Об одной задаче Коши для линейного однородного дифференциально-операторного уравнения первого порядка со смешанным оператором Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, 3(1), с. 154-159

УДК 517.55

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СМЕШАННЫМ ОПЕРАТОРОМ

© 2010 г. Н.А. Аксёнов

Орловский госуниверситет [email protected]

Поступила в редакцию 17.09.2009

Описываются достаточные условия, позволяющие находить в произвольном локально выпуклом пространстве решение задачи Коши для линейных однородных дифференциально-операторных уравнений первого порядка, содержащих смешанный оператор. Этот оператор представляет собой произведение некоторой скалярной функции, зависящей от переменной дифференцирования, на линейный оператор, не зависящий от переменной дифференцирования.

Ключевые слова: задача Коши, дифференциально-операторное уравнение, смешанный оператор, локально выпуклое пространство, порядок оператора, тип оператора.

Введение

Одними из первых исследований, посвящённых абстрактной задаче Коши для дифференциально-операторных уравнений первого порядка, являются ранние работы Э. Хилле и Р. Филлипса, которые применяли при изучении этой задачи теорию полугрупп [1]. В частности, ими рассматривалась задача Коши u'(t) = Au(t), u(0) = u0, где A - линейный оператор, определённый в банаховом пространстве H.

Чуть позднее С.Г. Крейн и др. рассматривали в банаховом пространстве H задачу Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка более общего вида [2]

u'(t) = A(t)u(t), u(0) = u0, (1)

также применяя при исследовании теорию полугрупп. В этой задаче оператор уже зависел от переменной дифференцирования: А = A(t).

В настоящей работе изучается задача Коши для дифференциально-операторного уравнения

u'(t) = ф (t) Au(t), (2)

где ф(?) - скалярная функция комплексного переменного. Задачу Коши для этого уравнения можно рассматривать как аналог задачи Коши (1) в произвольном локально выпуклом пространстве с оператором A(t) = ф(t)A, область определения которого не зависит от t (так как оператор-функция A(t) = ф^)A должна быть определена при различных значениях t на одних и тех же элементах пространства, в котором действует оператор A ).

Исследование задачи будем проводить, опираясь на теорию порядка и типа линейного оператора, основы которой были заложены В.П. Громовым [3, 4], получившую дальнейшее обобщение и развитие в работах С.Н. Мишина [5-7].

Результаты и их обсуждение

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (2) с начальным условием

и(а) = х0, х0 є От (А), а є Ф. (3)

Здесь и(): С ^ Н - векторнозначная функция

[8], Н - счётно-полное локально выпуклое пространство, топология которого определяется мультинормой {|| • || },р є Р, а А - линейный

оператор, действующий в пространстве Н. Оператор А, вообще говоря, не ограничен, но

замкнут. Под (А) = IБ(Ак), где Б(Ак) -

к >0

область определения оператора Ак, понимается множество векторов пространства Н, на которые оператор А действует бесконечно много раз. Скалярная функция ф(?), стоящая в правой части уравнения (2), является однозначной и аналитической в односвязной области Ф (случай Ф = С не исключается).

Множество

М ={х є А»(А): Рр (Х) ^ 1

при в (х) = 1, Ур а(х) <да}

будем называть множеством начальных данных задачи (2), (3). Здесь в (х) - операторный

/>-порядок вектора х относительно оператора А, а а(х) - операторный тип вектора х относительно оператора А [3-5].

Замечание 1. Если 3р : в Ро (х) = 1, то можно

считать, что в р (х) = 1, У р. Действительно, в монографии [5] приведена теорема: Пусть оператор А имеет />-порядки в и порядок р. Если для

некоторого ро є Р вРо = Ь < в, то можно выбрать такую мультинорму в Н, эквивалентную исходной, что Ь < в < в, Ур. В [5] также отмечено, что эта теорема справедлива применительно и к операторным порядкам фиксированного вектора. Учитывая, что х є Ма, имеем в р (х) < 1, У р. Поэтому если 3р0 : в ро (х) = 1, в силу сказанного выше можно считать, что в ^(х) = 1УР

Решение задачи Коши (2), (3) описывает Теорема 1. Ух0 є Ма задача Коши (2), (3)

имеет единственное решение, определяемое формулой

(і \п

м(т) = X

п=0

А (хо)

П\

|

<

еа( х0)

При этом на границе области Q может иметь место как сходимость, так и расходимость ряда (4).

