CC BY
13
© Р.К. Халкечев, 2016
удк 0049; р.к. Халкечев
004.41;
51-74; 622 ОБ ОДНОЙ
РАСПРОСТРАНЕННОЙ ОШИБКЕ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ГЕОМАТЕРИАЛОВ
Как известно при построении дискретных сетчатых моделей материалов должно выполняться условие полноты. Оно заключается в том, что при неограниченном уменьшении размеров конечных элементов и увеличении их числа наблюдается совпадение поведения дискретной модели с непрерывной (сплошной средой). Однако для геоматериалов существует ограничение на уменьшение размеров конечных элементов, связанное с существованием элементарного объема. При исследовании минералов, элементарные объемы которых весьма малы, использование метода конечных элементов при определении их напряженно-деформированного состояния не дает столь значимых разногласий с реальными результатами наблюдения. В тоже время для горных пород и породных массивов (элементарные объемы которых достигают нескольких кубических метров) применение метода конечных элементов является недопустимым. К сожалению, данный факт в существующих работах игнорируется, и как результат - реальным геоматериалам приписывают свойства, которыми они не обладают. Для разрешения этой проблемы в данной статье предложен новый модифицированный метод конечных элементов, адаптированный для исследования геоматериалов и позволяющий существенно повысить точность разрабатываемых дискретных моделей напряженно-деформированного состояния горных пород и породных массивов. Ключевые слова: метод конечных элементов, элементарный объем, условие полноты, геоматериал, численные методы.
Обычно численные методы выступают в качестве альтернативы аналитическим методам, основанным на понятиях сплошной среды. Независимо от использованных при математическом моделировании первоначальных предположений и методов, если для получения результатов привлекаются
численные методы, сплошная среда фактически аппроксимируется в процессе решения некоторой дискретной моделью. Этим самым формируется логическая альтернатива классического подхода, а именно: на самых ранних стадиях видоизменить сплошную среду как непрерывную модель — в дискретную. При таком подходе может не понадобиться дальнейшая идеализация в процессе сведения математических моделей к уравнениям и их решению. В этом и заключается возможное преимущество численных методов над аналитическими.
Одним из таких широко используемых подходов, основанных на идее кусочной аппроксимации непрерывных полей, является метод конечных элементов [1, 2, 3]. При использовании данного метода изучают свойства элементов конечных размеров. Для установления этих свойств используются, как правило, уравнения, к которым сводятся математические модели исследуемого континуума, но в противоположность классическому подходу размеры элементов остаются конечными. И как следствие, интегрирование сводится к конечному суммированию, вместо уравнений в частных производных используются системы алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений. Самым существенным, является то, что при переходе от непрерывной модели к дискретной сплошная среда с бесконечным числом степеней свободы представляется моделью, имеющей конечное число степеней свободы.
Считаю уместным напомнить здесь, в чем заключается классический подход исследования сплошных сред [4]. Он предполагает первоначальное изучение свойств бесконечно малых элементов данного континуума. Затем устанавливаются соотношения между средними величинами, связанными с указанными бесконечно малыми элементами, и наконец, устремляя размеры элементов к нулю при неограниченном увеличении их числа, получают локальные уравнения — дифференциальные уравнения в частных производных или интегральные уравнения, описывающие поведение тела.
Итак, мы имеем математические модели, которые могут быть как непрерывными, так и дискретными. Предполагается по умолчанию, что между этими типами нет принципиального барьера, и при видоизменении модели непрерывная картина может стать дискретной и обратно. Правомерность таких переходов лучше обнаруживается при обратном видоизменении от дискретной модели к непрерывной. Этот переход возможен, если удовлетворяется условие полноты, а именно: с уменьшени-
ем размеров конечных элементов и увеличением их числа поведение дискретной системы должно приближаться к поведению «непрерывной» системы — сплошной среды. И в пределе при стремлении размеров конечных элементов к нулю совпадает с поведением сплошной среды. Это возможно при условии, что нет ограничений на уменьшение конечных элементов. Данные ограничения у любого геоматериала обусловлены элементарным объемом, т.е. минимальным объемом, начиная с которого проявляются его деформационные свойства. Конечные элементы не могут быть меньше элементарного объема, размеры которого могут достигать 1 м3 и более, а у породного массива и того больше. Кроме того, чтобы применить изложенные выше понятия к решению задач, необходимо еще обладать средствами перехода от соотношений, выполняющихся в точке, к соотношениям, выполняющимся в некоторой конечной области. Такой переход от соотношений в точке к соотношениям в области при решении дифференциальных уравнений в частных производных может осуществляться следующим образом. При рассмотрении конечноэлементных моделей будет предъявляться требование — дифференциальные уравнения в частных производных должны быть удовлетворены только в некотором усредненном смысле для некоторого конечного объема среды, причем он по величине должен быть не меньше элементарного объема. Поэтому конечноэлементные модели адекватны изучаемым реальным объектам с малым элементарным объемом и не отвечают требованиям адекватности в случае моделирования процессов, протекающих в объемах меньших, чем элементарные объемы. Вследствие этого использование метода конечных элементов при изучении горных пород, породных массивов и других геоматериалов, у которых элементарные объемы достигают больших значений, приводит к недопустимым грубым ошибкам.
