CC BY
30Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2015. Том 22, № 4
УДК 512.6:519.61
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ Ф. М. Федоров, О. Ф. Иванова, Н. Н. Павлов
Аннотация. На основе ранее полученных результатов по исследованию гауссовых бесконечных систем изучены основные принципиальные отличия общих бесконечных систем от конечных. В частности, показано, что для общих бесконечных систем линейных алгебраических уравнений не выполняются теоремы Фредгольма и Нетер. Кроме того, уточнено понятие метода редукции, в частности, показано, что он может сходится, но не к решению рассматриваемой бесконечной системы. Также указано, что метод редукции для решения однородных бесконечных систем проявляет двойственность. Отмечено, что решение однородных бесконечных систем имеет противоречивый характер по отношению к решению конечных однородных систем. В частности, показано, что однородная бесконечная система может иметь нетривиальные решения, если даже ее бесконечный определитель не равен нулю.
Кроме того, решение линейной однородной бесконечной системы необходимым образом сводится к решению нелинейного уравнения, так называемого характеристического уравнения, чего быть не может для конечных систем. Ключевые слова: бесконечные гауссовы системы, линейные алгебраические уравнения, теоремы Фредгольма и Нетер, преобразование Гаусса, метод редукции, однородные системы.
Fedorov F. M., Ivanova O. F., Pavlov N. N. About the particularities of infinite systems.
Abstract: Based on previous results on the study of infinite systems studied basic common fundamental differences of general infinite systems from finite. In particular, it is shown that are not fulfilled Fredholm and Noether's theorems to the general infinite system of linear algebraic equations. In addition, to clarify the concept of the reduction method. In particular, we show that it can converge, but not to the solution considered infinite system. It is also pointed out that the reduction method for solution of homogeneous infinite systems exhibits duality. It is noted that the solution of homogeneous infinite systems is controversial in relation to the solution of finite homogeneous systems. In particular, it is shown that an infinite homogeneous system may have non-trivial solutions, even though its infinite determinant is not zero. In addition, the solution of the linear homogeneous infinite system is necessarily reduced to the solution of the nonlinear equation, the so-called characteristic equation, which is impossible for finite systems.
Keywords: Gaussian infinite system, linear algebraic equations, Fredholm theorems, Noether theorem, transformation of Gauss, method of reduction, homogeneous systems.
Введение
Напомним, что за более чем 200-летнюю историю исследований бесконечных систем их общая теория до настоящего времени не была создана, хотя
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках базовой части государственного задания (проект №3047).
© 2015 Федоров Ф. М., Иванова О. Ф., Павлов Н. Н.
для отдельных видов бесконечных систем разработаны конкретные теории [1,2]. Общая теория оказалась, с одной стороны, чрезвычайно сложной, а с другой стороны, она имеет очень богатое содержание и широкие приложения во многих областях математики, механики и физики. Все это заставило математиков всего мира пойти по пути исследований частных классов бесконечных систем. Интенсивное исследование по бесконечным системам и становление теории функционального анализа практически совпали по времени: конец Х1Х-го и начало ХХ-го веков. Успехи развития функционального анализа и его широкое приложение в различных областях математики и физики предопределили применение его методов в исследовании бесконечных систем. В настоящее время практически полностью изучен десяток классов бесконечных систем: нормальные системы, регулярные и вполне регулярные системы, мультипликативные системы, системы с разностными индексами и др. [2]. Во всех этих исследованиях успешно применены методы функционального анализа, но их применение предусматривает некоторые ограничительные допущения относительно коэффициентов матрицы и свободных членов бесконечной системы, связанные с изучением бесконечных систем в нормированных пространствах. Сходимость по норме в банаховых пространствах подразумевает сильную сходимость.
Поэтому во всех известных до настоящего времени исследованиях [2, 3] допускается, что свободные члены Ь^ ограничены в совокупности, т. е. Ь^ < В. Кроме того, для коэффициентов системы а^- самое слабое ограничение, которое
необходимым образом допускается, заключается в следующем: ^ | < то,
где ai,i = 1 + при г = j и а^ = при г = j. Системы, для которых эти условия не выполняются, априори не рассматриваются как предмет исследования, что и привело в конечном счете к критической ситуации.
Именно разработка теории периодических бесконечных систем [1] дала возможность изучения бесконечных систем с общих позиций и позволила сдвинуться в последние годы с кризисной ситуации.
Во всех своих исследованиях мы придерживаемся понятия слабой сходимости, точнее, покоординатной сходимости. Поэтому заранее избегаем ограничительных допущений относительно коэффициентов и свободных членов бесконечной системы, придерживаясь только определения решения системы.
В настоящей статье на основании ранее полученных результатов и на примерах решения конкретных бесконечных систем покажем основные особенности их решения относительно решения конечных систем. В связи с этим также укажем, какие трудности можно встретить при их решении.
