Об одной краевой задаче для трехмерного аналога дифференциального уравнения буссинеск Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

2016, Т. 158, кн. 3 С. 424-433

ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

УДК 517.968

ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО АНАЛОГА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА

Т.К. Юлдашев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева, г. Красноярск, 660037, Россия

Аннотация

Рассмотрены вопросы разрешимости и построения решения нелокальной краевой задачи для трехмерного аналога однородного дифференциального уравнения Буссинеска четвертого порядка. Использован спектральный метод, основанный на разделение переменных. Установлен критерий разрешимости поставленной задачи и доказана соответствующая теорема.

Ключевые слова: уравнение Буссинеска, уравнение четвертого порядка, трехмерная область, интегральное условие, разрешимость

Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, приводит к изучению смешанных, краевых и обратных задач для уравнений в частных производных. Теория смешанных и краевых задач в силу ее прикладной важности в настоящее время является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений.

Изучение многих задач газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков. С точки зрения физических приложений представляют большой интерес и дифференциальные уравнения четвертого порядка (см., например, [1-5]).

В случаях, когда на границе области протекания физического процесса измерения невозможны, в качестве дополнительной информации, достаточной для исследования разрешимости задачи, могут служить нелокальные условия в интегральной форме [6, 7].

Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения в частных производных четвертого порядка рассматривались в работах многих исследователей, в том числе в работах автора [8-10].

В настоящей работе изучается разрешимость нелокальной краевой задачи для трехмерного аналога дифференциального уравнения Буссинеска четвертого порядка. Итак, в трехмерной области О = {(Ь,х,у) | 0 <Ь < в, 0 < х,у < 1} рассматривается дифференциальное уравнение вида

1. Постановка задачи

U tt — (U ttxx + U ttyy ) — (U xx + U yy ) — 0,

где в и I - заданные положительные действительные числа.

Задача. Найти в трехмерной области П функцию

и(г,х,у) е с(П)п С1 (п и {х = 0} и {х = 1} и {у = 0} и {у = 1})П

п С 2(п) п С 2+2+0 (П) п с +2(п),

удовлетворяющую уравнению (1) и следующим условиям:

и(0,х,у) = и(в,х,у), 0 < х,у < I, (2)

в

I и(г,х,у) ¿г = <р(х, у), 0 < х,у < I, (3)

о

и (г, 0,у) = и (г,1,у) = и (г,х, 0) = и (г,х,1) = 0, 0 < г < в, (4)

дг дг дг

где Сг (П) - класс функций, имеющих непрерывные производные ——

в области П; С1+*+°(П) - класс функций, имеющих непрерывную производную

д г+я

дгг ' дхг ' ду' ую производную

* в области П; С 1+г°+3 - класс функций, имеющих непрерывную произ-д г д х

д г+я

водную —--— в области П, г = 1,... ,г о , в = 1,..., в о , г < г о, в < в о -

дг гдуя

натуральные числа; <^(х, у) - заданная достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условиям ^(0,у) = <р(1,у) = <р(х, 0) = <р(х,1) = 0, П = {(г,х,у) | 0 < г < в, 0 < х,у < 1}.

Отметим, что в двумерном случае уравнение (1) имеет псевдогиперболический тип и его называют также уравнением Буссинеска [5].

2. Поиск частных решений

Нетривиальные частные решения уравнения (1) в трехмерной области П будем искать в виде и (г, х, у) = Т (г) V (х, у). Тогда из уравнения (1) получаем

т"(г) V(х, у) - т"(г) Vхх(х, у) - т"(г) vyy(х, у) = т(г) Vxx(x,у) + т(г) vyy(х,у).

