CC BY
13
УДК 517.956
DOI: 10.14529/mmph170403
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА В КВАЗИЛИНЕИНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ С ТОЧЕЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ
С.Г. Пятков, В.В. Ротко
Югорский государственный университет, г. Ханты-Мансийск, Российская Федерация E-mail: [email protected]
Рассматривается вопрос о корректности в пространствах Соболева обратной задачи об определении функции источников в квазилинейной параболической системе второго порядка. Проблемы подобного вида возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и во многих других областях. Главная часть оператора линейна. Неизвестные функции, зависящие от времени, входят в нелинейную правую часть. В том числе в этот класс задач входят и коэффициентные обратные задачи об определении младших коэффициентов в параболическом уравнении или системе. В качестве условий переопределения рассматриваются значения решения в некотором наборе внутренних точек. В качестве краевых условий берутся условия Дирихле или условия задачи с косой производной. Задача рассматривается в ограниченной области с гладкой границей. Однако результаты допускают обобщения и на случай неограниченных областей таких, в которых соответствующие теоремы о разрешимости прямой задачи имеют место. Приведены условия, гарантирующие локальную по времени корректность задачи в классах Соболева. Условия на данные задачи минимальны. Полученные результаты являются точными. Задача сводится к операторному уравнению, существование решения которого доказывается при помощи априорных оценок и теоремы о неподвижной точке. Полученное решение обладает всеми обобщенными производными, входящими в уравнение, принадлежащими пространству Lp с p > n + 2 и обладает необходимой дополнительной гладкостью в некоторой окрестности точек переопределения.
Ключевые слова: параболическое уравнение; обратная задача; тепломассо-перенос; краевая задача; функция источников.
Введение
Мы рассматриваем вопрос об определении вместе с решением правой части специального вида или младших коэффициентов в параболических уравнениях и системах. Пусть G - область
в Rn с границей Г класса C2 и Q = (0,T) X G . Параболическое уравнение имеет вид
Lu = ut + A(t,x,D)u = f (x,t,u,Vu,q), (t, x) e Q, (1)
где A - матричный эллиптический оператор вида A(t, x, D)u =-У ajf (t, x)ux x , ajf, ai - r0 X r0
J =1 ^ J J ^
матрицы, u - вектор длины r0 и q(t) = (q1(t),q2(t),...,qm(t)) - неизвестные функции, подлежащие определению вместе с решением u. Система (1) дополняется начальными и граничными условиями
u It=0 = u0, Bu \s = g, S = (0,T) хГ, (2)
где Bu = X П=1 g (t, x)ux + s(t, x)u или Bu = u , nt - i -я координата внешней единичной нормали к
Г и g (t, x),s(t, x) e CX(S). Условия переопределения записываются в виде
u(x,,t) = y (t), i = 1,2,.,r. (3)
Обратная задача состоит в нахождении решения u уравнения (1) и функций qt (t) (i = 1,2,.,m (m = rr0) по данным (2), (3).
Проблемы подобного вида возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и во многих других областях (см. [1]). Прежде всего,
Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика» 1д
2017, том 9, № 4, С. 19-26
мы сошлемся на работу [2], где получена теорема существования и единственности решений задачи (1)—(3) в пространствах Гельдера в случае г0 = 1, г = 1 и линейной по своим аргументам и, У и функции / . В случае п = 1, г = 1 и О = Я аналогичный результат в получен в работах [3, 4]. В работах [5, 6] была рассмотрена также и задача об определении младшего коэффициента в параболическом уравнении. В работе [7] (см. также [8]) была рассмотрена линейная обратная задача об определении функции источников в случай задачи Коши для операторно-дифференциального уравнения первого порядка и1 + Аи = / (^) г с условием переопределения вида Ф(м) = у(^), где Ф - некоторый функционал. Задача вида (1)-(3) входит в класс таких задач, при определенном выборе функционального пространства в котором ищется решение и в случае линейности задачи. Более общие теоремы о разрешимости абстрактных задач такого вида в квазилинейном случае получены в монографии [9]. Однако стоит отметить, что результаты [9] применимы к задаче (1)-(3) в случае функции g , зависящей только от функции и, но не от Ум, и в случае краевых условий таких, что область определения оператора Ь не зависит от времени. Кроме того, даже в этом случае использование этих результатов приводит к излишним условиям гладкости и согласования на данные задачи. Ряд задач, входящих в класс (1), был рассмотрен в работе [10]. Отметим, что численные методы решения различных модельных задач, входящих в класс (1)-(3), рассматривались, например, в работах [11, 12] и многих других. В частности, в работе [12] рассматривалась обратная задача (1)-(3) об определении функции источника для квазилинейной системы параболических уравнений.