Обозначая

а

равенству (4) придадим вид:

“ Ап(г ) и(,) = фп (?).

Рассмотрим вопрос о сходимости ряда (6). Лемма 1. Пусть в (х0) < 1, Ур, или

в Р (х0) = 1, Ур, а( х0) = 0. Тогда ряд (6) сходится по топологии пространства Н абсолютно в каждой точке ? е Ф и равномерно на любом компактном подмножестве Ф.

Доказательство. Известно [9], что если функция /(г) является однозначной и аналитической в односвязной области О, то её пер-

также является

20

(4)

причем:

1) если в (х0) < 1, Ур, или в (х0) = 1, Ур, а(х0) = 0, то и(?) - вектор-функция, аналитическая в области Ф;

2) если же вр (х0) = 1, Ур, 0 < а(х0) < да, то функция и(?) определена и аналитична в некоторой области Q такой, что а е Q, Q сФ , и образованной всеми точками t, удовлетворяющими условию

1

однозначной и аналитической в области О, поэтому функции ф(?) и ф(?) однозначные и аналитические в Ф.

Обозначим через ?0 произвольную фиксированную точку области Ф, а через г - расстояние от точки ?0 до границы области Ф. Так как функция ф(?) является аналитической в области Ф, то она будет непрерывной в любом замкнутом круге | ? -10 |< г0, 0 < г0 < г. Тогда по принципу максимального значения

3М = тах | ф(?) |, М = М).

I* - *0 1^ г0

Покажем, что ряд (6), составленный из абсолютных величин

> (хо)

п\

Г (т)

(7)

(5)

мажорируется в круге | ? - ?0 |< г0 сходящимся числовым рядом.

1. Пусть в (х0) < 1, У р. Применяя к общему члену ряда (7) оценку [5]

Ур, У г > 0, 3Ср (б, х),

Уп : || Ап (х)\\р < Ср (&, х)п!в р (х)+£, находим, что Ур,Уб:0<б< 1-Р„(х0), ЗС„(б), Уп

Ап(хо)

рк

<

< Ср (&)п

рр(хо) 1+е | )|п < (8)

< Ср (б)МПп!в'(Хо)-1+£.

Из оценки (8) следует, что ряд (7) мажорируется сходящимся в силу признака Даламбера рядом

п = 0

П\

(6)

00

С (є) X мпи!Р'(Х°}-1+£ •

(9)

п=0

2. Пусть в (х0) = 1, Ур, а(х0) = 0. Тогда из

определения типа вектора относительно оператора следует, что а (х0) = 0, У р. Применяя в

этом случае к общему члену ряда (7) оценку [5]

УрУє> 0, ЗЄр(є,х),Уп : ||Лп(х)||^<

< Ср (є, х)(евр(х')ар (х) + є)п П?р(, получаем: Ур, Ує> 0, 3 С „ (є), Уп

А (Хо )

< С_ (є)єпМп

В силу того, что 6 > 0 - произвольное сколь угодно малое число, имеем 0 < гЫ < 1, поэтому из оценки (11) следует, что ряд (7) мажорируется в данном случае суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

С„ (8)

С (є) X єп Мп =

м = ■

1

еа( х0) + 5

5 > 0, 5 = 5(Т0). (13)

(10)

(11)

В силу произвольности е > 0 его всегда можно выбрать так, чтобы 0 < 6 < 5. Тогда из (13) и оценки (10) при (х0) = 1, Ур,

0 < а(х0) < да, в круге | Т - Т0 го имеем: Ур, Уб:0 <б<8, 3 С , (б), Уп

А” (Хо ) фп (і)

п\

< С р (е)(еа р (Хо) + е)п Мп =

еа р (Хо) + е еа( Хо) + 8

п

(14)

п=0 1 - &М

Из сходимости рядов (9) и (12) при рр (х0) < 1, Ур и вр (х0) = 1, Ур, а(х0) = 0 соответственно, вытекает равномерная сходимость ряда (7), откуда следует, что ряд (6) сходится абсолютно и равномерно по топологии пространства Н в замкнутом круге | ? -10 |< г0. В силу произвольности точки ?0 еФ заключаем, что ряд (6) сходится абсолютно и равномерно на всяком замкнутом круге, лежащем в области Ф. Тогда по теореме Вейерштрасса ряд (6) определяет вектор-функцию, аналитическую в области Ф.

