Об одной модели деформирования повреждающегося материала при одноосном нагружении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОВРЕЖДАЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА ПРИ ОДНООСНОМ

НАГ РУЖЕНИИ

В.В. Стружанов, С. В. Жижерин (Екатеринбург)

Abstract

New kinetic equations of damage accumulation are introduced for one-dimensional case. They are based on the using of unloading module decreasing effect, which occurs due to appearing of microcracks and full deformation diagram with decreasing branch. Algorithms to compute maximum bearing capacity are approved on example of one-dimensional rod system, which contains an element made of material under damage.

Эффективный объем структурно-неоднородного материала (макроэлемент) состоит из множества подэлементов (микроэлементов), механические свойства которых отличаются друг от друга. Обычно эти свойства осредняют но объему и полученные средние значения приписывают макроэлементу. Изменение данных интегральных характеристик при нагружении отражает диаграмма деформирования материала, обладающая, как правило, линейным и нелинейным участками. Появление нелинейного участка связано, очевидно, с тем, что значительная часть микроэлементов переходит в состояние пластичности. Дальнейшее деформирование приводит к разрушению отдельных микроэлементов, то есть начинается процесс повреждения материала. Когда число разрушенных микроэлементов становится достаточно большим, то на диаграмме появляется падающая ветвь.

Феноменологическое описание стадии рассеянных повреждений основывается на представлении о поврежденностн как особом механическом состоянии элемента сплошной среды. Аналитические зависимости для описания рассеянных повреждений строятся либо из физических соображений, либо основываются на механических моделях процесса разрушения [1]. Наиболее распространенным видом кинетических уравнений накопления повреждений является выражение [1,2]

dw „

— = А[ш)П(е).

de

где необходимые для идентификации параметры и функции определяются из эксперимента. Функцию со нормируют, считая 0<ю<1, причем равенство со единице является условием разрушения, за которое, как правило, принимают достижение предела прочности материала.

В данной работе для одномерного случая предлагаются новые кинетические уравнения накопления повреждений. Их вывод основан на использовании эффекта выполаживания модуля разгрузки, которое происходит вследствие образования микроповреждений. При этом нормировка не проводится, так как значение ю=1 естественным образом достигается в конце падающего участка полной диаграммы деформирования. На примере нагружения одномерной стержневой системы, содержащей элемент из повреждающегося материала, апробируются алгоритмы расчета предельной несущей способности.

1. Рассмотрим систему из двух последовательно соединенных стержней. Первый стержень одним концом закреплен, а ко второму концу присоединен упругий стержень с жесткостью с. Диаграмма активного деформирования первого стержня определяется функцией я=ч^(х), где х - удлинение стержня (перемещение точки соединения стержней), причем кривая q(x) обладает как восходящей, так и ниспадающей до нуля ветвью. Нагружение системы осуществляется заданием свободному концу упругого стержня перемещения и (жесткое нагружение), либо приложением растягивающей силы р (мягкое нагружение).

Сначала полагаем, что модуль разгрузки первого стержня всегда направлен к началу координат, то есть после разгрузки отсутствует остаточное удлинение стержня. Такой случай возможен, если структурные элементы идеально хрупкие и разрушаются без образования пластической деформации. Тогда функцию ч можно представить в виде ц=Ц1-о))х, где X - жесткость первого стержня в недеформированном состоянии (х=0), со - некоторая функция от х, определяющая поврежденность стержня. Очевидно, что Х( I -ю) представляет собой так называемый секущий модуль (жесткость).

Далее имеем очевидные равенства

= /\.рс1х,сЦ = л(1 - ю)с!х - Ххёсо, (1)

гделр = ск| / с!х- касательный модуль (жесткость), Хр <Х, Хр > 0, когда х<хв, А,р (хв)=0,

Хр <0, когда х>хв. Здесь хв - удлинение, отвечающее максимальной точке диаграммы q(x). Приравнивая выражения (1), получаем дифференциальное уравнение, определяющее кинетику формирования повреждениости,

а® А.р(х)

х-+ш = 1-— (2)

с начальным условием ю(0)=0. Его общее решение

1 Ч(х) оч

Отсюда ю=1, когда х=х2 и ч(хг)=0, где хг - предельное удлинение, соответствующее разрушению стержня. Отметим, что отношение действительного усилия q(x) к фиктивному усилию Хх, которое могло бы быть при отсутствии в стержне повреждений, можно трактовать как объемное содержание целых микроэлементов. Тогда со имеет смысл объемного содержания разрушенных микроэлементов (структурных элементов материала).

