CC BY
9
Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2006, Том 8, Выпуск 2
УДК 517.5
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В КОЛЬЦЕ1
Е. А. Балова
В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения задачи Дирихле по конечному набору коэффициентов Фурье граничных функций, заданных с погрешностью в 12 и ¿то-нор-мах, при условии, что граничные функции принадлежат соболевскому классу W2 (Т).
1. Постановка задачи
Применение теории оптимального восстановления к задачам математической физики на основе методов, разработанных в [1] и [2], было начато в работах [3] и [4]. В [4] изучалась задача оптимального восстановления решения задачи Дирихле для круга по конечному набору коэффициентов Фурье граничной функции, заданных с погрешностью, когда о самой граничной функции известна априорная информация о принадлежности ее соболевскому классу WJ(T), являющемуся множеством 2п-периодических функций x(-), определенных на T, у которых x(r-1) (■) — абсолютно непрерывна на T, а ||x(r) (-)||¿2(t) ^ 1; здесь T — отрезок [—с идентифицированными концами и
I|g(-)I|L2(T) = I 1/ |g(t)| dt V T
В данной работе изучается аналогичная задача для кольца
D = { (x, y) € R2 : R-1 < x2 + y2 < R, R > 1}. Задача Дирихле для кольца D — это задача о нахождении функции u(-, ■) такой, что
An = 0,
u(R-1 cos t,R-1 sin t) = f-i(t), (1)
u(R cos t, R sin t) = f1 (t).
Если fj(■) € L2(T), j = ±1, то решение этой задачи может быть записано в виде
© 2006 Балова Е. А.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №06-01-81004.
где
ao(f) = J f (t) dt, an(f) = ^J f (t)cos ntdt, bn(f) = ^J f (t)sin ntdt, n e Z,
T T T
— коэффициенты Фурье функции f (■), а
Fjo(p) = TfinR' Fn(p)= - , n e Z'j = ±1-
Предположим, что для любых f — 1 (•), fi(■) e ¿2(T) известны векторы aNj = (a0, ai,..., ajN, b{,..., bjN), j = ±1,
такие, что
l|aN(fj) - aNj lli^N+i < ¿j, j = ±1,
где ¿_i, ¿i > 0,
aN(fj) = (ao(fj), ai(fj),..., aN(fj), bi(fj-),..., bN(fj)), j = ±1,
и для X = (xi, . . . ,X2n+i)
/ 2N+i \ p
|Xl,2N+1 = ip
^ n=i |x„|PJ , 1 < p<
max IxJ, p = oo.
i<n<2N+i
Требуется по информации о векторах а^, ] = ±1, восстановить решение задачи (1) в пространстве £2^), где
«(•> -)Il2(d) = ( 1 JJ |u(x,y)|2 dxdy
4 D 7
В качестве методов восстановления будем рассматривать всевозможные операторы р: lpN+i х lpN+i ^ ¿2(D). Погрешностью метода p назовем величину
eNp(W2r (T),5_b5i,p) =
= sup sup ||u(-, ■) - p(aN,-i,aNi)(-, -)||l2(d).
/-i(^),/i(^)eWT(T) aNj&2N+1, j=±i
I|aN(fj)_aNj II.2N+1 , j=±i ip
Погрешностью оптимального восстановления назовем величину
ENP(Wr(T),S_i,Si)= 2N+i inf eNP(Wr(T),S_i,5i,p),
а метод, на котором достигается нижняя грань, будем называть оптимальным.
2. Формулировка основных результатов
Положим
R R
ajn = J Fj2ra(p)pdp, j = ±1, Yra = 2 J F-1,n(p)F1n(p)p dp, n € Z+
j n
1/R 1/R
(мы не будем использовать явных выражений для этих величин, чтобы избежать громоздкости). Отметим, что ajn, Yn > 0 при всех j = ±1 и n € Z+. Теорема 1. При всех ¿-:1, ¿1 > 0
En2 (W (T),Í-1,Í1) ^a-1,a¿-1 + aM¿2 + Ya¿-1¿1 + + г+1 + YN+1'
а метод
^>(aN,-:1, aN1)(pcos t,psint) = ^ [ Fja(p) aja + ^ ejnFjn(p)(an cosnt + bnsinnt) | ,
j=±1 \ n=1 /
j=
где
c _ 11+ ¿ 2aj,N+1 + YN+1 f n
e jn = 1 + ¿j ■
2r
1
2ajo¿j + Ya¿-j + 1 является оптимальным.
