Об ограниченности теплицевых операторов в весовых пространствах соболева голоморфных в шаре функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК - 517.55

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ ТЕПЛИЦЕВЫХ ОПЕРАТОРОВ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА ГОЛОМОРФНЫХ В ШАРЕ ФУНКЦИЙ1

Ф.А. Шамоян, С.М. Куриленко

В работе получено полное описание тех плюригармонических функций на единичной сфере К-мерного комплексного пространства, при которых теплицев оператор с соответствующим символом является ограниченным оператором в аналитических пространствах С.Л. Соболева.

Ключевые слова: единичный шар, аналитическая функция, пространства Соболева, оператор Теплица, радиальная производная, плюрисубгармоническая фунция.

Пусть БЖ = {г е СЖ : < 1} - единичный шар в Ж-мерном комплексном пространстве СЖ , ^^ -его граница. Путь далее — - функция типа модуля непрерывности на Я+ = [0, + да), т.е. неотрицательная

неубывающая функция на Я+ , такая, что функция д() = —— убывает в некоторой окрестности точки

t

t = 0 (см. [1]). Символом Н(Бы) обозначим множество всех голоморфных в Бы функций.

Введем так же понятие производной в смысле Римана-Лиувилля: если / е Н (Бы) имеет

следующее однородное разложение: /(2) = =^к (2), 2 е Бы и ¡> 0 то дробной производной порядка в в смысле Римана-Лиувилля называется функция „ ^ Г(3 + к +1) Б

ВР/(2 ) = т/к (2 е БЫ.

г(з+1)г(к +1)

В монографии [2] определена радиальная производная функции / следующим образом:

Г(Ж +1 + а +1)Г(N +1 + к + а) Ж

Ясно, что производная П3 /(2) является частным случаем ЯаЛ/(2) при а = — N, t = 3. — -весовым пространством Лебега назовем пространство с нормой

14 (а) = I I /(С) I —(1— IС 1)(1— IС 1)а—1 < +®

— N

где ^у(С) - 2Ж-мерная мера Лебега в БЖ.

Пусть далее Н (БЖ )о L—(а) = А—(а), а>0, обозначим через А—(а, п) следующее пространство голоморфных в БЖ функций

А—" п) = {/ е Н ( Бж ):|| /

||А—("п) }б

I I пу(С) | —(1— 101)(1— 101)а—1 МО < +да}

Очевидно, что А—(а) = А— (а,0).

Определим пространство Л" голоморфных в БЖ функций следующим образом:

Л—=

/ е Н(Бж): = ||%"= 8ир

С 2 ^

П"+2 / (2 )|(1—|2|)

2еБ

N V

—(1— 12|)

<

И, наконец, определим оператор Теплица с символом на пространстве С(БЖ и ) о Н (БЖ ) :

1 Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (код проекта 13-01-97508)

/=к * е

/ ош)

% (1 -(

Основным результатом работы является доказательство следующей теоремы:

Теорема. Пусть а> 0, О - функция типа модуля непрерывности на R+, h -

плюригармоническая функция из ), тогда при п > а + N следующие утверждения равносильны

1) Тн является ограниченным оператором в пространстве А„(а,п)

2) __Фун

кцию И можно представить в виде И(0) = ИДО) + И2(0), О е SN, где Н1 имеет аналитическое

продолжение в BN, при этом И1 е А„(а, п), а И2 является граничным значением некоторой

ограниченной аналитической функции в BN.

Замечание. Основная теорема в одномерном случае установлена в работе [3]. Доказательство теоремы основано на нескольких вспомогательных утверждениях. Следующее утверждение типа теореммы Харди-Литтвуда легко вывести из результатов работы

[4].

Лемма 1. Пусть О - функция типа модуля непрерывности на (0,1], а>0, „(1 - г) = (1 - г У о (1 - г), тогда справедливы оценки

с,II/II <|< с2||/II ^ "¿„(а) II -Мка) ®(а)

для любой аналитической функции/ из А„(а).

Здесь и в дальнейшем Су = Су (...) — положительные числа, зависящие только от (...) Следующая лемма также установлена в работе [4].

Лемма 2. Пусть к, т е N, / е Н(BN), тогда существует многочлен Р порядка не выше т - к +1 такой, что

/( ) Г (1-01) тРк/О)Р((*0)) „ 0)

/ ( ^ = к-(1 -< ) ^-к

Докажем теперь следующее утверждение:

Лемма 3. Пусть И е Н 1(BN), тогда если оператор Ти действует в пространстве А„(а,п), то

И е Нж, причем ||И||^ < ||ТИ||, где Н" - множество ограниченных аналитических функций в BN. Доказательство:

Положим /г (2) =-т1—г—N - аналитическая функция по 2 и по г , 2 е BN,

(1 -( 2 п) '

г = (г1, г2,..., гN) е , по определению

Т (/' )(2» = I (/-Ш^ (1 -{2,0 П-О Г)) N

Учитывая равенство 0, г^ = О, г\, получим

Ти(/-2)=I (1 -(0..)) (1-(г ,0) N =И(г) /г (2

Но, так как оператор Ти действует в пространстве А„ (а, п), то

% /)А......-|Л(г )|| /\

\\А(а,п)

- ' М

откуда | к(г) • Если мы заменим функцию /г (2) на /г ?] е SN, то получим

утверждение леммы.

