Об оптимальности метода М. М. Лаврентьева при решении уравнений с ошибкой в операторе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948

ОБ ОПТИМАЛЬНОСТИ МЕТОДА М.М. ЛАВРЕНТЬЕВА ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ОШИБКОЙ В ОПЕРАТОРЕ

А.Б. Бредихина1

Исследован метод М.М. Лаврентьева для уравнений с приближенно заданным оператором на оптимальность. Получена точная оценка погрешности данного метода.

Ключевые слова: операторное уравнение, оптимальный метод, оценка погрешности.

Введение

В работе [1] была доказана оптимальность метода М.М. Лаврентьева при точно заданном операторе и специально выбранном параметре регуляризации, и получены точные оценки погрешности этого метода. В настоящей статье этот результат обобщен на уравнения с приближенно заданным оператором.

1. Постановка задачи

Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство, В[Н] - пространство линейных ограниченных операторов, отображающих пространство Н в Н , В^Н ] - подмножество пространства В[Н ], состоящее из инъективных операторов, А с В[Н ].

Рассмотрим операторное уравнение первого рода:

Аи = /; и, / е Н. (1)

Предположим, что при / = /0 и А е А уравнение (1) имеет точное решение и0 , принадлежащее множеству Мг = ВБГ, где В е В[Н], а Бг ={у: V е Н,||у|| — г} . Но точные значения правой части /0 уравнения (1) и оператора А нам неизвестны. Вместо них даны некоторые приближения /$е Н и Ак е А о В^Н], а также уровни их погрешности 8, к > 0 такие, что Ц/у- /о|| — 8 и

\\Ан - А|| - к.

Требуется, используя априорную информацию Мг, А,/8, Ак,8,к, определить приближенное решение и8к уравнения (1) и оценить его уклонение от точного решения и0).

2. Основные понятия и обозначения

В дальнейшем, если А Ф А*, то, предположив, что множество значений К(А*) всюду плотно в Н , воспользуемся полярным представлением оператора А:

а=ал, (2)

где а - унитарный оператор, а А = л/А*А.

Таким образом, используя равенство (2), уравнение (1) можно заменить эквивалентным

Аи = g , (3)

где g = 0*/ , а О* - унитарный оператор, сопряженный с а .

Класс операторов А определим следующим образом:

А= { А: А е В[Н], А > 0, А* = А и Ак - А = ф(Ак), ере ф}, (4)

где Ф - множество кусочно-непрерывных на отрезке [0, || Ак 11] функций, Ак е В[Н], Ак*= Ак и Ак > 0.

Оператор Ве В[Н] определим формулой В = Ок(Ак), где Ок е С1 [0,||Ак||] и для любого

1 Бредихина Анна Борисовна - ассистент, кафедра прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет.

ае( 0,|| Ак ||) Ок'> 0, а Ок (0) = 0.

Обозначим через g 0 = 0*/0, а g 8= 0*/5.

Определение 1. Семейство операторов {Тзк :0< 8 — 80,0<к — к0} , отображающих множество АхН в Н , будем называть методом приближенного решения уравнения (3) на множестве Мг х А , если для любых 8е (0,80) и ке (0,к0), и для любого Ак е А п В1[Н] , Тзк[Ак; *]е В[Н] и Т8к [Ак; g8] —— и0 при 8,к — 0 равномерно на множестве Мг при условии, что А е А п В1[Н], ||Ак - а|| — к и |^8 — Аи0|| <8.

Введем количественную характеристику точности этого метода при фиксированных Ак е А пВ1[Н] и 8е (0,80]

А8к[Т8к] = ?ир {11и - Т8к[Ак; g8]|: и е Мг, А е А, ||Ак - А|| < к |^8-Аи|| <8} , (5)

и, A,g8

и величину

8 = М {А8к[ Р]: Р е В [ Н х{ Ак}, Н ]} , (6)

где В[Нх{Ак} , Н ] - пространство линейных ограниченных операторов, отображающих пространство Н х{ Ак} в Н , а

А8к[Р] = 8ир {|и - Р[ Ак; g8]|: и е Мг, Ае А, \а, - А|| — к, |^8 - Аи\ — 8} .

и,А, g8

Определение 2. Метод {Т80к :0 < 8 — 80,0 < к — к0} будем называть оптимальным на классе Мг х А , если для любых 8е (0,80] и ке (0,к0]

А87, Тк ] = А%.

3. О ценка снизу для величины А

Рассмотрим уравнение, связывающее параметры а, к и 8,

гвк(а)а = гвк(а)к + 8. (7)

Из свойств функции Ок (а) следует, что при выполнении условия

гОк (IIАк||)

уравнение (7) имеет единственное решение а = а(8, к).