Теорема 2. Пусть p = то и = ¿1 = ¿ > 0. Положим
M = max i m € Z+ : 2¿2 ^ n2r < 1, 0 ^ m ^ N j.
^ n=1 '
Тогда
En^OW (T),S,S) =
\
M ч / M
¿2( so + 2£ s„) 1 - 2¿2£ n2r ), (3)
n=1 n=1
где Sn = a-1,n + a1n + Yn, n € Z+, а метод
^>(aN,-1,aN 1)(p cos t,p sin t) = ^ ( Fja a0 + ^ WjnFjn(p)(an cos nt + bn sin nt) J ,
j=±A v2 n=1 ' (4)
= 1 _ 2aj,M+1 + Ym+1 / n \ 2r j = 2ajn + Yn VM + J '
является оптимальным.
3. Доказательства
Начнем с одного вспомогательного результата.
Лемма 1. Последовательности {ajn}^=o, j = ±1, {Yn}n=a являются монотонно убывающими.
< Достаточно доказать, что при всех р £ (Л 1, Л)
*1„(р) ^ ^1>га+1(р), п = 0,1,...
(случай 3 = —1 получается из случая 3 = 1 с помощью замены р = 1/4). Докажем сначала, что ^ю(р) ^ ^ц(р). Положим
Имеем ^(Л-1) = 0, ^(Л) = >/2 — 1 > 0,
,. Л2 / 2 Л2 — л 2 1 \
^ (р) = ——гГ^ р — ^ „р + .
р2(Л2 — Л-2) ^ у^Л 1п к Л2
Если бы в какой-нибудь точке из интервала (Л-1, Л) функция принимала отрицательное значение, то у нее существовал бы локальный минимум на этом интервале. Но из вида видно, что если у существует локальный минимум при р > 0, то он
находится левее точки Л-1.
Положим а = 1п Лр, Ь = 21п Л. Тогда
^ . . яИ па
Для доказательства монотонного убывания последовательности ^\„(р), п £ Ъ, достаточно доказать монотонное убывание функции
яИ Ы
при 4 £ [1, то) и а < Ь. Имеем
(4) = ^22(4), (4) = а сИ а4 яИ Ы — Ь яИ а4 сИ Ь4. яИ2 Ы
Поскольку при всех 4 £ [1, то)
^2 (4) = (а2 — Ь2а4 яИ Ы < 0,
а ^2(0) = 0, то ^2(4) ^ 0 для всех 4 £ [1, то). Поэтому ^ (4) ^ 0 при 4 £ [1, то). Отсюда следует монотонное убывание функции (■). >
< Доказательство теоремы 1. С рассматриваемой задачей восстановления тесно связана следующая экстремальная задача
1К-, ОЩр) ^ тах, (/,-)|||*+1 < ¿2, /(■) £ ^(Т), 3 = ±1; (5)
здесь п(-, ■) — решение задачи (1) с граничными значениями /— (■), Д(-). Из равенства (2) вытекает, что
И^Ь •)У|2(Д) = £ а2«М2 + 1п{У-1.п,У1п)\ , (6)
п=0 \'=±1 '
где = (ао(/), 0), = (а„(/),6«(/)), п £ ^ = ±1, (•, •) — стандартное скалярное произведение в Ж2, а |2 = (г^г^). Таким образом, экстремальная задача (5) может быть записана в виде
Е( Е OjnKn|2 + 7n(v-i,n, vinH ^ max,
П=0 j=±1 '
N
Еы2 <(7)
n=0 те
E«2r I Vjn |2 < 1, j = ±1.
Введем функцию Лагранжа для этой задачи
СО / \ / N те \
L(v, А) = -Е\ Е j |vjn|2 + 7n(v-1,n,v1nH + Е (А'Е Ы2 + /'Е "2r ^'"П ' n=0 \j=±1 ' j=±1 n=0 n=1 '
где v = ({v-1,n|v1n}~=0), А = ( А-1, А1,р-1,р1). Из работы [2] вытекает, что если найдутся такие множители Лагранжа А = ( А-1,А1 , А^АО, Aj,/Aj ^ 0, j = ±1, что для допустимых в (7) последовательностей А = ({A-1;n}^°=0, {A1n}^°=0) выполнены условия
(a) min L(v, А) = L(A, А),
v
(b) Еа(£ |vjn|2 -j =0, £ /а/£ n2r|vjn|2 -1) = 0,
j=±1 \n=0 / j=±1 Vn=1 /
то {A-1>n}, {A1n} — решения задачи (7). Если при этом для всех aNj £ l^N+1, j = ±1, существуют решения f-1 (■), f1 (■) экстремальной задачи
Е (AiHaN(fj) - aNjН2™+1 + /AjH/j^OllWj(T)) ^ min, j=±1 2 (8)
/j(■) £ WJ(T), j = ±1,
то
2(^(Т),5_1Л) = ./Е &+ &),
V л=±1
а метод, определенный равенствами (2) для / (■) = / (■), ] = ±1, является оптимальным. Пользуясь неравенствами
) ^ |^_1)П||^1П| ^ 1 (-р1-|^_1>п|2 + ^|^1„|2 2 V 0-1 ¿1
при 0 ^ n ^ N и
(v-1,n, v1n) ^ |v-1,n||v1n| ^ 1 (|v-1,n|2 + |v1n|2) (9)
при n > N, будем иметь N
(NV те \
Е( Аj- j+/jn2r)|vj™12 + Е (+/n2r) | v«12) = ^(v'А)
n=0 n=N+1 '
где
ajn + ^ "-Р-, 0 ^ n ^ N.
