CC BY
28
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 2(13). C. 12-17. ISSN 2079-6641 DOI: 10.18454/2079-6641-2016-13-2-12-17
УДК 517.946
ОБ ОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ В ТРЁХМЕРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
С.З. Джамалов
Институт математики при Национальном университете Узбекистана, г. Ташкент,
100125, Академгородок, ул. Дурман йули, 29
E-mail: [email protected]
В работе рассматриваются вопросы корректности одной линейной обратной задачи для уравнения Трикоми в трёхмерном пространстве. Для этой задачи методами «г-регуляризации», Галеркина и последовательностью приближений доказаны теоремы существования и единственности решения в определенном классе.
Ключевые слова: Уравнения Трикоми, линейная обратная задача, корректность решения, метод Галеркина, метод «г-регуляризации», метод последовательных приближений
(с) Джамалов С.З., 2016
MSC 65M32
THE LINEAR INVERSE PROBLEM FOR THE EQUATION OF TRIKOMI IN THREE-DIMENSIONAL
SPACE
S.Z. Djamalov
Institute of Мathematics, National University of Uzbekistan, Tashkent, 100125,
Academgorodok, Do'rmon yo'li, 29 str.
E-mail: [email protected]
In the present work the problems of correctness of a linear inverse problem for the Trikomi equation in three-dimensional space are considered. For this problem, the theorems on existence and uniqueness of the solution are proved in certain class by "г-regularization Galerkin's and of successive approximations methods.
Key words: The Trikomi equations, a linear inverse problem, correctness of solution, Ga-lerkin's method, « г-regularization» method, method of successive approximations.
© Djamalov S.Z., 2016
Введение
В процессе исследования нелокальных задач была выявлена тесная взаимосвязь задач с нелокальными краевыми условиями и обратными задачами. К настоящему времени достаточно хорошо изучены обратные задачи для уравнений параболического, эллиптического и гиперболического типов. [1,2,5,8]. Значительно менее изученными являются обратные задачи для уравнений смешанного типа (в частности для уравнения Трикоми). [4,6,7]. Частично восполнить данный пробел мы и попытаемся в рамках этой работы.
Постановка задачи
В области
Q = (-1,1) X (0,T) х (0,£) = Qi х (0,£) = = {(x, t, y); -1 < x < 1, 0 < t < T < +<*>, 0 < y <£< } рассмотрим уравнение Трикоми.
Lw = xwtt — А w + a (x, t) wt + c (x, t) w = у (x, t, y), (1)
где Aw = wxx + wyy оператор Лапласа в плоскости. Предположим, что коэффициенты уравнения (1) достаточно гладкие функции.
Задача 1. (Нелокальная краевая задача.) Найти обобщенное решение уравнения
(1) из пространства С.Л. Соболева, где W 2(Q), 2 < l - целое число, удовлетворяющее нелокальным краевым условиям
7Dfw|t=0 = D u |t=т, (2)
П D£wL=—1 = Dfw|x=1, (3)
w(x, t, 0) = w(x, t ,£) = 0, (4)
д Pw
где p = 0,1, у и n — const = 0, Dpw = ^p, D0w = w.
Отметим, что в работе [3] при определенных условиях на коэффициенты уравнения и правую часть уравнения (1) была доказана корректность решения задачи
(2)-(4) из пространства С.Л.Соболева W2(Q), когда 2 < l - целое число.
В данной работе при дополнительном условии решение уравнения (1) ищется в определенных классах - как само решение, так и правая часть уравнения.
Пусть у (x, t,y) = g (x, t,y) + h (x, t) ■ f (x, t,y) где g (x, t,y) и f (x, t,y) - заданные функции.
Задача 2. (Линейная обратная задача.) Найти функции (w(x,t,y), h(x,t)) удовлетворяющие уравнению (1) в области Q, такие что, функция w (x, t, y) удовлетворяет краевым условиям (2),(3),(4) и дополнительному условию
w(x, t ,£0)= ф (x, t), 0 < £0 <£< (5)
Теорема 1. Пусть выполнены вышеуказанные условия для коэффициентов уравнения (1), кроме того, пусть 2a + Xx > 51 > 0; c(x, 0) = c(x, T); a(x, 0) = a(x, T), Xc — ct > 82 > 0, где X = 2lnY такое, что ye (1,
Пусть далее
(1 + D3)g G Wi(Q), yg(x,0,y)= g(x, T,y),
g(x,t,£o)= go(x,t) G W2(Qi), (1 + D33 )f G W 2(Q), Yf (x, 0, y) = f (x, T,y), '2/
f (x, t Л) = fo(x, t ) G W 2(Ql), I fo(x, t )| > т > 0.
