CC BY
15
УДК 539.3
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ В ЗОНЕ СКАЧКООБРАЗНОГО ИЗМЕНЕНИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ КУСОЧНО - НЕОДНОРОДНЫХ ОБЛАСТЕЙ
© 2003 г. Л.П. Вовк
The natural oscillations of the elastic rectangular nonhomogeneous region, which consist of the three isotropic rectangles with different elastic properties, are considered. The analysis of the wave field’s peculiarity at the border of the media’s partition is done. The kind of the stress concentration for the different pair combinations of the dock media’s materials is investigated.
Рассматривается плоская задача о собственных колебаниях неоднородного трехслойного упругого прямоугольника симметричного строения. Данная задача эквивалентна исследованию особенностей форм колебаний на критических частотах (толщинных резонансов). Для исследования выделен класс симметричных решений. На основе методов, развитых в [1 - 3], проводится численный анализ волновых характеристик на внутренних границах раздела составных частей области. Изучение волновых полей в продольно-неоднородных средах ранее проводилось в [4 - 7].
Постановка задачи. Пусть сечение бесконечной в направлении оси а3 неоднородной упругой призмы занимает в системе координат а(Оа2 область
Б=С(1) 'и , где области С(т>сварены друг с другом, изотропны, в общем случае имеют различные упругие постоянные и определяются неравенствами
С(1)={(«1«2): |«||<с; |а2|<6},
б(2) = {(«1,0:2): [-а, -с]и [с, а]; |а2|<Ь}.
Пусть на внешних сторонах пластины ах= ± а задана гармонически изменяющаяся во времени с частотой со нагрузка интенсивности д(ос2) • В [1, 2] при помощи модификации метода суперпозиции все характеристики волнового поля, определяемого безразмерным частотным параметром £2(1) =соа/с^ (с^-
скорость сдвиговых волн в области б(1)), выражаются через введенные вспомогательные функции (здесь и далее использованы обозначения, принятые в [1, 2])
А
Му)’/2(х)<Му)’Мх),(Р1(у) . Эти функции определяют перемещения и касательные напряжения на границе раздела сред и на внешней границе области.
Именно /,(;у) = и(1')(3,у), (5, у) = (0, у) = <р, (у),
/2(х) = и™(х,г1), Му) = и{2)(82,у), Мх) = и™(х). Здесь и\т) = у\т) / а, а ¡2* =?1(2) /Мт~ безразмер-
ные перемещения и напряжения в областях С^т\ соответствующие амплитудным компонентам
і (2)
вектора перемещений и тензора напряжений; цт - модуль сдвига материала области
С('т)(т = 1,2); х = ах/а, у = а2/а, х = (а1-с)1 а,
д:е[0,52], <52 =1-5, 8=с/а, г] = Ыа.
Проанализируем особенности, возникающие у напряжений в угловой точке области В (1, Г}) ив угловой точке стыка областей А (8 ,г\). Это эквивалентно предположению о наличии особенностей у функций (р1, /, следующего вида
<Р1 (У) = Ру (П - у)“'1, /.' (У) = вг (П~ у)“4.
/з 00 = 63 (Л-уУ1 при у->77;
/2(х) = £>2(8-х)а~] при *->5;
/400 = б4М“-1 при *->0;
Мх) = <24(82 -х)а~1 при х -> 82.
Здесь через а и у обозначены параметры, характеризующие особенности искомых функций в указанных точках, а через Рь 61,■■■,04 - произвольные постоянные. Определяя асимптотику коэффициентов Фурье рассматриваемых функций в окрестности точек А иВ и учитывая отсутствие у внешней нагрузки особенностей в этих точках, приходим к системе однородных уравнений, определяющих характер особенностей характеристик волнового поля в этих точках [1-3]
-т12 5т(тга/2)Н, + 2(2-тх2)5т(яа/2)^ +
+ 2 па)а/г2 + 2п(2)аЯ4 = 0,
(т12 + 2) 5т(яа/ 2)Я1 + 2т12 &п{ка / 2)^?! --2(1-па)а)#2 -2(1-и(2)а)Л4 = 0, ((п(1))'1+а)Я1+2аК,+25т(яа/2)/г2 = 0, (1)
«п(2))“' + а)Я, + 2аЯ1 + 2 / 2)я4 = 0,
зт(яу /2)Я3 + уЯ4 = 0, у Я3 + 51п(лу /2)я4 = 0.