Основные сведения о бесконечных системах, матрицах, определителях и минорах можно найти в работах [1-3].
Прежде всего остановимся на хорошо известных теоремах Фредгольма и Нетер о решениях конечных систем линейных уравнений.
1. О теоремах Фредгольма и Нетер
Сначала рассмотрим вопросы разрешимости конечной системы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными. Каждую такую систему можно записать в виде одного линейного уравнения:
Ах = Ь, (1)
где Ь — заданный вектор, х — искомый вектор-решение, А — линейный оператор в п-мерном евклидовом пространстве М", определяемый матрицей системы.
Сначала напомним основные факты из линейной алгебры, относящиеся к конечной системе (1) [4,5].
1. Уравнение (1) разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда соответствующее однородное уравнение Ах = 0 имеет только тривиальное решение х = 0.
2. Уравнение (1) разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда сопряженное уравнение
А* у = / (2)
разрешимо при любой правой части.
3. Уравнения Ах = 0 и А* у = 0 имеют одинаковое число линейно независимых решений.
4. Если однородное уравнение Ах = 0 имеет нетривиальные решения, то неоднородное уравнение (1) разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть Ь ортогональна ко всем решениям сопряженного однородного уравнения
А* у = 0.
Свойства 1, 3, 4 для конечных систем алгебраических уравнений полностью отражают теоремы Фредгольма.
Необходимо подчеркнуть, что свойства 1 и 2 имеют место, когда определитель |А| системы (1) не равен нулю, а свойство 4 интересно, в основном, наоборот, когда определитель |А| равен нулю.
Теперь отметим теоремы Нетер для конечных систем [6]: разность числа п линейно независимых решений однородного уравнения Ах = 0 и числа п' линейно независимых решений сопряженного уравнения А* у = 0 равна индексу к оператора А (индекс уравнения (1)): п — п' = к(А).
Как обстоит дело в случае бесконечных систем? Какие свойства выполнимы, а какие не выполнимы в теории бесконечных систем? Возникают ли новые свойства? На эти вопросы можем ответить только на основании полученных результатов. Поэтому рассмотрим конкретный пример решения бесконечной системы. Следует подчеркнуть, что приводимая ниже система появилась при решении вполне реальной краевой задачи математической физики граничным методом [7,8], т. е. она не является какой-то абстрактной системой.
Пример 1. Рассмотрим следующую простейшую модель тепловой задачи
с переменными краевыми условиями [7]:
дТ (х,Ь) д2Т (х,Ь) - а-
дЬ дх2
дТ (х,Ь)
0 < х < 1,
дх
= 0, х = 0,
(3)
Т (х,Ь) = V ехр(^), х = 1, Т (х,Ь) = 0, Ь = 0.
Первый этап решения тепловой задачи (3) граничным методом [8] сводится к решению следующей бесконечной системы [7]:
= ^РИ) ( Г )
р=0
(2р)!
а /
.7
0, оо, Ь = -
а
сопз! > 0,
(4)
где хз- = аз- (Ь), аз- (Ь) — соответствующие коэффициенты разложения функции температуры Т(х, Ь) в степенной ряд по пространственной координате х.
Ясно, что все строчные ряды из абсолютных величин коэффициентов матрицы системы (4) расходятся:
|ам+р!
р=0
Ё«£М = =о. 1 = о,1,2,...,
р=0
(2р)!
кроме того, свободные члены системы (4) при Ь > 1 не ограничены в совокупности. Тем не менее данная система имеет решение, полученное методом редукции в широком смысле [7]:
(к) _ (~1У+1Уехр(г4) (2Я!сЬ
хз =
п(2к + 1)
2з
- -
а
+
Ш
тг(2 к + 1) 2
2(^-1)
к^' =0,1, 2,..., (5)
где хо — произвольное вещественное число.
В силу произвольности величины хо решение (5) можем представить в общем виде следующим образом:
п(2к + 1)123
{2з)\
х(к) _ Уехр(г4) ^У + (~1Ухо
(2.7)!
2
~(к) - /у* . /у* 4 '
3 ^^ 3 '
где хз- — частное решение неоднородной системы (4), хз решения однородной системы (4), т. е. при Ь = 0.
(к)
к^' = 0,1, 2,...,
(6)
независимые по к
Выражение (6) наглядно показывает, что для бесконечных систем в общем случае нарушаются все свойства 1-4 для линейных конечных уравнений (1), тем более не выполняются теоремы Фредгольма, тем самым и альтернатива
Фредгольма. Кроме того, также нарушаются теоремы Нетер. Действительно,
(к)
хз является нетривиальным решением соответствующей однородной системы
з
V
2
(4), тем не менее бесконечная неоднородная система (4) имеет решение, т. е. свойство 1 не выполняется.