Разделив обе части равенства на т(г) V(х, у), получим

т"(г) т"(г) ( Vхх(х,у) + Vуу (х,у) \ = Vхх(х,у) + Vуу (х,у)

т(г) т(г) V V(х,у) V(х,у) ) V(х,у) V(х,у) ■

Полагаем

Vxx (х,у) , Vyy (х,у) = 2 т "(г) т "(г) fVxx(x,У) , Vyy (х,уЛ = 2 + "¡77-Г" = —л , гп/.\--/гп/,\ "777-\--+ "777-Г" = —л ,

V(х,у) V(х,у) ' т(г) (т(г) \ V(х,у) V(х,у)

где л 2 - постоянная разделения, 0 < л.

Отсюда с учетом граничных условий (2) и (4) получаем

VxxAx,y) + Vуу(х,у)+ л V(х,у)=0, 0 <х,у<1, (5)

V(0, у) = V(I, у) = V(х, 0) = V(х, I) = 0, (6)

т"(г) + х2т(г) = 0, 0 <г<в, (7)

т (0) = т (в), (8)

где А2

i + V" ектральная задача (5

Vn,m(x,y)= Xn (x) Ym(y), (9)

i + V2 ■

Спектральная задача (5), (6) имеет решение (см., например, [11, с. 422])

где

V ( ) 12 ■ nn V ( ) I2 • пт

X n(x) = \¡ 1 Sin — x, Ym(y) = \¡ 1 sin —y,

п(п + m)

n, m =1, 2,...; ц ^ .

Общие решения дифференциального уравнения (7) имеют вид

Tn, m(t) a n,m COS A n, mt + Ь n, m sin A n, mt, (10)

í \ V n,m

где a n,m, b n,m - произвольные постоянные, А n,m = W-~2-.

у 1 + V n,m

Для нахождения постоянных an,m и b n,m воспользуемся условием (8). Тогда из (10) получаем

(.) = b sillА n,m в (11)

a n,m(t) b n,m * \ n' (11)

1 - cos А n,m в

Подставим (11) в функции (10)

Tn,m(t) = b n,m I sin А n,mt + --•-7-T. cos А n.rnt) ■ (12)

V 1 - COS А n,m в )

Принимая во внимание (9), решение задачи (1)-(4) в трехмерной области Q будем искать в виде следующего ряда Фурье:

о ^

... , 2 . пп . пт

U(t,x,y) = l un,m(t)srn—x sin—y, (13)

n, m=1

где

l l

2 í Í тт/ , пп . пт u n,m(t) = J U (t, x, y) sin sin—^ydxdy, n, m = 1, 2,... (14)

0 0

Функции (14) удовлетворяют уравнению (7) и условию (8). Действительно, продифференцируем по t равенства (14) два раза, тогда в силу (1)

i i

и t \ 2 f . . . пп . пт

u n,m(t) = J U tt(t,x,y) sin —x sin —y dxdy =

00 i i

2 i i пп пт

= J (U ttxx + U ttyy + и xx + U yy) sin — x sin — y dxdy =

00

i i

2 [[ ,TT Tг \ ■ пп . пт

= J (U ttxx + U xx)sin —x sin —y dxdy+

00

i i

2 f f пп пт

+ J (Uttyy + Uyy) sin — x sin — y dxdy. (15)

2

Интегрируя два раза по частям по x в первом интеграле в правой части (15), затем интегрируя два раза по частям по y во втором интеграле в правой части (15), с учетом условий (4) получаем следующие уравнения:

u"n ,m(t) + Л П,ти n,m(t)=0, (16)

Л 2 = M П,т = n(n + m)

где Л n,m i + 2 , M n,m i ■

Дифференциальные уравнения (16) при Л = Лn¡m совпадают с уравнением (7). Далее, с учетом условия (2) из (14) следует, что

i i

2 f f nn . nm

u n,m(0) = j U(0, x, y) sin x sin —— y dx dy =

0 0

l l

2 i i nn

= j U (e,x,y)sin — x sin — ydxdy = u n,m(P)- (17)

00

Условие (17) совпадав с условием (8), поэтому для задачи (16), (17) аналогично формуле (12) имеем

u n,m (t) = b n,m(sin Л n,mt + ..J^^^h^f^ COs Л щтЬ ) . (18)

V 1 - cos Л n,m в J

Для нахождения постоянных b n m воспользуемся интегральным условием (3) и формулой (14):

в lie

/2 i i i nn

u n¡m (t) dt = j U(t,x,y) dt sin x sin^^ydxdy =

j

0 0 0 0

l i

2 í í nn nm

= j p(x,y)sin — x sin — ydxdy = yn,m. (19)

00

Из (18) и (19) вытекает, что

в в / . Л .