Здесь тХ2 = (С^)“1 + (С™)-1 ; n(ß) =
(CÍf’-l)
Mß)
Я1 = -2Р] Г(а) 5т(тга 12); = 2£?,- Г(а) зт(яа / 2);
1Ц=20А\\а)ът{ка12)\ Щ =20Г(у)5т(яу/2); Г(а)~ гамма-функция; С\^- безразмерные упругие параметры областей С(т) [1 - 3], I = 1,2; / = 3,4; /3 = 1,2.
Особенность системы (1) состоит в том, что она распадается на две части. Пятое и шестое уравнения характеризуют особенности волнового поля во внешней угловой точке В, определяемые константами Щ, /?4 и параметром у. Эти особенности изучены достаточно полно [2, 8, 9] и здесь на них останавливаться не будем. Как видим, характер особенности механического поля в точке В не зависит от упругих постоянных областей С (т). Этого нельзя сказать об угловой точке стыковки областей А, где особенности неизвестных функций определяются первыми четырьмя уравнениями системы (1), определяющими Яр/?,, /?2 , .
Учитывая условие существования нетривиального решения этих уравнений, можно численно найти параметр а и тем самым определить характер поведения вспомогательных функций при подходе к точке А. Отметим, что эта система симметрична относительно упругих параметров областей и поэтому значение параметра а не будет изменяться при замене значения С$ на и наоборот. Это легко доказать,
если после замены в определителе системы поменять местами 3 и 4-ю строку, а затем 3 и 4-й столбец.
Процедура численного анализа достаточно полно описана в [2]. В данной работе более детально остановимся на определении характера напряженно-деформированного состояния в окрестности границы раздела состыкованных прямоугольников с различными упругими свойствами.
Численный анализ характера особенности. Остановимся на исследовании весьма интересного вопроса зависимости параметра а от упругих констант стыкуемых областей. Проведем исследование этой зависимости для трех комбинаций материалов стыкуемых областей. В первую группу пар материалов включим так называемые материалы-концентраторы, которые характеризуются возникновением локальных особенностей в значениях напряжений в угловых точках. Существование таких особенностей возможно при определенных значениях параметров Дандерса а*,р. [10]
ц2 (1-У1)-Д1(1-У2)
СХф — у
^(1-^) + /!! (1-У2)
^ Ц2(.1-ур-Ц1(1-У2)~0^И2~Ц) ^а-у^+^а-уг)
Когда а* (а* - 2/?«) > 0, в угловой точке возникает локальная особенность по напряжениям, при
а, (а, -2@,) < 0 особенности нет (У1,У2- коэффициенты Пуассона материалов стыкуемых областей). Во вторую группу пар материалов включим материалы,
подверженные появлению волн Стоунли на границе их раздела [8]. Наконец в третью группу отнесем пары материалов, не входящие в первые две группы, в том числе пары, состоящие из одинаковых материалов (назовем эти пары «обычными»).
В таблице для всех трех групп пар материалов приведены значения наименьших положительных корней а, полученных из условия существования нетривиального решения первых четырех уравнений системы (1). На первом месте в паре стоит материал внутренней области, на втором - материал наплавок. Для каждой пары вычислен параметр g,, определяющий отношение волновых сопротивлений материалов [6] областей С(1) и С(2), а также параметр Дандерса И-а,(а» -2/?»), что в некотором смысле позволяет судить о величине локальной особенности по напряжениям в стыковой точке Л.
Численный анализ определителя системы (1) и данные таблицы показали, что для материалов-концентраторов существует один действительный корень 0 < а < 1.
