CC BY
47
Естественные науки
УДК 514.76
ОБ ОДНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ р-СЕМЕЙСТВА т-ПЛОСКОСТЕЙ В n-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е.Т. Ивлев, В.К. Барышева, Е.А. Молдованова
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Изучаются частные классы семейств линейных подпространств в многомерном евклидовом пространстве, связанные со специальным видом отображений некоторых полей инвариантных двумерных площадок.
1. Аналитический аппарат
Все функции, встречающиеся в данной статье, предполагаются аналитическими, а рассмотрения носят локальный характер.
Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1-5].
Рассматривается «-мерное евклидово пространство Е«, отнесённое к подвижному ортонор-мальному реперу Я={А,-}, (/',£=1,«) с деривационными формулами и структурными уравнениями:
dA = ю 'ei, dei = mjeJ, Dm' = mk лю[, Dm* =Ю лю*.
(1.1)
Здесь 1-формы mj удовлетворяют соотношениям
юJ +mj = 0,
(1.2)
вытекающим из условий ортонормальности репера R:
iu = j
пространства Е« с базовыми формами ю^=-ю! (а,р,у=1,ш; адт=т+1,«), удовлетворяющими структурным уравнениям [4, (1.7)]. В расслоенном пространстве ЯрА, где число N определяется по формуле [4, (1.5)], как и в [1, п. 1.4)], задаётся сечение: Б(и")еИр^1те <<А. В результате получается секущая поверхность -р-мерное многообразие т-плоскостей (1.4) в Е« [4, замечание 1.3]. Эта секущая поверхность определяется системой дифференциальных уравнений [4, (1.8)]:
юа = Ааава ,юаа = А1ава =-юаа = -А\ а., b, c = 1, p,
(1.5)
Здесь символом (-) обозначается скалярное произведение векторов - и - пространства Е«.
Как указано в [4, п. 1.4], с евклидовым пространством Е« ассоциируется (р+А)-мерное расслоенное пространство ЯрД=(Мр,<У с базой Шр и слоями <2а. Здесь Ир - р-мерное дифференци-руемое_многообразие с базовыми формами в" (а,Ь,е=1,р), удовлетворяющими структурным уравнениям [4, (1.1)]. Каждый слой, отвечающий точке Б(и")еМр, представляет собой грассманово многообразие всех т-плоскостей
т=(А, е, ет) (1.4)
где величины Ааа и А"аа=—Асаа удовлетворяют дифференциальным уравнениям [4, (1.9)]. Как и в [4] предполагается, что числа р, т и « удовлетворяют неравенствам [4, (1.11)]:
1 < р < N. (1.6)
2. Двумерные площадки в линейных подпространствах 1т, Р«-т и 1р
2.1. В статье [4] показано, что каждой точке Б(и") базы Шр в соответствующей т-плоскости 1те8рт отвечает в общем случае одна точка 01 (первый центр), координаты с" которой определяются системой линейных уравнений [4, (3.6)], где величины Аа и Ав определяются по формулам [4, (2.1)]. Поэтому всегда можно провести такую канонизацию ортонормального репера Я, при которой точка Ае 1т окажется первым центром 01. Однако в данной статье такую канонизацию репера Я проводить не будем, будем предполагать точку Ае 1т, отвечающую точке Б(и")еИр, заданной. Тогда кроме дифференциальных уравнений (1.5) на базе Ир будут выполняться дифференциальные уравнения
та =Лава
(2.1)
где в силу (1.1) величины Лаа удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
(2.2)
+ Лвш;- Л :Ъ = лу.
лв =1 ла лв лл л = 2 *(Аав)л '
(2.4)
П = {Лв}: Рп_т — Р„_
(2.5)
базе Мр:
лв] ф о.
