Об одной задаче пространственного разворота космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.7

М. В. Левский

НИИ космических систем г. Юбилейный, Московская область

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАЗВОРОТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

Исследуется задача управления пространственной переориентацией космического аппарата с минимальным расходом рабочего тела. Показано, что оптимальное по расходу топлива решение находится в классе двухимпульсного управления, при котором разворот КА совершается по траектории „свободного движения" и представляет собой разгон КА до необходимого кинетического момента, неуправляемое вращение КА и гашение угловой скорости.

Проблема создания экономичных режимов и алгоритмов управления ориентацией космических аппаратов (КА), использующих в качестве исполнительных органов реактивные микродвигатели, остается одной из наиболее важных в космической технике. Особо актуальны вопросы оптимизации терминального управления, обеспечивающего за фиксированное время (к) совмещение связанной с корпусом КА правой системы координат ОХУ2 с программным базисом, положение которого в инерциальном пространстве задано. Нахождению оптимальной программы пространственной переориентации произвольного КА по критерию минимального расхода рабочего тела и посвящена настоящая статья.

Уравнения углового движения КА как твердого тела имеют следующий вид:

М1 = У1со1 + (3 - /2)®2С, М2 = с2 + (Л - ^з)ю1юз, М3 = J3ш3 + (2 - ^1)со1ю2, (1) где Ji — главные центральные моменты инерции аппарата; Мг — проекции главного момента внешних сил на главные центральные оси эллипсоида инерции КА; шг- — проекции вектора

ш абсолютной угловой скорости на оси связанного базиса Е, образованного главными центральными осями эллипсоида инерции КА, г = 1,3 .

Для описания пространственного движения КА используем математический аппарат кватернионов. Движение связанного базиса Е относительно опорного базиса I будем задавать кватернионом Л [1]. Для определенности будем считать базис I инерциальным. В этом случае справедливы следующие кинематические уравнения:

2А0 = — А2®2 — А3®3, 2А. 1 = Ао®1 + А2®3 — ^3®2 , 2А 2 = Ао с + Аз с — А1Ш3,2А3 = Ао с + А1Ш2 — А2 с или в кватернионной форме

2Л = Л ° ш,

- 2 2 2 2

где А у, у= 0,3, — компоненты кватерниона Л, причем Ао +А1 +А2 +А3 = 1.

В условиях космического полета особенность управления заключается в малости возмущающих моментов, обусловленных взаимодействием аппарата с внешними полями и сопротивлением среды. Управление движением КА относительно его центра масс производится путем изменения момента внешних сил М. Допустим, что суммарный импульс от возмущающих моментов пренебрежимо мал по сравнению с управляющим импульсом. В этом случае главный момент внешних сил М определяется в основном моментом управления Му, создаваемым системой исполнительных органов.

Предположим, что область допустимых значений вектора М подобна эллипсоиду инерции:

м1 м2 м32 2

—^ + — + —- ^ м02, (3)

—1 —2 —3

где и0 — заданная постоянная положительная величина.

Зададим граничные условия: начальное (Лн) и конечное (Лк) положения КА и его угловую скорость:

Л(0) = Лн, ю(0) = шо; (4)

Л(Т) = Лк, ш(Т) = ш г, (5)

где Т — время окончания маневра переориентации.

Практическое значение имеют задачи, в которых ш0 =шТ = 0, а Лн и Лк имеют произвольные значения. Для того чтобы задача управления была замкнута, введем оптимизируемый функционал

Т

(6)

0

где g — неотрицательная функция управляющих переменных.

Задача оптимального управления пространственным разворотом формулируется следующим образом: необходимо перевести КА из состояния (4) в состояние (5) в соответствии с уравнениями (1) и (2) при условии, что на управляющий момент наложено ограничение (3); при этом функционал (6) должен быть минимальным.

Оптимизация переориентации КА по критерию минимума расхода топлива представляет определенную сложность как в математическом, так и в вычислительном плане. Будем решать поставленную задачу с помощью принципа максимума Понтрягина [2]. Введем сопряженные переменные фг-, г = 1,3, соответствующие переменным шг-, и у у, 7=1,3 , соответствующие компонентам кватерниона Xу. Функция Понтрягина задачи имеет вид: И = ^ + Ил +Нк , где слагаемое g соответствует заданному критерию оптимальности, Ил — динамическая часть, Нк — кинематическая часть:

О = | gdt,

На =Ф1

{Мл 32 - —3 ^

— +---ш2ш3 +Ф2

V -1 -1 )