Мы получим локальную теорему о разрешимости задачи при минимальных (в определенном смысле) условиях на данные.
Опишем содержание работы. В первом параграфе описаны условия на данные задачи и сформулированы основные результаты. Во втором параграфе приведено их доказательство. Обозначения функциональных пространств стандартные (см., например, [13]).
1. Определения, обозначения и вспомогательные результаты
Пусть Е - банахово пространство. Символом Ьр (О;Е) (О - область в Яп ) обозначаем пространство сильно измеримых функций, определенных на О, со значениями в Е, наделенное нормой |||| м(х) ||Е ||Ь (О) [13]. Мы также используем пространства Гельдера Са(О). Обозначения
Жр (О;Е), Ж, (0;Е) пространств Соболева являются стандартными (см. определения в [13, 14]).
Если Е = С (Е = Я ) или Е = Сп (Е = Яп), тогда последнее пространство обозначается через Жр (0. Аналогично используем обозначения Жр (О) или Са(О) вместо Жр (О;Е) или
Са(О; Е). Таким образом, включение и е Ж, (О) (или и е Са(О)) для данной вектор-функции
и = (их,и2,...,ик) означает, что каждая из ее компонент и{ принадлежит Жр(О) (или Са(О)). В
этом случае норма вектора есть просто сумма норм координат. То же самое соглашение принимаем для матриц-функций. Для интервала J = (0,Т) положим
Ж,'г (б) = ж; (J;Ьр (О)) п Ьр (J;Жр (О)). Соответственно, Жр,г (Б) = Жгр (J;Ьр (Г)) п Ьр (J;Ж, (Г)).
Аналогично определяем пространство Гельдера Сг'я (0).
Пусть Б3() - шар радиуса 8 с центром в точке х{. Далее мы используем следующие обозначения: О1 = (Од) X О , Бу = (0, у) хГ. Дан набор точек (х]} из (3), параметр 8> 0 назовем до-
пустимым, если ¡8(х7) с О, Ь>8(х,) п ¡8(ху-) = 0 для 7 ^ у , 7, у = 1,2,., г . Пусть О8 = и7Б8(х7),
б8 = (0,Т)XО8, и 01 = (0,0XО8 .
Рассмотрим задачу (1)-(2) и сформулируем один вспомогательный результат. Мы будем предполагать, что у нас выполнены условия на коэффициенты А :
ау е С(0) пЬ^ (0,Т;Жр О)), р> п + 2, у, ае С1 (Б), 7, у = 1,2,...,п. (4)
Пятков С.Г., Об определении функции источника в квазилинейных
Ротко В.В. параболических задачах с точечными условиями переопределения
для некоторого допустимого 8 > 0 и 5 е (п/р, 1]. Мы также предполагаем, что Ь - параболический оператор и выполнено условие Лопатинского. Сформулируем эти условия. Рассмотрим матрицу Л((, х,Х) — -У П,-1 х)ХХ] (X е Р) и предположим, что найдется постоянная 81 > 0, такая, что корни р полинома det(Л(*, х, Х) + рЕ) — 0 (Е - единичная матрица) удовлетворяют условию
Яе р <-8|Х|2 "Хе Яп "(х, *) е б. (5)
Пусть В0и — и в случае условий Дирихле в (2) и В0и — У " у,дхи в противном случае. Условие Лопатинского может быть записано в виде: для любой точки (*0,х0)е 5" и операторов Л(х,О) и В0(х,О), записанных в локальной системе координат у в этой точке (ось уп направлена по нормали к , и оси у1,.,уп-1 лежат в касательной плоскости в точке (х0,*0)), система
(ЯЕ + Л,(хо, ^о, Х,дуп ))м(2) — 0, Во(хо, ^, Х,д п )у(0) — И,, (6)
где X — (Х1,.,Хп-1), уп е Р +, имеет единственное решение из С(р+), ограниченное на бесконечности при всех X е Рп-1, | а^ Я |< Р 2, и И, е С таких, что | X | +1Я \Ф 0 . Мы также предполагаем, что
и0(х)е Ж^-21р(О), gе ^,к°(У), В(х,0)^(х) |г— g(х,0)"хе Г, (7)
где к0 — 1 -1/2р в случае условия Дирихле и к0 — 1/2 -1/2р в противном случае,
и0 (х) е Шр2+5-21р (О8) для некоторого допустимого 8 > 0 и 5 е (п/р, 1]. (8)
Даны постоянные 81 <82 <8. Построим вспомогательную функцию (ре С¥(О8) такую, что 1 в области О^ и р° 0 в О8 \ О^ .
Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)-(8) для некоторого допустимого 8> 0 и 5 е (п/р,1], /е Ьр (бт), /ре Ьр (0,т;Шр) (О8)) и те (0,Т]. Тогда существует единственное решение и е
Щ2д(бт) задачи
Ьи — / ((х, *) е б), и \—0 — щ (х), Ви\3 — g. (9)
р (О8)), (ри е Ьр (0,т;Жр2+5 (О8)). Если g ° 0, и0
Причем (риг е Ьр (0,т;Жр (О8)), (ри е Ьр (0,т;Ж2+5 (О8)). Если g ° 0, и0 ° 0, то справедлива оцен
ка
II и Ц 21 т + р N 5 + При N 2+5 < с[Ц / N т + \\rnf N 5 ], (10)
II ^Д^) ИУ ПЬр (0, тжр, (О8)) ПЬр (0,тЖр; (О8)) ПЬр (бт) \\Ьр (0,т;Жр5 (О 8)) 4 '
где постоянная с не зависит от /, решения и и те (0,Т].
Доказательство. Основное утверждение теоремы известно, см., например, [15]. Дополнительная гладкость по существу вытекает из известных результатов о внутренней гладкости решений параболических и эллиптических задач (см. [15]).
2. Основные результаты
В этом параграфе мы приведем и докажем основные результаты этой работы. Предположим, что условия (4)-(8) выполнены для некоторого допустимого параметра 8>0. Положим Р — 2(\ и0 С(О) + \\ Vu0 \С(о)). Определим шар Вх — {(и,р) :| и | +1 р |< где и - вектор длины г0
и р - г0 Xп -матрица. В качестве величин | и |,| р | соответственно берем сумму модулей координат и модулей элементов матрицы. Опишем условия на функцию / в (1). Мы будем требовать, что
1. /(х, г, и, р, д) е С (В X Ят; Ьр, (б)).
2. Найдутся функции Ф0 е Ьр(0,Ф1,Ф2 е Ь¥(0,Т;Ьр(О)) такие, что
| /(x' t' u1' р^ - /(x' t' и2, Р2, Я2) |£ (| Ф0 I +(1 41 I + I 42 1) I Ф1 1)(1 и1 - и2 1 + 1 Р1 - Р2 1)+ I Ф 2 II 41 - 42 I для всех (и7, pi) е Бг, 4^ е Я™ (7 = 1,2).