(2.6)
где
Лр = 1 Л" Лр а аЪ 2 (а РЬ ">'
(2.8)
л = ла в = лг ла
Л аЪ~ Л ааЬ , в аЪ ~ Ла Л
(2.9)
причём компоненты тензоров ЛаЬ и ВаЬ удовлетворяют дифференциальным уравнениям [4, (2.2)] и ура-
внениям:
ёв. - в еес - в ес = в. е
аЪ сЪ а ас а аЪс
(2.10)
Поскольку теперь точка Ле /т, отвечающая точке Б(ыа)еМр, задана, то точке В(иа) можно с учётом (1.4), (1.3) и (1.1) сопоставить (и-т)-плоскость
Р„-т = (Л, ёт+1,..., ё„), (2.3)
ортогональную т-плоскости /т. Поэтому с этой (и-т)-плоскостью Р-т можно связать величины, аналогичные (2.2). В частности, на базе Мр можно рассмотреть с учётом (2.1) и (1.5) величины
которые в силу (2.2) и [4, (2.3-2.5)] удовлетворяют дифференциальным уравнениям
с1л! + Л*ар - Л?®1 = Лреа.
а а у у а аа
Здесь явный вид величин, стоящих при да, для нас несущественный. Поэтому величины (2.4) образуют смешанный тензор в смысле Г.Ф. Лаптева [2]. Как показано в [4, (2.9), (3.9)], тензор {Л/} определяет линейный оператор П={Лр}:/т—/т, который с учётом [4, (3.10)] в общем случае является невырожденным на базе М. Аналогично показывается, что величины (2.4) определяют линейный оператор
Здесь явный вид величин ВаЬс для нас несущественный.
Из (2.9) и [4, (3.7)] с учётом [4, (2.1)] и (2.10) следует, что каждой точке В(иа)еМр отвечает цен-троаффинное преобразование пространства Ьр порождаемое гиперконусами Кр-1 и К'-1:
р = В}, вЪ = ВсЛсЪ, ёвЪа + всавЪс - вЪ еа = вЪ„ ес .(2.11)
Здесь явный вид величин Вьас для нас несущественный.
2.3. Отмеченные в данном пункте 2 центроаф-финные преобразования П:/т—>/т, П:Рп-т—Рп-т, Р:Ьр—Ьр, отвечающие точке В(и,)еМр дают возможность определить двумерные площадки /2с/т, Рг^Рп-т и 1\с1р.
В дальнейшем будет использована следующая система индексов:
а, в, у, о = 1, т; а, Р, у, о = т +1, п; а, Ъ, с, е = 1, р; а1, Р1, у1, о1 = 1,2;
а2, в2, у2, о2 = 3, т; а1, у 1, о1 = т +1, т + 2;
(2.12)
являющийся в общем случае невырожденным на
а2, Р2,у 2, о 2 = т + 3, п;а1, Ъ1, с1, е1 = 1, 2;
а2, Ъ2, с2,е2 = 3, р.
Каждой точке В(и)еМр сопоставим нижеследующие двумерные плоскости, определённые соответствующими линейными уравнениями:
11 с 1т « X а2 = gа2Ха-, X « = 0;
Заметим с учётом (2.5) и [4, (3.10)], что линейные операторы П и П можно рассматривать в каждой точке В(и)еМр как невырожденные в силу (2.6) и [4, (3.10)] центроаффинные преобразования соответствующих линейных подпространств.
2.2. В [4] показано, что каждому направлению [4, (3.2)] в Ьр отвечает симметрический линейный оператор [4, (3.6)]:
що={Лвл^Ъ}: т—т, (2.7)
/22 с Рп-т « х а2 = g£хаха = 0; Ь"2 с Ьр » Г2 = ИааЧаV
(2.13)
Здесь величины gа, g^ и удовлетворяют дифференциальным уравн1 ени1 ям: 1
dg:: + g>в; - g;н: +<2=.
dg? + gвгтвг -g^oэв' =
«1 ° а 1 в2 О/З, с, 1 а, 1 '
г12 еа ■
' а 1а '
(2.14)
+ ие - ке +е::=и % еа.
