CC BY
40
4. ОСТ 58-22-00. Техническая база производства радиопродукции. Общие требования. Основные параметры. Классификация уровней качества. - М.: АО ВНИИТР, 2000. - 7 с.
5. ОСТ 58-18-96. Техническая база производства телерадиопродукции. Методы сертификации. Общие требования. Основные параметры и методы испытаний. - М.: АО ВНИИТР, 2000, Ч.І. - 54 с. / Ч.ІІ. - 35 с.
В.В. Лисяк, М.В. Лисяк ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА ИНЖЕНЕРНЫХ СЕТЕЙ*
Проблемы сетевого планирования, управления и проектирования инженерных сетей представляются как задачи синтеза сетей по определённым критериям. Под термином инженерные сети понимаются транспортные, электрические, эко-, .
В качестве математического описания структуры таких сетей часто используется аппарат теории графов [1]. При синтезе сетей возникает задача выделения в графе некоторого суграфа, удовлетворяющего определенным условиям. Такими , , :
♦ выделенный суграф должен быть связным;
♦ суграф не долже н содержать циклов, т.е. быть деревом;
♦ суммарная весовая функция ребер суграфа должна быть минимальной.
Под весом ребра понимается некоторая функция Р, характеризующая взаимоотношения между объектами (время, стоимость, расстояния и т.п.). Ниже предлагается алгоритм выделения в графе суграфа с указанными свойствами, основанный на преобразовании матрицы инцидентности графа 1О и не требующий большого объема вычислений.
Пусть исследуемый объект задан неориентированным графом О=(Х, и), без петель и кратных ребер, где X - множество вершин графа, \Х\=п; и - множество ребер, \ и\=ш. Каждому ребру поставлен в соответствие вес Р,- >0, который может быть любой мерой взаимоотношения вершин инцидентных ребру.
Необходимо в графе О выделить такой связный суграф без циклов 0=(Х,и’), где и’є и, чтобы суммарная весовая функция ребер суграфа О была оптимальной £ = ЕРі , I = {1,2,...,ш}, ш’є ш. Приведём некоторые определения.
Цикломатическим числом Х(О) графа О называется число линейно независимых циклов графа МО) = ш(О) - п(О) + к(О), где к(О) - число компонент связ-
О.
Каркасом Т графа О называется всякий связный суграф, удовлетворяющий условиям: ш(Т) = ш(О) - Х(О); 1(1 = 0; п(Т) = п(О).
Ранг р(О) графа О - число ребер его каркаса р(О) = ш(О) - Х(О) = ш(Т).
Известно [1], что любые два каркаса одного и того же графа имеют одинаковое число ребер. Следовательно, выделение дерева с минимальной суммарной весовой функцией ребер равносильно выделению в графе каркаса с минимальной весовой функцией ребер. Алгоритм выделения в графе такого каркаса предлагается реализовать следующими двумя процедурами:
1) О и’є и,
покрывающего все вершины графа, которое назовем базовым подмножеством;
2) и’.
Рассмотрим указанные процедуры.
* Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 05-08-18115.
Процедура 1. Пусть Р={р}, /е 1 - множество весов ребер графа О. Выберем среди элементов множества Р элементы с минимальным значением р, и образуем подмножество из ребер, соответствующих выбранным элементам. В строку Р занесем единицы в позиции XI и х, если среди образованного подмножества ребер есть ребро и, Если при этом не образуется единичная строка, то переходим ко . , ребер соответствует базовому подмножеству.
На втором шаге образуем подмножество ребер р{ >р, . Пополняем строку единицами, соответствующими вновь выделенным ребрам. Причем, если на к -м шаге среди ребер выделенного подмножества нет ребер, покрывающих новые вершины, то это подмножество ребер исключаем из рассмотрения. Выделенное такой процедурой базовое подмножество ребер обладает тем свойством, что сумма весов его ребер будет наименьшей среди всех других базовых подмножеств, где Ш -множество ребер базового подмножества.
Обозначим мощность базового подмножества через г=\Ш\. Действительно, пусть А множество всех базовых подмножеств, а ак е А, ке К={1,2,...,д}, д=\А\. Тогда, если ак получено таким образом, что объединяет ребра графа О с весами р1<р2<-<рг и среди этой последовательности весов нет ни одного пропущенного р/ , -. р/ , одно из соответствующих ему ребер не покрывает новой вершины графа. Тогда это подмножество ребер не включено в базовое подмножество. Предположим, что существует базовое подмножество, для которого выполняется условие минималь-
р/ .
