Об одной нестационарной задаче термоупругости для двухслойного цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 539.4

ОБ ОДНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНОГО ЦИЛИНДРА

© 2006 г. В.А. Жорник, А.А. Рыбинская, П.А. Савочка

The present article is devoted to temperature fields' and temperature stresses' researches arising in a solid cylinder under protective covering on its surfaces at high temperatures.

Our research showed that under certain conditions thermoelastic stress may cauze separation of the covering from the base which leads to defect. Recommendations for the mentioned above phenomenon preventing are given.

The setted problem is solved as thermoelastic one, however, viscoelastic analogy allows to examine the case of thermoviscoelastic covering.

В процессе эксплуатации цилиндрических деталей и конструкций наблюдается износ их рабочих поверхностей. В настоящее время существует несколько способов их восстановления и упрочнения различными защитными и восстанавливающими покрытиями. Они наносятся на рабочие поверхности цилиндрической детали (основы) при высокой температуре, что вызывает довольно большие температурные градиенты в изделиях, порождающих в них температурные напряжения. Прочность сцепления покрытия и основы на контакте (адгезионная прочность) обычно относительно мала, поэтому желательно, чтобы радиальные напряжения на контакте были отрицательными, т.е. сжимающими. Для этой цели необходимо подобрать такие материалы покрытия и основы, чтобы их физико-механические постоянные отвечали бы вышеуказанному требованию. Поэтому одной из важных задач является расчет температурных напряжений в двухслойном цилиндре, возникающих в результате градиента температур в основе и покрытии, а также из-за различия физико-механических постоянных основы и покрытия. В данной работе эта задача решается как термоупругая, однако использование упруго-вязкоупругой аналогии [1] дает возможность перейти и к случаю, когда материал покрытия термовязкоуп-ругий.

В качестве модели рассматривается сплошной цилиндр неограниченной длины радиусом rc, на рабочую поверхность которого наносится слой покрытия с относительно малой толщиной d и, следовательно, внешним радиусом R = rc + d. Нанесение происходит при температуре ТН относительно долго, так что за это время цилиндр успевает прогреться до указанной температуры по всему сечению.

Далее эта система (цилиндр - покрытие) начинает очень медленно охлаждаться до температуры T0 (начальная температура) и далее интенсивно

путем теплообмена (коэффициент теплообмена а0) охлаждается в среде до температуры в. Возникающие при этом градиенты температур порождают термоупругие напряжения в цилиндре и покрытии.

Задача расчета термоупругих напряжений рассматривается как несвязанная, поэтому поле температур рассчитывается независимо от поля напряжений.

Математическая постановка задачи теплопроводности для двухслойного цилиндра имеет вид

dt

- = a

дТ1 (г,t) = д2Т1 (г,t) 1 5Tj (г,t)

дг2 г дг

V

дТ2 (г, t)= ^ д2T2 (г, t) 1 дТ (г, t)

■•2 г дг

дt

■ = a

\

дг2

t > 0, 0 < г < гг.

t > 0, гс < г < R,

Ti(t, t) = Т2(г, t) = То = const, t = 0, 0 < г < R Т1(г, t) < да, t > 0, г = 0, Т1(г, t) = Т2(г, t), t > 0, г = гс, дТТ (г, t) дТ2 (г, t)

= Л- n ', t > 0

Т дt Т дг дТ2 (г, t)

(1) (2)

(3)

(4)

Ат_

дг

= [Т2 (г, t )_ö], t > 0, г = R,

где а1, а2 - температуропроводности внутреннего и внешнего цилиндров; А^ , ^ - теплопроводности внутреннего и внешнего цилиндров.

Решение рассматриваемой задачи было проведено в [2] и оказалось довольно громоздким. Однако если покрытие относительно тонкое

(<< 11, то вместо уравнения (2) и граничных условий (4) используется

приближенное граничное условие [3], имеющее вид

дТ (г,t) = _y2g1_ d_ 1 + а0dI21t2 дТ (г,) дг y1c1 a1 1 + а0 d I ^ дt

а 1 -[Т (г,t)_e], t > 0, г = гс

(5)

Л^ 1 + а0^ / Хт_

т1 (г, г) г >0, г = 0.

Условие (5) можно использовать для упрощенного решения задачи теплопроводности для сплошного цилиндра (0 < г < гс), которая имеет следующую математическую постановку:

( Я2^Л. Л Л. Л'А

дТ1 (г,t) = f д2Т1 (г,t) + 1 дТ1 (г,t)

дt

дг2

дг

t > 0, 0 < г < гс.