Лемма 4. Пусть у > а + N. уе R, а - функция типа модуля непрерывности. Тогда класс Аа(а, у) является кольцом относительно операций умножения и сложения.

Доказательство:

Для доказательства леммы достаточно установить, что оператор умножения является ограниченным оператором в пространстве Аш(а, у) .

Для целых у мы можем использовать методы из работы [3], поэтому покажем сначала, что мы не нарушая общности можем считать, что у — п е N .

Действительно, согласно лемме 1, справедлива оценка

III -4^) —М.....- с2ц/II

• а

(1 - г) = (1 - г- г)

ИАЖ(«) ^ Н^С«)' " ^ * ' ^ * ' " V * ' (1)

Положим п — у + 5, п е N, 5 е (0,1). Следующее равенство установлено в [2]

Я^ ,5 ^Г = £)Г+5 = ^п

Пусть / е Аю(а, у). Тогда, Эг(/) е Аа(а), следовательно, согласно (1) Яу-N'5Ву/ = Эп/ е Ьа(а + 5); п > « + 5 +1 Аналогично, если g е Аа(а, у), то

Dng е Ьа(а + 5); п > а+ 5 + N Если теперь для целого п мы докажем, чтоDn (/ • g) е Ьа(а + 5), то это будет означать, что

Яу-^5 Dу(/ • g) е Ьа(а + 5) или опять с учетом (1) получим Dу(/ • g) е Ьа(а), т.е. / • g е Аа(а,у).

Значит, не теряя общности, мы можем доказывать лемму для целых у — п. Перейдем к доказательству леммы.

Согласно утверждению 1.15 из [2] (стр. 19) для некоторых многочленов {рт }

дт /

(2)= X Рт (2) Л/ (2); п е ; т е Г 02

Далее для мультииндексов у и \ имеем

и • ^Аа(«,п) = 1

| у—п

I

р\-у

у

Рт ( 2 ) ( 2) ( 2)

Для доказательства леммы достаточно установить оценку

I (1-К1ГЧ1-К1)

05 /

(С)

дС

дr-\g -— (С)

д£у-Р УЬ '

^(С) - с/

• ^ .

А®(ап) 11 ||А®(ап)

Учитывая представления

/ ( 2 ) = I

Г (1-1С12)^п/(С)

\N+1+$-п

(1 Ч2, С)

Р(С)(1-|С12)^п/(С)

М2) g(2) = |

_г (1- | С (С)

(1 -(2, с))

N+1+$-п

dv( 2)

имеем

д25

(2) = I

ду-^_г Q(С)(1-|СI2)sDng(С)

(1 -( 2, С)

N+1+5-п+| Р

dv( 2)

ж-р(2) 1

N

(1 Ч2, С)

N+1+5-п+|у|-| р\

dv( 2)

Где Р и Q - некоторые многочлены от Се BN .

т —п

Ьш(а)

N

Откуда, после подстановки получаем

\Б (1— | С|)а—1—(1— | С|)

д3 / дС3 (С

д

7—3

я

дС

7—3

(С)

¿КС) <

<е\Б \ (1— |С|)*(1—|н|)* | Пп/(С) И Пп£(н) | •I(С,

где

1 (С' н) = i -| 1

— (1— | 2 |)(1— | 2 |)С

|1 — (2,С)\

|1 — ( 2 н)|

N+1—п+ 7— 3

й\(2), Н, 2 е Б

N •

Так как * - достаточно большое натуральное число, то при 7 < п, | С |>| н |, | 2 |= г, имеем

I(С, н) < — (1 — г)(1 — г)а1 [ --

<1—(1 — г)(1 — г)а—11 -

■Ъ ч |1

1

|1 — ( 1

N+1-п+3|

|1 — ( 2, Н|

+1—п+ 7—Ц

2)Г2Ж ¿Г <

|1 — (Z'0\

2*+2 N+2—2п+ 7

йа{2)г2Ж ¿г < е\с

1 —(1 — г )(1 — г )а1

ач2*+N+2—2 п+М — гр) 1/1

¿Г <

—(1— | С |)(1— | С |)а—1 < с — (1— | С |)(1— | С |)а—

(1— | С |)2(*+1)+(7|—п)—п+N—1 (1— | С |) 2(*+1)— п+Ж—1

(3)

Аналогично, получим I(С, н)< с

—(1— | Н |)(1— | Н |) (1—|К|)

а—1

2(*+1)—п+Ж-

—, Н >С

4)

Подставляя (3) и (4) в (2), приходим к неравенству

д3/

д23 д2

7—3

(

< с

\

1рп/(С)—(1—С|)(1—Юг1 ¿чС) • I(1—Н)

VБи у бж

Но, так как п > а + N и — (1— | н |) > соп**(1— | н |), н е БЖ, то из последнего неравенства получим:

д3/ д7—3я

д23 д2

7—3

< с\\а\ • £

лемма доказана. Доказательство теоремы. Докажем (1)= > (2).