ребер этого подмножества должна отсутствовать часть ребер с весами р,- р, иначе возникает противоречие с условием покрытия элементов строки единицами.
Процедура 2. Пусть согласно процедуре 1 выделено некоторое базовое подмножество ак = {и1, и2,..., иг}. Выделим на множестве ребер базового подмножества каркас Т, который является деревом с минимальной суммарной весовой функцией ребер. Перед описанием процедуры 2 докажем верность следующего утвер-.
Лемма. Если мощность базового подмножества ребер равна рангу графа, то ребра этого подмножества образуют каркас графа.
Из определения базового подмножества следует, что ребра такого подмноже-
О. , -
ва не образуют каркаса. Тогда эти ребра должны образовывать, по крайней мере, один цикл, и, следовательно, число ребер базового подмножества должно быть больше чем р(О), что противоречит условию леммы, либо содержать, по крайней , ,
.
,
, 2 поставленная задача решена. Процедура 2 базируется на известной теореме Прима и двух ее следствиях:
Теорема. Система £ некоторых столбцов матрицы инцидентности 1О линейно независима тогда и только тогда, когда суграф Т, порожденный множеством тех ребер, которые соответствуют столбцам £ не содержит циклов.
Следствие 1. Ранг матрицы инцидентности равен рангу р(О) графа О. Следствие 2. Система £ из р(О) столбцов матрицы 1О линейно независима тогда и только тогда, когда соответствующий суграф Т является кар касом графа.
Согласно теореме и следствию 2, для выделения из графа каркаса необходимо сохранить в матрице IG систему из p(G) линейно независимых строк и отбросить остальные строки. Тогда в матрице будет содержаться единичная квадратная подматрица порядка p(G), а ребра, соответствующие единичным элементам, порождают в силу следствия 2 каркас графа.
, 2 .
IG, ,
ребрам базового подмножества:
К матрице IG будем применять следующие три типа операций: 1 - перестановку столбцов; 2 - перестановку строк; 3 - замену строки суммой ее с другой .
Заметим, что применение операций 2 и 3 не нарушает взаимно однозначного соответствия между столбцами матрицы и ребрами графа, а операция 1 соответствует перенумерации ребер. Операция 3 определяется как сложение по модулю два.
IG -
.
Если элемент а11 =0, то применяем операции типа 1 или 2, чтобы а11 =1. Если при этом не все элементы столбца равны нулю, то применяем операцию 3 с целью получения в столбце нулевых элементов, кроме элемента a1L Аналогично применяем операции 1,2,3 относительно элементов а11 а22 а33 и т.д., до тех пор, пока не образуется матрица вида:
1 0 0 a 1,р+1 a 1,i
0 1 . 0 a 2,р + 2 . a 2,
0 0 . 1 a р,р+1 . a Pk
0 0 .0 0 .0
0 0 .0 0 .0
Выпишем номера ребер, которые соответствуют первым р(О) столбцам матрицы (т.е. единичной подматрице). Согласно теореме и следствиям эти ребра образуют каркас графа О на множестве ребер базового подмножества ребер.
Последовательность построения на графе дерева с минимальной суммарной весовой функцией ребер можно сформулировать следующим образом:
1. По заданному множеству ребер и соответствующим им весам выделяем в графе О базовое подмножество ребер. Переходим к п.2.
2. Если мощность базового подмножества равна рангу графа, то переходим к п.6, иначе к п.3.
3. Для базового подмножества ребер записываем матрицу инцидентности 1О и переходим к п.4.
4. К матрице 1О применяем операции перестановки столбцов, замены одной строки суммой ее с другой строкой. Получаем матрицу 1’О и переходим к п.5.
5. Выписываем ребра матрицы 1’О , соответствующие первым р(О) столбцам. Переходим к п.6.
6. .