У n,m = u n,m (t) dt = b n,m sin Л n,mt + "-^-- COs Л n,mt)dt =

J J \ 1 - cos Л n,m в )

00

cos Л n,mt + sin Л n,m в sin Л n,mt^ в

Л n,m 1 COs Л n,m в Л n,m /0

_ b n,m f 1 л n sin Л n,m в

Л л n 1 sin Л n,m в \ /ons

1 - cos Л n,mв + ,-г-Ъ . (20)

V 1 - cos Л n,m вJ

1 - СОЗ X п,т в,

Для определения неизвестных коэффициентов Ь п,т будем требовать выполнения условия

д и,т (в) = 1 - СОЗ X п,т в = 0. (21) Пусть справедливо условие (21), тогда в силу (20)

Ь = х п,т (22)

Ь п,т 2 г п,т. (22)

b n,m

Учитывая (22), перепишем (18) в виде

A n,m ( ■ л , . Sin A n,m в л /оо\

u n,m (t) = 0 У n,m sin A n,mt + ----- COS A n^mt) . (23)

2 V 1 " COS An,m в J

Подстановка функций (23) в ряд (13) дает формальное решение задачи (1)—(4) TTU ) 1 ^ \ Лл + , sin A n,m в л Л

U (t,x,y)=- У A n,m У n,m Sin A n,mt + "---"COS A n,mt X

l m 1 V 1 - COS A n,m в J

n, m=l 4 ' '

пп nm X Sin ~x Sin —i—y, (24)

Теперь предположим, что y(x,y) = 0. Тогда y n,m = 0 и из формул (14) и (24) следует, что

i i

Япп nm

U(t, x, y) Sin — x Sin —i— y ax ay = 0, n, m =1, 2,... .

0 0

Отсюда в силу полноты систем собственных функций

2 . пп \ /2 . nm

У lsin~ТХj' \\Тsm — yf

в L 2 [О, /] заключаем, что U(t,x,y) = 0 для всех x, у е [0,/] и t е [0, в] •

3. Существование решения

Рассмотрим случай, когда нарушается условие (21). Пусть Дп,т(в) = 1 — — cos А п<т в = 0 при некоторых значениях в • Это условие эквивалентно равенству

cos А n,m в = 1, (25)

А = V n, m < 1 = п (n + m)

где А n,m — \ -t , о < 1 , V n,m — j •

V 1 + V n,m 1

Уравнение (25) имеет решения

ви = А^, k е N,

А n, m

где N - множество натуральных чисел.

Значения же 0 < в, для которых условие (21) выполняется, называются регулярными. Для регулярных значений в имеет место формула (23). Поэтому при выполнении условия (21) с учетом частных решений (9) и (23) решение задачи (1)-(4) в трехмерной области Q можно представить в виде ряда (24).

Покажем, что при определенных условиях относительно функции y>(x, у) ряд (24) сходится абсолютно и равномерно. При любых n и m для регулярных значений в справедливы оценки

\u n,m (t)| < Cn,m|, \u"n,m (t) | < Cn,m\, (26)

где 0 < C = const.