Теорема 1. Если уравнение (7) имеет решение а(8, к), то справедлива следующая оценка:

АОк > гОк (а(8,к)).

Доказательство. Пусть £ - достаточно маленькое положительное число. Тогда наряду с уравнением (7) рассмотрим уравнение

гОк (а)а = к(1 - £)[ гОк (а) - £] + 8. (9)

Из равенства (9) следует, что при достаточно малых значениях 8 и к, которые описываются условием аналогичным условию (8), уравнение (9) имеет единственное решение а£( 8, к).

Из непрерывности функции Ок (а) следует, что

а£(8, к) — а(8, к) при £ — 0. (10)

Теперь, выбрав натуральное число и0) таким образом, чтобы

1

— < £

4|| > Н + „,п , (8)

твк(ае(3,Н))-твк ае(3,Н)

п0 — 1 _ , „ , ч

<£, (11)

п

о

Серия «Мате м атика. Механика. Физика», выпуск 5

19

Мате м атика

рассмотрим подпространство И0 , определяемое формулой

И0 = Е-є( S,h)И - ЕП0-1-S ShH, (12)

є —0—-є( S,h)

n0

где {Еа : 0 < а < ||Ай|} - спектральное разложение единицы, порожденное оператором Лк . Построим оператор Л, следующим образом:

(Ah - Л)u =

h _AhU ; uє И0,

-є( S, h) (13)

0; u є И01,

где Н0Х - ортогональное дополнение подпространства Н0 .

Таким образом, из (12) и (13) следует, что

Лн - Л0 = 9(Лн), (14)

где (рє Ф .

Пусть у0 є Н0 и у0 = т,

Ву0 > тОк (а£(6,к))-є, (15)

8 8 = °- (16)

Тогда из (11), (12) и (15) получаем

тОк (ае( 8, к) )-є<| у < гОк (ае( 8, к)), (17)

а из (12), (13), (17)

||( Лк - Л°) Ву°|| > к”0-1 [тОк (ає(8 , к))-є]. п° (18)

Из (16)-(18) следует, что

Л°и° - 8 8 < 8 (19)

Таким образом, из (16) для любого Р є В[Н ]

Р8 8 = 0. (20)

Из (6) и (16)-(20) следует, что

А°/ік > гок (ає( 8 к) )-є, (21)

а из произвольности є , (10) и (21) получаем

ЛГ > тОк (а(8,к)). (22)

Тем самым теорема доказана.

4. Оценка сверху для величины Лдр

В качестве регуляризующего семейства операторов для уравнения (3) рассмотрим семейство

та = B[AhB + aE]-\ ае(0,|| Ah||]. (23)

За приближенное решение ugh уравнения (3) примем элемент, определяемый формулой

ugh = Tgg s. (24)

Лемма 1. Для любого а > 0 оператор Tg, определяемый формулой (23), ограничен и

< max —Gh(g)—. (25)

Th

та

0<-<|| Ah II -Gh (-) + a Доказательство. Так как Tgh = sup{||Tgg : g є И,||g|| < 1}, тогда

Tgg

2=sup (Tgg а )=sup {(та )2 g, g 1=sup ( b 2[ AhB+gE] 2 g, g).

IH<1V ' j Ikll<1 '

Бредихина А.Б.

Пусть {E- : 0 < — < ||Ah|} - спектральное разложение единицы, порожденное оператором Ah ,

тогда

Thag

= sup

g <1

IIAh|| n 2, ,

j r„ h - ■),л2 d (E—g, g)

0 [—Gh(—) + а]

2,^ llAh||

<

Gh\—)

< ^ г n2 ^ j

0<—<|Ahl [—Gh(—) + а] ИИ1 o

sup j d (E—g, g )= sup

Gh 2(—)

2

— є

Так как функция

[0,| Ah || ]

Gh (—)

[—Gh (—) + а]

2/-=

o<—<1 Ahl [—Gh(—) + а]

2 непрерывна на отрезке [0,|| A^||], тогда найдется

Gh (о) Gh\o) ^

h|| | такое, что----h---------------------------------------------------2 = SUP-h-2 • &ем самым лемма доказана.

[oGh (о) + а] [oGh (о) + а]

Лемма 2. Для любых а и r > 0 справедливо соотношение

Gh (—)

sup

М <r

ThaAhBv - Bv

< rа max

o<—<|| Ah II —Gh (—) + а

Доказательство.

T^AhBv - Bv = B [ AhB + аЕ ] AhBv - Bv = B [AhB + аЕ ] AhB - E v = -аВ [AhB + аЕ ] v.