Касательно свойства 1 можно привести более общие рассуждения. Бесконечную систему также представим как линейное уравнение (1), но в матричной форме АХ = В. Пусть бесконечный определитель системы |А| существует и отличен от нуля. Но существование (или не существование) обратной матрицы А-1 в общем случае не зависит от наличия нетривиального решения соответствующего однородного уравнения. Поэтому разрешимость бесконечной системы также не зависит от существования нетривиального решения однородной системы. Теперь пусть существует хотя бы левосторонняя обратная матрица А-1. Тогда из (1) получим X = А-1 В, но произведение А-1 В может и не существовать, поскольку соответствующий ряд может быть расходящимся, тогда и решение системы может не существовать.
Свойство 2 также нарушается. В случае гауссовых матриц А транспонированная матрица Ат, т. е. в нашем случае это то же, что и сопряженная матрица А*, является треугольной бесконечной матрицей. Для таких треугольных матриц еще Куком [9] показано, что эти матрицы имеют единственную обратную матрицу. Отсюда следует, что сопряженное уравнение (2) имеет единственное решение при любой правой части /, поскольку у треугольной матрицы строки конечные и потому существует произведение соответствующих матриц:
(А* )-1А* у = (А*)-1/, у = (А* )-1/. (7)
Но уравнение (1) не всегда разрешимо, если даже бесконечный определитель отличен от нуля. Подробно об этом речь пойдет ниже (примеры 2 и 3). Как следует из (7), сопряженное однородное уравнение (2) всегда имеет только тривиальное решение, следовательно, как показывает пример 1, свойство 3 тоже нарушается. Поскольку разрешимость уравнения (1) не зависит от разрешимости однородного сопряженного уравнения (2), невыполнимость свойства (4) становится очевидной. Решение (6) примера 1 прямо указывает на нарушение теорем Нетер.
Таким образом, для общих бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (1) теряются теоремы разрешимости, теоремы Фредгольма и Нетер, т. е. линейное уравнение (1) полностью невозможно исследовать с помощью фредгольмовских или нетеровских операторов А.
Главное отличие конечных систем от бесконечных заключается в том, что если даже бесконечный определитель отличен от нуля, то однородная бесконечная система может иметь и нетривиальные решения, чего быть не может для конечных систем.
Но существуют бесконечные системы, которые сводятся к конечным системам и для них было предложено ввести приставку «квази».
2. «Псевдо» бесконечные системы
Наряду с приставкой «квази» введем понятие «псевдо»бесконечные систе-
мы. По видимому, впервые этот термин был введен относительно регулярных бесконечных систем [3]. Квазирегулярными называются системы, в которых условие регулярности выполнено лишь во всех строках, начиная с некоторой, т. е. условие регулярности не выполняется для некоторого конечного числа уравнений. Как показано в работе [3], вопрос существования решения такой системы сводится к вопросу о существовании решения конечной системы. Совершенно аналогично можно ввести понятие квазиоднородных систем. Таким же образом были введены квазипериодические системы [2]. Здесь введем понятие псевдобесконечных систем, но другого рода, чем вышеприведенные «ква-зи»системы. Существуют бесконечные системы, которые занимают промежуточное положение между конечными и бесконечными системами. Лучше всего это можно выяснить при решении конкретной бесконечной системы.
Пример 2. Пусть задана бесконечная система с разностными индексами:
apXj+p = bj, j = 0,1,..., (8)
p=о
где ao = 1, ai = a, a2 = = • • • = 0, a = const, b = const, 1 + ab = 0. Найти строго частное решение системы (8), если оно существует.
Решение. Отметим, что гауссова система (8) существенно отличается от общей гауссовой бесконечной системы, а именно, в каждом уравнении системы содержится только конечное число членов (неизвестных). В данном случае таких членов только два. В силу этого при применении метода редукции возникают два принципиально разных подхода. Во-первых, бесконечную систему (8) можно решать, не отбрасывая членов самих уравнений, а ограничиваясь только числом уравнений, тогда конечная система будет иметь вырожденную матрицу. Поэтому в таком случае удобно использовать метод редукции в широком смысле [1,2]. Во-вторых, эту конечную систему можно замкнуть, отбрасывая один член только в последнем уравнении, полагая, что xn = bn. Тогда возникает возможность использования метода редукции в узком смысле [1,2], т. е. обычной простой редукции.
Бесконечная система (8) привлекательна еще и тем, что ее можно решить по крайней мере четырьмя различными способами. Ее общее решение как пример решения периодических бесконечных систем приведено в [1]:
ж, = --г + -1—- j = 0,1,..., (9)
j 1 + ab aj w
где C — произвольная константа.
Во-вторых, гауссову систему (8) можно рассматривать как разностное уравнение, теорию которых можно найти в классических трудах, например, в [10], и, естественно, применяя ее, получим решение (9).
Основная матрица А системы (8) имеет вид
А =
1 а 0 0 0 0 .
0 1 а 0 0 0
0 0 1 а 0 0
0 0 0 0 1 а
0 0 0 0 0 1
. .