3. для некоторого допустимого 8> 0 функция /(х, t' и, р, 4) непрерывна в области X Бх X Я™ , дифференцируема по переменным и, р, 4 при всех (х, t) е 08, имеет первые обобщенные производные 7 = 1,.,п при всех (и,р,4)е Бх XЯ™ ; /Х1,4,/ру,4 е С(Б XЯ™;Ь;(08)) и найдутся функции Ф3 е Ь;(08),Ф4,Ф5 е Ь^(0,Т;Ь;(О8)) такие, что каждая из вектор-функций , /щ, /р , (7 = 1,..., Л, у = 1,..., п, к = 1,..., ™) удовлетворяет условию Липшица в следующем смысле: если g (х, t' и, р, 4) одна из этих функций, то
Ig(х,t'щ,Р1,4!)-g(х,t'и2,Р2,42) |<(IФ3 !+(!41 I +1 42 I) IФ4 I)(Iи\ -и2 | + |Р1 -Р2 !)+1Ф5 II 41 -42 I-
Построим вспомогательную функцию Ф , которая есть решение задачи
ЬФ = /(х,^и0,Уи0,0) ((х,t) е 0, Ф^> = и0(х), БФ Б = g, (11)
такое, что ФеЖр2Д(0, <рФ( е Ьр (0,Т;Жр (О8)), рФе Ьр (0,Т;Жр2+' (О8)). Условия на данные и
условия 1-3 гарантируют, что /(х,t'и0,Уи0,0)е Ьр (0, р/(х,t'и0,Уи0,40)е Ьр(0,Т;Жр> (О8)) и поэтому теорема 1 применима. Ниже при доказательстве теоремы 3 мы фактически это покажем. По теореме Фубини, рФ( еЖр (О8;Ьр(0,Т)) и, таким образом, ( е С*-п!р(О8;Ьр(0,Т)) (см. соотношения (3.1)-(3.3) в [16]). В частности, Ф(ху-,t)е Жр(0,Т) . Пусть и решение задачи (1)-(3), тогда функция w = и - Ф есть решение задачи
Ь^ = /(х, t' w + Ф, У(w + Ф), 4) - /(х, t' и0, Уи0, 0) = ^(х, W' 4), w \(=0 = 0, Бw Б = 0, (12)
W( ху, t) = у (t) = у и) - Ф( ху, t) е Жр(0,Т), у = 1,2,..., г. (13)
Таким образом, мы свели задачу к эквивалентной задаче с однородными условиями. Рассмотрим систему уравнений
/(ху, t'и0 (ху),Уи0 (ху), 4^)) - /(ху, ^и0 (ху),Уи0 (х;), 0) = goу, goу = у - (х;., t), у = 1,2,., г, которую также можно записать в виде
^(4) = 0' g 0 = (g01'.' goг) (14)
Фиксируем Я2 = 21| g0 ||Ь (0 Т). Запишем условие корректности.
4. Система ^(4) = g' g = (g1'...'gг) имеет единственное решение 4 для всех gе Ьр(0,Т) таких, что gе Б2 = {g:|| g -g0 ||Ь (0 Т)< Я2} и обратное отображение 4 = ^_1 (g),^_1 : Б2 ® Ьр(0,Т)
удовлетворяет условию Липшица в Б2 .
Теорема 2. Предположим, что условия (4)-(8), 1-4 выполнены для некоторого допустимого 8 > 0, 1 > , > п/р и функция р обладает свойствами, указанными перед теоремой 1. Пусть кроме того выполнены условия согласования у у (0) = и0( ху) (у = 1,2,..., г). Тогда найдется промежуток [0,т0], на котором существует единственное решение (и,41,424™) обратной задачи (1)-(3) такое, что и еЖ*д(0°), 47 (0 е Ьр (0,т0), 7 = 1,., ™. Кроме того, ри е Ьр (0,Т ;Жр24* (О8)), рр е Ь; (0,Т;Ж; ^)).
Доказательство. Основной метод доказательства - теорема о неподвижной точке. Положим 40 = g0, Я3 = 2|| 40 Уьр(0,г). Зафиксируем т< Т и вектор 4 е Б3 = {4 е Ь; (0,т): || |Ьр (0,^) < Я3} .