Из (2.7) с учётом [4, (3.9)] заключаем,_что совокупность всех направлений [4, (3.2)] I=(В ,_)ГеЬр, 1соторым отвечают линейные операторы П и П(?)=П П(?):/т—/т с нулевыми следами, образует в Ьр гиперконусы Кр-1 [4, (3.7)] и Кр_1 второго порядка с вершиной В(и)еЬр:
Кр-1: ЛаЬ1а1Ъ = 0, КР-1: вл^ = 0,
Из [4, (3.9)], (2.5, 2.6 и 2.9) с учётом (2.13) заключаем, что 1) плоскость /2с/т, проходящая через точку Л; 2) плоскость 12сР„-т, проходящая через точку Л; 3) двумерная площадка Х2эВ(ма) в Ьр, соответственно параллельна двумерному направлению, неподвижному 1) при линейном^ операторе П:/т—/т, 2) при линейном операторе П:Р„-т—Р„-т, 3) при центроаффинном преобразовании Р:Ьр—Ьр тогда и только тогда, когда величины gа, g| и Н^ удовлетворяют алгебраическим уравнениям, соответственно:
/1 :т а2 = Лв Ов2 Оа 2 + Ла в1 Ов2 - Л а 2 = 0
12 : Фа1 - Лв gа, gP, + Лав2 gP, Л а, = 0
-р2оа^ 6Р1 ' -"ав2о
Ла2 — Л а1 Ла 2в _ /¡Р^" 2 Ла 2Яв1-
Ла - Ла2, Ла/Рг - Ла. °Р2 Л Р2°а 1;
/2 \а£2 - Лвgр2gв + лЫgв2 - Ла~2 = 0
2 Р2° щй Р1 счРг «1
Л™2 = Л"' Л "2 Р1 = ЛР'да2 - Л а2§?1;
а1 а2' а1р 2 а1 р2 р2 а1 7
(2.15)
(2.16)
Т* -Wa2 = Rblhb2 ha2 + Ff2 b lhb2 - Ba 2 - 0
-)a2bl щ b2
(2.17)
Замечание 2.1. Каждая из систем неоднородных алгебраических уравнений (2.15, 2.16 и 2.17) имеет в общем случае конечное число решений относительно gа, g% и к^ в силу геометрического выбора соответствующих плоскостей /1с/т, ¡2сР„_т и Ь"2сЬр. Этот результат также вытекает из того, что в общем случае на базе Мр каждый из нижеследующих определителей, как можно показать, не равен нулю:
1) Б = <1ел[л:в ]. (2.18)
Здесь пара (в) указывает на номер строки, а па-
ра ( 2) - на номер столбца.
2)
D = det
A~2ß
а- ß2
(2.19)
Здесь пара (|) указывает на номер строки, а пара (?>) - на номер столбца.
3) L = det [].
(2.20)
Здесь пара (Ь) указывает на номер строки, а пара (®) - на номер столбца.
Неравенство нулю на базе Ир каждого из определителей (2.18-2.20) в общем случае обеспечивает алгебраическую независимость уравнений (2.15-2.17), что и приводит к конечному числу решений относительно £ £|и й\
Замечание 2.2. Из (2.13) замечаем, что I- = (Л, ё-\ ё"2*) с С /22 = (А, £+-, ¡Г+2) с Рпт, (2.21)
где в_ - , + 2еа- + 2.
(2.22)
Из (2.21) и (2.22) с учётом (1.3) следует, что каждой точке В(и) е Ир отвечают линейные подпространства
1т_2 = (Л, ё) 1А, ¡т_2 и I- = I, (2.23)
Рп-т-2 = (Л, ет+Ъ,---,Вп ) 1 12> Рп -т - 2 и 12 = Рп-т ,
^ а 2 е<а 2 + gа, еа
- е - + g е -
п - ' п _ п
где
(2.24)
3. Отображения /(г):/1^/22 и/(г):/^ 2 в направлении ХеЦ
3.1. Определение и геометрический смысл отображений
ло и т
Каждой точке В(иа)еИр сопоставим точки Xе /\с/т и Х2е %сРп_т с радиус-векторами
X, = Л + ха-ё", х2 = Л + х*'ё . (3.1)
- а- у 2 а-
Из (3.1) с учётом (2.21), (2.22), (2.1), [4, (3.1)] и [4, (1.2), (1.4), (1.8)] получаем
X = {■■■)аё + (-Гё~г + (ОТ + ха'0:;а)Гё,
dX2 - (-Тё;+ (■■■)а2С + G + Xa- G2,) fdea.