Действительно, так как для регулярных значений в справедливы соотношения 0 < \ Д Г11т(в) \ = \1 — cos А n,m в\ < 2 и 0 <А n,m < 1 ,на основании формулы (23)

найдем

\u n, m (t) \ <

3

2 C 0

|У»

где Co = |Дn,m (в)\ •

Дифференцируя выражения (27) два раза, получаем

\u"n m (t)| <

3

2 C 0

|У»

Отсюда следует оценка (26), где C -

3

2 C o

Условия А. Пусть функция y(x, y) G C3([0; /] x [0; на сегменте [0; /] имеет кусочно-непрерывные производные четвертого порядка и

y(0, y) = y(/, y) = y(x, 0) = y(x,l) = 0;

У xx(0, y) = У xx(l, y) = У xx(x, 0) = y xx(x, /) = 0;

У yy(0, y) = Уyy(1, y) = У yy(x> 0) = У yy(x> l) = 0-

Пусть выполняются условия А. Тогда путем интегрирования по частям четыре раза по переменной x интеграл в (19)

i i

У n,m = 2 y(x,y) sin ППx sin ^^ydxdy

/

получаем, что

где

oo

y n, m

/

/Д p n,i

/

4

i i

E P П,т < /2 I I [У xxxx(x,y)] 2 dxdy< Ю.

n,m=1 o o

(27)

(28)

Аналогично путем интегрирования по частям четыре раза по переменной у этот интеграл получим

У n, m =

/ p n,

п / m -

где

i i

Y^ P П,т < /2 J I [У yyyy (x,y)}2 dx dy < Ж.

n,m=1 o o

(29)

(30)

Учитывая оценки (26)-(28) и применяя неравенство Коши - Буняковского, для ряда (24) получим [12]

2

U(t,x,y) < - ]Г

Át)

nn Sin —x

Sin-y

l

2C ^ I

<7 / j \Уn,m

<

< Y1 E n-

< Y1

y -

E

<

<

2 Y1

У -

Z^ n -

n, m=1

i i

[y xxxx(x,y)] dx dy < Ж, (31)

oo

-

n n

u

2

p

p

n, m

n, m

где 71 =

2 С (I

I \п/

Аналогично из оценок (26), (29), (30) имеем

и (г,х,у)

<

2т1 I

У —

' * ГП1 -

I I

[руууу(х, у)] ЗхЗу < ж. (32)

о о

Из (31) и (32) следует, что ряд (24) абсолютно и равномерно сходится в трехмерной области О.

Для функции (24) установим непрерывность всех ее производных, входящих в уравнение (1). Функцию (28) формально дифференцируем необходимое число раз

1 (

и «(¿, х, у) = - у А п,т р п,т (вт А П)ШЬ +

и,т=1 ^

в1п А и, т в

1 - СОв А и,т в

СОв А Х

пп пт х вт ~х вт ——у, (33)

1 ^ (

и хх(1-,х,у) = у > ' А и,т р и,т [ и, т=1 ^

в1П Аи,т в , Л

вт А ит1 + ^-Т-Б сов А и,тЧ х

1 - сов Аи,т в )

(пп\ 2 пп пт х ^ып—х вт ——у, (34)

иуу (Ь,х,у) = - 1 ^ А и,т р и,т (вШ А и,т^ + 1 8111 А и'т в сов А и,т Л X

1 \ 1 со8 а и,т в

1

п т 2 пп пт х ^вт—х вт ——у, (35)

4

и ихх(^,х,у) = 1 ^ А ит Р и,т (вт А и,тí I Й1П А и,т в сов А и,т^\ X I ' V 1 - сов А и т в

и, т=1 4 '

( п п \ 2 пп пт

х ^ып—х вт ——у, (36)

ТТ П \ 1 ^ \3 ( ■ х , , в1п А и,т в л Л

и Ыуу (Ь,х,у)=- А и,т Р и, т в1П А и,тЬ +1-ч-д^в А и,тМ х

1 V 1 со8 а и, т Р )

( п т \ 2 пп пт

х ^вт—х вт ——у. (37)

С учетом оценок (26) - (28) из (33) получаем

2 ^ I

ии(Ь,х,у) < у Iй",т(г)

и, т=1

пп вт ~х

вт —— у

у

2С ^ |

— 7 Уу 1 р и,т

и, т=1

<

<

2 71

Г -1-

I А

[рхххх(х, у)] ЗхЗу< ж.