{м2 —3 - — ^ {м - - ^

2 , ^3

+--ш1ш3

32 —2 )

+ Ф3

м 3 , —1 - —

+--ш1ш3

V33 —3 )

Нк = -0,5у о (X 1ш1 + X2ю2 + X3ш3) + 0,5у1(Х0ш1 + Х2ш3 - X3ш2) + +0,5у2(X0ш2 +X3ш1 )+ 0,5у3(Xою3 +X1ш2 -X2ш1). Для рассматриваемого типа задач функция g не зависит от переменных шг- и Xу. Уравнения для сопряженных функций фу и уг- имеют вид

Ф- =-дН, г = й, (7)

• дН ■ П

^ у

или в развернутой форме

у 0 = -0,5(у1ш1 + у 2 ш2 + У3 ш3); у1 = 0,5(у 0 ш1 + у 2 ш3- У3 ш2);!

у2 = 0,5(у0ш2 + у3ш1 - у1ш3) у3 = 0,5(у0ш3 + у1ш2 - у2ш1). ] В работе [1] показано, что данную задачу можно свести к решению замкнутой системы девяти дифференциальных уравнений. Преобразовав функцию Нк, характеризующую свойства движения, получим

(8)

Нк = 0,5Ш1((1 +АзУ 2 —А1^3 —А 2 ^3 ) + 0,5ш2 (А 0^ 2 + А1^3 — А2 V 0 — ^1) + + 0,5шз(А0^3 +А2У1 —А3^0 — А1^2) = 0,5Цр +ш2р2 +ш3р3) ,

где

р1 = А0 V + А3 V2 — А1V0 — А2^3 ; Р2 = А0 V2 + А1 ^3 — А2 V0 — А3, р3 = А0 Vз + А2 Vl — ^0 — А1V2.

Будем полагать, что величины р1, р2, р3 представляют собой проекции некоторого вектора р на оси связанного базиса Е. Из уравнений (8) следует, что совокупность переменных Vо, V!, V2, V3 обладает свойствами кватернионов. Далее, принимаем, что сопряженные переменные Vо, Vl, V2, V3 являются компонентами некоего кватерниона ¥, для которого справедливо соотношение 2¥ = ¥ ° ш. Тогда вектор р может быть записан в кватернионной форме: р = уей(Л° ¥), здесь уей — операция выделения векторной части кватерниона, а кинематическая часть функции Н примет вид Нк= —шр/2.

Уравнения (7) могут быть представлены следующим образом:

Ф1 = —ш3п2Ф2 — ш2п3Ф3 — Р1/2; ф2 = 3п1Ф1 — ш1п3Ф3 — Р2 /2; (9)

Ф 3 = —ш2 п1Ф1 — ш1п2 Ф2 — Р3/2, где п1 = (J2 - J3)/J1, п2 = (J3 - J1)/J2, п3 = (J1 - J2)/J3 — постоянные коэффициенты.

Дифференцируя выражения для рг, г = 1,3, и подставляя в них уравнения (2), (8) для А у

и Vу,У = 1,3 , получаем необходимые дифференциальные уравнения.

Изменение вектора р определяется решением системы уравнений

Р1 = ш3Р2 — ш2Р3 , Р2 = ш1 Р3 — ш3Р1, Р3 = ш2Р1 — ш1Р2 (10)

или в векторной форме

р = — шр. (11)

Полученное дифференциальное уравнение (11) отражает вращение вектора р с угловой скоростью -ш относительно связанного базиса. В свою очередь, связанный базис Е совершает угловое движение относительно опорного базиса I с угловой скоростью ш. В результате вектор р является неподвижным в опорной системе отсчета. В силу того что I р | = сопб1, полагаем в дальнейшем вектор р нормированным: I р | = 1.

Таким образом, задача определения оптимального управления сводится к решению систем уравнений (1), (9) и (10) при условии, что само управление выбрано исходя из требования максимизации гамильтониана Н. Граничные условия Лн и Лк определяют совокупность решений р(^), которая имеет следующий вид [1]: р = Л ° сЕ ° Л, сЕ = Лн о р(0) оЛ н = сопб! Направление сЕ зависит от начального и конечного положений

КА, но не только. Для того чтобы КА имел требуемую ориентацию Л(7) = Лк в конечный момент времени, необходимо оценить вектор сЕ (или значение вектора р в начальный момент времени) исходя из получающихся решений системы (2). Задача нахождения оптимального управления заключается в исследовании динамических уравнений Эйлера (1) и сопряженных с ними уравнений (9) при указанном движении вектора р. Система дифференциальных уравнений (9), (10) совместно с требованием максимальности функции Н являются необходимыми условиями оптимальности. Уравнения связи выражаются системами уравнений (1), (2) с одновременным выполнением ограничения (3), накладываемым на движение динамической системы. Граничные условия по угловой скорости ш и условия максимума функции Н определяют решения ш(0 и ф(0, где ф = {ф1, ф2, ф3}. Граничные условия по положению Лн и Лк определяют решения Л(^) и р(^).