(3.2)
Здесь символ (...) означает несущественные выражения, а величины, стоящие в круглых скобках при векторах и -*, определяются по формулам:
ОТ = ЛТ + ¿У Л:2, оа = Ла - + Ла 2, о:1=+Л: + g::+ Л: <2g:;-2, (3.3)
О? = Л? + ¿а -Л^2 + g £2 ла~- + л ~
Ю - П ГУ - Л а 2 ГУ - п ГЧ - ГЧ ~.П
у « 2 ga -а 2<а^~>а - ^а 2
и в силу (1.5), (2.2) и (2.14) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
dGT + G^e -Ф0ba = G^eb, dGa + Gbae -G19b = Gbdb, dGla+G&e - Gfx\ - g:9=G;ab 9b,
dG* + Ge ав - Ge а>Ъ - Gl 9" = G: 9b.
aiü а\а P\ ß а\ аф а а \ob
Здесь явный вид величин, стоящих при 96, для нас несущественный.
Из (3.2) замечаем, что каждому направлению teLp, касательному к кривой k(t) на базе Mp, проходящей через точку B(W) е Mp, отвечают точки Y1 е /2 и Г2е/22 с радиус-векторами
Y - A + ya-s*, Y2 - A + ,
- -У 2 S а - '
(3.4)
где
а i «i , а, а-\ \ ,a а, srict i , а i /-га, \ ,a /о c\
У = (Ga' + X 1 Gala )t , У 1 = ^ 1 + X 1 G¿ )t . (3.5)
Таким образом, каждому направлению teLp в точке B(ua)eMp отвечают линейные отображения
f (t): /2 ^ /22 « f (t)Xх = Уг, f(t): /22 ^ /2 « ?(t)X2 = Y, (3.6)
(t - фиксировано).
Каждое из этих отображений определяется соответствующими функциями (3.5) (при фиксированных Г) и в силу (3.2), (2.22), [4, (3.2), (3.13)], (2.3, 3.4 и 1.5) геометрически характеризуется следующим образом
{T (X,)t (t) и /т и р№2} п /2 = y2, {T(X2)t(t) и рп-т и с2} п /2 = Y,.
Здесь из рассмотрения исключается случай, когда точки X,e/m и X2eP„_m, отвечающие точке B(ua)sMp, являются фокусами в смысле [5] линейных подпространств /т и Pn_m вдоль кривой k(t) на базе Ир расслоения ЛрД.
3.2. Отображения f(f)^fa(f) и/(í)f)
Каждое из отображений (3.6), отвечающих точке B(ua)sMp, при фиксированных ta определяется соответствующими двумя функциями двух аргументов.
_ Определение 3.1. Отображение f(t):/2^/22 f (t):/2^/2), отвечающее точке B(ua)eM, называется отображением fa(i) (f(t)), т.е. f(t)f t) (f(t)^m
2
(/ - фиксировано), если соответствующие две функции двух аргументов, его определяющие, удовлетворяют условиям Коши-Римана [6. С. 43-44]:
Ôym+1 _ dy dym dx1 _ dx2 ' dy1 _ dy2
dym
dx1
dy2 _
dx2 dy1
dxm
3xm+2 ' 5xm+1
dx"
(3.7)
Из (3.7) и (3.5) с учётом (3.3), (1.5) и (1.2) вытекает
Утверждение 3.1. Отображение /(¡):/2^/2, отвечающее точке В(и°)еМр, будет отображением /°(г), т.е. /(/)^/а(/), тогда и только тогда, когда
f (t ) ^ fa(t ) «
Иг1 - G2m;2)ta _ 0,
« -
(g:+1+Gm+2)ta _ о,
fG+1,a -Gm+2,aГ _ 0,
l(Gm+2,a + Gm+1,aУ _ 0.