1(ß Ь
Предположим, что заданная функция ф (x, t) g W 2(Q i) является решением сле-
дующей задачи
Lоф = xфtt - фхх + а (х,г) фt + c (x,г) ф = gо(х,г),
rDP ф ^=о = DP ф |,=г, П DXP ф |х=-1 = DXP ф |х=1. однозначная разрешимость, которой изучена в работе [3], и пусть существует
1)
положительное число v такое, что 50 — 6v 1 > > 0, 2р = M■ £ (1 + д|| fs ||íLi(Q ) <
s=0 2(Q
sn
5*, где 50 = min{ 51,52,Я}; M = const (50;n; v), д = —. Тогда функции
<
u(x,t,y) = £ us(x,t) sinMsy,
s=0 1<
h(x,t) = — £ Ms2us(x,t) sinдА
f0 s=0
являются решением линейной обратной задачи (1)-(5) из класса
U = {(u,h)| u g W2(Q);h g W2(Qi);D^ {ux*, utt, u„} g L2(Q),D^u g L2(Q)},
где функции us(x,t); s = 0, 1, 2, 3,... являются решением в области Q1 соответствующих нелинейных, нагруженных задач [2,5].
f<
Lus = L0 us + Ms2 us = gs + у ■ £ ДП um sin Дп4 = Fs (us) (6)
f0 m=0
yDfuslt=0 = Dfus|t=r (7)
П 1 = DXus|x=1 (8)
где
г г 2 Г..........2
fs = 2 J f (x, t, y) sin Msydy, gs = 2 J g(x, t, y) sin Msydy.
Доказательство. Докажем теорему 1 поэтапно. Сначала покажем, что функция и(х,г,у) удовлетворяет дополнительному условию (5), т.е. и(х,г,£0) = ф (х,г). Положим противное. Пусть и(х,г,£0) = V(х,г) = ф(х,г), для функции г(х,г) = у(х,г) — ф(х,г)в области Q1 из (6)-(8) получим
= хг« — гхх + а (х, г )гг + с (х, г) г = 0, (9)
ГОРг|г=о = DPz|t=т, (10)
П Dxp z | —i = DpzU. (11)
Из единственности решения задачи (9)-(11) [3] следует z(x,t) = 0, т.е. v(x,t) = ф(x,t). В дальнейшем при доказательстве теоремы 1 нам понадобятся следующие обозначения и вспомогательные леммы.
Пусть us е W22(Q1), тогда определим пространства Wi(Q1); i = 0,1,2 с нормой
(us)2 = £ (1 + Ms6) l|uslW2'(Q1);i = 0,1,2,
s=0
при i = 0; W20(Q1)= L2(Q1).
Очевидно, что пространства Wi(Q 1) с заданной нормой являются банаховыми [9]. Так как Ql-ограниченная область с кусочно-гладкой границей, то выполняются следующие вложения
W2(Q1) С W1(Q1) С W0(Q1).
Теорема 2. Пусть выполнены все вышеуказанные условия теоремы 1, тогда существует единственное решение задачи (6)-(8) из пространства W2(Q 1).
Доказательство. Сначала докажем разрешимость задачи (6)-(8) методами «£-регуляризации», последовательных приближений и Галеркина [2,3,9] а именно рассмотрим семейство нелинейных, нагруженных уравнений
L „(в) = Рд3 „(в) + L „(в) + „ 2 „(в) =
Leus,e = — ь д13 us,e + L0 us,e + Ms us,e =
gs + f ■ £ Mm uiee 1} sin Mm¿0 = Fs („see— 1}) (12)
f0 m=0
Y-Df-ff .(в)
= Dfug)
t=0
(13)
П = DXuíee) . (14)
x=1
1
где е > 0, 0 = 0,1,2,...; у и п -сояйя = 0, такие, что уе (1,п е [1,
Лемма 1. Пусть выполнены все условия теоремы 2, тогда для решения задачи (12)-(14) справедливы следующие оценки
2
I) i (£<+(Si)2+« * const
2
'I) + (^ * const ОТ-
2
0
Символом const (if) здесь и далее обозначим постоянную, независящую от в.
Доказательство. Применяя методы индукции, Галеркина, априорных оценок, теоремы вложения С.Л. Соболева к тождествам
2(Leui^ - Fs(u(ee-1)),exp(-At - дх)^/о = 0, (15)
(в )
nfr (в) tv (в-1К /-(A t + ДхКd ^"¿Д , .