(10)
и, очевидно, ее бесконечный определитель равен единице, т. е. |А| = 1.
Далее систему (8) решим еще двумя способами. Сначала гауссову систему (8) решим по общей теории исследования бесконечных систем [11], согласно которой строго частное решение бесконечной гауссовой системы, если оно существует, выражается формулой [11]:
Х = Д^1 = ]Г(-1)РАРС;)^+Р, з = 0,..., то, (11)
р=0
при этом Ар(3) рекуррентно определяется соотношением
р-1
Ар(з) = Е(-1)р-1-к а№+р Ак(з), Ао(3) = 1, (12)
к=0
где — соответствующие элементы матрицы (10) и Д(^+1) — определи-
тель Крамера, т. е. это определитель |А|, в котором (3 + 1)-й столбец заменен столбцом свободных членов Ьк = Ьк системы (8).
На самом деле, величины Ар(3) составляют последовательность главных миноров определителя
1 ... 0 0
А„(з)
а3,3+1
а3,3+2
а3+1,3+2
а3,3+п-1 а3+1,3+п-1
при этом полагаем А0(3) = 1, А1(3) = А2(3) =
00
а3+п-2,3+п аз+п-1,3+п
а3,3+1 1
а3,3+2 а3+1,3+2
(13)
и т. д.
В нашем случае Ар(3) являются главными минорами порядка р определителя следующей матрицы:
а 1 00 .0 0 .
0 а 10 .0 0
0 0 а1 .0 0
0 0 00 .а 1
0 0 00 .0 а
. .
Вычисляя главные миноры определителя матрицы (14) (или по формуле (12)), легко получить Ар = ар. Тогда вычисление по выражению (11) дает
д(з+1) = ь3^ ( —1)рарЬр, з = 0,..., те. (15)
р=0
Но ряд в (15) сходится тогда и только тогда, когда |аЬ| < 1, в этом случае из (15) найдем
Ь3
ж7-=Д^'+1) =-, 1 + аЬ^0. (16)
3 1 + аЬ у '
Подставляя выражение (16) в систему (8), убеждаемся, что оно является строго частным решением системы (8) при |аЬ| < 1. Таким образом, для сходимости метода редукции необходимо и достаточно выполнения условия |аЬ| < 1. Но это условие, очевидно, является одновременно условием и для матрицы А, и для свободных членов Ь системы (8). Вместе с тем известно [12], что линейный оператор, определяемый основной матрицей А бесконечной системы, должен быть представим в виде суммы положительно определенного и вполне непрерывного операторов. При этих условиях оператор А допускает редукцию относительно любого ортонормированного базиса, тем самим получено сильное условие сходимости редукции. Этот результат является следствием сильной сходимости, т. е. сходимости по норме пространства, а мы рассматриваем слабую сходимость, т. е. сходимость покоординатную, что дает более слабое условие сходимости метода редукции.
Очевидно, решение (9) не зависит от того, будет ли |аЬ| больше или меньше единицы. Вместе с тем имеется основная теорема [11]: бесконечная гауссова система совместна тогда и только тогда, когда существует ее строго частное решение. Как показано выше, система (8) при |аЬ| > 1 не имеет строго частного решения, следовательно, на основании основной теоремы она несовместна, но система (8) имеет решение (9) и при |аЬ| > 1. Получили как бы противоречие, в чем дело? При применении метода редукции для доказательства указанной теоремы подразумевается, что в каждом уравнении (точнее, для бесконечного числа уравнений) отбрасываются бесконечные наборы членов. Другими словами, бесконечная гауссова система рассматривается в полном виде в том смысле, что бесконечное число уравнений содержит бесконечное число неизвестных, а система (8), как указано выше, в каждом уравнении содержит только два неизвестных, что дает возможность, не прибегая к редукции, получить решение. Это и будет четвертый подход. Итак, систему (8) рассмотрим как одно рекуррентное уравнение:
х3-1 + ах3 = Ь3-1, з = 1, 2,.... (17)
Решая уравнение (17) относительно х3-, получим
= (18)
а
Повторяя формулу (18) 3 раз, имеем
^ = о), ¿>0, (19)
где жо — произвольная константа.
Представим постоянную жо в виде жо = 1+1аЬ + С, где С — произвольная константа. Подставляя последнее выражение в (19), после несложных преобразований получим
** - 1 ( Ъ-таЬу-^ + ^ + (-1ус) , > 0.
3 оЛ^^^^ ' 1 + аЬ у 7 / 1 + аЬ а3
\р=о /
(20)
Таким образом, приходим к решению (9).
Поскольку дд-^1^^ является общим решением соответствующей однородной системы, выражение
а V р=0 /
очевидно, есть частное решение системы (8), полученное как следствие конечности каждого уравнения системы (8). Вместе с тем при |аЬ| > 1 оно не является строго частным решением, хотя при |аЬ| < 1, как показано выше, является таковым. Таким образом, бесконечная система (8) ведет себя отчасти как бесконечная система, отчасти — как конечная система. Естественно, в последнем случае некоторые свойства бесконечных систем теряются, в частности, метод редукции не сходится, поскольку в выражении (19) имеется только конечная сумма, а ряда, как в (15), нет.