«
(3.8)
(при фиксированных 1°).
Теорема 3.1. Каждой паре плоскостей /2с/т и /22сР„_т, отвечающих точке В(и°)еМр, в центроаф-финном пространстве Ьр в общем случае соответствует (р-2)-мерное подпространство
Р-2
_ {t е Lp | f (t ) ^ fa (t ): 11 ^ 122} эВ.
(3.9)
Доказательство. Будем предполагать, что на базе Мр
Rang
G m+1 s~in
la - G2,
Gm+1 , /-i»
2a + G,,
_ 2 (a - номер столбцов). (3.10)
Р-2
: ta1 _ ha1ta2, a2
(3.11)
где Н^ удовлетворяют дифференциальным уравне-
ниям:2
¿кг+нв - н°в}г =н:°в°.
Из (3.11, 2.13, 2.9, 2.23 и 2.24) следует, что плоскость Х**сХр и (р-2)-плоскость Г^2сХр полярно сопряжены относительно гиперконуса тогда и только тогда, когда
42Ж2 + А«Л + н;+= о. (3.12)
Если величины Н° с учётом (3.11) и (3.10) определить из системы (3.8), то из системы (3.12) в общем случае алгебраически независимых 2(р-2) уравнений можно определить величины Н: в каждой точке В(и)еМр, с которыми в силу (2.13) ассоциируется плоскость Ц^ЬГ Таким образом, с каждой парой плоскостей ¿1^4 и отвечающих точке В(и)еМр, ассоциируется в Ьр двумерная плоскость ХЦсХр, полярно сопряжённая (р-2)-плоскости Г^2сХр относительно гиперконуса
3.3. Случай п=р+4
Теорема 3.2. В общем случае при выполнении условий
п=р+4, 1<р<(т+1)(р+4-т) (3.13) в каждой точке В(и°)еМр существует конечное число плоскостей ¿2е/т и /\<^Рп-т таких, что
/() ^ /а(): /2 ^ /2, VI е Ьр. (3.14)
Доказательство. Из (3.8) следует, что величины ^ и £|2, общее число которых равно
П = 2(п - 4), (3.15)
определяют плоскости /2^/2, о которых идёт речь в (3.14), удовлетворяют с учётом (3.3) следующей системе неоднородных алгебраических уравнений:
С' - ^ О +
+А£ с1 - АГЛа + А4+1 - А4+2 = 0, (3.16)
сд ga gm:2+g? с1)+a
a 2 g 2 +
+ А4+ - < = 0, (: = 1, р).
Заметим, что система (3.16) состоит из 2р алгебраических уравнений и содержит п*=2(п-4) неизвестных и Д2—,^2. В случае же п=р+4 эта система обладает одинаковым числом 2р уравнений и п неизвестных. Можно показать, что ранг якобиевой матрицы
Поэтому система (3.8) состоит из двух линейных однородных уравнений с р неизвестными и, следовательно, определяет в Ьр линейное подпространство (3.9).
Замечание 3.1. Пусть в каждой точке В(и°)еМр линейное подпространство (3.9) задаётся уравнениями:
dga о ax
9Va
3g-1
a 2
9Wa
<2 дg¡
при п=2р в общем случае на базе Мр равен 2р. Это означает, что система (3.16) состоит в общем случае из 2р алгебраически независимых уравнений. Поэтому она допускает в общем случае конечное число решений относительно и £|2=-£|2, что в силу (2.17) и (1.6) и в соответствии с (3.13) и доказывает настоящую теорему.