- 2(Leu(,J - Fs(M(,e )),exp(---) ' )о = 0, (16)
где (■,-)о - обычное скалярное произведение в ¿2(^1), А^ = + оператор Лапласа по переменным ? и х,, д = 1пп, П е [1,
д 2£w ,-(Я t + д x). ^ = eXp(-2-)
д3w , Я 2
ät^ - Я wtt + х wt
после интегрирования получим соответственно первую и вторую оценки. Лемма 1 доказана. □
Введем новую функцию из Ж2(б1) по формуле У0? = и^е — м(®-1),е > 0,5 = 0,1,2,..., О 1,2,3,....
Тогда для нее справедлива следующая лемма.
Лемма 2. Пусть выполнены все условия теоремы 2 и леммы 1. Тогда для функции \ е ^2(Й1) справедливы следующие оценки.
-) * ((£ <+(Ш) _>+<^>2 * (р f-
\ 2 (ö)
IV) i(^tf)0 + (*
Доказательство. Так как для функции е И^^) справедливы оценки
1),11), то, повторяя рассуждения леммы 1, получим утверждение леммы 2. □
Лемма 3. Пусть выполнены все утверждения теоремы 2 и леммы 1 и 2. Тогда
д з^О)
задача (12)-(14) однозначно разрешима в ^2(б1), такое, что е—=г-з— е ^0(21).
д ? 3
Доказательство. Лемму 3 докажем методом сжимающих отображений [9]. Определим в пространстве ^2(^1) оператор.
и(,е = )) = Ри(е
1. Покажем, что оператор Р отображает пространства ^2(^1) в себя.
Пусть |^ | е ^2(^1), тогда для решения задачи (12)-( 14), справедливо утверждение леммы 1, т.е. справедлива оценка II). Отсюда следует, что для любых О = 1,2,3...получим 1е ^2(Й1). Таким образом Р : 1) ^ Ж2(^1)
2. Покажем, что Р-сжимающий оператор.
Пусть |и^},{^ | е ^2(^1). Рассмотрим новую функцию У0? = — 1), для нее справедливо утверждение леммы 2, т.е. справедлива оценка 1У),т.е.
2 / Р \ (О)
Таким образом Р-сжимающий оператор, по известному принципу сжимающих отображений [9], задача (12)-( 14) имеет единственное решение, принадлежащее про-
д з«??
странству Ж2(б1), такое, что е ——^ е ^0(21) при е > 0. □
д ? 3
Теперь докажем теорему 2.
Пусть {«s,e }е W2(Qi) при фиксированном е> 0 есть единственное решение задачи (12)-(14). Тогда при е> 0 для любого s = 0,1,2,3... справедливо неравенство IV). По теореме о слабой компактности [9,10], из ограниченной последовательности {us,e} можно извлечь слабо сходящуюся под последовательность функции {us,£j}, такую что us, £j ^ us слабо в W2(Q1). Покажем, что предельная функция «s(x,t) удовлетворяет уравнению (6) почти всюду в W2(Qi). Действительно, так как под последовательность { us,£j} слабо сходится в W2(Q1), а оператор линеен, то при фиксированном s имеем
д 3us е.
L« - Fs = £j 3 + Lo(us,ej - «s). (17)
Переходя к пределу в (17) при £j ^ 0, получим Lus = Fs. При фиксированном s функция «s(x,t) будет единственным решением задачи (6)-(8) из W2(Q1).
Тем самым доказано теорема 2. □
Теперь докажем теорему 1. Так как выполнены все условие теоремы 1,2 используя равенства Парсеваля-Стеклова [9,10] для решения задачи (6)-(8) получим решение задачи (1)-(5) из указанного класса U. □
Список литературы
[1] Аниконов Ю. Е., Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений, Наука, Новосибирск, 1978, 120 с.
[2] Бубнов Б. А., К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических и гиперболических уравнений, Препринты №713, №714, ВЦ.СО АН СССР, Новосибирск, 1987.
[3] Джамалов С. З., "О корректности некоторых нелокальных краевых задач для уравнения смешанного типа первого рода", Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики, Новосибирск, 1989, 112-114.
[4] Джамалов С.З., "Об одной линейной обратной задаче для уравнения смешанного типа второго рода второго порядка в трехмерном пространстве", Узбекский математический журнал, 2014, №4, 29-35.
[5] Кожанов А. И., "Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи", Журн. вычислит. математики и мат. физики, 44:4 (2004), 694-716.
[6] Сабитов К. Б, Сафин Э. М., "Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области", Доклады РАН, 429:4 (2009), 451-454.
[7] Сабитов К. Б., Мартемьянова Н. В., "Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа", Изв. вузов. Математика, 2011, №2, 71-85.
[8] Лаврентьев М. М, Романов В. Г, Васильев В. Г., Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений, Наука, Новосибирск, 1969, 67 с.
[9] Ладыженская О. А., Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973, 407 с.
[10] Треногин В. А., Функциональный анализ, Наука, М., 494 с.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 12.05.2016