Тогда

ThAhBv - Bv

T!h AhBv - Bv

h

=а

В [ AhB + аЕ ] 1i

Если

AhB v Ф 0,

то

= а v

1 v . Так как sup ThaAhBv - Bv = sup TjhAhBv - Bv ,тогда

v HI <r 0<ll v|| <r

sup

INI <r

T^AhBv - Bv

■ m sup

||W| <l

В [ AhB + аЕ ]

-і

w

= rn

(26)

Тогда из леммы 1 и (26) следует утверждение леммы.

Рассмотрим теперь оценку уклонения А(гО?) приближенного решения ^h уравнения (3) от точного решения u0 на классе Mr:

А(гО*) = sup {llu^ -u0 :u0e Mr,Ae ^,||Au0 -gs||<S,||A- Ah||<h} . (27)

uo> A,g s

Введем обозначения:

A

і(а) = sup {|

u0

Ta Ahu0 u0

: u0 є Mr

},

: u0 є Mr J A - AA < h

}■

A2(а,h) = sup{|^A^o - TO^Auo

Uo, A

Aз(а, » = sup {||T^uo - ^g»|: uo є Mr Jg » - go || < S}.

u0- A,g s

Тогда имеет место очевидное неравенство

(28)

(29)

(30)

А(Г*) < А^а) + А 2(а, К) + А3(а, 8).

Рассмотрим оценку А1(а). Так как и0 = Бу0 и ||у0|| < г, тогда согласно лемме 2

Ta Ahu0 U0

TaAhBv0 - Bv0

<r

В [ AhB + аЕ] 1 AhB - В

= а

Таким образом, для оценки А1(а), определенной формулой (28), справедливо равенство

A1(rn) = rа

Th

(31)

А из того, что

ThaAhUo - TjhAuo

Tha (Ah - A)uo

<h

Th

rv

• Bvo I

2

h

h

а

h

а

Серия «Мате м атика. Механика. Физика», выпуск б

21

Мате м атика

а B = Gh ( Ah ) , следует

И, наконец,

A2(rn, h) = rhGh (а)

Th

A3(rn, S) = S

так как

ThaAuo -ThagS = Tjh(Auo -gs)

<

Th

rv

Тогда, учитывая равенства (31)-(33), получаем

A(Th) < (та+ rhGh (а) + S)

Теорема 2. Пусть значение параметра 7 является решением уравнения (7), а

а( S, h) =

Gh (—)

- hGh (—).

Тогда

А(та) < тОк (7).

Доказательство. В силу лемм 1 и 2, а также учитывая неравенство (34), получаем, что

Ок (7)

а

u h - u0

< (rrn + rGh (rn)h + S) • max Рассмотрим функцию F (—,а) = (rrn+rGh (а)h + S) • max

o<—<\\Ah || —Gh (—) + а Gh (—)

o<—<|| Ah || —Gh (—) + а

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

. Тогда при — = —

Gh (—)

—Gh (—) + а(а, h)

= max

Gh (—)

—Gh (—) + а(а, h)

, F (—,а) = rGh (—).

А из (37) следует, что

а

u h - u0

< rGh (—).

(38)

Тем самым теорема доказана.

Из теорем 1 и 2 следует, что Л(Г^) = гОк (и). Таким образом, метод М.М. Лаврентьева является оптимальным и в случае приближенно заданного оператора.

Литература

1. Страхов, В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве I В.Н. Страхов II Диф. уравнения. - 1970. - Т. 6, 3 8. - С. 1490-1495.

2. Танана, В.П. Методы решения операторных уравнений I В.П. Танана. - М.: Наука, 1981. -156 с.

Поступила в редакцию 21 марта 20її г.

ABOUT OPTIMALITY OF THE M.M. LAVRENTIEV METHOD WHEN SOLVING EQUATIONS WITH OPERATOR ERROR

A.B. Bredikhina1

In the article the author analyses the optimality of Lavrentiev method for equations with approximate defined operator for optimality. The accurate error estimate for the solution of the method was obtained.

Keywords: operator equation, optimal method, accuracy appraisal.

References

1. Strakhov V.N. Dif. uravnenija. 1970. Vol. 6, no. 8. pp. 1490-1495. (in Russ.).

2. Tanana V.P. Metody reshenija operatornyh uravnenij (Methods of solution of operator equations). Moscow, Nauka, 1981. 156 p. (in Russ.).

^iB^^ikhinaAnnaB^risovnai^Assi^antiAppliedMathematics^Dspaitmsnli^outh^ral^lateUnivsrsi^^e-mai^irsdihisa^pri^^^isuiac;^