CC BY
12
УДК 517.5
Вестник СамГУ. 2015. № 6(128)
57
С.С. Ежак1
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА, ПОРОЖДЕННОГО ЗАДАЧЕЙ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ НА ПОТЕНЦИАЛ2
В статье рассматривается задача минимизации функционала К^,у] =
/0 у,24.х Я(х)у24.х Г1 у2
/о У2
порожденного задачей Штурма - Лиувилля с краевыми условиями Дирихле и зависящего от параметра интегральным условием на потенциал Q. Задача оценивания точной нижней грани функционала в некоторых классах функций у и Q сводится к оцениванию нелинейного функционала, не содержащего потенциал Q. А исследование этого функционала приводит к нелинейной краевой задаче с параметром. Получены оценки сверху и снизу для Муен1(о 1) ЩЯ,У] при различных значениях параметра интегрального условия.
Ключевые слова: вариационная задача, минимизация функционала, задача Штурма - Лиувилля, экстремальные оценки, точная нижняя грань, спектральная теория.
1. Предварительные сведения
Рассмотрим задачу минимизации функционала
Гп уаЛх— Г,1 0(х)у2с1х
ЩЯ,у] = —-г 1 ° • (1.1)
]0 у2 ах
в классе функций у из Яо(0,1) и Q(x) из Аа, где Аа — множество неотрицательных ограниченных на [0,1\ функций, удовлетворяющих условию
1
ча
Обозначим
[ Qа(x)dx = 1, а = 0^ (1.2)
Jo
М М Ма = вир М
Я{х)еАа уен 1(0,1) я(х)ела уеЩ(о,1)
х© Ежак С.С., 2015
Ежак Светлана Сергеевна ([email protected]), кафедра высшей математики, Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 119501, Российская Федерация, г. Москва, ул. Нежинская, 7.
2Статья подготовлена по докладу конференции "СамДиф-2015".
т
а
58
С.С. Ежак
Отметим, что обозначения приняты на основе работ В.А. Кондратьева и
Ю.В. Егорова [1; 2]. Метод исследования функционала, используемый в статье,
был разработан В.А. Кондратьевым и Ю.В. Егоровым применительно к изучению
1
I у'^Лх
функционала Д[О, у] = -у-0-.
/ Я(х)у2Лх о
2. Основные результаты
2 2
Теорема 2.1. Если а > 1, то та ^ , Ма = п 2, причем существуют такие функции и £ Н°(0, 1) и О(х) £ Ла, что уе^1(о,1) ЩО,у] = ЩЯ,и] = та.
Если а = 1, то то есть принадлежащее интервалу (0,п2) решение уравнения 2%/Л = tg ^¿Р), Мо = п2, причем то достигается на ¿-функции О(х) = 6 (х — 2), не принадлежащей множеству Ла.
Если 1/2 ^ а < 1, то та = —то, Ма = п2. Если 1/3 < а < 1/2, то та = —то, Ма < п2. Если 0 < а < 1/3, то та = —то, Ма < п2.
Если а < 0, то та = —то, Ма < п2, причем существуют такие функции и £ £ Н(0,1) и Я(х) € Ла, что 1п!уеЯ1(о,1) Я[Я,у] = Я[Я,и] = Ма.
Доказательство некоторых результатов.
1. Отметим, что Ма ^ п2 при любом значении а = 0. Рассмотрим при а = 1 функционал
/о1 У'2 ¿х — (/о1 \У\РЛХ)/Р 2а , Л
С[У\ = -г^—---, Р =-7. I2.1)
/0о у2ё,х а — 1
Обозначим т = С (а) = т^нКод) С[у].
2. Пусть а > 1. Используя неравенство Гельдера, имеем
с 1 /г 1 \ а / г 1
0 Я(х)^йх < Щ Яа(х)с1^ ^ \у\а"¿х^ откуда, учитывая (1.2), получим
М ЯЮ,у] > М С[у]. (2.2)
уеяКо,1) ^ " уенко, 1) т У >
Из (2.2) следует, что та ^ т при а> 1.
3. Пусть а < 0. Используя неравенство Гельдера и условие (1.2), имеем
1 / Г1 \ "—1 ( г1 1
2"
\у\¿х < ^ Я(х)у2г1х^ ^ Яа(х)с1х^
следовательно,
а — 1
"1 / /-1
2а
ОСУ- >( Гы-*)
Таким образом,
М Д[О,у] < М С[у]. (2.3)
уен01(о,1) ^ уен!(о,1) т У '
о
Из (2.3) следует, что Ма ^ т при а < 0.
Для доказательства равенств та = т при а > 1 и Ма = т при а < 0 используется следующая лемма.
Лемма 2.1. Пусть а > 1 (р = Озу,Р > 2) или а < 0 (р = -^от, 0 < р < 2), и т = С (а) = М уея1(од) Тогда существует положительная функция и £
€ Но(0,1), удовлетворяющая уравнению
и'' + иР-Т + ти = 0 (2.4)
и условиям
u(0) = u(1) = 0,
(2.5)
updx = 1,
(2.6)
для которой m = G[u].
Было доказано, что в условиях леммы 2.1 существует единственное значение m, при котором задача (2.4) — (2.5) — (2.6) имеет решение, и это m является решением системы уравнений
du
. ImH 2-mu2 + 2 HP- 2 uP V p p
up du
, ImH 2-mu2 + 2 HP- 2 uP 2 ' V p p
где H = шахже[оД] u.
Мы доказываем, что ma = m при a > 1. Имеем m = G[u], где u удовлетворяет уравнению (2.4) и условиям (2.5) — (2.6). С другой стороны,
1
о
о
ma = inf inf R[Q, y] ^ m.