при начальном условии

Тх(г, Г) = То, Г = 0, 0 < г < гс и граничных условиях (5).

В результате решения распределение температуры по сечению цилиндра и времени имеет вид

T (r,t)- To = 1

в- T

=i-s-

2Bi2 exp(-y2nFo)

где Bi2 = a2rcl - критерий Био;

1 J (Уп) ((-®*ky2) + Уп2 (1 + 2®*k)

1

( r )

Уп-

. (6)

- коэффициент те-

1 + a0d / A2

плообмена со средой цилиндрической поверхности с учетом наличия обо-

1 + aod/2ХГ Y c2 d at -л

лочки; а* = а-- ; а = 2 2 ; к = — ; Fo = —2— критерий Фу-

1 + aod / at2 Yici rc rc

рье; y1>2 - массовая плотность; с12 - удельная теплоемкость материалов цилиндра и покрытия; Aj т2 - теплопроводность материалов цилиндра и

покрытия; aj = AT / YC - температуропроводность цилиндра.

В [3] показано, что (6) совпадает с решением задачи теплопроводности (1)-(4), если в этом решении для сплошного цилиндра произвести разложение в степенной ряд по толщине оболочки d и ограничиться второй степенью разложения.

В [3] проведен расчет для двухслойного цилиндра, находящегося в нестационарном температурном поле с радиальным распределением температуры.

С учетом температурного поля (6) радиальные, окружные и осевые напряжения e*r (r,t), e^ir,t), e*z (r,t) в сплошном цилиндре (0 < r < rc) имеют вид

e*rp Fo ) =

,0)

(r >t ) +

n + Y + (x-1)[1 + 2 в)7 ^K ))-в Г V

Ei (To -в)

= 2Bi2 S

n=1

- y.Fo

о s n

, , s 2 M J (Уп )--zJiM-

ynJo(Уп)k2 (1 + 2®* k) + (Bi2-®* k • y2) ^ P

n+Y + (X_ 1)1 + 2Y) 1 ^

nß _ 2/

И—^ (2J1 (Уп)~аУп-10 (Уп)) E1

1

(Р, Fo ) =

г®

чч>

(г, t) +

n+Y + (x_ 1)[V1 + 2ßjr и(ат2 _ат1)

nß_ 2y } U

ат1 E1 (Т0 _ö)

= 2Bi2 E

n=1

_ У2 Fo

ynJ, (Уп ) [ Уп2 (1 + 2® * k) + ( _ © * k • Уп2 ) xff J1 (Уп )+рр J1 (УпР)_

n + Y + (x_ 1)[1 + 2ßV 1

_УпJ0 (УпР)--——2-(2J1 (.Уп)_аУ„J0 (Уп))

nß _ 2y E1

(7)

C,

(p, Fo ) =

C (г,t) + x(ß + 2г)и( _ат1 }(1

= 2 Bi2 E

ат1 E (Т0 _ö)

- Уп2 Fo

УnJ0 (Уп) VУп2 (1 + 2® * k) + ( _ © * k • у2)

J0 (УпР)_Х(У2)И1-^1 (2J1 (Уп)-аУпЛ (Уп^ nß _ 2y E1

И 1 .

( 2J1 (Уп )-

И

где n = — _—; ß = —

E1 E2 E1

R

f d2 Л

1 +

R2

2 "1

y1 2 .

— + и ——-1; y = и-

E2 V E2 E1 J E1 E2

/и = 1--—; х - степень сцепления на поверхности контакта (г = гс) основы

Гс

и покрытия (х = 1 - полное сцепление (спай); х = 0 - сцепление отсутству-

е

2

ет); Т0 < ТН - начальная температура системы цилиндр - покрытие, от которой начинается интенсивное охлаждение; Vl,2 - коэффициенты Пуассона материалов цилиндра и покрытия; Е12 - модули упругости (Юнга) материалов цилиндра и покрытия; аТ Т - коэффициенты линейного расши-

рения материалов цилиндра и покрытия, а = ат/ат , а = а

a,d l ^т, 2R + rc 1 — 2 c

r

p=--относительный радиус цилиндра.

r

1 + а2 й / Л2 3(Я + гс)

В выражениях (7) суммирование ведется по корням трансцендентного уравнения у31 (у) = (ы2 -а*ку2)) (у), где /0>1(х) - функции Бесселя от

действительного аргумента нулевого и первого порядков 1-го рода.

