CC BY
12
УДК 517.948
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОВОЙ ДИАГНОСТИКИ
В.П. Танана, Е.В. Худышкина
Предложен оптимальный по порядку алгоритм для решения обратной задачи тепловой диагностики и получены точные оценки погрешности этого алгоритма.
Введение
Необходимость постановки и решения обратных задач теплообмена возникает при оптимизации тепловых режимов технологических процессов, связанных с нагревом или охлаждением материалов. Непосредственно измерить изменяющиеся во времени плотности тепловых потоков, как правило, не представляется возможным. В то же время можно измерить температуру в отдельных точках внутри тела. Отметим, что большое число обратных задач теплообмена приведены в [1].
Постановка задачи
Рассмотрим дифференциальное уравнение
ду( У, 5) = д2 у( ^ 55 ду2 '
где у е [0, Н(э)], 5 > 0. Функция Ь(5) е С 2[0, да) известна, причем Л(0) = 1 и для нее существует Б > 2 такое, что при 5 > Б Н(э) = у1 > 0. На отрезке [0, Б] функция Н(э) строго убывает. Кроме того, заданы условия:
у(у,0) = 0, у е [0,1], (2)
у(0, 5) = 0, 5 > 0, (3)
у( у 0,5) = /(5), 0 < У0 < 1, (4)
а граничное значение
у у (Н(5), 5) = У(5) (5)
подлежит определению.
Эта задача является некорректно поставленной (неустойчивой), но имеющей при естественных ограничениях на функцию /(5) (см. [2]) не более одного решения. Предположим, что существует Б1 > Б такое, что
> Б1 у(5) = 0, у(5) = 0, (6)
у(0) = У (0) = 0, (7)
у( 5) е С ![0, да). (8)
Будем считать, что искомая функция у0 (5) = [у0 (Л(^), 5)]у в задаче (1)-(5) удовлетворяет условиям (6)-(8), а соответствующее ей значение /0 (5) = у0 (у0,5) нам не известно. Вместо него задано некоторое непрерывно - дифференцируемое приближение /5 (5) из пространства Х2[0, да) и уровень погрешности 5 такие, что
да
}(/ (5) - /0 (5))2 ds < 52. (9)
0
Требуется по паре (/5,5) определить приближённое решение у5 (5) задачи (1)-(5) наиболее близкое к у0(5) на классе корректности Мг, определяемом формулой
Танана В. П., Худышкина Е.В.
Об оптимальном методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики
Мг = Мя): у(®) е ^[0, да), V 1 = + V 'О))2 йэ < г2} (10)
2
V
и получить точную оценку погрешности этого решения на классе Мг.
Сведение задачи с подвижной границей к задаче с постоянной границей
Обозначим g0 (э) функцию V 'у (0, э), определяемую формулой
V у (0, э) = —
у 0
( ж2 \ 1 да '--(2я+1)2(э-т)
1 /(э) + 2£ (-1)" /е 4 йт
\ = 0 У
(11)
при /(э) = /0 (э), а через gs (э) при /(э) = /3 (э). Тогда из работы [3] и формулы (9) будет следовать, что
0 - gЛ < 3 при у 0 > 2/ е. (12)
Для исследования и решения задачи (1) - (5) сделаем в уравнении (1) замену переменной х = у / Н(э) и искомой функции w(х, э) = v(h(s)х, э). Тогда уравнение (1) примет вид
Н 2(э) Ё^ХЛ = х е[0,1], э > 0, (13)
дэ дх
условия (2)-(5) перепишутся в виде:
п>(х,0) = 0, х е [0,1], (14)
м<0, э) = 0, 5 > 0, (15)
^х (0, э) = h(s)g(s), (16)
а граничное условие (5) примет вид
< (0, э) = h(s)V(s). (17)
Сделав ещё одну замену переменной в уравнении (13), полагая t = Ь(э) = |Н-2 (т)йт ,
0
преобразуем функцию w(х, э) следующим образом:
w(х, э) = w(х, Ь -1 (^)) = и (х, t) . Тогда задача (13)—(17) примет вид
дди(хА = , хе[0,1], t>0, (18)
дt дх
и(х,0) = 0, х е [0,1], (19)
и(0, t) = 0, t > 0, (20)
и'х (0, t) = /(Ь-ЧОЖЬ-!(0) = С (t). (21)
Искомая функция
и х (1, t) = / (Ь~\ф(Ь^)) = г($). (22)
Обозначив через £0^) функцию, соответствующую g), а через ^) функцию, соответствующую gs (t) и используя соотношение (12), получим что
||Сс - С л < , (23)
а функция 20 (э), определяемая формулой (22), будет удовлетворять условиям (6)—(8).
Решение задачи (18)-(22)
Таким образом, из [3] следует выполнение условий, позволяющих применять к решению задачи (18)—(22) косинус и синус преобразования по t и для её решения использовать метод проекционной регуляризации, изложенный в [3].