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть в (х0) = 1, Ур, 0 <а(х0) <да.

Тогда ряд (6) сходится по топологии пространства Н абсолютно в некоторой области Q сФ, а £ Q, для всех значений t, удовлетворяющих условию (5), и равномерно на любом компактном подмножестве Q.

Доказательство. Пусть t = ?0 £ Q - произвольная фиксированная точка, а £ Q, а г -расстояние от точки ?0 до границы области

Q = { :| ф(?) |< (еа(х0))—}. Рассуждая аналогично доказательству леммы 1, видим, что

3М = тах | ф(?) |. Так как замкнутый круг

к-то 1^ го

| Т - ?0 |< г0 целиком лежит в области Q, то М, очевидно, должно удовлетворять неравенству М < (еа(х0))_1. Положим

Поскольку в(х0) = 8ир(Рр (х0)} = 1 (так как

реР

по условию в (х0) = 1, Ур), то по определению (12) а(х0) = 8ир{а„ (х0 )} [5]. Отсюда а „ (х0) <а(х0),

Р<еР

Ур, а учитывая, что 0 < 6 < 8, получаем

еа „ (х0) + 6

0 <—^-----------< 1,

еа( х0) + 8

поэтому из оценки (14) следует, что ряд (7) мажорируется в круге | ? - ?0 |< г0 суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Учитывая, что ?0 - произвольная точка области Q, приходим к выводу, что ряд (6) сходится

абсолютно по топологии пространства Н всюду в <2 и равномерно на любом компактном подмножестве 0. По теореме Вейерштрасса ряд (6) определяет векторнозначную функцию, аналитическую в области 0.

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. На основании лемм 1, 2 ряд (4) сходится абсолютно и равномерно по топологии пространства Н и представляет вектор-функцию и(?), аналитическую в некоторой области. Подставляя функцию (4) в уравнение (2), получаем:

А (хо)

( *

V П-1

1(и -1)!

а

= ф(т ) ЛЕ

N = 0

Лп (Хо)

чи

П\

= ф(Т) Ли(Т),

т.е. и(?) - решение уравнения (2). Легко также видеть, что и(а) = х0.

Таким образом, приведенные рассуждения доказывают, что функция и(), заданная рядом

(4), определяет решение задачи Коши (2), (3).

Единственность решения задачи следует из теоремы единственности аналитической функции.

Теорема доказана.

Замечание 2. Положим ф(?) = 1. Тогда Ф = С и имеем задачу Коши и'(?) = Аи(?), и(а) = х0. Согласно формуле (4) её решение даётся рядом

* ) = £ ( - А) . ,

п=о и!

причём, как следует из теоремы 1, если вр (х0) < 1, Ур, или вр (х0) = 1, Ур, а(х0) = 0, то и(1) - целая вектор-функция; если же

в (х0) = 1, Ур, 0 < а(х0) < да, то и(1) - голоморфная в круге 11 — а \< (еа(х0))—.

При а = 0 приведённые в этом замечании результаты были получены В.П. Громовым в работе [10].

Во многих практических задачах важное значение имеет проблема непрерывной зависимости решения задачи от начального значения. Ответ на этот вопрос даёт

Теорема 2. Пусть А - непрерывный оператор, порядок которого в < 1, а при в = 1 его тип а < да. Тогда решение задачи (2), (3) непрерывно зависит от начального значения х0,

т.е. является устойчивым.

