной силы получены зависимости от величины стрелки прогиба дужки и числа Рейнольдса.

Решение задачи о безотрывном обтекании дужки под нулевым углом атаки идеальной жидкостью было получено в работе [1]. Имеющиеся экспериментальные данные, начиная с работы [2], указывают на неизбежное появление отрыва потока для таких течений. Поэтому представляет интерес рассмотрение последних, учитывающее это обстоятельство, чему и посвящена данная работа. Тем самым будет продолжено исследование по симметричному [3] и несимметричному [4] — [6] обтеканию тонких тел на основе асимптотического анализа системы уравнений Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса. (О других работах в этом направлении см. библиографию в [7].) Эти исследования основываются на результатах асимптотической теории [8] обтекания тел с конечной относительной толщиной, а также на локальном решении [9], описывающем

течение около точек отрыва потока от гладкой поверхности.

1. Рассмотрим плоское течение вязкой несжимаемой жидкости около дужки, имеющей хорду

длиной I * и установленной под нулевым углом атаки в однородном набегающем потоке. Введем

следующие обозначения: I * х, I * у — оси прямоугольной системы координат с началом в передней кромке и осью Ох , направленной вдоль хорды (рис. 1); ыоты е ы^у — соответствующие проекции

2 ?* / вектора скорости; рот+рыотр — давление; Яе=ысо1 /V — число Рейнольдса. Здесь ым, рот —

Рис. 1. Схема Кирхгофа для течения около дужки

скорость и давление в набегающем потоке; р — плотность и V — коэффициент кинематической вязкости жидкости. Через сх е Су обозначим коэффициенты силы сопротивления и подъемной

силы, полученные путем отнесения последних к рм2!* /2, через — функцию тока.

В основе асимптотической теории отрыва [8] лежит предположение о конечности величины сх тела, имеющего конечную относительную толщину и (или) установленного под конечным углом атаки при Яе ^<х>. При этом в масштабах тела в пределе при Яе ^<х> имеет место течение идеальной жидкости со свободными линиями тока по схеме Кирхгофа (см.[10], [11]), так что застойная зона за телом расширяется по параболическому закону. Смыкание области медленного возврантого течения, обусловленного эжектирующим действием слоев смешения, развивающихся вдоль свободных линий тока, происходит на расстоянии порядка Яе [8]. Cама эта область

в главном приближении имеет форму эллипса. Его большая ось совпадает с направлением набегающего потока, а длина А и максимальная ширина А суть ([8], см. также [12])

А) = ХоСхЯе, А> = Х1С3 Яе 1 , р = Яе-12 р + О (Яе-1), р = -ХхС-12, (1.1)

Хо = 0.392, Х1 = 0.500, Х2 = 0.274,

где Сх — коэффициент сопротивления в решении по схеме Кирхгофа. Здесь также приведено асимптотическое представление для давления в области медленного возвратного течения. (В (1.1) и ниже используются введенные безразмерные переменные, а в качестве I * берется характерный размер тела).

При обтекании гладких тел решение задачи по схеме Кирхгофа не единственно, поскольку положение точки схода свободной линии тока с поверхности остается неопределенным (см. [10], [11], [13]). Однако, как показал асимптотический анализ [9], в пределе при Яе^<х> отрыв происходит в точке, где кривизна свободной линии тока совпадает с кривизной поверхности (условие Бриллюэна — Вилля, см. [13]), а отклонение от этого предельного состояния есть величина

порядка Яе-116. При этом [9] (см. также [12]) распределение давления ре (5, Яе) на гладкой поверхности тела перед точкой схода свободной линии тока имеет вид

Ре = р°0 (5)+Яе-1/16 р1 (5)+•••;

5 ^50-0: р1 =О((50-5)3/2), р\ =-а0т9/8(50-5)1/2 +•••. ( )

Здесь 5 — длина дуги контура тела, отсчитываемая от точки торможения, 50 — ее

значение в точке отрыва, р м2 Яе-12 т5 — величина поверхностного трения при 5=50 - 0, которая находится из решения краевой задачи для уравнения пограничного слоя Прандтля, описывающего

течение перед точкой отрыва. Наконец, а0 — параметр подобия задачи для области

взаимодействия [9], имеющей продольный размер 5 - 50 = О(Яе-3^8) . Численное значение а0 было найдено в [14] — [16]: а0 = 0.42.