Теперь бесконечную систему (8) решим методом редукции в узком смысле, т. е. методом простой редукции. В этом случае, как сказано выше, в силу конечности самих уравнений отбрасывается только последний член последнего уравнения, в результате получается система из трех уравнений с тремя неизвестными жп_2, жп_1, жп:
Жп-2 + аж„_1 = Ьп_2, ,п-1
ж.
п_1 + аж„ = Ьп_\ (21)
Жп = Ь".
Отсюда ясно, что при любом п > 2 все уравнения конечной системы (21) точно соответствуют уравнениям бесконечной системы (8), кроме последнего. Решая систему (21), получим жп_2 = Ьп_2 — аЬп-1 + а2Ьп, жп-1 = Ьп-1 — аЬп, жп = Ьп. Отсюда индуктивно заключаем, что
3
Ж"_з = Е( — 1)РарЬп_3+р, 3 = 0,..., п. р=0
Переобозначив, окончательно получим редуцированное решение
П-3
= ^(-1)рарЬ3'+р.
р=0
Переходя к пределу при п ^ те в последнем выражении, очевидно, придем к ряду (15) при |аЬ| < 1, что подтверждает необходимость применения метода редукции в узком смысле при решении неоднородных бесконечных систем.
Таким образом, бесконечные системы с бесконечным числом конечных уравнений не обладают в полной мере свойствами общих бесконечных систем, вместе с тем содержат некоторые черты конечных систем. Поэтому такие системы можно называть по-особому, например, «полубесконечные» или «квазибесконечные» системы и изучать их отдельно от общих (полных) систем. Мы все-таки предлагаем применять термин псевдобесконечные системы и изучать их отдельно от общих (полных систем). Типичным примером псевдобесконечной системы является бесконечная система с диагональной матрицей, т. е. бесконечная система: а3-х3- = Ь3-, где а3- = 0. На самом деле, данная система конечная,
ь,
точнее, одно уравнение с одним неизвестным, и его решение, очевидно, х^ = . Но если мы рассмотрим ее как бесконечную, то ясно, что получим абсурдные результаты хотя бы потому, что при | а| > 1 бесконечного определителя данной системы не существует. Таким образом, под бесконечной системой в общем случае понимается система, которая содержит бесконечное число уравнений с бесконечным числом ненулевых коэффициентов (а3-^ = 0).
3. Нелинейный характер решений бесконечных однородных систем. Двойственность метода редукции
Чтобы показать нелинейный характер решений бесконечных однородных систем, снова обратимся к примеру 1, точнее, к решению (6) периодической системы (4) в однородном случае (Ь = 0):
(к) _ х0
7Т(2к + 1Я2\ /г = 0,1, 2,..., j = 1, 2, 3,..., (22)
2
где xo — произвольное вещественное число.
Подчеркнем, что при xo = 1 выражение (22) дает базис бесконечномерного подпространства нетривиальных решений однородной бесконечной системы (4), а само решение типа (22) при xo = ж^ = const в [1] названо фундаментальным решением однородной системы.
Более подробно повторим метод получения решения (22) с тем, чтобы ответить на вопрос, в чем же состоит его особенность?
Для этого рассмотрим однородную периодическую гауссову систему
^ aj,j+pXj+p = 0, j = 0,1, 2,..., (23)
p=0
где коэффициенты а//+р в силу периодичности системы (23) имеют вид а//+р = аРа/+Р /+р, и применим к ней общий подход исследования бесконечных систем [11].
Чтобы решить систему (23), сначала укорачиваем ее по методу редукции в широком смысле и получаем решение урезанной однородной конечной гауссовой системы в виде [11]:
ж/ = -£„_•/ж/+1, (24)
где
Sn_J = ^M±l+J2 ^ Si = j = (25)
p=2 П Sn-j-k
p 1 an- 1,n- 1
j p=2 т-г о "-n-1,n
p=2 - n k=1
Здесь Sn-, является функцией от j, т. е. Sn-, = Sn-, (j).
Нами в [1,11] показано, что если существует предел lim Sn-,(j) = S(j) и
n—
в выражении (25) возможен предельный переход под знаком суммы, то справедливо ж, = lim ж,. Последнее соотношение позволяет найти нетривиальное
n—
решение однородной системы (23). При этом числа S(j) составляют так называемые характеристические числа соответствующего нетривиального решения однородной системы (23). Решая полученное рекуррентное уравнение, получим нетривиальное решение в виде
_ (-lyXQ
Х3 -
П S(k)
k=0
j = 1,00, (26)
где жо — произвольное вещественное число, Б(7) — неизвестные характеристические числа.
