Об ортогональных преобразованиях в задаче сбора, обработки, архивации и распространения спутниковых данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.932

ОБ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ В ЗАДАЧЕ СБОРА, ОБРАБОТКИ, АРХИВАЦИИ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ СПУТНИКОВЫХ ДАННЫХ

М.Л. Казарян

В статье исследуются ортогональные преобразования и их использование в технологиях дистанционного зондирования Земли для экологического мониторинга. Дистанционное зондирование Земли позволяет с космических аппаратов получать информацию среднего, высокого пространственного разрешения и проводить гиперспектральные измерения. Космические аппараты имеют несколько десятков или сотен спектральных каналов. При обработке снимков используется аппарат дискретных ортогональных преобразований и, в частности, вейвлет-преобразования. В работе рассматривается решение задачи, связанной с повышением эффективности применения методов компрессии цифровых изображений для хранения и последующей обработки снимков. В работе подробно анализируются вейвлеты Хаара. Проводится математическое исследование их на корректность методом Тихонова. Доказывается теорема подтверждающая справедливость метода Тихонова в отношении рядов Фурье -Хаара. Далее проводится эксперимент, из которого следует справедливость теоретических исследований преобразований вейвлет - Хаара.

Ключевые слова: ортогональные преобразования, эффективность, данные, цифровые изображения.

Технология ДЗЗ является доступным, оперативным и эффективным средством экологического мониторинга. Многозональная космическая видеоинформация может быть использована в системах контроля экологического состояния территориальных объектов для наблюдения [1-2].

Первый этап космического мониторинга -определение на космических изображениях квазиоднородных по яркости областей по измерениям в каждой из частотных полос сканера.

В работе рассматривается решение актуальной научно-технической задачи, связанной с повышением эффективности применения методов обработки (компрессии) цифровых изображений для задач ДЗЗ для хранения и последующей обработки снимков [3].

Пространственные преобразования позволяют извлекать информацию из данных дистанционного зондирования и обрабатывать ее нужным образом [2]. В некоторых преобразованиях используются только локальные данные из относительно небольшой окрестности пиксела, в других - информация обо всех элементах изображения. Первая группа преобразований представляется операцией свертки, вторая - преобразованием Фурье. Между этими крайними случаями находится приобретающая все большее значение категория многомасштабных преобразований, в которую входят гауссовы пирамиды, пирамиды Лапласа и вейвлет-преобразо-

вания [4]. Обработка данных с помощью этих методов позволяет получить доступ к пространственной информации в широком диапазоне масштабов, от локального до глобального.

Одним из эффективных методов обработки изображений является вейвлет-анализ. Термин «вейвлет», означающий в переводе с английского «маленькая волна», появился в 80-х гг. прошлого столетия в работах Марле и Глоссмана, связанных с анализом сейсмических данных. В общем виде вейвлет-преобразование W{f(t)} функции Дг) состоит в разложении этой функции по базису, сконструированному из семейства функции

хРаъ (0 [3]: №{/(£)} = [ /ОЖьСс)*.

Это семейство нормированных на Н"12

функции ад): Фаь(.0 = |а|-1/2чгр-~]

получено из функции-прототипа ¥(1;), называемой материнским вейвлетом, путем масштабных преобразований (дилатаций), определяемых действительным положительным числом да > а > 0, и путем параллельных переносов (трансляций), определяемых действительным числом да > Ь> -да. Числа а и Ь называют соответственно параметрами масштаба и сдвига. Интегральное вейвлет-преобразование локализует сигнал во «временном окне»: [Ь + - аД^ , Ь + аС + аД^],

с центром окна в Ъ+М и шириной, равной 2а Д¥, где Ду - радиус функции окна. В ана-

лизе сигналов это носит название «временная локализация».

Вейвлеты, являясь функциями времени, имеют свое частотное представление, называемое средней круговой частотой вейвлета w0. В частотной области спектры многих вейвлетов напоминают всплеск, пик которого приходится на частоту Wo. Если приближенно трактовать вейвлет как модулированную синусоиду, то ее частота и будет средней частотой вейвлета.