Если обтекаемое тело является тонким, т. е. его толщина есть величина О(к): к=к(Яе)^0

при Яе^да, но при этом к Яе116 ^<х> (см. (1.2)), то в главном приближении в точке отрыва

должно выполняться условие Бриллюэна — Вилля. Если же к=Яе 116, то это условие уже несправедливо и должно быть заменено на следующее [3]:

ре = Яе 116 р0 (х)+•••; х ^ х!, -0: р0 =-к0 (х!, -х)12 +...; к0 =а0а0^8х-916, а0 = 0.42, а0 = 0.3321.

(1.3)

Оно непосредственно следует из (1.2), с учетом того, что течение в приходящем к области взаимодействия пограничном слое описывается (в силу тонкости тела) автомодельным решением Блазиуса. Таким образом, выражения (1.3) дают дополнительное условие, которое замыкает задачу обтекания и служит для определения координаты точки отрыва х5 .

В работе [3] впервые был рассмотрен ряд задач симметричного обтекания тел с к=Яе-116 . Именно этот режим представляет наибольший интерес, в частности потому, что решение для

тонких тел с б>льшей толщиной (к Яе116 ^<х>, к^0) может быть получено согласно [3] путем

предельного перехода по параметру.

Итак, зададим форму обтекаемой дужки в виде

у=к/0 (х), к=в12, 8=Яе-18;

( 2\ (14)

/0 = Н0 ( х - х ), 0 < х <1,

где Н0 — положительная постоянная. В масштабах тела, в силу малости стрелки прогиба дужки, справедливы результаты теории малых возмущений для течений со свободными линиями тока

[17], [10]:

ы=1+ки(х, у)+о(к), у=кУ (х, у)+о(к), р=кР ( х, у )+о ( к ), у± = кБ±( х )+о ( к ),

сх =к2с°° +о(к), су =к 0 со(к); (1.5)

и - У=ю( г ), Р=-и, г=х+1у, с18±.

5х

=У (х, ±0).

Здесь юг — аналитическая функция комплексного переменного. Как и в [3], рассмотрим сначала течение по схеме Кирхгофа (см. рис. 1). В этом случае согласно (1.4), (1.5) решение должно удовлетворять следующим краевым условиям:

у=+0, 0<х<х5: 1тю=-/'(х);

у=+0,и х>х5 0, у =0- Rea^> 0; ю= (16)

®И=0; /'=Н0 (1-2х).

Первое из них обеспечивает непротекание на верхней стороне дужки вплоть до точки отрыва. Второе — дает постоянство скорости на свободных линиях тока, форма которых определяется неизвестными заранее функциями 5±(х) из (1.5). Здесь и ниже знак плюс

относится к верхней

из них, а минус — к нижней, которая срывается с острой передней кромки. Последнее условие в (1.6) соответствует выходу на однородный набегающий поток.

В плоскости 2=л/г, как известно [17], условия (1.6) приобретают вид

ю=П(2), 2=Х+-У;

У=+0, 0 <Х <В: 1т 0=-^, (X );

У=+0, X<0, X>В: ЯеаЮ=0;

Ц<ю)=0; =/'(х)=Н0(1-2Х2), В=^

и служат для нахождения 0( 2) в верхней полуплоскости.

Решение задачи (1.7) есть (см. [18])

(1.7)

--С 1 2 Г [7-В

2(2-В) ^ 2 - В ^ ('-2)~’

.^роизво^я

где С0 — произвольная действительная постоянная.^роизворя интегрирование и удовлетворяя условию ограниченности 0(2) в точке отрыва 2=В , имеем:

1 (В2 +4)+В2-222 --Н0 (1-222 ),

(1.8)

2 ( 2 - В ) °Ч 2 - В

^--------С0 =- Н„ В ( 3 в2-1).