Разрешимость задачи (12) при фиксированном 4 вытекает из стандартных теорем о разрешимости нелинейных параболических уравнений. Схема рассуждений следующая. Используя теорему 1, сведем задачу (12) к уравнению вида
Пятков С.Г., Об определении функции источника в квазилинейных
Ротко В.В. параболических задачах с точечными условиями переопределения
w = I"1 (f (X, t, w + Ф, V(w + Ф), q) - f (x, t, u0, Vu0,0)) = I"1 (F (x, w, q)). (15)
По определению пространство Hrp состоит из функций wе Wp'l(QT), удовлетворяющих однородным краевым и начальным условиям в (12), и таких, что pwt е Ip (0,p\Wsp (Gg)), (pw е Ip(0,p;Wp+s (Gg)). Рассмотрим вспомогательную задачу
Iwo = f(x, t, U0 ,Vu0, q) - f(x, t, U0 ,Vu0, 0) = F0, w0 |t=0 = 0, Bw0 \s = 0, q е B3. (16)
В силу наших условий на данные и теорем вложения u0 е C2—(n+2)/p (G), (pu0 е C2+s—(n+2)/p (Gg). Легко проверить, используя условия 1-4, что F0 е Ip (Q), pF0 е Ip (0,T;Wp (Gg)) и более того справедлива оценка
У F0 У p + У F0 У s < c(R3).
II 0 lip (Qp) II 0 lip (0,p;WpS (Gg)) V
Тогда в силу теоремы 1 решение w0 задачи (16) допускает оценку
У w0 УНр =У w0 IW^(QP) + У pw0t \ (0,p;wps (Gg)) + У ( У1р (0p;W^ (Gg)) < ^^ (17)
Возьмем в качестве параметра R4 величину 2c1(R3) (без ограничения общности считаем, что
эта постоянная не зависит от р < T ). Ищем решение w в шаре B4 = {w е HP :|| w У р< R4 } . Имеем,
Н p
используя теоремы вложения, что при a < 1 — (n + 2)/2p
У w + Ф — u0iC (QP) <Ра^\(w + Ф)( x\ X x't2) 1 < СРа(У wiWp„(QP) + У FH,?,(Q)) = c( R4)Pa.
xеG
Аналогично (при a < 1/2 — (n + 2)/2p)
У V(w + Ф — u0) Ус (QP) <Pa Sy'V<<w + Ф)( I— (! + Ф)( * '2)) 1 <Ра(У w + У Ф ^.(Q)) = C1(R4)Pa.
^ес' 11 21
Из этих двух неравенств вытекает, что найдется р1 < T такое, что при р < р1 выполнено, что c(R4)pa < R1/4, Cj(R4)pa< R1/4 и значит при w е B4 будет выполнено, что
У w + Ф У — + У V(w + Ф) У — < R,. (18)
II »с (Qp) II V J »с (Qр) 1 V /
Далее, нетрудно показать, что найдется параметр P2 < T такой, что для любой q е B3 и р < р2 уравнение (15) имеет решение в шаре B4 , причем построенное отображение q ® w(q) удовлетворяет условию Липшица. Чтобы получить утверждение, мы показываем, что отображение I_1(F(x, w, q)) переводит шар B4 в себя и является в нем сжимающим. Покажем, например, сжимаемость. Рассмотрим наиболее сложный случай s <1. В силу теоремы 1
У I_1(F(x, w1, q) — F(x, w2, q)) \\Нр < с(У F(x, w1, q) — F(x, w2, q) \\ q) +
У p(F(x, w1,q) — F(x, w2,q)) УIp(0,р^;(Gg)))-
Первое слагаемое оценивается с использованием 1-4 и теорем вложения через
(с1 + С2R2) У w1 — w2 \\C1(QP) < С(^ У w1 — w2 \W2.1CQP),
для некоторого g< 1/2 — (n + 2)/2q . Пусть Dhv = v(x + h) — v(x). Чтобы оценить второе слагаемое, используем (k = 1,2) представления
DhP(F (wk, q)) =
г Э