I-

Рассмотрим задачу минимизации функционала О = ЫМ2 /у + /У + У • Л

0

при развороте КА из положения Лн в положение Лк за время Т. Этот функционал характеризует работу управляющих сил. Функция Понтрягина

Н = М2/У! + МЦ32 + М2 /У з + М1ф^71 + М2^2^2 + М3Ф3/У3 + Нту , где функция НщУ не зависит явно от управления.

Для построения оптимального управления в виде функциональной зависимости от сопряженных координат введем переменные и = М^-у. и п = Фг Д/У, г = 1,3 . Выражение

2 2 2 2

(3) примет следующий вид: и + ^2 + из < Мо . Используя управления и и переменные Пь получаем

Н = -|ц| + И^ + Н'ту, и = (иь М2, М3}, п = { П, П2, П3>.

Очевидно, что функция Н при ограничении I и |< и0 принимает максимальное значение, если управление и определяется как

и

,п/|п|, если \ц\ > 1;

|0, если ш < 1,

или для моментов

Мг =

и0 Фг

+ ф2/32 +Ф2/33

0, если Е ф2/у < 1. г =1

если

3

г=1

Еф2 /у > 1;

(12)

В соответствии с полученным управляющим моментом М оптимальное решение для сопряженного вектора управления ф может быть найдено согласно уравнениям

Фг = а(*)Рг ,

где а(£) — скалярная функция времени.

Оптимальное значение управляющего момента М определяется как

(13)

М; И

и0®ёп(а)Рг

л/Р12/У + Р2/32 + Р32/.3

если а

3

г=1

Е Р?А > 1;

0, если а

3

г=1

Е Р?А < 1,

где а = а(0) - ¿/2 .

Выражения (1), (9) и (10) совместно с (12) образуют замкнутую систему уравнений, общее решение которой определить трудно. Поэтому, используя фактор постоянства вектора р в инерциальном пространстве, будем искать решения системы (1), (9), (10), (12) в классе движений, при которых кинетический момент Ь КА имеет постоянное направление в инерциальном пространстве. Для этого частного случая необходимо, чтобы выполнялись соотношения

. © = ЪР;, (14)

показывающие связь между векторами © и р; здесь Ъ — коэффициент пропорциональности, зависящий от времени. Следует заметить, что равенства (14) удовлетворяют уравнению (11).

Допустимым для сопряженного вектора управления ф = {ф1з ф3} является решение (13), при котором управляющие моменты будут равны Mi =х(t)pt, где x(t) — скалярная функция времени. Подставляя выражения для Mi в неравенство (3) с учетом условия нормирования, для вектора р получаем

|m| <ujVpi2// + Р2//2 + P32// .

2 2 2 Pi P2 P3

Для решения (14) справедливо равенство--1---1--= const в течение времени раз-

J1 J2 J3

ворота. Действительно, продифференцируем по времени левую часть этого равенства с учетом уравнений (10) и (14):

Pi pi/ J1 + P2 p2lJ2 + P3 p3/J3 =

= ®1 P2P3IJ3 -®1 P2P3IJ2 +®1 P2P3IJ2 -®2 P1 P3¡ J3 +®2 P1P31J3 -®1 P2P31J3 = 0.

Обозначив u0/p12/J1 + p2/J2 + pf /J3 = m0, получим | M | = |x(t) < m0. В результате из системы (12) следует

M = 0,5 m0 [sgn(a + а*) + sgn(a - а*)]р, а* = 'Д/p12/J1 + p|//2 + p|/J3 .

Проанализируем характер изменения функции «(t) при оптимальных управлении и движении вектора р в связанной системе координат. Для этого возьмем производную по времени от левой и правой частей соотношения (13) для i = 1,3. Дифференцируя a(t) по времени, получаем: à = -0,5 или a(t) = а(0) - 0,51, фг- = (р -1/2)pi, где р = а(0) — начальное значение коэффициента функции.