Для определения чисел £(7) предельный переход в (25) дает систему нелинейных уравнений
оо
Е ( Р1)У3+Р =0, = 0,1,2..........(27)
р=0 О/ П £(7 + к)
й=0
_1
где для унификации обозначений принято П £(7 + к) = 1 для любого 7.
й=0
Необходимо отметить, что подставляя решение (26) в систему (23), также получим систему (27) в силу произвольности жо. Если система уравнений (27) не имеет решения относительно £(7), то однородная система (23) имеет только тривиальное решение.
Особо следует подчеркнуть следующее. На самом деле действие метода редукции для однородных бесконечных систем заканчивается формулой (26) и системой (27). Для пояснения этого положения вернемся к примеру 1, точнее, к решению (22).
Поскольку решения систем периодических и с разностными индексами изоморфны, достаточно рассмотреть систему с разностными индексами (aj,j = 1) [1], при этом изоморфность осуществляется соответствием yj = где yj — решение периодической системы, а Xj — системы с разностными индексами. Тогда вместо системы (23) можно рассмотреть систему (ар = j^jj)'-
ж 1
= 3 = 1,2,3,.... (28)
Нас прежде всего интересуют характеристические числа S(j), которые определяют независимые нетривиальные решения однородных систем. Этот вопрос подробно исследован в [13]. На основании этой работы в первую очередь можно предположить, что S(j) = S = const, т. е. характеристические числа не зависят от индекса j, на что указывает структура самой системы (28). Тогда, очевидно, выражение (26) инициирует решение
= 3 = 1,2,..., (29)
где xo — произвольное вещественное число. При этом S определяется из нелинейного уравнения, полученного от системы (27), которая преобразуется в одно уравнение:
Очевидно, что на основании соотношения (30) можем составить аналитическую функцию
p=0 (2p)!
и найти ее нули. В [1] функция f (ж) названа характеристикой самих периодических систем, в частности, системы (4).
Здесь сделаем некоторое отступление. Для конечных систем, применяя как бы метод редукции в широком смысле, получим соответствующее решение, подобно решению (24), (25), но с той разницей, что в нем все параметры, входящие в него, известные величины, а в (29) величина S является неизвестной, которую нужно определить из нелинейного уравнения (30). В этом заключается основное отличие решения конечных однородных систем от решения однородных бесконечных систем, поскольку в бесконечном случае появляется новая неизвестная величина S = S(j) = lim Sn_j.
n—
В общем случае, очевидно, метод решения уравнения (31) не зависит от метода решения бесконечной системы (28). Следовательно, отражая линейный характер решения однородной бесконечной системы (28), действие метода редукции заканчивается формулой (29) и уравнением (31). Таким образом, метод редукции в широком смысле дает только структуру нетривиального решения, если оно существует, и соотношение для определения неизвестного, в данном
случае S. Найдем значение S в случае характеристики f (ж). Очевидно, уравнение (31) для характеристики /(ж) дает: /(ж) = cosa/ж = 0. Отсюда определяем все нули функции /(ж): х'к = [7Г(2^+1)] ; следовательно, Sk = jr = [х(2fc+i)] ' тем самым с учетом периодичности системы (4) приходим к решению (22).
Еще раз подчеркнем, что метод редукции сходится всегда, если только существует нетривиальное решение системы (23). Это положение можно интерпретировать очень просто. Пусть множество чисел {xjобразуют нетривиальное решение однородной системы (23). Сделаем замену = —S(j). Структура системы (23) позволяет предположить, что S(j) = S = const, т. е. не зависит от индекса j. Тогда имеет место Xj = —Sxj+1, решая его рекуррентно, очевидно, получим (29). Дальнейшее действие уже известно.
Но, по чистой случайности, процесс (25) при определенных условиях выступает как численный алгоритм определения конкретного корня уравнения (30), т. е. отражает нелинейный характер решения системы (23). В этой роли метод редукции не всегда сходится, и в этом проявляется двойственность метода редукции, обусловленная двойственностью решения системы (23). Более подробно сходимость процесса (25) для определения нулей алгебраических уравнений бесконечного порядка исследована в работах [1,14,15]. В этих работах показано, что если уравнение (30) имеет единственное наименьшее по модулю решение, то процесс (30) сходится к этому решению. Если таких нулей несколько, то метод (25) не сходится. Здесь уместно отметить, что процесс (25) является обобщением классического метода Бернулли вычисления наибольшего по модулю нуля полинома [15].
4. Трудности поиска решений бесконечных систем
Здесь в основном отметим только те сложности решения бесконечных систем, которые возникают из-за принципиальных отличий конечных и бесконечных систем.
Пусть бесконечная система задана в операторном (а) или в матричном (b) видах
(а) Аж = 6, (b) AX = B, (32)
где А — линейный оператор в матричном виде или сама матрица, ж, X — столбец неизвестных, b, B — столбец свободных членов.
