Об ограниченности решений дифференциальных уравнений третьего порядка с частными производными на бесконечных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ Абдукаримов А.М.

Абдукаримов Абдували Мансурович - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт математики Национальная Академия наук Кыргызской Республики, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в данной работе рассматривается линейное дифференциальное уравнение с частными производными третьего порядка на бесконечной области, когда свободный член рассматриваемого уравнения непрерывен и принадлежит пространству квадратично суммируемых функций с интегралом Стилтьеса по строго возрастающим дифференцируемым функциям.

Установлены достаточные условия, гарантирующие ограниченность решений дифференциальных уравнений с частными производными третьего порядка на бесконечной области. Для доказательства основного результата развит метод преобразования уравнений Вольтерра-Стильтеса.

Ключевые слова: пространство квадратично-интегрируемых и непрерывных функций, производная по строго возрастающим функциям, преобразование уравнения и интеграла, формула Дирихле.

Рассматривается уравнение

(t,x) + т(, x)u& (t, x) + a(t, x)ux (t, x) + b(t, x)ut (t, x) + C(t, x)u(t, x) = f (t, x),

О = {(г, х): 0 < г <да, 0 < х <да}, (г, х)е О, (1)

с условиями

/(г,х)е ^ДО)^ С(О), (/)

и(0, х) = 0, х е[0, + да),

и(г,0) = 0, г е [0, + да),

иы (0, х) = 0 (*)

где т(г, х), а(, х), Ь(, х)с(, х)/ (г, х) - известные функции, а и (г, х) -неизвестная функция (р(г ),^( х) - строго возрастающие дифференцируемые

функции соответственно в области О = {(г, х) :0 < г < да, 0 < х <да}, тогда и'х (г, х), и\(г, х) определяются следующими равенствами:

и, дна, х) дна, х)

х x)dx х х)

= ди(г, ) _ д'^ди(1, х)

' ) др(№ ^ др(1) ' В дальнейшем нам понадобятся следующие легко доказуемые леммы: ЛЕММА 1. Для любых дифференцируемых функций К, Ж справедливо соотношение

' 1 , ' 1 ' ,

К^,) = -(КЖ2 - - К (.)

ЛЕММА 2. Для любых дифференцируемых функций С, V, имеющих смешанные

производные, справедливо соотношение

= (С)) ;(т;^) ~(С;(т))) _(C'^(z)V) ;(г) + С •

ЛЕММА 3. Для любых дифференцируемых функций С, V, имеющих смешанные производные, справедливо соотношение

1 " 1 ' 1 ' 1 "

С))" , ,=1 (С)2) -1 (с' V2) -1 (с,)2) +1С 1Л1)2 - С), ),,.

2V ' ;(*);(у) 2^ '"у) 2 ^ у) ';(*) 2 у) ^

Обозначим через С(О) - пространство всех непрерывных функций на О = {(/, х) /0 < 1 <ад, 0 < X <ад}. Через Ь2;; (О) обозначим пространство всех функций и(V, х), удовлетворяющих условию

ад ад

Ц|и(1, х)2< ад.

0 0

Вопрос о единственности и принадлежности решения пространству непрерывных и квадратично суммируемых функций для линейных интегро -дифференциальных уравнений типа Вольтерра на полуоси рассматривался в работе [1]. Для систем линейных интегральных уравнений типа Вольтерра I рода на полуоси этот вопрос изучен в работе [3].

Для функций от двух независимых переменных аналогичные вопросы исследовались в работе [2].

Ограниченность и устойчивость решения слабо нелинейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка типа Вольтерра на полуоси рассмотрены в работе [4].

ТЕОРЕМА. Если выполняются условия: ф,

а) функции

(V, х У(0,

С;(1)(1 , х) , с;( х)(1, х) , <;жх)(1, х) е св

б) а (1, х)> 0, а"V) (1, х)< 0, Ъ (1, х) > 0, Ъ"х) (?, х)< 0 Ц?, х)> 0 при

&х) ев;

в) С^) (^ х)< а С"( х) (^ х)< 0, С (и х)>а> 0, с;({);(х) (и х)> 0, [(;'(0У(х)-1)]> 0 С2 (1,х)-а^ (1,х);(х)Ъ"х) (1,х);'(!) <0 при (и) ев,

то задача 1-(*) имеет единственное решение в пространстве непрерывных и ограниченных со своими производными функций С2 (С). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сделаем следующую подстановку:

