Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с интегральными условиями первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ПЕРВОГО РОДА

© 2011 А.В. Дюжева1

В статье рассматривается нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральными условиями первого рода. Основной целью работы является демонстрация метода, позволяющего свести поставленную задачу к задаче с интегральным условием второго рода. Доказано существование единственного обобщенного решения.

Ключевые слова: нелокальная задача, гиперболическое уравнение, нелокальные условия, обобщенное решение.

В области Q = (0,1) х (0,Т), где 1,Т < то, рассмотрим уравнение

па - ихх + с(х, Ь)п = /(х, г) (1)

и поставим для него задачу.

Задача 1. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

п(х, 0) = ф(х), щ(х, 0) = ф(х) (2)

и нелокальным условиям

/ К (х,г)пвх + / Щ(х,г)пв,хвт = 0, г = 1, 2, (3)

ио Jо и о

где Щ(х,г), (х,г) заданы в Q.

Задачи с нелокальными интегральными условиями активно изучаются в настоящее время, но в большинстве работ, посвященных этой тематике, рассматриваются интегральные условия II рода [1; 3; 5]. Условия (3) представляют собой интегральные условия I рода, а это, как отмечено в [6], влечет за собой ряд трудностей при исследовании разрешимости задачи. Однако в некоторых случаях удается свести условия I рода к условиям II рода, что дает возможность применить один из разработанных методов исследования разрешимости нелокальных задач. Сведем задачу (1)—(3) к задаче с интегральными условиями II рода.

Лемма. Если для всех г € [0, Т]

А = к1(1,г)к2(0,г) - к1 (0,ь)к2(г,ь) = 0, (4)

К,(х,1) € С2(Q), Щ(х,1) € С1 ^) и выполняются условия согласования

./о К^^, 0МхМх = 0, (5)

/0 Кц(х, 0)ф(х)в,х + /0 Кг(х, 0)'ф(х)йх + ^ Нг(х, 0)ф(х)в,х = 0,

1 Дюжева Александра Владимировна ([email protected]), кафедра математики и бизнес-информатики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Са-

мара, ул. Акад. Павлова, 1.

то условия (3) эквивалентны нелокальным условиям второго рода

пх(0,г) = а1(г)п(1,г) + р1(г)п(0,г) + /0г м1(х,г)^х+

+ /о Nl(x,t)пtdx + /д Е1(х,г)/ах, пх(1,г) = а2(г)п(1,г) + в2(г)п(0,г) + /0г м2(х,г)^х+

+ /о N2(x,t)пtdx + /д R2(x,t)/dx, где п(х,г) удовлетворяет уравнению (1),

-(К1х(1,г)К2(1,г) - К2х(1,г)К1(1,г)) '

а1(г) =

в1(г) =

(((

м1 (х, г) =

А (-К1х(0,г)К2(1,г) - К2х(0,г)К1(1,г)) '

А ;

(((К1х)х - Кщ - сК1)К2(1,г) - ((К2х)х - Кщ - сК2)К1(1,г))

А

К2(х,г)К1(1,г) - К1(х,г)К2(1,г);

А ;

(2Ки + Н1)К1(1,г) - (2Ки + Н1)К2(1,г);

А ;

-(К1х(1,г)К2(0,г) - К2х(1,г)К1(0,г)) ;

А ;

(-К1х(0,г)К2(0,г) - К2х(0,г)К1(0,г))

М2(х,г)

Rl(x, г) ^(х,г) = а2(г) = в2(г) = А , (((К1ха)х - Кш - сК1)К2(0,г) - ((К2х)х - Кш - ККМ).

R2(x,t) Щ(х,г) =

А К2(х,г)К1(0,г) - К1(х,г)К2(0,г);

А ;

(22К2г + Щ)К1(0,г) - (2К2г + ЩЪМ

А

Доказательство. Пусть п(х,г) удовлетворяет уравнению (1) и условию (3). Продифференцируем (3) по г дважды, получим

р1 р1 р1 р1 р1

/ К^щ^х + 2 К^п^х + Км^х + Н^^х + Н^п^х = 0. (7)

ио ио Jo ио J о

Первый интеграл в (7) преобразуем, использовав тот факт, что п(х,г) — решение уравнения (1):

Г-1 г I

)п

/0 J0

Тогда после интегрирования по частям слагаемого, содержащего пхх, получим /■I

т'iпxxdx = Кг(1,г)пх(1,г) - Кг(0,г)пх(0,г) - К,хм,гм1,г) + К^хМлп

/ К^^х = К^х,г)[пхх - с(х,г)п + /(х,г)^х.