Прямое непрерывное вейвлет-преобразование означает разложение произвольного входного сигнала на совокупность волновых пакетов - вейвлетов, которые характеризуются четырьмя принципиально важными свойствами: имеют вид коротких, локализованных во времени (или в пространстве), волновых пакетов с нулевым значением интеграла; обладают возможностью сдвига по времени; способны к масштабированию (сжатию / растяжению); имеют ограниченный (или локальный) частотный спектр.

Вейвлет-спектрограммы отчетливо выделяют такие особенности сигнала, как небольшие разрывы, изменение знаков первой и второй производных, изменение частоты составляющих сигнала и их энергий во времени и т.д., именно те особенности сигнала, которые плохо выделяются на спектре Фурье -сигнала.

В работе проводится математический анализ вейвлет-преобразований Хаара [5].

Известно, что задача суммирования ряда Фурье интегрируемой с квадратом на отрезке [а, Ъ] функции Дг) с приближенными коэффициентами $£к вместо точных коэффициентов ак = /"СО к= по

некоторой ортонормированной системе функций [3] {{к(?)} является некорректно поставленной. А именно, если

!■■=■ ! ; ± ^, ^>0 (1)

то погрешность, т.е. отклонение функции и суммы ее ряда Фурье с коэффициентами {ск }^=1 вместо {ак }^=1, в равномерной

метрике может оказаться сколь угодно большой [3]. Исследуем вейвлеты Хаара на устойчивость.

Определение 1. Определим функции вейвлет Хаара следующим образом [5]:

2нг, при г е [^.зр ,

т-1 2/—1 /

-2 2 , при г Е )

0 в остальных случаях

где т = 1,2,...; у = 1,...2'”-1, а при ] = 2'”~1 правый из отрезков считается замкнутым также справа. При нумерации функций одним индексом к полагается к = 2™-1 + ] .

Это определение отличается от определения самого Хаара [3] значениями функций Хаара в точках разрыва, но при этом сохраняется основное свойство системы Хаара -равномерное стремление ряда Фурье - Хаара непрерывной на [0,1] функцииДг) кДг) [3].

В случае системы Хаара не удовлетворяется условие равномерной ограниченности, а предложенный в [3] метод не обеспечивает непрерывность функции, аппроксимирующей непрерывную функцию.

В самом деле, пусть функция, непрерывная на [0,1], представлена своим рядом Фурье -Хаара

Пусть вместо {ак }^=1 известны их приближенные значения {с'к }^1, удовлетворяющие условию (1).

Тогда, как приближение Дг) согласно [3]

берется сумма

Для непрерывной функции/^ известно [3], что ah = 0(к~5), а при ак =0 (к- 2^

/(t) = const.

Из сказанного следует, что fs (t) не обязана быть непрерывной, хотя бы потому, что ее коэффициенты могут иметь порядок выше

к ~ 2 и не только при Л > 1.

Из этих соображений следует обоснованность рассмотрения задачи регуляризации ряда Фурье - Хаара с приближенными коэффициентами. Задаче регуляризации таких рядов обобщенным методом суммирования и, в частности, методом Тихонова посвящены дальнейшие исследования.

fc-i

где 0 < 1,

(3)

Я > 1.

В решении этой и последующих задач значительную роль играют классы Бр, 1 < р < да, которые были введены и детально описаны И.М. Соболем (см. 11) для изучения многомерных квадратурных формул и содержат функции с быстро сходящимся рядом Фурье -Хаара.

Определение 2 [6]. Через Бр, 1 < р < да обозначим класс функций /(1), удовлетворяющих условиям:

1) представимы рядом Хаара:

к = 1

2)

.-і = .-і > (4) Пусть Sp = U a>o Sp(A).

Следующая теорема характеризует клас-

сы Sp.

Теорема 1 [6]. Для любой функции f(t) из

Sp ряд

I

к= 1

ХкЮ.