Это решение содержит произвольную постоянную В=л[х5. Для ее определения воспользуемся условием (1.3). Тогда на основании (1.4), (1.5), (1.7), (1.8) находим:

х116 (15х5 - 4)=4л/2а0 а0/8 Н0-1. (1.9)

Исследуем теперь полученное решение (1.8),(1.9). Прежде всего заметим, что вблизи передней кромки, т. е. при г^0 функция ю(г) ведет себя как г~14 . Поэтому при г=О (в2)

асимптотическое разложение (1.5) теряет свою равномерную пригодность и здесь изменения составляющих вектора скорости и давления становятся величинами порядка единицы. Иначе

говоря, результаты теории малых возмущений при г=О (в2 ) становятся несправедливыми. Далее

можно воспользоваться анализом работы [7], согласно которому в этой области (как и вблизи передней кромки пластины) течение описывается решением Сарантонелло [19], [11] и точка

торможения потока лежит на верхней стороне дужки на расстоянии порядка в2 от передней

кромки. Внутри области, где г=О (в2), в непосредственной окрестности начала системы

координат, в соответствии с результатами асимптотической теории ламинарного отрыва от угловых точек (см. [12]), лежит область взаимодействия с характерным размером

г=О (в2Я~4/9 ), Я=в2 Яе (см. [7]).

Рассмотрим дальнее поле течения. Согласно (1.8), (1.7) при г ^<х>:

ю=_ НИ г -12

+-у1г 1+О (х 32 ),

2

У0 = Н0В | 1-4В2 |, У1 =^-| ^В2-1 |; (1.10)

5,2 I _Н0В2 115 „2

х ^<х>: £±=±у0 х1/2-у11и х+О (1). В то же время известно [11], [13], что

У о:

и о V/2

2с.

п

V у

Уг

4п

Выражения (1.9) — (1.11) дают связь

координаты точки отрыва х, и коэффициентов сопротивления и подъемной силы (см. (1.5), (1.4)) от Н0, определяющей величину стрелки прогиба дужки. Графики этих параметров представлены на рис. 2. Нетрудно видеть, что при Н0 ^да правая

часть равенства (1.9) стремится к нулю и

X, ^ 4/15+0. Следовательно условие (1.9) переходит

в условие Бриллюэна — Билля. Таким образом, как и в [31, решение при больших значениях Н0п,,) о о1П^и

^ г 0 Рис. 2. Зависимость параметров сх, х,, су • 10 ю Но

описывает течение при любых

к(Яе)^0: кЯе116 ^да, Яе^да. Из (1.9) — (1.11)

также следует,

что при Н0 >0.179, (4/15<х, <8/15) значение с°у <0 (рис. 2) и только по мере перемещения точки отрыва вниз по потоку на верхней стороне дужки появляется область достаточного разрежения, так что с°у становится положительным. Наконец из выражения для коэффициента сопротивления

в (1.9) — (1.11) следует, что при Н0^Н0+ 0, Н0= 0.087, (х, ^>4/5-0, с°у Н^/5) величина сУ ^0 (рис. 2), и следовательно расстояние между верхней и нижней свободными линиями тока

(кривые 1, 2, 3)

стремится к нулю. Согласно [3] при Н0 < Н0 в масштабах тела должно иметь место течение не по схеме Кирхгофа,

а по схеме Чаплыгина [20] (см. [10]), когда за телом образуется застойная зона с конечным

(при к=е12)

продольным

размером.

Заметим также, что если (при к=е12

в масштабах тела имеет место течение по схеме Кирхгофа (Н0 >Н), то область медленного

возвратного течения в целом , согласно [8], имеет в главном приближении форму эллипса. Его продольный и поперечный размеры, а также давление здесь суть

к =Хос0 Яе34, А =Хіс° '0-1/2 Яе-7/16

Р = ~І2Сх

32 Яе516, +О (Яе"7/8),

(см. (1.1), (1.5)).

2. Рассмотрим теперь течение с застойной зоной конечной длины (рис. 3). Функция ю(г) из (1.5) должна удовлетворять следующим краевым условиям:

у = +0, 0 < х < х, :1т ю = -/0'(х); у = +0, х, < х < I е у = -0, 0 < х < I: Яеа1ю = -р00.