■!о -)о

егрирования по частям слагаемого, содержащего

I К^хх^х = К^1,г)пх(1,г) - К^0,г)пх(0,г) - Щх(1,г)п(1,г) + ^х(1,г)п(1,г)+ ■)о

+ / Kixxпdx.

■)о

После этих преобразований условия (7) приобретают вид:

Ki(1,г)пх(1,г) - щ(0,г)пх(0,г) - Кх(1,г)п(1,г) + Кх(I,/)п(1,г) = = /о (К^ - ^хх - КШ - Ни)ьАх - /0 (2Кц + Hi)пtdx - /0 Ki/dx.

Так как Д = К1(1^)К2(0^) — К1(0^)К2(1^) = 0, то систему (8) можно разрешить относительно их(0,Ь), пх(1,г). Получим

их (0,1)= а\(Ь)и(1,Ь)+ @1(Ь)и(0,Ь)+ / М^х^)п—х + К1(х,1)щё,х + Е,1(х,Ь)/д,х,

ио Jo Jo

их (1,1) = а2(Ь)и(1,Ь) + @2^)и(0,Ь)+ М2(х,Ь)ийх + N2(x,t)utdx + R2(x,t)fdx.

ио Jo Jo

Пусть теперь и(х,Ь) удовлетворяет уравнению (1) и условиям (6). Очевидно, тогда она удовлетворяет и условиям (8). Одно из слагаемых (8) преобразуем интегрированием по частям:

/0 Кгхх^х = Кг(1^)их(1^) — К^0,^Пх(0^) — Щх(1^)и(1^) + Щх(0^)и(0^) —

Хд КгиххЛ'х., после чего из (8) получим

/0 (Кг(х^)е(х^) — Кш — Иа)иЛх — /0 KiUxxdx — /0(2Ки + И)щ—х — /0 Kifdx = 0,

а так как и(х,Ь) удовлетворяет уравнению (1), то

/0 КгххиЯх = /0 Kifdx — /0 КгвиЯх + /0 Кгпн—х.

Но тогда

/0 Кшп—х + /0 Кгщл^х + 2 /0 KitUtdx + /0 ИциЛх — /0 И^йх = 0.

Последнее равенство перенишем так:

^2 [/0 КгЫх + /0 /0 Иiudxdт] =0, { = 1, 2. (9)

В силу условий согласования (5), которые можно записать в виде

/ Кг(х, 0)и(х, 0)dx = 0,

0

— ( ( Кг(х^)п(х^)—х + ( [ Иi(x,t)u(x,t)dxdт)t=o = 0,

dt ,)0 Jo Jo

мы приходим к однородной задаче Коши для системы (9), которая в силу теоремы

единственности имеет только нулевое решение:

/ Кг (х^)и(х^)в,х + / Щ(х^)п(х^)—х—т = 0,

и0 Jo Jo

что и означает выполнение условия (3).

Теорема доказана.

Итак, вместо задачи с условиями I рода мы можем рассматривать задачу с нелокальными условиями II рода.

Задача 2. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (6). Заметим, что в случае Мг = N = Ri =0 задача 2 совпадает с задачей, рассмотренной в статье [7]. Если М\ = N = 0, то она совпадает с задачей, изученной в [3]. Рассмотрим случай ^ = 0, М.^ =0, Ri = 0. Равенство ^(х^) = 0 возможно, в силу условия Д = 0, только если Иi + 2Ки = 0.

Введем понятие обобщенного решения задачи (1), (2), (6) для случая

^(х^) = 0.