\— p( x + hh) f (x + hh (wk + Ф)( x) + J]Dh (wk + Ф), V((wk + Ф)( x) + J]Dh (wk + Ф)), q) dh = 0 Эh
n
J £ j (x + hh)f (x + hh, (wk + Ф)(x) + J]Ah (wk + Ф), V((w* + Ф)(x) + J]Ah (wk + Ф)), q) +
0 i=1
+£ j(x + hh)[fxi (x + hh, (wk + Ф)(x) + hDh (wk + Ф), V((wk + Ф)(x) + r¡Dh W + Ф)), q) +
i=1
+fu (x + hh, (wk + Ф)(x) + rDh (wk + Ф), V((wk + Ф)(x) + hDh (wk + Ф)), q)Dh (wk + Ф) +
+£ fpi ( x + hh, ( wk + Ф)( x) + hDh ( wk + Ф), V((wk + Ф)( x) + hDh (wk + Ф)^ h (wfa. + Ф xi )] dh
i=1
и следующую эквивалентную норму в пространстве Wsp (Bs(xj)) (см. [13]):
W v ||ps = f —î+— f |Dhv |p dxdh, Dhv = v(x + h) - v(x),
W(Bd(xj)) В^ (0) | h |n+sP *Bj,h h 1 h
где Bjh = {xe Bj : x + he Bs(xj)} и d0 = (d-d2)/2 . Берем h < d0 . Далее мы должны вычесть эти представления при k = 1, k = 2 и учесть условия 1-4 и теоремы вложения при оценке интегралов. Пусть w(q) - решение задачи (12) при некотором q e B3. Полагая x = xj в (12), получим
yJt + Aw(xj, t) = f (xj,t, (w + Ф)(xj ), V(w + Ф)(xj ), q) - f (xy, t,U0 (xj), Vu0 (xj), 0), j < r. (19)
Это уравнение можно переписать в виде
f (xj, t,U0 (xj ), Vu0 (xj ), q) - f (xj, t,U0 (xj ), VU0 (xj ), 0) = y^ +
f (xj, t,U0 (xj ), Vu0 (xj ), q) - f (xj, t, (w + Ф)(x} ), V(w + Ф)(xj ), q) + Aw(x}, t) = g} (t) и воспользоваться условием 4. Используя условие 4, сведем задачу к уравнению
q = F~\g(q)\ g = (g^g2v.gr)-Используя 4 и условия на данные легко показать, что оператор F- ( g (q)) переводит шар B3 в себя и является в нем сжимающим, если параметр t достаточно мал. Покажем, что условия переопределения (13) выполнены. Полагая x = xj в (12), мы получим систему
wt (xj, t) + Aw(xj, t) = f (xj, t, (w + Ф)(xj ), V(w + Ф)(xj ), q) - f (x}, t,U0 (x} ), VU0 (x} ), 0), j < r. Вычитая (19) из этого равенства, получим wt (xj, t) - yjt = 0 . Интегрируя это равенство по t и учитывая условия согласования, получим w(xj, t) = y j для всех j = 1,2,..., r . Ч.т.д.
Пример. Рассмотрим линейную задачу об определении правой части:
f (x, t,u, Vu,q) = £n=1 a^x + ^u + £^ bt(x,t)qt.
Приведем условия на данные, гарантирующие выполнение условий 1-4. Условия 1-3 сводятся к условиям
ak e Lp(Q) çLp(0,T;Wlp(Gs)), bt e (0,T;Lp(G)) çL^(0,T;Wp(G^)) (20)
для некоторого допустимого параметра d > 0, где k = 0,1,.,n,i = 1,2,.,га. Построим матрицу B(t) размерности га х га ( га = rr0) строки которой с номерами от ( j - 1)r0 +1 до jr0 заняты столбцами (bj(xj,t),b2(xj,t),.,bra(xj,t)). Тогда условие 4 выполнено, если найдется d > 0 такое, что
| detB(t) |>d0 п.в.на (0,T). (21)
Авторы поддержаны РФФИ и правительством ХМАО-ЮГРЫ (Грант 15-41-00063, р_урал_а).
Литература
1. Marchuk, G.I. Mathematical Models in Environmental Problems / G.I. Marchuk // Studies in Mathematics and its Applications. - 1986. - Vol. 16. - P. 5-6.