Таким образом, бесконечную систему уравнений часто рассматривают как одно линейное уравнение (32(a)) и решают ее с помощью теории линейных операторов. Но таким подходом нельзя полностью разрешить бесконечную систему уравнений, на это указывают веские доводы.
Во-первых, как показано выше, теоремы Фредгольма и Нетер, справедливые для конечных систем, не работают для бесконечных систем. Если бесконечную матрицу рассматривать как линейный оператор, то получим только строго частное решение бесконечной системы, которое в случае однородной системы является только тривиальным решением. Вместе с тем подробное решение в
однородном случае системы примера 1 показывает, что матрица А, т. е. оператор А, фактически не играет никакой роли при получении нетривиальных решений однородной системы. Поэтому никакие условия, заранее налагаемые на оператор А, не обеспечивают единственность решения.
Во-вторых, немаловажное значение для исследования бесконечных систем имеет следующее отличие последних от конечных систем. Пусть бесконечная система (32 (Ь)) записана в матричном виде АХ = В, где А — гауссова матрица, причем она имеет единственную обратную матрицу А-1. Тогда решение системы в конечном случае запишется в виде X = А-1В. Но это решение, всегда верное для конечных систем, не всегда является решением бесконечных систем. Рассмотрим это положение на конкретном примере.
Пусть задана общая бесконечная система в гауссовой форме (а^- = 0):
53
р=0
= , 3 = 1, 2, 3,....
(33)
Не нарушая общности, можем положить, что основная гауссова матрица А системы (33) имеет ненулевой бесконечный определитель |А|. Поскольку для гауссовых матриц имеет место а^ = 0, формально разделив на диагональные элементы, получим систему с диагональными элементами, равными единице, т. е. определителем, не равным нулю.
Тогда частное решение неоднородной гауссовой системы (33), подобное решению (6), учитывающее нетривиальное решение, если оно существует, однородной системы (33) (6^- = 0 для всех 3) будет [11]:
р=0
АрЦ) Ьз+Р + о
¿-1
П £ (к)
й=0
3 = 1, 2,....
(34)
Ясно, что ряд в правой части (34) является строго частным решением системы (33), кроме того, с одной стороны, он равен бесконечному определителю Крамера А с другой стороны, — значению строки матрицы А-1В. Последнее следует из того, что бесконечная обратная матрица А-1 любой гауссовой системы (33) будет иметь вид
/1 -А1(1) А2(1) 0 1 -А1(2) 0
А-
0
1
0
0 .
(-1)рАр(1) (-1)р-1Ар-1(2) (-1)р-2Ар-2(3)
(-1)р+1Ар+1(1)
(—1)рАр(2) (-1)р-1Ар-1(3)
(-1)р+1- Ар+1- (3) (-1)р+2- Ар+2-(з)
-А1(р) 1 0
А2(Р) -А1(р + 1) 1
1
(10) по выражению (35) будут а^ 7- = ^ п ' . В этом также можно
Выражение (35) легко получить из соотношений (11)—(13).
Теперь вернемся к примеру 2 и возьмем следующие значения параметров: а = -10, Ь = 1. Тогда коэффициентами обратной матрицы А-1 для матрицы
107-г, 3 > I
0, 3 < г
убедиться непосредственным умножением обратной матрицы А-1 на матрицу
А. Формальное умножение матриц А-1 В дает столбец, элементами которого
_ ^
являются Ь7- = ^ 10рЬ^+р, з > 1. Но эти ряды могут быть не сходящимися, на-
р=0
пример, при Ь7- = 1, тогда умножение бесконечных матриц невозможно по определению, кроме того, бесконечный определитель Крамера Д(7) не существует. Следовательно, в этом случае метод редукции не сходится и вопрос решения псевдобесконечной системы (8) остается открытым. Заметим, что для полной бесконечной системы (каждое уравнение системы содержит бесконечное число неизвестных) данная ситуация показывает неразрешимость рассматриваемой системы [11]. Пусть теперь Ь = 1/20, тогда последний ряд сходится, умножение матриц осуществимо и, как показано выше, решение системы (8) имеет вид (16) и равно определителю Крамера. При Ь = 1 умножение матриц неосуществимо, тем не менее система (8) имеет решение (16), но оно не равно определителю Крамера, поскольку последний не существует.
Хотя метод редукции может сходиться к определителю Крамера, этот определитель может и не быть решением данной системы, т. е. в данном случае правило Крамера не работает.
Пример 3. Пусть дана бесконечная гауссова система
Ь7
Е^+Р = К^Ш' М1, 3 = 0,1,2,.... (36)
р=0 ( )
Найдем строго частное решение гауссовой неоднородной системы (36) по соотношениям (11) и (12). По рекуррентной формуле (12) вычислим значения Ap(j), тогда Al(j) = а^-Ao(j) = 1 и A2(3) = ^0(3) + Al(j) = 0, следовательно, Ap = 0 при р > 2. С учетом этих значений Ap(j) из (11) найдем, что
Аи+1) = уАр(з)Ъ0+р = Ъ0 - Ъ0+1 = ^ < °с
р=0
для любого фиксированного 3 при любых Ь = 1, т. е. метод редукции сходится и независимо от 3 существует определитель Крамера Д(7+1).