(38)

оо

В силу (26), (29) и (30) из (33) вытекает, что 2 71

U tt(t,x,y)

<

l

у —

n, m=1

l l

if yyyy(x, y)\ dxdy < ж. (39)

0 0

Теперь принимая во внимание (26)—(28), из (34) имеем 2 п 2 —

Uxx(t,x,y) < -J^ П 2 u n,m(t)

n, m=1

пп sin—x

sin-y

l y

<

< Y 2 У n2

n, m=1

f n, m

< Y 2 E П2

n, m=1

V n, m

< Y 2

У -

n4

n, m=1

E

n, m=1

V n, m

<

<

2 Y 2

\

У -

n4

l l

if xxxx(x, y)] dxdy < ж, Y2

2 Cn 2

. (40)

00

Аналогично (40) из (35) следует оценка

Uyy fö?x, У) < Y2

2 п

2 —

< 13

f n

Е

пп sin—x

sin-y

l y

<

< Y 2 E ~

2

n

2 Y 2

<

\

V —

m 4

ll

if yyyy (x,y)] dxdy< ж. (41)

Подобно (38)—(41) для функций (36) и (37) легко показать, что

U ttxx(t,x,y)

<,

Uttyy (t,x,y)

<.

Следовательно, в трехмерной области Q функция U(t, x, y), определенная рядом (24), удовлетворяет всем условиям поставленной задачи.

Таким образом доказано, что справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть выполняются условия А. Тогда задача (1) -(4) разрешима в трехмерной области Q, если выполняется условие (21). Это решение определяется рядом (24). При этом возможно почленное дифференцирование ряда (24) по всем переменным и полученные ряды будут сходиться абсолютно и равномерно.

Литература

1. Турбин М.В. Исследование начально-краевой задачи для модели движения жидкости Гершель-Балкли // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Матем. - 2013. - № 2. -С. 246-257.

2. Benney D.J., Luke J.C. On the interactions of permanent waves of finite amplitude //J. Math. Phys. - 1964. - V. 43, No 1-4. - P. 309-313. - doi: 10.1002/sapm1964431309.

3. Ахтямов А.М., Аюпова А.Р. О решении задачи диагностирования дефектов в виде малой полости в стержне // Журн. Средневолж. матем. о-ва. - 2010. - Т. 12, № 3. -С. 37-42.

3

l

2

m

u

2

V

n, m

l

4. Шабров С.А. Об оценках функции влияния одной математической модели четвертого порядка // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Матем. - 2015. - № 2. - С. 168-179.

5. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977. - 622 с.

6. Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделирование. - 2000. - Т. 12, № 1. - С. 94-103.

7. Пулькина Л.С. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральными условиями 1 рода с ядрами, зависящими от времени // Изв. вузов. Матем. -2012. - № 10. - С. 32-44.

8. Юлдашев Т.К. Об одной обратной задаче для линейного интегро-дифференциаль-ного уравнения Фредгольма в частных производных четвертого порядка // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Матем. - 2015. - № 2. - С. 180-189.

9. Юлдашев Т.К. Обратная задача для нелинейного интегро- дифференциального уравнения Фредгольма четвертого порядка с вырожденным ядром // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2015. - Т. 19, № 4. - С. 736-749.

10. Юлдашев Т.К. Об одном смешанном дифференциальном уравнении четверотого порядка // Изв. ИМИ УдГУ. - 2016. - Т. 47, № 1. - С. 119-128.

11. Положим Г.Н. Уравнения математической физики. - М.: Высш. шк., 1964. - 560 с.

12. Сабитов К.Б. Нелокальная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // Матем. заметки. - 2011. - Т. 89, Вып. 4. - С. 596-602.