3.4. Случай п>р+4
Теорема 3.3. В общем случае при выполнении неравенств
и>р+4, 1<p<(m+1)(w-m)
(3.17)
в каждой точке В(и°)еМр существует бесчисленное множество плоскостей /2е/т и /\<^Рп-т таких, что
/() ^ /а(?): /2 ^ /22, Vt е Ьр.
Доказательство данной теоремы вытекает из того, что в случае (3.17) с учётом (3.15) система (3.16) содержит неизвестных больше, чем уравнений, входящих в эту систему.
3.5. Случай п<р+4
В предыдущих пунктах было показано существование в каждой точке В(и°)еМр в общем случае при
п>р+4 конечного или бесконечного числа пар плоскостей Цс" и В,^Рп-т типа (3.14). В этом пункте будет показано существование аналогичных пар плоскостей в каждой точке Б(и")<вМр при выполнении неравенств п<р+4, 1<р<(т+1)(п-т). (3.18) Из (3.16) с учётом (3.15) и (3.18) замечаем, что в рассматриваемом случае указанные пары плоскостей Цс/т и /1<^Рп-т определяются системой алгебраических уравнений, у которой число п неизвестных и gí¡2=-g^l меньше числа 2р уравнений. Поэтому в данном случае существование этих пар плоскостей /2 и /2 типа (3.14) может быть обеспечено только в некотором частном случае многообразия _ р-семейства т-плоскостей /т в Еп. Такое многообразие обозначим ¿р".
Имеет место следующая теорема. Теорема 3.4. Многообразие _ многообразие в Еп, у которого в каждой точке Б(М")<еМр при п<р+4 имеется хотя бы одна пара двумерных плоскостей /2е/" и Р2<^Рп-т типа: /(/)^Ш:/2^/2, всегда существует.
Доказательство. Точке Б(и")вМр сопоставим плоскости /1с/т и ¡¡<^Рп-т. Для упрощения дальнейших аналитических выкладок и геометрических рассуждений проведём в точке Б(М")<еМр такую канонизацию ортонормального репера Я, при которой
= 2 = 0, ^ _ = 0, (3.19)
6«2 ' 6 «1 «2
что в силу (2.14) приводит к дифференциальным уравнениям:
~ ~ (3.20)
т a2 = ga lQa 2 = g*2 ва,
a1 °a1a ' ai a1a '
где величины gaa и g® удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
dg а 2 + g " СО а 2 - ga 2 С - ga 2 Qb = ga 2 Qb
u6 aa О a1^J e2 ^Pa a 1 6a a 6a 1abu '
dgi2 + g" С - gi2 С -gi2 el = gi2 вb.
0 a1a 0 a1a "2 P xa a1 °a 1b a °a 1ab
Здесь явный вид величин, стоящих при eb, для нас несущественный. Из (2.21) и (2.22) в силу (3.19) получаем
/2 = (A, e1, ё2), 12 = (A, ёт+1, ёт+2). (3.21)
Пусть плоскости (3.21) удовлетворяют условию (3.14). Тогда из (3.16) в силу (3.19) получаем, что многообразие Sm, о котором идёт речь в настоящей теореме, характеризуется соотношениями, выполняющимися на базе Ир:
AT' - AT = 0, Am2 + 4Г = о, (3.22)
которые в силу (1.5) приводят к дифференциальным уравнениям
а1т+1 -ст+2 = 0, <+2 +<+1 = 0. (3.23)
Предположим, что на базе Mp выполняются с учётом (3.20) и (3.23) дифференциальные уравнения:
----- ----- _ п m+2 т+1 _ п
С -с2 = 0, с +ю2 = 0,
сО a 1 = 0,
a2 '
= 0,
= 0,
С = 0,
Я1
которые определяют многообразие S" - частный случай многообразия Sp". Из (1.1) замечаем, что система (3.24) замкнута относительно операции внешнего дифференцирования# [1]. Это означает существование многообразия Sp", а, следовательно, и многообразия Sp". Теорема 3.4 доказана.