Рассмотрим описанный метод на примере графа, изображенного на рис.1,
список инцидентности рёбер которого имеет вид:
и] = {х¡, х2}; и2 = {х¡, х2); и3 = {хъ х2); и4 = {хъ х2); и5 = {хъ х2); и6 = {хъ х2}; и7 = {хі, х2}; и8 = {х], х2}; и9 = (хь х2}; ит = (хъ х2}; ии = (хь х2}; ип = (хъ х2};
и13 = (хь Х2}; им = (хь Х2}; и15 = (хь Х2}; и16 = (хь Х2}; и17 = (х}, Х2}.
Веса ребер графа зададим строкой:
и1 и2 и% и4 и5 иб и7 и§ ид ию иц и12 и1з и14 и15 и1б и17
Р = 1 5 2 3 3 6 5 2 1 4 4 1 2 2 10 1 2
Выделяем базовое подмножество ребер. Выпишем ребра со значением весов
равных 1. Получаем подмножество {и1, ид, и12, и16}. В некоторой строке Я пометим
единицами те вершины графа (рис.1), которые принадлежат выделенным ребрам: Так как строка Я заполнена единицами не полностью, то выделяем подмножество ребер с весом 2. В такое подмножество войдут следующие ребра {и3, и8, и13, и14 и17 }. . Корректируем строку Я, которая примет вид: х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 х8 хд х10
Я= 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
Поскольку строка Я еще не содержит все единицы, то повторяем процедуру для ребер с весами 3. Таким подмножеством является {и4, и5}, а скорректированная строка Я примет вид:
х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 х8 хд х10 Я= 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
Так как строка Я стала единичной, то базовое подмножество ребер примет вид: {и1, ид, и12, и16,, и3, и8, и13, и14 и17, и4, и5}. Мощность базового подмножества равна 11, ар(0)=9, следовательно, записываем матрицу инцидентности 1а графа:
х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 х8 хд х10 Я= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
и применяем к ней операции типов 1,2,3. Последовательность номеров применяемых типов операций будем указывать сверху - вниз над стрелкой перехода от матрицы к матрице:
"| »3 щ II, Чб "13 1І4 "І7 '<! »3 'о '12 "16 “і "із "14 "п "4 "5
■'1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ъ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
•'з 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 з •тз 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 .? 7
■т4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 Л4 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 і
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 —► *5 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 р.
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1
Ь 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Л8 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0
Л, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Лд 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
'■.и 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ■т1[| 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
и «12 "16 »3 '6 !(з 'І4 "п »4 Щ «1 "з »4 "9 'Ї2 "16 Щ "п »14 'Ь »5
Г1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 л; 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 с
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ■г. 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
'з 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 ■'з 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 с 1
0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 і Л'4 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -►
0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0
X, 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X, 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 ■ч 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0
.V, 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
ліо 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 хю 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
»4 ч »12 'Ь »16 »13 »н »17 »5 »1 щ »4 »5 »12 »8 »16 »17 »13 »14 »5
*1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
*2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 Л- 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
ъ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 Л- 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Х4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 У -г4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
Ъ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 3 л; 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 л; 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
X, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X, 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Ъ 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 X, 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
Л10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ■'¡о 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
В конечной матрице выпишем ребра, соответствующие первым р(О) столбцам {її], и3, и4, и9,, и 12, и8, и16, и 17, и13}. Для исходного графа (рис.1), дерево, по-
строенное на выделенных ребрах, представлено на рис.2. Суммарная весовая функция ребер этого дерева равна 15.
х7 Х4 ^6 ^8
Рис.1. Исходный граф
Рис.2. Дерево, построенное на выделенных ребрах
В заключение отметим, что описанный метод распространяется на мультиграфы и может найти широкое применение в проектировании инженерных сетей. Алгоритм не требует проверки появления циклов на каждом шаге, что характерно для большинства существующих методов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Зыков АЛ. Основы теории графов. - М.: Наука,1987. - 384 с.
Н.Ш. Хусаинов
РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА АВТОНОМНОГО КОНТРОЛЯ ЦЕЛОСТНОСТИ ДЛЯ БОРТОВОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ РАДИОНАВИГАЦИИ
Обзор известных подходов к контролю целостности системы радиона-. -
ность навигационной системы (устройства) поддерживать с заданной вероятностью свои характеристики в требуемых пределах [1]. Главной составной частью достоверности навигационных измерений является целостность навигационной
,
ухудшение в работе системы с заданной вероятностью и временем запаздывания (
).
времени запаздывания определяются областью применения системы навигации, в