Следует отметить, что зависимость параметра особенности а от параметра Дандерса И* и от соотношения упругих констант материалов областей С(т) достаточно сложна. Однако при численном анализе удалось установить, что при фиксированных упругих параметрах одной из областей уменьшение жесткости другой ведет к увеличению значения а; зависимость
Материал Dt g* а
I группа(концентраторы)
Кварц плавл,- магний 0,046 1,172 0,971
Кварц плавл.-олово 0,022 0,551 0,984
Вольфрам-алюминий 0,267 5,642 0,820
Стекло-свинец 0,279 0,603 0,865
Латунь-молибден ■ 0,111 0,612 0,948
Никель-золото 0,159 0,808 0,934
Титан-магний 0,122 2,399 0,941
II группа
Алюминий-сталь 0,140 0,374 0,937
Магний-медь 0,114 0,276 0,942
Магний-цинк 0,083 0,388 0,969
Магний-платина 0,173 0,132 0,921
III группа
Цинк-платина -0,04 0,391 1,357
Сталь-сталь 0 1 2
Алюминий-алюминий 0 1 2
а=а\р*) носит более сложный характер: при одном
и том же значении параметра Дандерса И* могут существовать различные значения исследуемого корня 0<а<1 (рис. 1).
Рис.1
Исследование характера концентрации напряжений
При исследовании характеристик волнового поля в окрестности границы раздела областей погрешность выполнения условий сопряжения по перемещениям не превышала 2 %, а по напряжениям - 5-6 %. Если в точке А особенность, то ряды по напряжениям при х = 5 расходятся, и для удовлетворения условиям сопряжения на всем интервале |_у| < 77 необходимо
выделение особенности и привлечение обобщенных методов суммирования и регуляризации [11].
Рассмотрим распределение нормированных, т.е. отнесенных к максимальным величинам, компонент тензора напряжений для различных сочетаний пар материалов-концентраторов с учетом соотношений. *■ жесткости, для первой, второй и третьей собственной
частоты. При сочетаниях пар материалов, соответствующих случаю ^ > 1, наблюдается большая локали-зация напряжений во внутренней угловой точке области и некоторый их рост вблизи торцов прямоугольника.
На рис. 2 представлено распределение нормированного напряжения сти(х, 0,95) для пары концентраторов никель - золото, при Ь-а!Ъ- 2,25, что соответствует середине плато в спектре собственных частот [8]. Третья собственная частота соответствует частоте краевого резонанса: в соответствующей ей форме зона больших напряжений сосредоточена во внутренней угловой точке области и вблизи торцов прямоугольника. При удалении от границы раздела величина напряжений резко падает.
На рис. 3 представлено распределение вдоль оси у = 0 нормированного напряжения а22 (х,0) для той же пары материалов и при тех же геометрических размерах области. В этом случае вновь наблюдается зона относительно больших напряжений во внутренней угловой точке области, а вдоль границы локализации нет. Кроме того, на границе раздела областей собственные формы претерпевают скачкообразный разрыв, что в принципе согласуется с выводами [12].
Рис. 3
При противоположном сочетании пар материалов-концентраторов, соответствующих величине £ < 1, имеем качественно иную картину в распределении напряжений. Для интегрального описания особенностей волнового поля целесообразно провести сравнительный анализ энергетической характеристики -средней за период накопленной в упругой области (или его элементе) энергии [2, 8]. Очевидно, что распределение величины энергии зависит не только от сочетания материалов, составляющих область, но и от величины частотного параметра £2(1). В рассматриваемом случае пар материалов-концентраторов при более жесткой внутренней области на низких частотах имеем примерно равномерное распределение энергии по площади сечения. На частоте краевого резонанса, однако, большая часть накопленной энергии сосредоточена во внешней, менее жесткой области . На рис. 4 представлено распределение вдоль стороны у = 0,95 нормированного напряжения сги(х,0,95) для пары концентраторов золото - никель, при описанных выше геометрических параметрах.
Наблюдается отсутствие концентрации напряжений как на границе раздела областей, так и вблизи торцов прямоугольника. Однако большая часть накопленной энергии порядка 65 % сосредоточена во внешней области С^, обладающей меньшей жесткостью по сравнению с внутренней. Таким образом, говорить о том, что только параметры Дандерса определяют пары материалов-концентраторов, нельзя. Во внутренней угловой точке области величина концентрации напряжений зависит также от сочетания этих материалов. В данном случае внешняя область должна быть более жесткой по сравнению с внутренней.