Q(x)eAa y£H01(0,1)
Так как u G Hq (0,1) и ua-1 G Aa, то, подставив эти значения вместо y и Q(x) в функционал R[Q,y], получим R[ua-1 ,u] = G[u] = m. Таким образом, указана пара функций Q(x) и y, на которых функционал R[Q,y] принимает значение m. Следовательно, ma = m, a> 1.
Аналогично доказывается, что Ma = m при a < 0, и можно указать пару функций Q(x) и y, на которых функционал R[Q,y] принимает значение m.
4. Для доказательства Ma = п2 при a > 1 и ma = —œ при a < 0 можно построить конкретные функции y из Hq(0, 1) и Q(x) из Аа.
Замечание 2.1. Отметим, что в случае a > 1 и a < 0 эта задача равносильна задаче о минимальном собственном значении классической задачи Штурма — Лиувилля:
y''(x)+ Q(x)y + Xy = 0, y(0) = y(1) = 0
с интегральным условием (1.2).
Замечание 2.2. В случае a =1 приведенная задача Штурма — Лиувилля сводится к задаче минимизации функционала:
L[y] =
fo y'2dx — maxxg[0,i] y2
01 y 2 dx
60
С.С. Ежак
Замечание 2.3. Оценки Ma и ma для случаев а = 1 и 0 < а < 1 опубликованы в [7].
Литература
[1] Egorov Yu.V., Kondratiev V.A. On Spectral theory of elliptic operators - in Operator theory: Advances and Applications. Basel; Boston: Birkhaser Verlag, 1996. V. 89. P. 1-325.
[2] Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. Об оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурма - Лиувилля // УМН. 1996. Т. 51. Вып. 3(309). C. 73-144.
[3] Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. Об оценках первого собственного значения задачи Штурма — Лиувилля // УМН. 1984. Т. 39. Вып. 2(236). C. 151--152.
[4] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.
[5] Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.
[6] Ежак С.С. Экстремальные оценки минимального собственного значения задачи Штурма — Лиувилля с интегральным условием на потенциал // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 6. C. 856.
[7] Ежак С.С. Оценки первого собственного значения задачи Штурма - Лиувилля с условиями Дирихле // Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа. М.: ЮНИТИ-ДАНА. 2012. C. 517-559.
[8] Ezhak S.S. On estimates for a the first eigenvalue of the Sturm - Liouville problem with Dirichlet boundary conditions and integral condition // Differential and Difference Equations with Applications, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. New York, 2013. V. 47. P. 387-394.
References
[1] Egorov Yu.V., Kondratiev V.A. On spectral theory of elliptic operators in Operator theory: Advances and Applications. Birkhaser Verlag, 1996, Vol. 89, pp. 1-325 [in Russian].
[2] Egorov Yu.V., Kondratiev V.A. Estimates for the first eigenvalue in some Sturm — Liouville problems. UMN [Advances of Mathematical Sciences], 1996, Vol. 51, no. 3(309), pp. 73-144 [in Russian].
[3] Egorov Yu.V., Kondratiev V.A. Estimates for the first eigenvalue of the Sturm — Liouville problems. UMN [Advances of Mathematical Sciences], 1984, Vol. 39, no. 2(236), pp. 151-152 [in Russian].
[4] Lyusternik L.A., Sobolev V.I. Elements of functional analysis. M., Nauka, 1965 [in Russian].
[5] Mikhlin S.G. Variational methods in mathematical physics. M., Nauka, 1970 [in Russian].
[6] Ezhak S.S. Extremal estimations for the minimum eigenvalue of the Sturm-Liouville problem with limited on potential. Differents. Uravneniia [Differential equations]. M., 2004, Vol. 40, № 6, p. 856 [in Russian].
[7] Ezhak S.S. On estimates for the first eigenvalue of the Sturm - Liouville problem with Dirichlet boundary conditions in Kachestvennye svoistva reshenii differentsial'nykh uravnenii i smezhnye voprosy spektral'nogo analiza [Qualitative properties of solutions to the differential equations and related topics of spectral analysis]. M., IuNITI-DANA, 2012, pp. 517-559 [in Russian].
[8] Ezhak S.S. On estimates for a the first eigenvalue of the Sturm — Liouville problem with Dirichlet boundary conditions and integral condition. Differential and Difference Equations with Applications, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. Springer New York (New York, N.Y., United States), 2013, Vol. 47, pp. 387-394 [in English].
S.S. Ezhak3
ON A MINIMIZATION PROBLEM FOR A FUNCTIONAL GENERATED BY THE STURM - LIOUVILLE PROBLEM WITH INTEGRAL CONDITION ON THE POTENTIAL
In this article we consider the minimization problem of the functional R[Q,y\ = —dXfi^02<QXxXv dx generated by a Sturm — Liouville problem with
Jo v dx
Dirichlet boundary conditions and with an integral condition on the potential. Estimation of the infimum of functional in some class of functions y and Q(x) is reduced to estimation of a nonlinear functional non depending on the potential Q(x). This leads to related parameterized nonlinear boundary value problem. Upper and lower estimates for infveHi(01) R[Q,y] are obtained for different values of parameter.
Key words: variational problem, minimization of a functional, problem of Sturm - Liouville, extremal estimates, infimum, spectral theory.
Статья поступила в редакцию 16/VT7/2015. The article received 16/VT7/2015.
3Ezhak Svetlana Sergeevna ([email protected]), Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics, 7, Nezhinskaya Street, Moscow, 119501, Russian Federation.