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Пусть в < 1. Как и выше, обозначая через

?0 произвольную фиксированную точку области Ф, а через г - расстояние от точки ?0 до границы области Ф, в круге | ? - ?0 |< г0, 0 < г0 < г, с учётом принципа максимального значения и оценки [5]

Ур,Уе > 0, ЗСр(е),Зд(р,е),

Ух £ Н,Уп : || Ап(х)\\р< Срп!р+£ || х ^ имеем:

Ур, У г: 0 < 8 < 1 -р, ЗСр (г),

3q(р, s), Vx0 g Н, Уп

ФП (t) <

max

\t-to\^ro

n\

< CpMпи!Р-1+£ II x,

где M = M(t0) = max | ф(?) |

|T - t0 ^ r0

p

0 ||q ’

Пусть теперь в = 1, а = 0. Применяя далее к общему члену ряда (7) оценку [5]

Ур, Уе > 0,3Ср (б), Зд(р, б), Ух е Н,

в в (16) Уп : || Лп(х) ||р< Ср(ева + е)пп!в || х ||?,

приходим к неравенству: Ур,Уе> 0,ЗС^,(е),

3^(р, б), Ух) е Н, Уп

Лп (х0)

max

\-t0 1^ r0

■Ф” (T)

< Сpe”M 11 Xq | |q, (17)

где М = М(?0) = тах | ф(?)|.

I* - *0 1^ г0

В силу произвольности точки t0 из оценок

(15) и (17) следует, что Ух0 е Н ряд (6) сходится абсолютно и равномерно по топологии пространства Н и представляет вектор-функцию, аналитическую в области Ф, непрерывно зависящую от х0.

2. в = 1, 0 < а < да. В этом случае, как и в лемме 2, обозначая через ?0 произвольную фиксированную точку области ^ = {? :| ф(?) |<

< (еа)-1}, а е 2, а через г - расстояние от точки ?0 до границы области ^ и принимая во внимание принцип максимального значения и оценку

(16), в круге | ? - ?о Г, 0 < Го < г имеем: Ур, Уе : 0 < 6 < 8, ЗСр (б), Зд(р, е), Уп, Ух0 е Н

max

\i-t0 1^ r0

An(xo)

Ф” (t)

ea + 8

iixoiq, (18)

(15)

где M = (ea + S) 1 = max | ф(?) |.

|T - t0 ^ r0

Аналогично пункту 1, из оценки (18) и произвольности точки t0 приходим к утверждению теоремы и в данном случае.

Теорема доказана.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение теорем 1, 2.

Пример 1. В пространстве H = H (С) всех

целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах найдём решение задачи Коши для уравнения в частных производных ut (t, z) = cos t uz (t, z), удовлетворяющее на/ \ 2 z

чальному условию u(n, z) = e .

Легко видеть, что здесь А = djdz, ф(Т) = cost, Ф = С. Привлекая теорему 1, нетрудно пока-

зать, что решение данной задачи имеет вид: иЦ, г) = е2( 2+8Ш'}.

Согласно [5], />-порядки любой целой функции Е(г) относительно оператора дифференцирования А = (1/(312 в пространстве Н = Н (С) вычисляются по формуле

р, (Е(2)) = (р(Е) - 1)/Р(Е), где р(Е) - порядок целой функции Е(г). Так как р(е22) = 1, то в (в22) = 0 и по теореме 1

решение нашей задачи является целой вектор-функцией.

Заметим также (см. [5]), что оператор дифференцирования (1/(312 имеет в Н (С) порядок в = 1 и тип а = 0, что в силу теоремы 2 говорит об устойчивости решения задачи относительно начальной функции Е (г) = е2 2.

Пример 2. Найдём решение задачи Коши для интегродифференциального уравнения

ит (?, г) = ^ 2? +1 + 4 ^ 0 и(?, Е>)Л%,

удовлетворяющее начальному условию и(1, г) = = с Ъг.

В данном случае функция ф(?) = 2? +1 + 2/1 является однозначной и аналитической в односвязной области Ф = {?: 1т ? > 0}, а интегральный оператор А, определяемый по правилу

с учётом которой равенство (19) принимает окончательный вид:

і(і, 2) = сЬ2 + ^

(Г + і - 2/і)п

I( 2-ЪП-С\&&.

в пространстве

Н = [р, а] всех целых функций /(г), порядок роста которых р( f) < р, а при порядке Р(f) = Р тип а(/) < а. Топология на этом пространстве задаётся системой норм

11Р(г) I |Е = тах | р(г) | е-(°+Е)гР 1,

Г>о I

УР(г) е [р,а], Уб> 0.