2. Прилепко, А.И. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнения параболического типа. I / А.И. Прилепко, В.В. Соловьев // Дифференциальные уравнения. - 1987. - Т. 23, № 10. - C. 1791-1799._
24 Bulletin of the South Ural State University
Ser. Mathematics. Mechanics. Physics, 2017, vol. 9, no. 4, pp. 19-26
Пятков С.Г., Ротко В.В.
Об определении функции источника в квазилинейных параболических задачах с точечными условиями переопределения
3. Afinogenova, O.A. Stabilization of the solution to the identification problem of the source function for a one-dimensional parabolic equation / O.A. Afinogenova, Yu.Ya. Belov, I.V. Frolenkov // Dok-lady Mathematics. - 2009. - Vol. 79, Issue 1. - P. 70-72.
4. Белов, Ю.Я. О задаче идентификации функции источника для уравнения типа Бюргерса / Ю.Я. Белов, К.В. Коршун // Журнал Сибирского федерального университета. Серия «Математика и физика». - 2012. - Т. 5, № 4. - С. 497-506.
5. Кулиев, М.А. Многомерная обратная задача для параболического уравнения в ограниченной области / М.А. Кулиев // Нелинейные граничные задачи. - 2004. - В. 14. - C. 138-145.
6. Прилепко, А.И. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении / А.И. Прилепко, В.В. Соловьев // Диф-ференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, № 1. - С. 136-143.
7. Guidetti, D. Asymptotic expansion of solutions to an inverse problem of parabolic type / D. Guidetti // Advances in Difference Equations. - 2008. - Vol. 13, № 5-6. - P. 399-426.
8. Guidetti, D. Convergence to a stationary state of solutions to inverse problems of parabolic type / D. Guidetti // Discrete and continuous dynamical systems. Series S. - 2013. - Vol. 6, Issue 3. - P. 711722.
9. Prilepko, A. I. Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics / A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. - New-York: Marcel Dekker, Inc, 1999. - 709 с.
10. Пятков, С. Г. О некоторых классах коэффициентных обратных задач для параболических систем уравнений / С.Г. Пятков, М.Л. Самков // Математические труды. - 2012. - Т. 15, № 1. - C. 155-177.
11. Ozisik, M.N. Inverse Heat Transfer: Fundamentals and Applications / M.N. Ozisik, H.R.B. Or-lande. - New York: Taylor & Francis. - 2000. - 314 p.
12. Mamonov, A. V. Point source identification in nonlinear advection-diffusion-reaction systems / A.V. Mamonov, Y-H. R. Tsai // Inverse Problems. - 2013. - Vol. 29, no. 3. - р. 035009.
13. Трибель, Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / Х. Трибель. - М.: Мир, 1980. - 664 с.
14. Denk, R. Optimal Lp-Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data / R. Denk, M. Hieber, J. Pruss // Math. Z. - 2007. - Vol. 257, Issue 1. - P. 193-224.
15. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука. - 1967. - 736 с.
16. Amann, H. Compact embeddings of vector-valued Sobolev and Besov spaces / H. Amann // Glasnik matematicki. - 2000. - III. Ser. 35, no.1. - P. 161-177.
Поступила в редакцию 21 сентября 2017 г.
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2017, vol. 9, no. 4, pp. 19-26
DOI: 10.14529/mmph170403
ON THE SOURCE FUNCTION RECOVERING IN QUAZILINEAR PARABOLIC PROBLEMS WITH POINTWISE OVERDETERMINATION CONDITIONS
S.G. Pyatkov, V.V. Rotko
Yugra State University, Khanty-Mansyisk, Russian Federation E-mail: [email protected]
In the article we examine the question of well-posedness in the Sobolev spaces of the inverse source problem in the case of a quasilinear parabolic system of the second order. These problems arise when describing heat and mass transfer, diffusion, filtration, and in many other fields. The main part of the operator is linear. The unknown functions depending on time occur in the nonlinear right-hand side. In particular, this class of problems includes the coefficient inverse problems on determination of the lower order coefficients in a parabolic equation or a system. The overdetermination conditions are the values of the solution at some collection of points lying inside the spacial domain. The Dirichlet and oblique derivative problems are taken as boundary conditions. The problems are studied in a bounded domain
with a smooth boundary. However, the results can be generalized to the case of unbounded domains as well for which the corresponding solvability theorems hold. The conditions ensuring local in time well-posedness of the problem in the Sobolev classes are exposed. The conditions on the data are minimal. The results are sharp. The problem is reduced to an operator equation whose solvability is proven with the use of a priori bounds and the fixed point theorem. The solution possesses all generalized derivatives occurring in the system which belong to the space Lp with p > n + 2 and some additional necessary smoothness in some neighborhood about the overdetermination points.