ajn —
2 j — ±1.
j + ^, n ^ N + 1
Положим
A ~ - +1 • ,
Aj — j Tj — (N +1)2r, j — ±1,
и покажем, что для последовательностей {^/п}, 3 = ±1, определенных равенствами 2 = (¿2, 0), £¿N+1 = ((^ +1)-г, 0), 2 = (0, 0), к = 0,Ж + 1,3 = ±1,
выполнены условия (а) и (Ь). В силу леммы 1 последовательности {й./га}^=о, 3 = ±1, являются монотонно убывающими. Тем самым
£(г>,A) ^ Дг>,A) — £ f £ Tajo - j + aj,N+1 fNTi) ) ^™|2 j=±1 V=1 ^ V + / /
+ £ (-aj™ + NT^) )|vjn|2) ^ 0'
С другой стороны, L(A, A) — 0. Следовательно, условие (a) выполнено. В справедливости условия (b) легко убедиться непосредственной проверкой.
Найдем теперь решение экстремальной задачи (8), которую можно записать в виде
£ jЫ/) - a0l2 + £ (К/) - «ni2 + |bn(fj) - bni2))
j=±1^ ^ n=1 '
+ & £n2r (M/j)|2 + |6n(/j)|2) - min,
n=1 '
/j (■) e W (T), j — ± 1.
Нетрудно убедиться, что решением этой задачи являются функции
/ (t) — а0 + 1 + & n2^ (аП cos nt + j sin nt), j — ± 1. ( 1 0)
Таким образом,
En 2(W (T),5-1,¿1) —
П=1 \ Л?
\
aj,N+1
'J ' (N +1)2r
£ aj0^2 +
а метод, определенный равенствами (2) для fj(■) = fj(■), j = ±1, где функции fj(■), j = ±1, заданы равенствами (10), является оптимальным. Для получения утверждения теоремы остается подставить выражения для ajo, có^n+1, Aj и ¿j, j = ±1. >
< Доказательство теоремы 2. Будем использовать тот же метод, что и в доказательстве предыдущей теоремы. Рассмотрим экстремальную задачу
К, -)IIL(D) - max, ||«N(/)H2n+1 < ¿2, /j(■) e W(T), j — ±1.
Используя представление (6), перепишем эту задачу в виде
Е( Е OjnKn|2 + Yn(V-1,n, Vi„M -
г,— п V,---li /
n=0 j=±1
те
< ^ n G Z+^n2r|vjn|2 < 1, j = ±1.
(11)
n=1
Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
L(v, А) = - Е ( Е Ojra|Vjn|2 + 7n(v-1,n, vin) J
n=0 \j=±1 '
, N те n
+ E ( A0(Vjo)2 + E ( А n(Vjn)1 + vn (Vjn)2) + Дп E n2r |Vjn|2 )
A--L1 V >-> — 1 >-> — 1 /
где v = ({v-1>ra}^=0, {vrn}те=0), А = ({А-1}^, {v-1}N=1, {Аn}N=o, R}N=1,/-b/0, n £ Z, j = ±1. Из работы [2] вытекает, что если найдутся такие неотрицательные множители Лагранжа А, что для допустимых в (11) последовательностей А = ({А-1>n}^=0, {A1n}^°=0) выполнены условия
(a) min L(v, A) = L(A, A),
v
N N те
(b) £An((A„)2 - ¿2)+£ An((A„)2 - ¿2) = о, jz n2r|^jn|2 - 1=0, j = ±1,
n=0 n=0 \n=1 /
то {A-1,n}, {A1n} — решения задачи (11). Если при этом для всех aNj G +1, j = ±1, существуют решения f — 1 (■), f 1 (■) экстремальной задачи
, N
Е (A0|ao(fj) - a012 + E (апМ/;) - ajj2 + A¿M/j) - &П|2) j=±1 ^ n=1 (12)
+ An H/j(r)(-)lW2r(T)) - min, /j (■) G W(T), j = ±1,
то
En те (W2 (T),M) =
\
E (HA0 + E(An+An )) + j, (13)
j=±1 n=1
а метод, определенный равенствами (2) для / (■) = / (■), ^ = ±1, является оптимальным. Пользуясь неравенством (9), будем иметь
N N
2 + + м-П2г + ,1' )(„• )2
(N N
E(-ñ + Д n2r + An)(vjn)1 + Е(-йпп + Д n2r + vni )(vjn)2
n=±1 n=0 n=1
те \
+ E (-ajn + Дпn2')|vjn П = L(v, A),
n=N+1
где
j = ajn + y, n G Z+, j = ±1.