Вызывает интерес вопрос, связанный с особенностями поведения динамических характеристик для пар материалов, которые подвержены возникновению волн Стоунли. И в этом случае важное значение имеет определенное сочетание таких материалов. Результаты проведенного анализа для пар материалов, представленных в [8], показали, что возникновение на границе раздела двух сред волн Стоунли возможно лишь в том случае, если для материалов, составляющих области, жесткость # < 1. В этом случае наблюдается сильная локализация напряжений вдоль границы раздела областей. Во внутренней угловой точке областей есть особенность, что подтверждается численным анализом характеристического уравнения системы (3) для пар материалов с указанными свойствами. Наблюдается сильная локализация напряжений вдоль границы раздела областей. Кроме того, имеем скачкообразный разрыв в напряжениях <722(<5,у) на
границе раздела. Что касается количества запасенной энергии, то приблизительно 75 % ее сосредоточено во внешней более «жесткой» области. Это подтверждает ранее сделанные выводы о том, что для таких сред присутствуют признаки краевого резонанса [13], выраженные не так ярко, как в случае однородной об-
Донецкий национальный технический университет
ласти. Внутренняя, более «мягкая» область, воспринимает около 25 % запасенной энергии.
Исследование распределения компонент тензора напряжений в окрестности границы х = 8 с параметром жесткости g > 1 показало для таких материалов отсутствие локализации напряжений вдоль границы раздела сред и в угловой точке А. При указанном сочетании материалов около 75 % запасенной энергии сосредоточено во внутренней более «жесткой» области.
Литература
1. Вовк Л.П. И Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 1. С 29-33.
2. Вовк Л.П. II Проблеми трибології (Problems of tribology).
2000. № l.C. 118-122.
3. Белоконь A.B., Вовк Л.П. IIПМ. 1982. T. 18. № 5. С. 101 -105.
A. Гетман И.П., Лисицкий О.H. II ПММ. 1988. T. 52. № 6. С. 1044-1048.
5. Гетман НИ, Лисицкий О.Н. И ПМ. 1991. Т. 27. №8. С. 54-59.
6.Гринченко В.Т., Городецкая Н.С. // ПМ. 1985. Т.21. № 5. С. 121 - 125.
7. Касаткин Б.А. II Акуст. журн. 1982. Т. 28. № 2. С. 232 -237.
8. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев, 1981.
9.Головчан В.Т. и др. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 5: Динамика упругих тел. Киев, 1986.
10. Боджи Д. II Тр. Амер. об-ва инженеров-механиков. Прикл. механика. 1971. Т. 38. № 2. С. 87 - 96.
11. Пельц С.П., Шихман В.М. И Докл. АН СССР. 1987. Т. 295. № 4. С. 821 - 824. .
12. Плевако В.П. II ПММ. 1979. Т. 43. № 4. С. 760 - 764.
13. Вовк Л.П., Лупаренко Е.В. II Системні технології. Математичні проблеми технічної механіки. Днепропетровск,
2001. С. 28-33.
7 марта 2003 г.
УДК 539.3
ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА В КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИИ ОКОЛО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОТВЕРСТИЯ
©2003 г. Б.А. Жуков
In work examine the influence of second-order effects on stress concentration near an elliptic orifice at the plane strain in investigated. The orifice is free from stress; the loading it applied on infinity.
Исследовано влияние эффектов второго порядка на концентрацию напряжений около эллиптического отверстия при плоской конечной деформации. Показано, что распределение напряжений около отверстия в квадратичном приближении не только количественно, но и качественно отличается от распределения в линейном приближении. Для определенных значений
внешней нагрузки при достаточно большой кривизне в вершине эллипса происходит расщепление одного максимума в этой вершине на два в ее окрестности. Подобным образом себя ведут некоторые компоненты напряженного состояния вблизи вершины разреза в решении, полученном в рамках нелинейной механики разрушения [1].