1 х

и (1, х) = Ц$(у) d;(s)d;(y) ,

0 0

);(х)(1, х) = ^ х) , их=;(о; (х)и;^);(х)^, х)=;("' (хж/, х), и;:=; " (^; ' (хЩ, х)+(; '(^ ))2; '(х>; >(*, х)

х

и; (/, х) = ; (1)и;( ^, х) = ; (о 1$^, х)У(у)

I

К V, х) = ;'(х)иУ, )(1, х) = ; '(-^С* х^ф)

Подставляя (2) в (1), имеем:

"(х)^, х)+(;(1 ))У(х); )(1, х)+

+ и(1, х)

^ х

; (1);' (х)$(1, х) + а(1, х);' (х)}$(*, х)й;(*) + Ъ(1, х);' (0}$(1, у)У( у) -

0 0

1 х

+С (1, х) }}$(*, у)й;(*)У (у) = / (1, х)

(3)

Очевидно, что задача (1)-(*) эквивалентна системе интегральных уравнений (2)-(3). Обе части уравнения (3) умножив на$(1, х) и интегрируя по области

О;(1);(х) = {(* у ) :0 < * < t, 0 < У < х} , получим:

1 х 1 х

}}(;(*))У(у $ )(*, у )$(*, у У Ы* )+\\;"(У (у )$2 (*, у>у(уУ;(*)+

0 0 0 0 1 х 1 х *

+ }}; (*)У (у И*, у $$ (*, у¥;(у )+}}} а(*, уу (у)$(т, у)$(*, у)й;(т)йУ(у )^;(*) +

0 0 0 0 0 1 х у

+}}}ъ ( *, у ) ;' (*)$ ( *, г ) $ ( *, у ) у ( 2 )й; ( у)й; (*) +

0 0 0

1 х * у

+}}}}С ( *, у )$(т, г )$( *, у ) У( г)У(т)У(у)й;(*) =

0 0 0 0

} }/( *, у )$( *, у ) У( у)й;(*) •

(4)

0 0

Затем преобразуем четвертый, пятый и шестой интегралы в левой части равенства (4). Далее используя лемму 1.

1 х *

}}} а ( * у ) У'(у$(т у ) $ ( * у ) й ;(у)й ;(*)

0 0 0

= (у)а(*,у) }$(т,у)й;(т)

0 0 0

1}У (у)а (1, у /} $(т, у) й;(т)

} $(т, у ) й;(т)

У( у)й;(*) =

;(*)

У(у) -

I х *

-1 }}у(у)а;(*)(*,у) }$(т,у)й;(т)

0 0

У(у)й;(*).

0

0

0

2

Аналогично этому получим:

г х у

{{{У»Ь ( у ¿( г ¿( у ) dщ(z ¿)4у(15)4щ( у)

0 0 0

= {{ф(в)Ь(5,у) }¿(5,г)dW(z)

0 0 |_ 0

1}(Р'(8)Ь(х,5)| }¿(5,г)d¥(г)

2 0 V 0

1 г х у

1 \\ф(у)Ь'«у) (5,у) {¿(5,г)d¥(г)

{ ¿( 5, г ) dW{ г)

0

Л2

dp( у^ф) =

¥( у )

dу(s) -

dw(. у^ф).

Далее, используя леммы 1 - 3, преобразуем шестой интеграл:

г х 5 у

Ш|с ( 5, у ¿(г, г ¿( 5, у ) dщ( г^ф^^ у^ф)--

0 0 0 0 5 у

= {{С(5,у) {{¿(г,г)¿^(г^ф) {{¿(г,г)с1^(г^р(т)

d^(y)dф(s) =

И1> Ж у)

-с х)

{{¿(г,г)dW(z)dу(т) -1 '{С'г(5) (5,х)|{{¿(г,г)dW(z)d^(r) 1 dу(s)

1 г I1 у

-1 {с;(у)(г,у)| {{¿(г,г)й¥(.г)йф)

2 0 V 00

1 г х ( 5 у

+1 {{С^жу)(5,у)| {{¿(г,г)dV(zг)йф)

dw( у) +

/

Л2

0 0 г х

у)йф) -

-{{С(5,у) {¿(5,г)<1у{г) {¿(г,у)йу{т)

равенство (4) перепишем в следующем виде:

г х г х

{{И*))2 ¥'{у ) (5, у^, у^^ф) +{{ у 5+^)т(5, у )У(у )¿2 (5, уУ^(уУ^)+

0 0 0 0

+1 "^'(у)а(г,у)|{¿(г,у)у(г)| а¥(у) +1 {И(5)Ь(5,И?)-

1 г Лх 42

-1 {С^ (5,х)| {{¿(г,г)dW(z)dи(т)