(5)

где \ак|?=1 есть последовательность коэффициентов Фурье - Хаара функции /(г) сходится равномерно на [0,1].

Следствие 1 [6]. Функции классов Бр непрерывны на всех точках отрезка [0,1] кроме, быть может, двоично-рациональных

точек, т.е. точек вида

:р = 0,1,...

" = 1..., в которых они непрерывны спра-

ва и могут иметь разрывы первого рода.

Будет показано, что аппроксимирующая непрерывную функцию сумма ряда, регуля-ризованного обобщенным методом и, в частности, методом Тихонова, принадлежит классу Бр,, р’> 2.

Для функций Хаара справедливо следующее очевидное соотношение:

(т-1)ч

Для рядов Хаара справедлива следующая теорема, которая в дальнейшем послужит нам теоремой единственности.

Теорема 2 [6]. Если ряд Хаара

ак Xfr(t)

с произвольными действительными коэффициентами сходится равномерно

fc-1

на [0, 1], то он есть ряд Фурье - Хаара своей суммы.

Введем несколько обозначений.

Через Qo.il обозначим пространство

'(ОД)

функций, непрерывных на отрезке [0,1], а через £(о д] - пространство интегрируемых в р-й степени функций.

Пусть /Ш Е С(о,1). Модулем непрерывности функции называется функция = Бир |/(г + /1)- /(01

h *8 1-h

(7)

Функцию f(t), представляющую обобщенный метод суммирования и являющуюся аналогом сумматорной функции из [3], определим следующим образом.

Определение 3. Непрерывную справа в точке 0 монотонную функцию ft) c f(0)=1;

(8)

назовем обобщенной сумматорной функцией, а метод суммирования рядов посредством этой функции - обобщенным методом суммирования.

Из следующего соотношения видно, что классы Sp достаточно широки: класс Липшица Як(/.), 0 < ос'< 1, L > 0 , I = const.

HAD =

l/(tib /(£*) I < і 1^ - t2r

1 для любых точек tlM t2 из [ОД] принадлежит Sp при ос' р > 1. [11].

Здесь мы докажем теорему об устойчивости регуляризованного сумматорной функцией (fit) ряда Фурье - Хаара функции f{t) Е Sp , 1 < р < ос с приближен-

ными коэффициентами и о его равномерной сходимости.

Пусть вместо точных коэффициентов \ak J^=1 функции fit) известны их приближенные значения ^;k ^ так, что удовлетворяется

соотношение (1). Тогда справедлива следующая теорема.

7'еорема 3. Пусть /ft) Е Sv , 1< р < <«, t е [0,1], а = а(5) монотонно стремится

к нулю и 6а ~г (<У) -> 0 при S -» 0, тогда:

Sp,, p' = max(2,p);

1 ■ равномерно на [0, 1] стремится кf(t).

Доказательство.

Функция ДО аппроксимируется суммой

которая, согласно признаку Дирихле равномерной сходимости рядов и теореме 2, сходится равномерно и есть ряд Фурье -Хаара своей суммы.

Нетрудно убедиться, что Лр(/Ха,0)<да. Действительно, представим /Д«,0 в виде сумм двух функций

с коэффициентами {ф(ягЛ:)аь}^1 и {(р(ак)усоответственно.

Поскольку / СО *= ^р, то очевидно, что /(также принадлежит Бр. Пусть

р'= тах(2,р), тогда для д5 (а, () имеем

Ар' (д5 (а. О) <

Км 2^ «а 2"-‘) {1%‘\Гт, Г'Г £ К-.г^Ог”-1) (Ии*1)5 г

^ Г*(0гг &

■■ ■ ■ ,

Отсюда следует, что А?1 (я<0) с: оС,

а также равномерное стремление ряда

ь=1 к (а, С), что достаточно

для того, чтобы дв (а, () принадлежала-V.

Таким образом, /(КД) Е -^у и 9в (а, 0 е ^р1, следовательно, /Д®. О е ^Рг и первая часть теоремы доказана.