Положим
Ас = (¿, 0), А« = (¿, ¿), 1 < п < М, А« = (0, 0), п ^ М + 2,
1 / м .1/2 (%,М+1 )1 = +1 )2 = ^2(М +1)Д1 — ^ £ п2у , 3 = ±1.
Докажем, что последовательность {А/«}^^, 3 = ±1, является допустимой в задаче (8). Для этого достаточно доказать, что при М < N выполняется неравенство
1 / М \ 1 — 2£2£ п2г) < ¿2.
2(М + 1)2г ч
х «=1
Если предположить противное, то будем иметь
М+1
2£2 £ п2г < 1, «=1
что противоречит определению числа М. Положим
Д = (М> +)2г , £с = А« = г/« = Зу« — Дп2г, 1 ^ п ^ M, = А« = 0, М < п ^ N, 3 = ±1. Тогда, учитывая монотонное убывание последовательностей {й-/«}, 3 = ±1, имеем
¿(и, а) ^ ¿тс«, л) = £ £ (—т«+М+—) ) ы2 ^ 0.
2=±1 «=М+1 \ ^ ' )
Поскольку ¿(л, А) = 0, то условие (а) выполнено. Легко убедиться, что условие (Ь) также выполнено.
Найдем теперь решение экстремальной задачи (12), которую можно записать в виде
М
212 + ^ /'А |а (/) _ а I2
(М
лс|ас(/2) — аС|2 + £ (а«Ы/;) — а«|2 + А«|Ь«(/^) — Ь«|2)
-И «=1
те \
+ А £п2г (К/)|2 + |Ь«(/2)|2) ^ Ш1п, «=1 '
/2 (■) £ ^ (Т), 3 = ± 1, Нетрудно убедиться, что решением этой задачи являются функции
М , А \-1
/ (4) = аС + £(1 + Дг п2Ч (а« соя п4 + Ь« ат п4), 3 = ±1. (14)
«=1 V А« /
"и
А
«=1
Таким образом, подставляя выражения для А«, А« и Д в (13) и в метод, определенный равенствами (2) для /(■) = /?(•), 3 = ±1, где функции /■(•), 3 = ±1, заданы равенствами (14), получаем равенство (3) и оптимальность метода (4). >
Отметим, что если M < N, то дальнейшее увеличение числа коэффициентов Фурье граничных функций, известных с той же погрешностью 6, не приводит к уменьшению погрешности оптимального восстановления. Тем самым при фиксированном 6 набор из 2M(6) + 1 коэффициентов Фурье каждой из граничных функций, где
{M
M G Z+ : 262 £ n2r < 1
n=1
позволяет максимально точно восстановить решение рассматриваемой задачи Дирихле.
Литература
1. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью // Мат. сб.—2002.—Т. 193.—С. 79-100.
2. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его приложения.—2003.—T. 37.—С. 51-64.
3. Magaril-Il'yaev G. G., Osipenko K. Yu., Tikhomirov V. M. On optimal recovery of heat equation solutions // Approximation Theory / Eds. D. K. Dimitrov, G. Nikolov, R. Uluchev.—Sofia: Marin Drinov Academic Publishing House, 2004.—P. 163-175.
4. Осипенко К. Ю. О восстановлении решения задачи Дирихле по неточным исходным данным // Владикавк. мат. журн.—2004.—Т. 6, № 4.—С. 55-62.
Статья поступила 10 октября 2005 г.
Балова Елена Александровна
Москва, «МАТИ» — Российский государственный технологический
университет им. К. Э. Циолковского