В связи с этим модифицируем классический метод конечных элементов таким образом, чтобы при определении напряженно-деформированного состояния геоматериалов учитывалась величина их элементарного объема. Используя работу [4] и алгоритмический подход, данный модифицированный метод конечных элементов можно представить в следующем виде.
1. В области определения функции зафиксировать конечное число узловых точек.
2. Определить значения функции в выбранных узловых точках.
3. С помощью метода, представленного в работе [5], определить элементарный объем геоматериала.
4. Область определения функции представить в виде совокупности конечных элементов, связанных между собой в узлах на их границах. При этом размеры конечных элементов, определяются согласно линейным размерам элементарного объема исследуемого геоматериала.
5. Заданную функцию локально аппроксимировать на каждом конечном элементе непрерывными функциями, однозначно определяемыми значениями функции (и ее производных вплоть до некоторого порядка) в узловых точках, принадлежащих этим элементам.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979. - 392 с.
2. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. — М.: Мир, 1984. — 428 с.
3. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. — М.: Физматлит, 1994. — 192 с.
4. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. — М.: Мир,1976. — 465 с.
5. Халкечев Р.К. Стохастический метод определения элементарных объемов кристаллических и композиционных геоматериалов // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. — 2012. — № 2. — С. 38—41. ЕШ
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ
Халкечев Руслан Кемалович — кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: [email protected], НИТУ «МИСиС».
R.K. Khalkechev
ABOUT ONE WIDESPREAD ERROR OF USING FINITE ELEMENT METHOD WHEN DETERMINING OF THE GEOMATERIALS STRESS-STRAIN STATE
As you know when you build a discrete mesh models must satisfy the condition of completeness. It is that unlimited reduction of the sizes of finite elements and increase their number there has been a convergence behavior of the discrete model with continuous (solid medium). However, for geomaterials, there is a limit in reducing the size of finite elements associated with the existence of the elementary volume. In the study of minerals, elementary volumes which are very small, the use of the finite element method in the determination of
UDC 004.9;
004.41; 51-74; 622
their stress-strain state does not give such significant differences with the actual results of observation. At the same time for rocks and rock masses (elementary volumes up to several cubic meters) application of the finite element method is invalid. Unfortunately, this fact is in the existing works ignored, and as a result - attributed to the real geomaterial properties, they do not possess. To resolve this problem, this article proposed a new modified method of finite elements adapted for the study of geomaterials and to significantly improve the accuracy of the developed discrete models the stress-strain state rocks and rock masses.
Key words: finite element method, elementary volume, completeness condition, geoma-terial, numerical methods.
AUTHOR
Khalkechev R.K., Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor, e-mail: [email protected], National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia.
REFERENCES
1. Segerlind L. Primenenie metoda konechnykh elementov (Application of finite element method), Moscow, Mir, 1979, 392 p.
2. Gallager R. Metod konechnykh elementov. Osnovy (Finite element method. Basic principles), Moscow, Mir, 1984, 428 p.
3. Myshkis A.D. Elementy teorii matematicheskikh modeley (Elements of theory of mathematical models), Moscow, Fizmatlit, 1994, 192 p.
4. Oden Dzh. Konechnye elementy v nelineynoy mekhanike sploshnykh sred (Finite elements in the nonlinear continuum mechanics), Moscow, Mir,1976, 465 p.
5. Khalkechev R.K. Izvestiya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo tsentra RAN. 2012, no 2, pp. 38-41.
НОВИНКИ ИЗДАТЕЛЬСТВА «ГОРНАЯ КНИГА»
ГОРНЫЙ
ИНФОРМАЦИОННО-
АНАПИГИЧ(СК14Й
ьюллггтжнь
MINING INFOftMATIONAt AMD ANALYTICAL UUILXHM
2015
КОМБИНИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕРАБОТКИ М ИН ЕРАЯ ЬНОГО С Ы Р ЬЯ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Горный информационно-аналитический бюллетень. Специальный выпуск № 19. Комбинированные процессы переработки минерального сырья: теория и практика
Год: 2015 Страниц: 288 ISBN: 0236-1493
В сборнике опубликованы научные статьи участников Международной научно-технической конференции «Комбинированные процессы переработки минерального сырья: теория и практика», проходившей 19—20 мая 2015 г. в НМСУ «Горный». Конференция была посвящена 95-летию создания кафедры обогащения полезных ископаемых. Тематика статей «Управление качеством горной массы при добыче полезных ископаемых», «Процессы рудоподготовки и комплексной переработки минерального сырья», «Процессы гидро- и пирометаллургии в обогащении полезных ископаемых».