Применяя стандартную процедуру [4], умножим обе части (1) на функцию у(х^) € ) = {^(х, ^ : у(х^) € W2:(QT), у(х,Т) = 0}, и после интегрирования

по Qт получим:

/т / /т /т

/о /о(—иш'^ш + их'Ох + спю)—х—Ь — /0 [Ф2^)}у(1^)—Ь + /0 Ф1(t)]v(0,t)dt = ( )

= /0 ф(х)у(х, 0)—х + /Т g2v(l,t)dt + /0 g1v(0,t)dt + /Т /0 fvdxdt,

где I

Фг(Ь) = Мг(х,Ь)и(х,Ь)Зх + аг(Ь)и(0,Ь) + (Зг(Ь)и(1,Ь),

Jо

дг(Ь) = [ Яг$д,х.

Определение. Обобщенным решением задачи (1), (2), (6) будем называть функцию и(х,Ь) € WX(Qт), удовлетворяющую условию и(х, 0) = х) и тождеству (10) для любой функции у(х,Ь) € ^^^т)■

Теорема. Пусть выполняются следующие условия:

Н 1.с(х,Ь) € С((^т), р(х) € W21(0,l), ф(х) € 12(0,1), /(х,Ь) € Ь2^т),

Кг(х,1) € С2д) п с(д), Нг(х,г) € С2д) п с(д);

Н2. аг(Ь),вг(Ь) € Сг[0,Т], ал(Ь) > 0, [^(Ь) < 0;

Н3. аШ1 - 2а2(ЬШ2 — в2Й > 0, Ш € [0,Т];

Н4. а2 (Ь) + в\ (Ь) =0 Ш € [0,Т].

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1), (2), (6). Доказательство.

1. Единственность решения. Предположим, что существует два различных обобщенных решения, и\(х,Ь) и и2(х,Ь). Тогда их разность и = и\ — и2 удовлетворяет условию и(х, 0) = 0 и тождеству

с т г I т

■ ихгох + еиь]ЗхЗЬ — I [р2и(

/ / [—игуг + ихюх + еиь]ЗхЗЬ — [р2и(1,Ь) + а2и(0,Ь) +

■)о ио ио

+Ф2(Ь)]у(1,Ь)ЗЬ — [в\и(1,Ь) + а^и(0,Ь) + Ф^(Ь)]у(0,Ь)ЗЬ = 0. (11)

Jо

В (11) положим

г

и

у(х, Ь) = \ Т и(х,п)Зп 0 < Ь < т, (12)

[ 0, т < Ь < Т

и проделаем ряд преобразований, которые приводят к

— [ [и2(х,т)+ у2х(х, 0)]Зх + [ [ сюгуЗхЗЬ +

2 и о и о и о

+ ( а2'иг(0,Ь)'и(1, п)ЗЬ--------[ в2ю2(1,Ь)ЗЬ + [ / М2уЗх / ь(1,ц)ЗцЗЬ +

и о 2 J о и о Jо Jт

[ а[(Ь)у2 (0,Ь)ЗЬ — [ в\уг(1,Ь)у(0,Ь)ЗЬ — [ ( М\угу(0,Ь)ЗхЛЬ = 0. (13)

ио Jо Jо Jо

+ _ , а /ь)„.2

2 о о о о

Заметим, что при выводе (13) мы воспользовались техникой, представленной в [7]. Преобразуем некоторые слагаемые в (13).

— [ в\уг(1,Ь)у(0,Ь)З,Ь = [ в\у(1,Ь)уг(0,Ь)З,Ь + ( у(1,Ь)у(0,Ь)ЗЬ.

■)о Jо Jо

Перепишем в следующем виде:

(■I

1 Г1 1 гт

— [и2 (х,т) + у2х (х, 0)]Зх +2 (в2 у‘2(1,Ь)ЗЬ + 2@[ у(1,Ь)у(0,Ь) — а[(Ь)у2 (0,Ь)ЗЬ =

2 о 2 о

рТ р1 рТ р1 рТ р1

= / сюгъЗхЗЬ + I у(1,Ь) М2УгЗхЗ1 + I у(0,Ь) М\Уг(х,Ь)ЗхЗЬ. (14)

о о о о о о

По условию Н3 теоремы в2Мй + 2в[— а1^)£2 ^ 0, что влечет за собой неотрицательность второго слагаемого левой части (14).