Здесь р00 — постоянная, определяющая давление, и I <1 — продольная координата точки

1/2

смыкания области медленного возвратного течения. Введение переменной ^=(г/(I-г)) [17],

Рис. 3. Схема Чаплыгина для течения около дужки

[10] позволяет получить для функции ш=0()/^ следующую смешанную задачу в верхней полуплоскости:

ш = Ц) (С), £ = £ + *л;

П = +0, £<0, £>Ь : ЯеаІЦ ="Роо; П = +0, 0 < £, < Ь : Іт Ц = "Ф0 (£);

,, ч (1 -р0£2 )

ф0 = /0(-) = И0~ ^Г“, р0 = 21"1,

(2.1)

Ь=

(1+£2)

• у/2

V1" - у

Кроме того, ^0 (С) должна быть ограниченной в точке смыкания г=1, ^=да , поскольку в противном случае (схема Тулина [17]) значение сх = О(е) . Согласно же полученному выше решению (см. также [3]) сх = о(е) . Тогда общее решение задачи (2.1), ограниченное также в точке отрыва г=х,, £=Ь , есть [18]

Ц= і

( •, Ь I-------

1Ь

п • V Ь-і

і)

(і-С)

йі - сп

-р00,

где С0 — произвольная действительная постоянная. В результате интегрирования имеем:

Ц0 = -іИ0

К-ь

-іИ,

1-Р0С

1+С2

С

2 у

I( й1^ й0 )

Р0 +—+

_ 0 И А*(С+1)

Р00, П'=(ь2 +1)^2,

I * ^/2 I * \1/2

й0 =^0 +^1, й1 =^0-^, ^0 =(А + Ь) , ^ =(А -Ь) .

(2.2)

у

Полученное выражение с учетом (2.1) содержит четыре произвольные постоянные х,, I, Р00, с0. Для их определения имеются следующие условия. Разложение для Ц, (С) из (2.2) вблизи точки отрыва (^=Ь) дает выражение для распределения давления из (1.5) при у=+0, х^х, — 0:

р (x, + 0)-Р00 =-^0 (- --+ О((- --)3/2 ),

(2.3)

С

где постоянная к0 выражается через х,, I, с0. В то же время для к0 известно выражение в (1.3). Еще три условия следуют из рассмотрения дальнего поля течения. Точке г=да соответствует £=/. Поэтому из (2.2) при получаем:

П0 (?)=©(-- )=Р0+/Р, +(в0+<РТ) г + О (г-2)

при г , где постоянные в0, в1, в0, Р1 выражаются через р00, х,, I, с0 . (Эти выражения, как и для к0 из (2.3), в виду громоздкости не приводятся.) Условие выхода на однородный поток вместе с условием замкнутости зоны отрыва (см. [17], [10]) дают:

Р0 =Р1=в0 = 0, Й=-у.

4п

(2.4)

Здесь также приведено известное выражение для в1.

Таким образом получены четыре условия (2.3), (2.4) для определения указанных выше параметров. На рис. 4 и 5 представлены зависимости для I, х, е с^, р00 10 Н0 .

Можно показать, что при Н0 ^Н^-0 решение (2.2) переходит в решение (1.8),

описывающее течение по схеме Кирхгофа. При этом I^да, х, ^>4^5+0, с^ Н0/5.

Коэффициент подъемной силы с0 е р00 достигают максимума при Н0 + 0.052 е Н0 = 0.044

соответственно (рис. 5). При уменьшении Н0 точки отрыва и смыкания застойной зоны приближаются к задней кромке дужки (рис. 4). В результате проведенного анализа удалось показать, что при Н0 ^ 0:

х, =1 - к1Н 0 + I = 1 + к1Н 4 +с° =~пН 0 +

4

Р00

■ ^Н03 + к1Н05 + О (Н7), к- = 2 (а 0«09/8 )4,

а само решение (2.2) при этом имеет вид

Рис. 4. Зависимость параметров I, х5 10 Н0 (кривые 1, 2)

Ц = НА, (С)+0(Н0), с =

Л12

1-г

Ц0 -

(с+1)+/л/$ (с2-1)

'Л (с2+1)

2 С=о(1).

Таким образом, решение (2.2) описывает течение в области потенциального потока при всех

значениях Н0 <Н0 и однозначно в зависимости от этого параметра. Однако в действительности рассмотренный режим обтекания имеет место лишь до некоторого конечного значения Н0=Н, и это связано с характером течения в области медленных возвратных токов. Остановимся на рассмотрении этого вопроса.