Зависимость коэффициента b от времени определяется из динамических уравнений (1) при управлении (12) с учетом соотношений (14). Таким образом Mi = bpt и L||M. Равенство

b = ^(J1ra1)2 + (J2ю2)2 + (/3Ш3)2 = | L | следует непосредственно из выражения (14). Из уравнений Эйлера (1) и преобразованной системы (12) вытекает, что db/dt = m0[sgn(a + а*) + + sgn^ - а*)]/2, где а = p-t/2. Так как | р | = 1, то b = ^M' + M2 + M2 . С учетом изложенного соотношения (12) и (14) принимают следующий вид:

M = m0рг [sgn(p -t/2 + а*) + sgn(p -t/2 - а*)]/2, i = 1,3 ; (15)

/¿o¿ = ( L0 - m0 | p-t/2 + а* | - m0 | р - t/2 - а* | + 2m0 р) p¿ , i = 1,3, (16)

где L0 — кинетический момент КА в начале разворота.

Таким образом, для динамической системы (1), (2) с ограничением (3) управление (15), при котором кинетический момент корпуса КА имеет постоянное направление в инерциаль-ном пространстве, удовлетворяет необходимым условиям оптимальности. Полученное решение относится к классу управлений по траектории „свободного движения". Очевидно, что это решение справедливо, если начальная ©0 и конечная ©Т угловые скорости равны нулю или принадлежат „траектории свободного движения", проходящей через начальное Лн и конечное Лк угловые положения КА.

Для нахождения функциональной зависимости управлений от фазовых координат необходимо решить уравнения (10), которые для закона (14) примут вид

P = K/ /3 P2P3 ; P2 = kJ/ /' P1P3 ; P3 = k/|, //2 P1P2, (17)

J 2 J3 J1J3 J1J 2

где K = | L|.

Задача построения оптимального управления заключается в нахождении такого значения вектора р(0), при котором в результате движения КА согласно уравнениям (1), (2), (10), (15) выполняется равенство Л(Т) = Лк. Определение вектора р(0) — самостоятельная и довольно непростая задача. Уравнения (17) имеют аналитическое решение в элементарных функциях только для осесимметричного и сферического тел. Задача оптимального управления для сферического тела в данной постановке подробно рассмотрена в работе [1]. Для динамически симметричного тела (J ф J2 = J3) решение может быть записано следующим образом:

Р1 = Р10 , Р2 = Р20 cosa + P30 sina, Рз = - P20 sina + P30 cosa, (18)

где р0 = р(0), а = J3 r J f©1(í)dt.

J2 0

В этом случае соотношения (18) совместно с равенствами (15) и (16) образуют решение системы уравнений (1), (9), (10) при условии (12). При таком типе управления кинетический момент КА сохраняет постоянное направление в инерциальном пространстве, а осесиммет-ричное тело движется по „конической траектории". Необходимое для синтеза управления решение данной системы соответствует регулярной прецессии [3].

Для произвольного КА (J1 ф J2 ф J3) вектор р0 определяется путем решения краевой задачи Л(0) = Лн, Л(Т) = Лк с учетом выражений (1), (2), где Mi = 0. В результате получим значение вектора угловой скорости ©р в начальный момент времени [4]. Значение вектора р0 связано с найденным юр соотношениями

Ji ю*р

р^ = ■

(©1р ) + (2©2р ) + ((©3р )

Оптимальное движение КА состоит из участков, на которых действует максимальный управляющий момент, и участка неуправляемого вращения. На участках, где Мг ^ 0, вектор кинетического момента Ь имеет постоянное направление в инерциальном пространстве, но на участке разгона увеличивается до заданного значения, а на участке торможения уменьшается, момент М неподвижен относительно опорного базиса I и параллелен вектору р. При вращении КА, когда Мг = 0, параметры движения определяются векторами Ь и р, постоянными в инерциальной системе координат. В отличие от переменных переменные рг и являются гладкими функциями времени. Особенность решения заключается в том, что на всем интервале разворота Ь ||р, а Л(^) о р(г)о Л(^) = со^.

Разработанный алгоритм управления пространственной переориентацией позволяет снизить на 25—40 % затраты топлива на разворот существующих КА. Высокая экономичность достигается за счет того, что на большей части маневра управление отсутствует (М = 0).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973.

2. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

3. Маркеев А. П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990.

4. Пат. РФ № 2006431. Система управления пространственным разворотом КА / М. В. Левский. // Б. И. 1994. № 2.

Рекомендована Институтом Поступила в редакцию

12.12.06 г.