Для доказательства второй части рассмотрим уклонение

Я» - 2] ^ «’МилШ

1/(0 - /г («, 01 <

Имеем

£ 171 ф(Ц)I + 2 ^ Клу<»(о{2"-1 +Я) ^-(0

I /с — 1 т=

И поскольку

7т—1 *

^ Ушу *р(а (2ТП~1 +;')) хтДГ)

7-і

|Ё

I (г = 1

ТО

уь фОгОДьЮ

<6+6

< бір (и2т-1)2“

Отсюда, учитывая условия, наложенные на <^0, получаем

(9)

Оценим другой член:

"£°0

f(t) - ^ <р<ак)ак х-ЛЇ) < ^[1- <р(ак)] акхк(£)

где п (к) выбирается описанным ниже образом.

Поскольку 0 < [1 — <р(ак)] < 1 и

/{ £) е х0

1 1[1 - ф(.ак)] ОьХкШ й

£=п(к)+1

^ [1 - <р(аЮ] ак хк(ґ)

(10)

< V™ •

— ^к=и(оО+1

где последняя сумма, согласно теореме 1, равномерно стремится к нулю при п(к) —» 00. Пользуясь монотонностью ^(а) получаем

1(к)

і> - ір(ак)] ак хМ

Теперь, если выбрать и (ос) так, чтобы ос—» 0 одновременно С п{сс) -» ОО И ос л (ос) -» 0, то правая часть последнего неравенства стремится к нулю при ОС—» о, что вместе с первой оценкой завершает доказательство теоремы.

Учитывая условие (4) и теорему 3, доказанную теорему можно переформулировать следующим образом:

Теорема 4. Пусть последовательность действительных чисел а }?=1 удовлетворяет

условию (4) и вместе с *£к }^=1 - условию (1). Пусть далее к = к (5) монотонно стремится к нулю и £ а-2{£) -» 0 при 8 -» 0. Тогда:

1) функции

к=1

А: = 1

принадлежат соответственно классам

2) (я, () равномерно на [0,1] стремит-

ся к ДО-

Проведем эксперимент. Для экспериментального исследования вышерассмотренных теоретических выкладок возьмем одну из

и

задач предварительной обработки изображений - сжатие или зонное кодирование сигнала (изображения).

Приведем математическую постановку задачи сжатия с регуляризацией.

Пусть х = (х0х^) исходный вектор

данных размерности N рассматриваемый как реализация некоторого случайного процесса с определенными свойствами;

F - дискретное ортогональное преобразование (Уолша, Фурье и т.д.);

К1 - обратное преобразование;

S - матрица выбора размерности mxN ранга m, 1<т<Я;

Ra - регуляризирующая матрица в задаче сжатия исходного вектора х , определяемая следующим образом:

р(1,а)

р(2,а)

р( N ,а)

где: р(п,а) - регуляризирующие множители; п = 1, N; а - регуляризирующий параметр.

Задача состоит в выборе при заданных F0, Б0 такой регуляризирующей матрицы Rа, чтобы выполнялось следующее условие: р(х, ЯаХ) ^ шт, где р - заданная метрика;

х = N^0 р0 х.

Замечание:

При фиксированном преобразовании F0, произвольной матрице 5, Rа=I эта задача, известная как задача зонного кодирования посредством преобразования F, изучена в работе [3].

Приведем общий алгоритм сжатия одномерных сигналов с регуляризирующей матрицей Rа.

1 шаг: вектор-сигнал х подвергается преобразованию F: у = Рх = (у0,...уыг1 )Т.

2 шаг: вектор - 5 приближений компонент у 3 заменяется посредством оператора выбора Б на меньший по размерности вектор у5= (~0,...~иг1 ), который подлежит передаче по каналу связи, хранению и т.д. (величина к = NN называется коэффициентом сжатия).

3 шаг: производится «экстраполяция» посредством матрицы Бт, т.е. на приемной стороне полученный вектор дополняется до размерности N (так, например, все компоненты кроме отобранных полагаются равными 0).