В качестве рабочего пространства Н возьмём ортогональную сумму пространств Х2[0, да) и 1Ьг [0, да), где I =
. На пространстве Н определим преобразование
Математика
F(u + IV) = Fc (u) + iFs (V), (24)
где u + IV е H, а Fc и Fs - косинус и синус преобразования, определённые в [4]. Из аналога теоремы Планшереля, сформулированного в [4], будет следовать изометричность преобразования F, определённого формулой (24). Рассмотрим уравнение
дu(x, ^ . д2u(x, t)
x е [0,1], t > 0
(25)
дt дx2
и применим к уравнениям (18) и (25) косинус и синус преобразования соответственно. Затем сложив почленно результаты преобразований и пронормировав сумму, получим, что
Получаем уравнение
1 ю Ц d 2 (ю
ал\- \и(х, t)e-шdt = - I /и(х, t)e-atdt V п dx \ о
d - -—-u (x, X) = 1X11(х, X), dx
(26)
(27)
где г/(х,X) = ./ — |и(х,t)e lXtdt.
V о
При этом соответствующие условия (19) и (20) примут вид:
и (0, X) = 0,
и'х (0,Х) = - [С (t)e-шdt = С (0
V 0
Решая задачу (27)-(29), получаем:
где /л = -=■ (1 +1) л/2
и' х (1, X) = сИлТяк (X),
(28)
(29)
(30)
Обозначим в формуле (30) функцию г/ 'х (1,X) через 2(1) и перепишем эту формулу в форме операторного уравнения
а2 (X) = ( си )-12^) = £ (X). (31)
Далее, не меняя обозначений, продолжим оператор А, определяемый формулой (31), на всё пространство Н . Тогда это продолжение и его сопряжение будут инъективны.
Так как точное решение V0^) задачи (1)-(5) принадлежит множеству Мг, определяемому
формулой (10), то соответствующее точное решение 20^) уравнения (31), отвечающее £ (X) = £ 0 (X), удовлетворяет условию
где Б г = {V: V е Н, V < г}, а
Из формулы (31) следует, что
2 0 е СБ г ■
^ =-V(X).
1 + IX
В 2 (X) =
■Ш
у/2сЪл/2А
(32)
(33)
(34)
где В
= л/А
А , а из того , что
Танана В. П., Худышкина Е.В.
Об оптимальном методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики
1 ch -1/2 J^+<V2ch (35)
2V2 V2cW21
и из формул (33)-(34) следует, что C = G(B), где G(a) ~ ln I — I при a ^ 0.
Используя для решения уравнения (31) метод проекционной регуляризации, изложенный в [3], сведём его к уравнению
chjll + cos
л/2Я
A z(A) = \ * z(A) = A*Cs (А), (36)
2ch л/2Я
где A1 = A* A, а
, Я Я Я . Я
СП А— С0Б А--1-
ЛС3 (I) = —--2- Сз (I). (37)
Далее, регуляризуем исходные данные (£3 (Я), 5) задачи. Для этого определим функцию
£s (А,а(5)) следующим образом: при условии £s
> 3 A s
Cs(А,а(А)) = s(A) при А <а(5)" (38)
10 при А > а (5),
— Г 2 II ||2 2 Л
где а(5) определим формулой I £3 (I) йЯ = 9||Л\\ 5 , а при условии, что £
а(3)
£3 (Я,а(5)) = 0. Тогда приближённое решение 25 (Я) уравнения (31) определим формулой
s
< 3 A 5
zs (А) = A-1 Cs (А,а(5)) (39)
и для него, следуя [3], справедлива оценка
zs - z0
< ^2 ln-21 1 I. (40)
Здесь 12 — некоторая константа, а 20 — соответствующее точное решение уравнения (31). Заметим, что оценка (40) является точной по порядку на классе СБг, а используемый для решения уравнения (31) метод проекционной регуляризации оптимален по порядку на этом классе.
Применяя к 25 ^) преобразование Р-1, обратное к Р, и выделяя действительную часть, получим приближённое решение 23 (э) задачи (18)—(22): и5(э) = >/2Яе[Р х(и5 )]. Ввиду изомет-ричности оператора Р, для 23 (э) будет выполняться оценка (40).
Наконец, сделав соответствующие замены переменных в 23 (э), получим приближённое решение из ^) задачи (1)—(5), для которого оценка (40) также останется справедливой, но с некоторой другой константой 13.
Литература
1. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. — М.: Машиностроение, 1988. — 290 с.
2. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1988. — 288 с.
3. Танана В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач// Сибирский журнал индустриальной математики. — 2004. — Т. 7. — № 2. — С.117—132.
4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Наука, 1961. —524 с.
Поступила в редакцию 26 апреля 2005 г.
да