Найдем условие того, когда определитель Д(7+1) является решением системы (36), т. е. найдем достаточное условие существования строго частного решения.
Подставляя выражение х^ = = в систему (36), имеем
р=0 ^ ' р=0
но последний ряд сходится тогда и только тогда, когда |6| < 1. Следовательно, при |Ь| < 1 система (36) удовлетворяется, поэтому х^ = является строго частным решением.
Очевидно, что при |6| > 1 ряд в правой части (37) не сходится, следовательно, не существует строго частного решения, поэтому на основании основной теоремы система (36) несовместна. Таким образом,хотя бесконечный определитель А ¿+1 существует, т. е. метод редукции сходится, он может и не быть решением системы. Поэтому в таком случае правило Крамера не дает решения бесконечной системы.
Обратим внимание еще на один момент. Как отмечается в [16], бесконечная матрица может иметь бесконечное число обратных матриц, что, очевидно, создает дополнительные сложности решения таких систем.
В-третьих, решение однородной системы никак не зависит от структуры бесконечного определителя системы. Поэтому если бесконечный определитель не равен нулю, однородная система может иметь нетривиальное решение, чего быть не может для конечных систем. Подпространство решений однородной системы может быть даже бесконечномерным. Данное обстоятельство создает дополнительные сложности при исследовании единственности решения бесконечной системы.
В-четвертых, нелинейный характер решений бесконечных однородных систем выявляется только при решении ее методом редукции в широком смысле, т. е. в каждой урезанной системе количество неизвестных на единицу больше, чем количество уравнений. Точнее, предполагается, что конечная урезанная система для каждого п имеет вырожденную матрицу. Метод редукции в широком смысле сходится всегда, если только существует нетривиальное решение однородной системы. При этом решение бесконечной системы он сводит к решению нелинейного (характеристического) уравнения. Но при определенных условиях он может выступать как численный алгоритм определения конкретного корня характеристического уравнения однородной системы, т. е. может отражать нелинейный характер решения однородной системы. В этой роли метод редукции в широком смысле не всегда сходится, и в этом проявляется двойственность данного метода, обусловленная двойственностью решения однородной системы.
Прежде всего отметим противоречивый характер решения (34) с теорией конечных систем в двух аспектах. Во-первых, если однородная система (33) имеет нетривиальное решение, то решения {у-} однородной системы могут быть линейно зависимы, что противоречит представлениям теории конечных систем, поскольку определитель системы (33) не равен нулю. Во-вторых, решение линейной однородной системы необходимым образом, как видели выше, сводится к решению нелинейного уравнения, чего не может быть для конечных систем.
Кроме того, как уже указали в разд. 1, оператор А, представляющий бесконечную матрицу А линейного уравнения (33), не является ни фредгольмовым, ни нетеровым оператором, поэтому общая бесконечная система (33) не может
быть полностью исследована с помощью теории линейных операторов фред-гольмовского или нетеровского типов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Новосибирск: Наука, 2009.
2. Федоров Ф. М. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и их приложения. Новосибирск: Наука, 2011.
3. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
4. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М.: Наука, 1975.
5. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.
6. Nöther F. Über eine Klasse singularer Integralgleichungen // Math. Ann. 1921. V. 82. P. 42—63.
7. Федоров Ф. М., Осипова Т. Л. Граничный метод в задачах с переменными граничными условиями // Мат. заметки ЯГУ. 2005. Т. 12, № 1. С. 116-120.
8. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.
9. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. М.: Физматгиз, 1960.
10. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука, 1973.
11. Федоров Ф. М., Иванова О. Ф., Павлов Н. Н. Сходимость метода редукции и совместность бесконечных систем // Вестн. СВФУ им. М. К. Аммосова. 2014. Т. 11, № 2. С. 14-21.
12. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971.
13. Федоров Ф. М. К теории периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, № 1. С. 141-152.
14. Федоров Ф. М. О новом подходе изучения вещественных корней полиномиального уравнения // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, № 1. С. 105-113.
15. Федоров Ф. М., Абрамова М. Е. О решении алгебраических уравнений бесконечной степени обобщенным методом Бернулли // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, № 2. С. 80-88.
16. Холубовски В. М. Алгебраические свойства групп бесконечных матриц: Дис. ... докт. физ.-мат. наук. СПб, 2007.
Статья поступила 20 сентября 2015 г.
Федоров Фома Михайлович, Иванова Оксана Федотовна, Павлов Никифор Никитич Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики,
ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891, Республика Саха (Якутия) f oma_46@mail. ru