Поступила в редакцию 03.06.16

Юлдашев Турсун Камалдинович, кандидат физико-математических наук, доцент

кафедры высшей математики

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решет-нева

пр. им. газеты Красноярский рабочий, д. 31, г. Красноярск, 660037, Россия E-mail: [email protected]

ISSN 1815-6088 (Print)

ISSN 2500-2198 (Online)

UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI

(Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2016, vol. 158, no. 3, pp. 424-433

On the Boundary Value Problem for a Three-Dimensional Analog of the Boussinesq Differential Equation

T.K. Yuldashev

Reshetnev Siberian State Aerospace University, Krasnoyarsk, 660037 Russia E-mail: [email protected]

Received June 3, 2016 Abstract

This paper considers the questions of solvability and construction of the solution of the nonlocal boundary value problem for a three-dimensional analog of the homogeneous fourth-order

Boussinesq differential equation. The spectral method is used based on separation of variables.

The criterion of solvability of the considered problem is found. The solvability of the problem

is proved under this criterion.

Keywords: Boussinesq equation, fourth-order equation, three-dimensional domain, integral condition, solvability

References

1. Turbin M.V. Investigation of initial-boundary value problem for the Herschel-Bulkley mathematical fluid model, Vestn. Voronezh. Gos. Univ., Ser. Fiz. Mat., 2013, no. 2, pp. 246—257. (In Russian)

2. Benney D.J., Luke J.C. On the interactions of permanent waves of finite amplitude. J. Math. Phys., 1964, vol. 43, nos. 1-4, pp. 309-313. doi: 10.1002/sapm1964431309.

3. Akhtyamov A.M., Ayupova A.R. On solving the problem of diagnosing defects in a small cavity in the rod. Zh. Srednevolzh. Mat. O-va., 2010, vol. 12, no. 3, pp. 37-42. (In Russian)

4. Shabrov S.A. About the estimates of the functon of influence of a fourth-order mathematical model. Vestn. Voronezh. Gos. Univ., Ser. Fiz. Mat., 2015, no. 2, pp. 168-179. (In Russian)

5. Whitham G. Linear and Nonlinear Waves. Moscow, Mir, 1977. 622 p. (In Russian)

6. Gordeziani D. G., Avalishvili G. A. Solution of nonlocal problems for one-dimensional oscillations of a medium. Mat. Model., 2000, vol. 12, no. 1, pp. 94-103. (In Russian)

7. Pul'kina L.S. A nonlocal problem for a hyperbolic equation with integral conditions of the 1st kind with time-dependent kernels. Russ. Math., vol. 56, no. 10, pp. 26-37. doi: 10.3103/S1066369X12100039.

8. Yuldashev T.K. An inverse problem for linear Fredholm partial integro-differential equation of fourth order. Vestn. Voronezh. Gos. Univ., Ser. Fiz. Mat., 2015, no. 2, pp. 180-189. (In Russian)

9. Yuldashev T.K. An inverse problem for a nonlinear Fredholm integro-differential equation of fourth order with degenerate kernel. Vestn. Samar. Gos. Tekh. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2015, vol. 19, no. 4, pp. 736-749. (In Russian)

10. Yuldashev T.K. On a mixed type fourth-order differential equation. Izv. IMI UdGU, 2016, vol. 47, no. 1, pp. 119-128. (In Russian)

11. Polozhii G.N. Equations of Mathematical Physics. Moscow, Vyssh. Shk., 1964. 560 p. (In Russian)

12. Sabitov K.B. Nonlocal problem for a parabolic-hyperbolic equation in a rectangular domain. Math. Notes, 2011, vol. 89, no. 3, pp. 562-567. doi: 10.1134/S0001434611030278.

I Для цитирования: Юлдашев Т.К. Об одной краевой задаче для трехмерного ана-( лога дифференциального уравнения Буссинеска // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. \ Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 3. - С. 424-433.

For citation: Yuldashev T.K. On a boundary value problem for a three dimensional / analog of the Boussinesq type differential equation. Uchenye Zapiski Kazanskogo \ Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 3, pp. 424-433. (In Russian)