На рис. 1 приведены зависимости вышеуказанных напряжений от времени Бо в различных точках поперечного сечения цилиндра. При этом взяты следующие данные для стали 45 (основа) и пористого порошкового покрытия на основе бронзы Бр 0Ф-10-1 при пористости П = 0,54: гс = 5-10-3 м, й = 0,25-10-3 м, у1 = 7800 кг/м3, у2 = 4000 кг/м3, ^ = 0,25, v2 = 0,3, с = 470 Дж/кг-К, с2 = 175 Дж/кг-К, а^ = 12-106 1/К, а^ = 17-106 1/К,

Е1 = 20-1010 Н/м2, Е2 = 2,6-1010 Н/м2, «0 = 1,5-105 Дж/м2-К-с, Л = 50 Дж/м-К-с,

а г

Л2 = 19 Дж/м-К-с, Ы0 = = 15, Ы2 = 5.

2 Лт1

Зависимости, изображенные на рис. 1, относятся к х = 1. Нужно отметить, что покрытие (как «шуба») влияет на теплообмен, уменьшая критерий Био в 3 раза и тем самым снижая градиенты температур и опосредованно напряжения. Это хорошо видно из сравнения графиков, изображенных на рис. 1 с покрытием и на рис. 2 без покрытия (й = 0) при одном и том же коэффициенте теплообмена а0.

Как видно из этих зависимостей, радиальные напряжения меньше окружных и осевых, они сжимающие, что благоприятно сказывается на адгезионной прочности. Сказанное объясняется тем, что аТ^ < аТ■ ; если

было бы наоборот, то радиальные напряжения были бы растягивающими, что могло вызвать отслаивание покрытия от основы. Кроме того, если бы температура нанесения покрытия ТН = Т0 была меньше рабочей температуры (например, покраска поверхности детали) и в результате эксплуатации деталь нагревалась бы в среде с температурой в, т.е. Т0 < в, то все напряжения поменяли бы знак (см. знаменатель левой части (7)). В этом случае радиальные напряжения также были бы положительными, т.е. растягивающими, что могло бы вызвать отслаивание покрытия от основы. Указанные факторы нужно учитывать при нанесении покрытий на рабочие поверхности деталей, а также при эксплуатации изделий с покрытиями.

Литература

1. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. М., 1963.

2. Рыбинская А.А. // Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов: Сб. трудов Междунар. науч.-техн. конф. Т. 1. Таганрог, 2006.

3. Жорник В.А., Карташов Э.М. Рост осесимметричных трещин при механических и тепловых воздействиях. Таганрог, 2003.

Таганрогский государственный педагогический институт 6 октября 2006 г.

УДК 538.4

О КАПИЛЛЯРНЫХ ЯВЛЕНИЯХ В МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЯХ

© 2006 г. А.Я. Симоновский, Е.П. Ярцева

There are experimental results of homogeneous invariable and variable magnetic fields influence on tearing-off processes of magnetic liquid drops from horizontal plane non-magnetic surface represented. It is shown that magnetic field influence on the volume of tearing-off drops considerably and in general this influence is led to changes of capillary forces which keep hold the drop on the surface of hanging.

Введение. Исследование процессов образования и отрыва капель магнитной жидкости (МЖ) от горизонтальной поверхности в магнитном поле представляет интерес для анализа процессов образования и роста парового пузырька при кипении МЖ в магнитном поле. Несмотря на более чем 40-летнюю историю изучения МЖ, такой важный процесс, как ее кипение, остается практически неизученным. И это при том, что уже в технологии производства МЖ кипение играет важную роль. Его применяют для пеп-тизации коллоида. Кроме того, одно из применений МЖ - в качестве управляемой закалочной среды при термической обработке изделий машиностроения, сопровождающейся кипением.

К настоящему времени известны немногочисленные экспериментальные данные о кипении МЖ. В [1] приводятся экспериментальные результаты влияния неоднородного магнитного поля на частоту образования пузырьков пара при кипении МЖ на одиночном центре парообразования. Частично выяснен механизм этого влияния - возникновение в неоднородном магнитном поле дополнительной выталкивающей силы, действующей на немагнитный пузырек пара, что в определенных пределах и способствует увеличению частоты отрыва пузырьков. О механизме влияния однородного постоянного и переменного магнитного поля на пузырьковое кипение на плоской поверхности нагрева в литературе никаких мнений не высказывалось.

Необходимость экспериментального моделирования процессов образования и роста паровых пузырьков при кипении МЖ вызвана тем, что это -непрозрачные среды, и традиционные оптические наблюдения за расту-