Положим р = а = 1. Обращаясь к теореме 1, получаем решение задачи

, і і (19)

п=1 п\ ^

Методом математической индукции для оператора интегрирования нетрудно установить справедливость формулы

Ап (/(7)) = —)(7 - $) "-1 /(^, Уп > 1, (П - 1)! П

„=1 (п - 1)!и! 0

Поскольку целая функция /(г) = сЬг принадлежит пространству Н = [1, 1], то из доказанного в [5] следует, эта функция имеет относительно оператора интегрирования 6 -порядки РЕ (сЪг) = 0, следовательно, и(1, г) - вектор-функция, аналитическая в области Ф. Так как оператор интегрирования имеет в пространстве [1, 1] порядок в = 0 (см. [5]), то из теоремы 2 вытекает устойчивость решения рассматриваемой задачи.

Пример 3. Рассмотрим задачу Коши:

и, (?, г) = zt и(?,2), и( 0, г) = со^л[г. (20)

Здесь ф(?) = Т, Ф = С, а А = гЕ - оператор умножения на независимую переменную, действующий в пространстве Н = [р, а], определённом в примере 2. Пусть р = 1, а = 2.

По теореме 1 решение задачи Коши (20) имеет представление

и(?, г) = С08л/г вг1 /2. (21)

Известно, что любая целая функция /(2) имеет относительно оператора умножения в пространстве Н = [1, 2] операторные 6 -порядки Р£ (/(2)) = 1 и операторные типы

а(/(г)) = (2е)_1 [5], поэтому, как следует из

(5), вектор-функция (21) будет аналитической в области ^ = {? :| 1\< 2}.

Заметим, что оператор умножения имеет в пространстве Н = [1, 2] порядок в = 1 и тип а = да, поэтому вопрос об устойчивости решения задачи (20) остаётся открытым.

Выводы и заключение

В заключение отметим, что рассмотренный выше операторный метод определяет достаточные условия аналитической разрешимости задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений вида (2). Этот метод обладает высокой степенью общности, так как позволяет исследовать задачи Коши для различных видов уравнений (как традиционных, так и не относящихся к ним) в наиболее общем виде, что обеспечивается произвольностью оператора А. Кроме того, пространство, в котором действует оператор А, имеет довольно широкую свободу

выбора и в зависимости от этого может задавать различные области сходимости ряда (4) для одной и той же задачи Коши (2), (3).

Список литературы

1. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 829 с.

2. Функциональный анализ / Под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1964. 424 с.

3. Громов В.П. Порядок и тип линейного оператора и разложение в ряд по собственным функциям // Докл. АН СССР. 1986. Т. 228. № 1. С. 27-31.

4. Громов В.П. Порядок и тип оператора и целые векторнозначные функции // Ученые записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 1999. Вып. 1. С. 6-23.

5. Громов В.П., Мишин С.Н., Панюшкин С.В. Операторы конечного порядка и дифференциальнооператорные уравнения. Орел: ОГУ, 2009. 430 с.

6. Мишин С.Н. О порядке и типе оператора // Докл. АН РФ. 2001. Т. 381. № 3. С. 309-312.

7. Мишин С.Н. Дис. ... к-та физ.-мат. наук. Орел: ОГУ, 2002. 116 с.

8. Ле Хай Хой. Векторнозначные функции и дифференциальные операторы бесконечного порядка. Ростов-на-Дону: РГУ, 1981. 54 с.

9. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977. 444 с.

10. Громов В.П. Аналитические решения дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах // Докл. АН РФ. 2004. Т. 394. № 3. С. 305-307.

ON A CAUCHY PROBLEM FOR THE FIRST ORDER LINEAR HOMOGENEOUS DIFFERENTIAL-OPERATOR EQUATION WITH A MIXED OPERATOR

N.A. Aksyonov

Sufficient conditions are described that allow a solution of the Cauchy problem for the first order linear homogeneous differential-operator equations containing a mixed operator in arbitrary locally convex space. The operator represents a product of a scalar function dependent on the differentiation variable by a linear operator which does not depend on the differentiation variable.

Keywords: Cauchy problem, differential-operator equation, mixed operator, locally convex space, operator order, operator type.