Если Ть действует в пространстве А—(а, п), то поскольку к - плюригармоническая функция, то к = к + к2, где к1 е А—(а,п), а к2 еН 1(БЖ). Но, так как Ть- ограниченный оператор и по лемме 4 пространство А—(а,п) является кольцом, то Т-^(/) - ограниченный оператор в А—(а,п).

Следовательно, по лемме 3 к2 е Нш. Импликация (1)=> (2) доказана. Докажем (2)= > (1). Согласно лемме 2

/ ( 2 ) = I

(1—1*|) тБп/(г) р({ 2, г))

(1 — (2, г))Ж+1+т—п

¿у(г)

и этот интеграл абсолютно сходится при 2 е . Значит,

т (/)(7)= г к2(С) г (1—|г|)тРп/(г)р((С'*)) к2(/ )() ^ (1 — (2, С)Ж К (1 — (С, )

+1+т—п

¿у(г )Ла(С)-

(

N

Поменяем порядок интегрирования

Т- (/)(2) = г (1— | г|)тПп/(г)Г -. к2[°Р^С'^)—т^dст(С)dv(í).

' 1 " (1 — (С, А)Ж+1+т-п (1 — (г,С))ж

Рассмотрим внутренний интеграл

J=г ; к2СР(С')) ^ МС)=

^ (1 — С' )Ж+1+т—п (1 — (2, С)) Ж

к2(С) Р(С, г)

2 '_

= г _к2^Р<('°)>_А*!)- о-+- г (—С^аЮ

кг (1 -{гСУ^^—{С.гУ ^ (1 — (г,С)"

Применив к данному интегралу формулу Коши-Сеге, получим, что

J (2, г ) = П

т+1—п

г к2(г )Р2( 2, г) ^

V (1 — V' 2)) у

где производная берется по г.

Согласно утверждению 1.15 из [3] (см. стр. 19)

дт /

П/(2)= X Рт (2) (2), т е Г, * е R

т |< N д2

где каждый рт есть многочлен от 2 е БЖ. Откуда

3 = X дкк2 Рк (г, 2)

к|<т+1-п (1 '2

Л+к ГЛ / Л\N+m+1-k-n

п дг (1 — (2, г))

Значит, чтобы доказать ограниченность оператора Тк2 в А—(а, п), достаточно показать, что оператор

д 'к

(1— |г|) т\(г) Бк2^)(2) = ^-^Ц^тВт- ¿40' к =|*|

действует в пространстве А— (а) = А— (а,0) при условии, что 0 < к < т +1 — п и к2 е Нш. Перейдем к оценке последнего интеграла. Имеем [ |Б (\)( 2)|—(1— | 2 |)(1— | 2 |)"—1 2) <

JБN 2

(1—I)т\А<\дкМГ — О-12|хн2Г-щ, к =|'|. 5)

Ч ^ ' дг' К |1 -(2, t)|N+т+1-к 1 '

Оценим внутренний интеграл

I=г—(1—■2|)(1—121—:1 ^ 2 >

К |1 — (2, г)^+т+1-к v ;

Так как к — т < 1, то т + N +1 — к > N > 2, кроме того — (1— | 21) - неубывающая на [0,1] функция, значит

I(')< —Рг-Р):—1 ¿V«2)' г =|г|, р=|2|.

Далее, т.к. к < т +1 — п и п > а +1, то т +1 — к > т +1 — т — 1 + п = п > а + N, значит

т - к -а > N -1 > 0. Продолжим оценку. Так как —(—— - неубывающая на [0,1) функция, получим

I (t ) < с

с(1 - r) fi (1 -р)с

1 - r

(1 - rp)

п-к

dp< с

i-р с(1 - r)

а\т-к-а+1

- r)

Вернемся к оценке интеграла (5). Т.к. h2 е Hœ, то

д sh-

д sh

dts

(1-111)к ограничен. Получим, что

B, V)

< с

Са) JBN

I V(t)l

dts

(1-|t|)kc(1-\t\)(1-\t\)a-1 dv(t) < с|V a („), к =\s |

Теорема доказана.

We give the description of all pluriharmonic function h, for which the Teoplitz operator with symbol h is bounded in the weighted analytic Sobolev spaces in the ball.

The key words: unit ball, holomorphic function, Sobolev spaces, Toeplitz operator, radial derivative, plurisubharmonic function.

Список литературы

1. В.И. Смирнов, Н.А. Лебедев, «Конструктивная теория функций комплексного переменного» /, М.: Наука, 1964 , 440 с.

2. Kehe Zhu, Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball, Springer, 2005, 274 p.

3. Ф.А.Шамоян, "Об ограниченности Тёплицевых операторов в весовых соболевских пространствах голоморфных в круге функций" / Записки научных семинаров ПОМИ, том 389, вып. 39, стр. 257-282, 2011 г.

4. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. «Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов и проекторы в весовых пространствах аналитических функций»// Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, №6. С. 1208-1234.

Об авторах

Шамоян Ф.А. - доктор физико-математических наук, профессор Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, [email protected].

Куриленко С.М. - аспирант Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, [email protected].