2. Запишем теперь уравнение равновесия системы при растяжении ее по жесткой схеме. Имеем

Х(1-со)х-с(и-х) =0. (4)

Пусть равновесие при и=и0 определяется параметрами х=х0, ш(х0)=со0, Хр0 - Хр(х0), q(xo)=qo==A,(l-<йo)xo, связанными уравнением (4). Возмутим это положение, увеличив перемещение на Ли. Тогда, подставляя значения и=и1=и0+Аи и

си,

со=Шо в уравнение (4), находим х, = —-----. Затем из выражения (3) получаем

А,(1 - со 0) 4- с

со1=сй(х1). Снова решаем уравнение (4), но уже при со=Ю1, и=и! и получаем

си.

' Ц1-<п,) + с изображена на рисунке (а)

Вычисляем ©2=со(х2) и т.д. Описанная процедура схематически

т\

Хг X

Рис. Схемы итерационных процедур для материала без пластических деформаций (а) и

с пластическими деформациями (б)

Данная схема последовательных приближений представляет собой гак называемый метод простой итерации, а именно,

си,

Известно [3], что он сходится, если функция Г удовлетворяет условию Липшица

|Г(х2)-Г(х1)|<к|х2 -х,| с константой к = вир^Г / с)х|< 1, так как в этом случае реализуется принцип

х

сжимающих отображений.

Используя уравнение (2), получаем

с!о) си, ¡7.(1 ~ со (х)) - А." (х)]

Ь(х) =

их с!со ах т(х)х

где т(х) = А.(1 - со (х)) + с > О В точке х^х0 имеем

Ли.

Ь(х "И

?р + с т(х0)

т(х) )

Если Х^ > -с, то в силу произвольной малости Ли, величина Ь(хо)< 1. Когда Хд 5 -с, то величина 11(х0)>1. Далее

с!Ь с!х

си,

(А + В),

где

ал.'

А - (А." + с)[1 - (Ар + с) / ш], В = (Я.р + с)[л( 1 - со) - ] / ш + х---.

их

В силу того, что значение Хр изменяется медленно и на каждом итерационном шаге полагается постоянным, можно считать на каждом шаге сШ' / ёх = О Тогда при X1' > -с значение с11)/с1х<0 и функция Ь убывает. Следовательно, Ь остается меньше единицы и к<1. Отсюда для и^ио+Аи итерационный процесс равномерно сходится к искомому решению уравнения (4). В противном случае (Ар<-с ) имеем к>1 и последовательные приближения расходятся. Однако при жестком нагруженин обязательно наступает момент, когда л1'>-с, так как в предельном случае при разрушении Хр = 0, Тогда с этого момента итерации снова сходятся к решению уравнения (4).

3. В случае мягкого нагружения уравнения равновесия имеют вид 1 -со)х - с(и-х) = 0, с(и-х)-р=0. Возмутим положение равновесия, в котором р=ро, и=и0, х=Хо, со=Юо=ю(хо), увеличив значение растягивающего усилия на Др. Применяя аналогичную итерационную процедуру, получаем

_ Р» -е, л - Р1[с + М1~ю(хп))] _ Х«+1 = Ц1-(о(х„)) = и"+1 " сМ1-со(хп))

где р, =р0 + Др.

Исследуем сходимость процесса, опираясь на результаты предыдущего пункта. Имеем

_ с!^ _ р1 , Ь,(х)~ <1х ~31(1-<о)х(1"Ц1-<о))-В точке х=хэ с учетом уравнений равновесия

Ар Хрп

Ь^Хо) = (1 + —---)(1 - ТТГ1^)

Ц1-со0)х0 -©о)

и при > 0 в силу малости Ар получаем Ь1(хо)<1, при Хр0<0 величина Ь1(хо)>1.

Далее, учитывая равенства с! Л. р /' с! х = О на каждом итерационном шаге, находим

~7 = - ' , [2Ц1 - ш) - А,р ] •

dx X (1 - со) х

Отсюда, когдаХр >0, функция И) убывающая и итерационный процесс сходится к

искомому решению. Если А,р <0, то функция 111 возрастающая и итерационный

процесс расходится (решения не существует, система разрушается).