Рис. 6. Схема течения в области медленных возвратных токов вблизи задней кромки

Возвратное течение обусловлено эжектирующим действием вязких слоев смешения [8], развивающихся вдоль свободных линий тока (см. рис. 3). Здесь х=О(1), У=О (е1/2), у=О (е4),

и поэтому и=Ор2), V=О(е4), р-е12р00 =О(е7), а течение описывается уравнениями

идеальной жидкости для тонкого слоя [8], [12]. Если рассмотреть это течение подробнее, то оказывается, что неизбежен срыв потока в виде свободной линии тока с задней кромки дужки (рис. 6). (Это имеет место вообще всегда, когда речь идет о возвратном течении для несимметричных тел

12

с острой задней кромкой). Точка торможения (рис. 6) находится на расстоянии порядка е' от кромки, а точка присоединения (х=хг) — на конечном расстоянии от нее. В окрестностях точки присоединения и задней кромки лежат области с продольными размерами порядка расстояния между слоями смешения, в данном случае — О (е12). Причем в области, охватывающей точку

присоединения, справедливы результаты теории малых возмущений (для ограниченной в вертикальном направлении области). С уменьшением параметра Но точка присоединения сдвигается

в направлении к задней кромке. (Но при этом 1-хг = О (1).) Пограничный слой Прандтля, который развивается от точки присоединения к передней кромке (0 < х < хг) и имеет толщину О (е9/4), оказывается тогда под действием заданного регулярного неблагоприятного (в некотором диапазоне изменения х) градиента давления Эр/Эх=О (е7). В результате при

некотором Но = Н5 = О (1) в решении краевой задачи для уравнения пограничного слоя поверхностное трение ти, (х) впервые обратится в нуль в единственной точке (х = хо < хг) и само решение будет иметь здесь устранимую особенность [21]. Причем при Н5 < Н0 < Нд функция (х) всюду положительна, а если Нз < Н3, то в решении возникает неустранимая особенность Гольдштейна (см. [12]) и оно теряет смысл. При Н0, близких к Н, в окрестности точки х=х0 течение может быть описано на основе теории кромочного отрыва (см. [12]).

Таким образом, обтекание дужки по схеме

Чаплыгина имеет место при Н5 < Н0 < Н.

Заметим, что выражение для формы свободных линий тока вблизи точки смыкания

зоны отрыва (х^I-0) имеет вид „ с „ 0 - тт г 1 ^

г \ / Рис. 5. Зависимости су, Р00 ю Н0 (кривые 1,2)

± 1/2

Уз = S

-c0 (l - x) ± r1 (l - x)^2 + O ((l - x)2 ) ±r2 (l -x)12 +O ((l -x)) + o (s2 ),

(2.5)

r = 2 H>

1 3112

Po

H,

o

ld1

D*

12

Разложение для коэффициента при е' получается из (2.2), (1.5) при и, как всегда

для схемы Чаплыгина, г=1 является точкой возврата. Члены с целыми показателями степени обусловлены несимметрией течения. Коэффициент при е2 , дающий параболическое затупление, связан с сопротивлением тела , которое есть величина порядка Яе

-12 .

cx =s4 (c++ cx )+0 (s4 ), c+

=1.328 x..

Г

Здесь сх определяется автомодельным решением Блазиуса для пограничного слоя на верхней стороне дужки при 0 <х <хя, а с* — из решения внешней задачи в приближении О (е2 ).

12

Поэтому, как известно [22], в (2.5) г2 =(2с*/л) . С другой стороны [8], [12], с* определяется

суммой интегралов сил трения (отнесенной к ри2l*/2) вдоль разделительных линий тока,

охватывающих зону отрыва: c*x=T++T- (см. [7]). Тем самым обеспечивается баланс сил, приложенных к границе объема жидкости внутри области возвратных токов. Кроме того, это последнее соотношение является замыкающим для задачи в приближении O (s2 ). Наконец в силу автомодельности слоя смешения, развивающегося вдоль нижней свободной линии тока: T “= 0.7984V/ (см. [8], [7]).