Оценим правые части равенства (14), используя неравенства Коши, Коши — Буняковского, а также неравенства

2 г1

! 2 Ґ

у2(0,і) ^ 21 I 3£ + — у2(х,і)3х,

ио 1 Jo

Ю 1 Jo

у2(ї,і) ^ 21 І у^З^ +у І у2(х,і)3х, (15)

■>х 1 Jo

нств

у(0,Ь) = [ 3£ + у(х,Ь),

Jo

у(1,і) = 3£ + у(х,і) (16)

х

1 <10

легко выводимые из равенств

г х

гюр + V

0

г1

и представления функции v(x,t). В силу условий теоремы найдутся числа тг > 0

0^Ч^\ 2

такие, что тахд \Мг\ ^ тг, тах \с(с^)\ ^ с0. Тогда \ /0 М23х\ ^ тр. Получим

[ [и2(х,т)+ v2x(x, 0)]3х ^ К [ ( [и2(х^) + V2(х^)]3х31, (17)

ио Jo ио

где К > 0 и зависит лишь от I, Т, тг, со.

Введем функцию Ш(х,€) = ^ их3п. Тогда

'их(х^) = Ш (х^) — Ш (х,т),

Vx(x, 0) = Ш(х,т)

и неравенство (17) может быть записано следующим образом:

2(х,т) + ШХ.(х,т)]3х ^ К [ ( [и2(

/о и о ио

[ [и2(х,т) + ШХ(х,т)]3х ^ К [ [ [и2(х^) + (Ш(х^) — Ш(х,т))2]3x3t.

ио Jо ио

Из него следует:

/ [и2(х,т) + Ш2(х,т)]3х ^ К { ( [u2(x,t) + 2W2(x,t)]3x3t + Кт { Ш2(х,т)3х.

■)о Jо Jо Jо

Пользуясь произволом т, выберем его так, чтобы 1 — Кт ^ 2.

Тогда для т е [0, цК]

[ [и2(х,т) + Ш2(х,т)]3х ^ 4К [ [ [и2(х^) + Ш2(х^)\3х3Ь. (18)

ио Jо Jо

Применив к (18) лемму Гронуолла, убедимся в том, что для т е [0, тК] и(х,т) = 0. На следующем шаге, следуя [4], убеждаемся, что и для т е [цК, к] и(х,т) = 0. Продолжив это процесс, убедимся в том, что и(х,Ь) = 0 в Qт.

Единственность доказана.

2. Существование решения.

Для доказательства существования обобщенного решения построим сначала приближенное решение при помощи метода Галеркина. Пусть {и>к(х)}^=1 — произвольная система фунуций из С2[0,1], линейно независимая и полная в Ш21(0,1). Также будем считать, что ^к,и>1 )ь2(о,I) = &кI. Будем искать приближенное решение задачи (1), (2), (4) в виде

т

ит (х, ~Ь) = ^2 3к о^к (х) (19)

к = 1

из соотношении

/ (п^т+ пт1т^ + cumWj)йх + (а1(Ь)ит(1,Ь) + /31(Ь)ит(1,1) + (0) —

Jо

— (а2(Ь)ит(1,Ь) + в2(Ь)ит(1,Ь) + Ф2)и^(I) = [ fwjйх. (20)

■)о

и

йк(0) = фк, й'к(0) = фк, (21)

где фк, фк — коэффициенты сумм

т т

фт(х)=^ фкШк (х), фт(х) = ^ фк Шк (х), к=1 к=1

апроксимирующихся при т ^ ж> функции ф(х) и ф(х) в норме Ш2(0,1) и Ь2(0,1) соответственно.

Соотношения (20) и (21) представляют собоИ систему обыкновенных дифференциальных уравнении, разрешенную относительно старших производных, причем в силу условия (ик,и^)^2(о,1) = &ы матрица при старших производных единичная. В силу условии теоремы коэффициенты системы (21) ограниченные функции, а свободные члены fj(Ь) € Ь1(0,Т). Поэтому задача Коши (20), (21) однозначно разрешима и й'к(Ь) € £1(0, Т). Таким образом, последовательность приближенных решении {ит(х,Ь)} построена. Следующим шагом доказательства является обоснование существования предела построеннои последовательности, а затем возможности перехода к пределу в (21). Для этого нам потребуется априорная оценка, к выводу которои мы и приступим.

3. Априорная оценка.