4. Пусть теперь после разгрузки первого стержня в нем появляются остаточные деформации и модуль разгрузки равен Ц1-со). То есть разрушение структурных элементов сопровождается пластической деформацией. Тогда ц = А,(1-со)(х-хр), где

хр - остаточное удлинение стержня. Имеем очевидные равенства

ёя = -\рёх,ач = Ц1 - со)(ёх - ёхр) - ,\(х - хр)ёю .

Приравнивая, получаем кинетическое уравнение поврежденности

„ л» ахр ^р(х) ёхр

(х х ) ~ + со (I — ~ ) — 1 ~ г ~ ~ (5)

ах ах А, ах

с начальным условием со(0)=0, и кинетическое уравнение, отражающее процесс

формирования неупругих деформаций,

хрм а®

= " - - " (6)

Общее решение уравнения (5)

Ч(х)

В данном случае при жестком нагружении уравнение равновесия системы имеет

вид

А,(1 - со)(х - хр) - с(и - х) = 0. (8)

Пусть в некотором положении равновесия

х:

х0,со =сй(х0) = ю0,хр =хр(х0) = х0Лр = А,р(х0) = = и0

Возмутим его, задав и|=и0+Аи. Тогда, подставляя в (8) значения 0} = со0,хр - Хц,и = и,, находим

си, + А(1 - <а0)хр ^ —------

1 с + А.(1 - 0) э)

Далее необходимо найти изменение неупругих удлинений. Считая, что на отрезке [хо,х,] значения Хр и со изменяются незначительно, подставим в выражение (6) Ар = А,о, со — со 0, ёсю =0 и получим

и х{" = хд + ёх.Затем, подставляя х = х,,хр=х^ в выражение (7), находим со,.

После этого снова решаем уравнение (8), где уже со = со ,,хр = х^,и = и,, и повторяем всю процедуру. В результате итераций

_ си, + Ц1-ш(х„))хр(хп) __ с + А(1 - со(хп)) "" Описанная процедура схематически изображена на рисунке (б).

Вычислим производную функции £3 , учитывая то, что при определении хр полагаем с1со=0. Получаем

аГ3 А(1-ю)-Ар

dx А.(1-ш) + с

df3

При А.1' > -с производная----< 1 и итерационный процесс сходится. Если же Ар < -с ,

dx

то-> 1, и итерации расходятся. Однако, начиная с некоторого итерационного шага,

dx

обязательно выполняегся условие А1' > -с и последовательные приближения сходятся к искомому решению.

5, В случае мягкого нагруження уравнения равновесия имеют вид А,(1 -- со )(х - хр) - с(и - х) = 0,с(и - х) -- р = 0. Пусть при некотором р0 система находится в равновесии и х=х0, ю=соо, и=и0 Возмутим это положение, увеличив нагрузку на Др (рг=ро+Др). Тогда итерационный процесс определяется формулами

р, А(1 -о(хп))хр(хп)

А.(1 - со(хп))

Uo+,_ сА(1 - co(xn)) +Х(Х»}-Производная функции при тех же предположениях

df4 Ар

—- = 1 ------

dx А(1~со)

Отсюда процесс сходится, когда А1' > 0 , и расходится при Ар < 0.

Примечание 1. Очевидно, что при активном нагружении характеристики разгрузки не влияют на параметры положения равновесия. В работе [4] рассматривалась такая же стержневая система, только без повреждений Были

построены кривые равновесных состояний и(х) и р(х). Расчеты по приведенным выше методикам для того же вида диаграммы q(x), что и в [4], дают совпадающие результаты.

Примечание 2. Вычисления показывают, что разрушение системы при мягком нагружении и динамический переход из одного положения равновесия в другое, когда итерационный процесс начинает расходиться (жесткое нагружение), происходит при ш<1. Это согласуется с выводами работы [5].

Библиографический список

1. Павлов В.А. Основы инженерных расчетов машин на усталость и длительную прочность Л.: Машиностроение, 1988. -252 с.

2. Москвитин В В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. - 328 с.

3. Колмогоров АН., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1989. - 624 с.

4. Стружанов В В., Жижерин C.B. Деформирование и разрушение стержневых систем с разупрочняющимися элементами - Екатеринбург: Институт машиноведения УрО РАН, 1997. - 18 с - Дегх. ВИНИТИ 30.06.97, №2262-В97.

5. Суворова Ю.В. Нелинейные эффекты при деформировании наследственных сред // Механика полимеров - 1977,- №6. - С.976-980.