Keywords: parabolic equation; inverse problem; heat-and-mass transfer; boundary value problem; source function.
References
1. Marchuk G.I. Mathematical Models in Environmental Problems. Studies in Mathematics and its Applications. Studies in Mathematics and its Applications, 1986, Vol. 16, pp. 5-6. DOI: 10.1016/S0168-2024(08)70234-0
2. Prilepko A.I., Solov'ev V.V. Solvability theorems and the Rothe method in inverse problems for an equation of parabolic type. I. Differ. Uravn, 1987, Vol. 23, no. 10, pp. 1791-1799. (in Russ.).
3. Afinogenova O.A., Belov Yu.Ya., Frolenkov I.V. Stabilization of the solution to the identification problem of the source function for a one-dimensional parabolic equation. Doklady Mathematics, 2009, Vol. 79, Issue 1, pp. 70-72. DOI: 10.1134/S1064562409010207
4. Belov Yu.Ya., Kirshun K.V. On recovering the source function for the Burgers-type equation. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, 2012, Vol. 5, no. 4, pp. 497-506. (in Russ).
5. Kuliev M.A. Mnogomernaya obratnaya zadacha dlya parabolicheskogo uravneniya v ograni-chennoy oblasti (A multidimesional inverse problem for a parabolic equation in a bounded domain). Nelineynye granichnye zadachi, 2004, Vol. 14, pp. 138-145. (in Russ.).
6. Prilepko A.I., Solov'ev V.V. Solvability of the inverse boundary-value problem of finding a coefficient of a lower-order derivative in a parabolic equation. Differ. Equations, 1987, V. 23, no.1, pp. 101107.
7. Guidetti D. Asymptotic expansion of solutions to an inverse problem of parabolic type. Advances in Difference Equations, 2008, Vol. 13, no. 5-6, pp. 399-426.
8. Guidetti D. Convergence to a stationary state of solutions to inverse problems of parabolic type. Discrete and continuous dynamical systems. Series S, 2013, Vol. 6, Issue 3, pp. 711-722. DOI: 10.3934/dcdss.2013.6.711
9. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics, New-York: Marcel Dekker, Inc, 1999, 709 p.
10. Pyatkov S.G., Samkov M.L. On some classes of coefficient inverse problems for parabolic systems of equations. Siberian Advances in Mathematics, 2012, Vol. 22, Issue 4, pp. 287-302. DOI: 10.3103/S1055134412040050
11. Ozisik M.N., Orlande H.R.B. Inverse Heat Transfer: Fundamentals and Applications, New York: Taylor & Francis, 2000, 314 p.
12. Mamonov A.V., Tsai Y-H.R. Point source identification in nonlinear advection-diffusion-reaction systems. Inverse Problems, 2013, Vol. 29, no. 3, р. 035009. DOI: 10.1088/02665611/29/3/035009
13. Triebel H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1978, 528 p.
14. Denk R., Hieber M., Pruss J. Optimal Lp-Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data. Math. Z, 2007, Vol. 257, Issue 1, pp. 193-224. DOI 10.1007/s00209-007-0120-9
15. Ladyzenskaja O.A., Solonnikov V.A., Ural'ceva N.N. Linear and quasi-linear equations of parabolic type. Translations of Mathematical Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1968, Vol. 23, 648 p.
16. Amann H. Compact embeddings of vector-valued Sobolev and Besov spaces. Glasnik mate-maticki, 2000, III. Ser. 35, no.1, pp. 161-177.
Received September 21, 2017