4 шаг: полученный вектор подвергается обратному преобразованию N.

5 шаг: осуществляется умножение на матрицу регуляризирующих множителей Rа.

В результате выполнения этих шагов исходный вектор восстанавливается с погрешностями:

е\ = р (Х,Р-1ЯТЯРХ5), е2 = рс (~Х,ЯаР~1ЯТЯрХв ).

Задача состоит в выборе а и, следовательно, р(п, а) так, чтобы для заданной к выполнялось следующее условие: е2<<е1.

Выбор а и р(п,а) для соответствующих ортогональных преобразований зависит от входных данных и структуры преобразований.

Вид матрицы Rа определен для непрерывного случая и используется в дискретной интерпретации задачи сжатия изображений с регуляризацией. В таблице 1 приводится конкретный вид матрицы Rа для различных преобразований.

Таблица 1

Матрица Яа для различных преобразований

К =

Фурье р( а,к) = 1 + к а к = 1,» [6]

Уолш р(а,к) = 1 1 + кра к = 1,»; Р > 1/2 [6]

Хаар р( а,к) = 1—т 1 + (ак)л к = 1, »; Л> 1 / 2 [6]

В указанной таблице не сказано о точных значениях а. Возникает вопрос определения значений а, для которых справедливы выводы поставленного эксперимента.

Конкретные значения регуляризирующе-го параметра а определяются экспериментально и приводятся в таблице 2. Здесь а1 -нижняя граница; а2 - верхняя граница изменения а.

Таблица 2

Значение регуляризирующего параметра

На рисунке 1 иллюстрируется расположение ошибок сжатия с регуляризацией е2 и без регуляризации е1 для усредненных параметров эксперимента.

81, б2

Рис. 1. Ошибки сжатия с регуляризацией и без регуляризации для усредненных параметров эксперимента

Дистанционное зондирование Земли позволяет с космических аппаратов получать информацию среднего, высокого пространственного разрешения и проводить гипер-спектральные измерения. Космические аппараты имеют несколько десятков или сотен спектральных каналов.

При обработке снимков используется аппарат дискретных ортогональных преобра-

зований и, в частности, вейвлет-преобразования. В работе подробно анализируются вейвлеты Хаара.

Проводится математическое исследование на корректность методом Тихонова. Доказывается теорема, подтверждающая справедливость метода Тихонова в отношении рядов Фурье - Хаара.

Далее проводится эксперимент на примере задачи сжатия изображения, из которого следует справедливость теоретических исследований преобразований вейвлет -Хаара.

Литература

1. Шахраманьян М.А. Новые информационные технологии в задачах обеспечения национальной безопасности России (природно-техногенные аспекты): монография. М.: ФЦ ВНИИ ГОЧС, 2003.

2. Шовенгердт Р.А. Дистанционное зондирование. Модели и методы обработки изображений. М.: Техносфера, 2010.

3. Казарян М.Л. Исследование задач цифровой обработки сигналов посредством дискретных ортогональных преобразований на устойчивость: монография. Владикавказ, 2009.

4. Dobechies I. Ten Lectures on wavelets. SIAM, Philadelphia, 1992.

5. Haar A. Zur Theoria der orthogonalen Funktion-systeme. Math.Fnn. 1910, 69, hh. 331-371.

6. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969.

References

1. Shakhraman'yan M.A. Novye informatsionnye tekhnologii v zadachakh obespecheniya natsion-al'noy bezopasnosti Rossii (prirodno-tekhnogen-nye aspekty): monografiya. M.: FTs VNII GOChS, 2003.

2. Shovengerdt R.A. Distantsionnoe zondirovanie. Modeli i metody obrabotki izobrazheniy. M.: Tekhnosfera, 2010.

3. Kazaryan M.L. Issledovanie zadach tsifrovoy obrabotki signalov posredstvom diskretnykh orto-gonal'nykh preobrazovaniy na ustoychivost': monografiya. Vladikavkaz, 2009.