Умножим (20) на (Ь), просуммируем по 2 от 0 до т и проинтегрируем по

Ь от 0 до т .В результате получим:

[ [ (итит+ититх + ситит)йхл +

■)о Jо

+ [ (а.1(Ь)ит(1,Ь) + р1(Ь)ит(1,Ь) + Ф1)и,хг(0,Ь)йЬ —

Jо

— [ (а2(Ь)ит(1,Ь) + в2(Ь)ит(1,Ь) + Ф2)итг(1,Ь)йЬ =

Jо

= [ ( fwjйхйЬ. (22)

оо

Преобразования, аналогичные проведенным при доказательстве единственности решения, позволяют получить оценку:

\\ит\\ш1(дт) ^ К,

где К не зависит от т. Эта оценка гарантирует возможность выделения из построенной последовательности {ит(х,Ь)} подпоследовательности, за котороИ во избежание излишнеи громоздкости мы сохраним то же обозначение, слабо сходящейся к функции и € W2(Qт).

Умножим каждое из соотношений (20) на Cj(Ь) € V2 (0,Т), просуммируем по 2 от 1 до т, а затем проинтегрируем по Ь от 0 до Т. В результате этих действий получим

т I т

J !(и'ггП + и’тпх + ситп)йхйЬ + ^ ц(0,Ь)[а1(Ь)ит(0,Ь) + @1(Ь)ит(1,Ь)]йЬ—

о о о

^ а(1,Ь) J К2 fdxц(l,t)dt — J п(1^)[а2^)пт(0^) + /32^)пт(1^)^ =

00 о

ТІ Т 1

J ! fr|dxdt — J а(1^) J M2udxn(l,t)dt—

0 0

— / а(0^) [ М1^хц(0,1)& — [ а(0^) { Rlfdxц(0,t)dt,

0 0 0 0

где обозначено

т

п(х^) =^2 с3 ^)т3(х)-

3=1

После интегрирования первого слагаемого, стоящего под интегралом левой части этого равенства, получим

Т I I

00

Т

(—ит^г + КП* + ситn)dxdt — J итп(х, 0)dx+

0

Т

+ ! ц(0^)[а1^)ит(0^) + в1^)ит(1^)^—

0

Т Т I

— J п(1^)[а2^)ит(0^) + /32^)ит(1^)^ = J J fndxdt—

0 0 0

— / а(1^) [ M2ud,xn(l^t)dt — / а(1^) [ R2fdxп(l,t)dt—

0 0 0 0

— ( а(0^) [ Mludxn(0,t)dt — ( а(0^) ( Rlfdxп(0,t)dt. (23)

0 0 0 0

Зафиксировав в (23) ц^^), перейдем к пределу и увидим, что тождество (10)

выполняется для предельной функции и^^), если У^^) = П^Т^). Однако мно-

жество всех функций п^^) плотно в }У2^т) (см.[4]), поэтому утверждение о существовании решения задачи из пространства W2(Qт) доказано полностью.

Литература

[1] Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделир. 2000. № 4. С. 94-103.

[2] Кожанов А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных задач для линейных параболических уравнений // Вестник СамГУ. 2008. № 3(62). С. 165-174.

[3] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений // Математический журнал (Казахстан). 2009. № 2(62). С. 78-92.

[4] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

[5] Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. № 7(40). С. 887-892.

[6] Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для одномерного волнового уравнения // Доклады АМАН. 2010. № 2(12). С. 52-59.

[7] Пулькина Л.С., Дюжева А.В. Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стеклова для гиперболического уравнения // Вестник СамГУ. 2010. № 4(78). С. 56-64.

Поступила в редакцию 23/VI/2011; в окончательном варианте — 23/VI/2011.

ON CERTAIN NONLOCAL PROBLEM FOR HYPERBOLIC EQUATION WITH INTEGRAL CONDITIONS OF THE FIRST KIND

© 2011 A.V. Duzheva2

In this article, we consider a nonlocal problem for hyperbolic equation with integral conditions of the first kind. The main goal of this article is to show the method which allows to reduce posed problem to the problem with integral condition of the second kind. Existence and uniqueness of generalized solution is proved.

Key words: non-local problem, hyperbolic equation, non-local conditions,

generalized solution.

Paper received 23/VI/2011. Paper accepted 23/VI/2011.

2Duzheva Alexandra Vladimirovna (aduzhevaSrambler.ru), the Dept. of Mathematics and Business Informatics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.