Об одной модификации оператора Ландау Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доказательство получается, если использовать равенство Б^- 1 = 1, ] = 1, 2, из которого получается оценка: / — /| < и (2а), ] = 1, 2, где и (2а) - модуль непрерывности функции /(ж).

Теорема 2. Для /(ж) € С:[0,1] выполняется сходимость:

РБ*2/ — Лито[0,1] ^ Опри а ^ 0.

Доказательство. В формулах леммы 1 заменим дифференцирование по ж на дифференцирование по после чего возьмем соответствующие интегралы по частям, "перебросив"производную на функцию/(ж). Поскольку подстановки при этих вычислениях обратятся в ноль, мы придем к равенствам: ^Б^/ = Б^/] = 1, 2. Тогда из теоремы 1 будет следовать утверждение теоремы 2. Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13 01 00238).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов А. П., Хромова Г. В. Об одной модификации оператора Стеклова // Современные проблемы теории функций и их приложения: тез, докл. 15-й Сарат, зимн, школы, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2010, 181 е,

УДК 517.51

А. П. Хромов, Г. В. Хромова

ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАНДАУ

В данной работе приводится некоторая модификация оператора Ландау, позволяющая получать равномерные приближения к непрерывной функции на всем отрезке ее задания.

В теории приближений хорошо известны операторы Ландау:

1

Ьп / = Л (1 — (ж — 1)2)п /й (И, 0

1

где Зп = / (1 — ¿2) (£. 0

Известно [1], что для любой непрерывной функции, заданной на отрезке [0,1], эти операторы дают равномерные приближения к ней внутри отрезка.

Мы здесь рассмотрим операторы вида

L f = i Lin f, x G [1/2,1] nf l L2nf, X G [0,1/2],

где

L in f = JA L2„ f = Jf, (1)

— n — n

n

x

Jin = J (1 - (x - t)2)n f (t) dt, (2)

0

1

-2n = / (1 - (X - t)2)n f (t) dt. (3)

Лемма 1. Справедливы представления:

1

1

Lщ1 = 1 - - i (1 - t2)n dt, (4)

—n J

n

x

1

1

L2n1 = 1 - J i (1 - t2)n dt. (5)

—n J

1x

Доказательство. Положив в (1), (2), (3) f (x) = 1 и сделав замену x - t = тв (2),t - x = т - в (3), придем к представлениям:

x

L in 1 = J f (1 - t2)n dt,

—n J

0

1—x

1

L2n 1 = J f (1 - t2)n dt,

—n J

0

a отсюда получаем (4), (5).

Лемма 2. Справедливы представления:

L 1nf-f = -1-—n

x 1

j (1 - (x - t)2)n (f (t) - f (x)) dt + f (x)/ (1 - t2)n dt

0x

Ь2п/-/ — -1-

1 1 / (1 - (г - х)2)п (/(г) - /(х)) ¿г + /(х) / (1 - г2)п ^

1— х

(7)

Теорема. Длл любой /(х) Е С[0,1] при п ^ то выполняется сходимость

Ьп/ - /

0,

где1М|г [01] —шах^гцс , и-цс

| II 11С[0,1/2] , II Нс[1/2,1] } '

Доказательство. Представим первый интеграл в правой части (6) в виде

х х-¿1 х

1=14 " -1' + -п2),

0 0 х—

где 0 < ¿1 < 1/2. Далее, имеем:

-п

< 2 к/ (1 - г2)п ¿г,

¿1

где К — ||/11 с [01] .Учитывая, что в -п' х Е [1/2,1], придем к оценке:

-(1)

2\п+1

к

(1 - ¿2)

Мп + 1) .

Для —2 получим оценку:

¿1

- (2) О Г,

< ш(51П (1 - г2)п ¿г,

где ^(¿1) - модуль непрерывности функции /(х). Используя оценки

—п > , И п. П +1

-п > / (1 - г2)п ¿г,

приходим к оценкам:

-1' —п

—п

2к

(1 - ¿2)

п+1

7 (2) —п

—п

< 2^(¿1).

(8)

1

¿

1

При оценке второго слагаемого в (6) учтем, что х £ [1/2,1], используем замену 1 — Ь2 = т и оценку л/1 — Ь > Тогда получим:

/(х)/(1 — £2)п л

3П

< К (3/4)

п+1

(9)

Из (8), (9) получаем оценку

,п+1

Ь1 п/ — /

С

[1/2,1]

< 2 К^—^-+ 2ш(б1) + К (3/4)п+1

о 1

(10)

Аналогичные выкладки проводим и для слагаемых в правой части (7), предварительно представив первый интеграл в виде:

1 Ж+^1 1

I=1+1

х х х+51

Тогда придем к тому, что норма

Ь 1п/ — /

Ь 2 п/ — /

С[

имеет точно такую

[0,1/2]

С[

. Отсюда получаем утверждение

[1/2,1]

же оценку, что и норма теоремы.

Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1301-00238).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. М,: ГИТЛ, 1954.

УДК 517.984

В. А. Юрко

КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА С УСЛОВИЯМИ РАЗРЫВА ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА

1. Рассмотрим краевую задачу В вида

—у"(х) + д(х)у(х) = Ху(х), х £ (0,Т), д(х) £ Ь(0,п), у(0) = ау (Т), у'(0) — Ну(0) = ву'(Т),

(1) (2)