4. Dobechies I. Ten Lectures on wavelets. SIAM, Philadelphia, 1992.

5. Haar A. Zur Theoria der orthogonalen Funktion-systeme. Math.Fnn. 1910, 69, hh. 331-371.

6. Sobol' I.M. Mnogomernye kvadraturnye formuly i funktsii Khaara. M.: Nauka, 1969.

a COS HAAR WALSH FURIE

«2 0,5 0,99 0,5 0,99

a 0,00005 0,000001 0,000001 0,000001

ORTHOGONAL TRANSFORMS IN THE TASKS OF COLLECTING, PROCESSING, STORING AND DISTRIBUTING SATELLITE DATA

M.L. Kazarian

The article investigates the orthogonal transformations and their use in Earth remote sensing techniques. Remote sensing allows the spacecraft to receive information medium, high spatial resolution and hyperspectral measurements spending. Spacecraft have dozens or hundreds of spectral bands. With image processing used dis-

crete orthogonal transformation apparatus, in particular, wavelet - transformation. This paper considers the solution of the problem related to the increased efficiency of application of methods of compression of digital images for storage and further processing of images. This paper analyzes in detail the Haar wavelets. The article presents the mathematical study of the correctness of the method of Tikhonov. We prove a theorem proving the validity of the method of Tikhonov in respect of Fourier - Haar. Experiment shows the validity of the theoretical studies of the wavelet transformation - Haar.

Key words: orthogonal conversion, efficiency, data, digital images.

УДК 004.588

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ EXCEL ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, СОЗДАНИЯ НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИЙ И РАЗРАБОТКИ ШАБЛОНОВ ДЛЯ УРОКОВ МАТЕМАТИКИ

Л.Ю. Костин

Иногда, при рассмотрении вопроса: как изменяется положение графика квадратичной функции в системе координат при изменении коэффициентов, возникает необходимость иметь наглядное электронное пособие (компьютерную модель), чтобы продемонстрировать динамическое изменение вида и положения графика функции при изменении значения коэффициентов квадратичной функции. И, как это сделать, имея под рукой мощный инструмент, такой как табличный процессор Excel с его возможностями. В статье показаны этапы работы со студентами над проектом создания приложения в Excel. Показано, что при создании макросов в среде Visual Basic for Application закрепляются основы программирования. Показан пример разработки компьютерной модели построения графика квадратичной функции. Показано использование этой модели в процессе обучения. Создание подобных наглядных пособий и привлечение к их созданию учащихся дает возможность разнообразить учебный процесс, заинтересовать их и пробудить у них интерес к творчеству.

Ключевые слова: Информационные технологии, табличный процессор Excel, компьютерная модель.

Применение компьютерных технологий способствует формированию у студентов информационной грамотности. Информационные технологии диктуют необходимость изменения самой модели учебного процесса: переход от репродуктивного обучения к креативной модели. Целью данной работы является самостоятельная разработка и оформление решения задачи, создания наглядного пособия, используя возможности Excel на примере построения графика квадратичной функции и нахождения корней уравнения.

Разработке наглядного пособия или, можно сказать по-другому: компьютерной модели для визуального наблюдения за изменением положения (динамического движения) графика квадратичной функции в системе координат, определения знаков коэффициентов по расположению графика и

нахождения корней уравнения, предшествует довольно кропотливая работа со студентами. Основной упор делается на понимание того, ЧТО делается и для ЧЕГО делается. Понимание механизма обмена данными и использования встроенных функций и их вложений в табличном процессоре Excel. И, естественно, начала программирования и написания макросов в среде Visual Basic for Application (VBA).

На первом этапе преподавателем ставятся цели и задачи проекта, а участникам предлагается разработать сценарий и оформление наглядного пособия, буквально, на бумаге. Как вариант, можно предложить сделать эскиз в простейшем графическом редакторе Paint с учетом особенностей рабочего листа табличного процессора. Здесь проявляются художественно-дизайнерские наклонности участников. Далее каждый участник проекта аргументировано защищает свою версию