В заключение заметим, что в непосредственной окрестности точки смыкания, в области x-1=O (s4 ), y=O (s4 ) , в соответствии с результатами работы [23] (см. также [12]) течение

является локально нестационарным. То же можно сказать и о течении в области, охватывающей точку присоединения (x = xr) в зоне возвратных токов (рис. 6). Эта область имеет размеры

O (е9/4 ), т. е. порядка толщины автомодельного слоя смешения, приходящего к этой точке.

Заметим также, что проведенный анализ двух режимов обтекания, по схеме Кирхгофа и по схеме Чаплыгина, не является исчерпывающим. Возможны и другие схемы обтекания дужки, требующие отдельного рассмотрения.

Работа выполнена при Государственной поддержке ведущих научных школ (номер гранта НШ-2001.2003.1).

ЛИТЕРАТУРА

1. K u 11 a W. M. Auftriebskrafte in stromenden Flussigkeiten // Illustr. Aeronaut. Mitthei-lungen.— 1902. 6. Jahrg., H. 3.

2. Prandtl L. Uber Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Verh.d. III. Intern.

Math.— Kongr., Heidelberg, 1904. — Leipzig: Teubner. — 1905.

3. Cheng H. K., Smith F. T. The influence of airfoil thickness and Reynolds number on separation // Z. angew. Math. Phys. — 1982. Vol. 33, Nr. 2.

4. Cheng H. K. Laminar separation from airfoils beyond trailing-edge stall // AIAA Paper.— 1984. N 84-1612.

5. Храбров А. Н. Неединственность ламинарного отрывного обтекания профиля под углом атаки в схеме Кирхгофа // Ученые записки ЦАГИ.— 1985. Т. XVI, № 5.

6. Lee C. J., Cheng H. K. An airfoil theory of bifurcating laminar separation from thin obstacles // J. Fluid Mech. — 1990. Vol. 216.

7. Сычев Вик. В. О течении при больших числах Рейнольдса около пластины, установленной под малым углом атаки // Изв. РАН, МЖГ. — 2001. № 2.

8. Сычев В. В. Об установившемся ламинарном течении жидкости за тупым телом при большом числе Рейнольдса // Доклад на 8-м Симпозиуме по современным проблемам механики жидкостей и газов.— Тарда, Польша. — 1967.

9. Сычев В. В. О ламинарном отрыве // Изв. АН СССР, МЖГ.— 1972. № 3.

10. Г у ревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. — М.: Наука. — 1979.

11. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны.— М.: Мир.—

1964.

12. Асимптотическая теория отрывных течений / Под ред. В. В. Сычева.— М.: Наука.— 1987.

13. Wu T. Y. Inviscid cavity and wake flows // Basic Developments in Fluid Dynamics, vol. 2/ ed. M. Holt.— New York: Academic Press.— 1968.

14. Smith F. T. The laminar separation of an incompressible fluid streaming past a smooth surface // Proc. Roy. Soc. London, ser. A.— 1977. Vol. 356. N 1687.

15. Королев Г. Л. Численное решение асимптотической задачи об отрыве ламинарного пограничного слоя от гладкой поверхности // Ученые записки ЦАГИ.— 1980. Т. XI, № 2.

16. Van Dommelen L. L., Shen S. F. Interactive separation from a fixed wall // Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows II / ed. T. Cebeci.— New York: Springer-Verlag.— 1984.

17. Tulin M. P. Supercavitating flows-small perturbation theory // J. Ship Res.— 1964. Vol. 7, N 3.

18. Му схелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М.: Наука.—

1968.

19. Zarantonello E. H. Parallel cavity flows past a plate // J. Math. pures et appl.— 1954. T. 33, fasc. 1.

20. Чаплыгин С. А. К вопросу о струях в несжимаемой жидкости // Труды Отделения физических наук Общества Любителей Естествознания — 1899. Т. 10, вып. 1.

21. Рубан А. И. Особое решение уравнений пограничного слоя, непрерывно продолжимое через точку нулевого поверхностного трения // Изв. АН СССР, МЖГ.— 1981. № 6.

22. W u T. Y. Cavity and wake flows // Ann. Rev. Fluid Mech.— 1972. Vol. 4.

23. Сычев В. В. Асимптотическая теория отрывных течений // Изв. АН СССР, МЖГ.— 1982. № 2.

Рукопись поступила 10/IX 2003 г.