2 0 V00 у 1 г |гу ^

-1 {С;(у) (г,у)| {{¿(г,г)dW(z)dу(т)

dу(s) -

+1С (г, х)

0 0 г х

^(у) +

{{¿(г, г ) ё ¿)йфг)

0 0

г х

0 0

0 0

00

2

2

0 0

-t t x ( s

+1JJj У(y)a;(s) (s,У) J*(r,y)У(т)

0 0

- 2C ( s, y )

s У

J$(r, y) dp(r) J$(s, z) dy(z)

-Ф (s%( y) (s y)

У

J$( s, z) dy( z)

dw( y)d^(s)

i t x f s y

+1JJ Qs y y) ( s, y )|JJ^, z ) dy( z)dv(T)

V о о

t x

dy( y)dp(s) =

: JJ f (sysy)dY(y)dP(s)

(5)

В силу условий а) - в) левая часть соотношения (5) неотрицательна. Поэтому отсюда вытекает следующее неравенство:

1 х 1 х

}}(;' (*))У (у $;(*)(*, у)$(*, у)й;(у)й;(*)+\\[;"(*)+;' (*)и(*, у )" (у $$ (*, у)й;(у)й;(*) +

+ -

а I

Л2 t x

у )$( у) й;( у)й;(*).

2 V00 ) 00

огда, в силу подстановки (2), это эквивалентно неравенству

1 х 1 х

}}(;'(*))У(у)$;м(*, у)$(*, у)й;(у )й;(*)+}}[;'(*) + ;'(*)и(*, у )У(у $$ (*, у)й;(у)й;(*)

0 0

1 х I

}} / (*, у)$'(*, у )Уу Ы*)

(6)

+ aU 2 (t, x)^ 2 V '

(7)

Имеем далее:

1 х

t x л t x

JJ{cp' (s ))У (y Ks )(s, y)s(s, y )dy(y Ж*)<1 JJ(p'(s ))У(у Ks )(s, y W Ж*) +

0 0 2 о 0

л t x

+1 JJ(p'(s ))У (y )^2 (s, y)dw(y )dp(s)

200

t x Y t x its

JJ f ( s, y s, y ) dy( y)dp(s) < - JJ f2 (s, y ) dy( y)dp(s) + - JJ^2 (s, y ) dy( y)dp(s) 00 00 00

С учетом этого из (7) имеем:

1 t x 1 t x

1 JJ(p'(s ))2 W(yKs )(s, y)dw(y )d^(s ) +1 JJ(^'(s))y(y )$2 (s, y )dy(y )d^(s ) +

) + 2}

0 0 ^00

л 1 х 1 х

^и2 (1, х)< 1}} /2 (*, у)у(у)й;(*)+1|}$2 (*, у)й;(у)й;(*), (8)

2 0 0 2 0 0

(/ ) получаем и2(1,х) < ± /0Х/2(5,у)^(у)^(5). Следовательно, и(1, х) ограничена при (1, х)е О. Таким образом, теорема доказана.

2

отсюда, в силу условия

1 fGO fGO

2

2

0 0

0 0

0 0

+

0 0

Список литературы

1. Асанов А., Абдукаримов А. Ограниченность и квадратичная суммируемость решений линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра на полуоси // Вестн. ОшГУ. Сер.физ.-мат. Наук, 2001. № 4. С. 48-53.

2. Асанов А., Абдукаримов А.М. Квадратичная интегрируемости решений систем двумерных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными не неограниченных областях //Вест. КазНУ им. Аль-Фараби. Сер. мат., мех., инф., 2004. № 1 (40). С. 48-58.

3. Ведь Ю.А., Искандаров С. Об ограниченности решений линейной системы интегро-дифференциальных уравнений второго порядка типа Вольтерра // Уральск.регион. конф. «Функционально-дифференц. уравнения. уравнения и их приложения». Пермь. февр., 1988.: Тез. докл. Пермь: Пермск. гос. ун-т, 1988. С. 102.

4. Искандаров С. Об ограниченности, устойчивости и принадлежности пространству

1} [¿0, да) решений слабо нелинейных интегро-дифференциальных уравнений

второго порядка типа Вольтерра // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Фрунзе: Илим, 1981. Вып. 14. С. 149-158.