4. Геометрические свойства многообразия Sp
4.1. Из дифференциальных уравнений (1.5) и (3.24) с учётом (2.12) следует, что в случае многообразия S" на базе Mp имеют место соотношения (3.22) и
A°2а = 0, Aaa2 = 0, Aa2a = 0, Ai2 = 0. (4.1)
a1a a1a a 1a aa
Из (2.4, 2.8 и 4.1) получаем
A a1=2 4« b a" , Aa 2=2 4? ^ b ,Aab,
A" = 1 Aa\ A", , A"2 = 1 Aa\ Ai2 Aab, A"2 = A 1 = 0,
a1 2 a1<a lajb) a2 2 a2(a a2b) ' a 1 Pi '
A = A «1 A a1 + A «2 A a A" - 1 Aa 1 Ae1 (4.2)
Aab = ^a^ + , Ai1 = 2 A«-1(«Aa1|b), V '
A" = 1 Aa A^,Aab, A b = A"2 = A^ = 0.
a-2 2 a^a Пa2lb) ab ay
Отсюда следует, что на базе Mp многообразия Sp в общем случае имеют место неравенства
det[A"] = det[A"1] -det[ A"] * 0,
det[Aв] = det[A"1] • det[A""2] * 0, det[ Aab] * 0,
что не противоречит соотношениям [4, (2.1)], (2.6) и [4, (3.10)]. Поэтому многообразие Sp" п]зедставля-ет собой частный случай многообразия S" - p-се-мейства (в общем случае необязательно центроаф-финных) m-плоскостей /т в E„.
4.2. Из (1.4, 2.3, 2.21 и 2.23) с учётом (2.15, 2.16 и 4.2) получаем, что в каждой точке B(W)eMp определены следующие линейные подпространства:
Г4 = /2 U /22 = (A, e1, ¡г, em+1, ё"+2),
= 1-2 U PL-! = (A, ¡3,.
3,-, en),
(3.24)
^ = /т и Рп_т_2 = (А el, -, вт, вт+ 3, -, вп X
^п2_2 = /т_2 и Рп_т = (А, ё3,-, ё, , 1,-, ^п ). (4.3)
Здесь линейные подпространства /2 и /22 являются неподвижными при центроаффинных преобразованиях П:/т^/т и II:Рп-т^Рп-т, соответственно.
Теорема 4.1. В каждой точке Б(иа)вМр многообразия ¿р" в Еп все характеристики (п-2)-плоскостей О'п-2 и 02„_2 вдоль любой кривой £(/) на базе Мр, проходящей через точку Б(и)&Мр, параллельны линейному подпространству Г2_4.
Доказательство. Из (4.__) следует, что точка Ъ<еОп_2 с радиус-вектором 2=_+ха2_а,+х"%,, отвечающая точке Б(м°)еМр, будет текущей точкой (еИО 12)чк{)) _ характеристики (п-2)-плоскости Оп_2 вдоль любой кр_вой к(/) на базе Мр _ тогда и только тогда, когда (^2,_3,...,_т,_т+3,..._п)=0, (в" _ любые). Отсюда с учётом (1.1, 1.5, 2.1, 3.20, 3.24, 2.1 и 4.2) получаем справедливость настоящей теоремы как для (п-2)-плоскости О 'п_2, так и аналогично для Оп2_2.
4.3. Имеет место следующая теорема.
Теорема 4.2. В каждой точке В(иа)вМр многообразия ^ в Е« («>4) перспективные аффинные связности в смысле [3]: С12:Г4^Г„2_4 и С21:Г„2_4^Г4 являются локально плоскими.
Доказательство. В соответствии с [3] связность С12 |С21| отображает Г4(Г„_4|, соседнюю Г4'{Г«_4} (бесконечно близкую первого порядка) в направлении Г„_4{Г4|. Каждая из этих связностей имеет 1-формы связности:
С,2: а"1,®*1,а"1,а*1 = -ю"~1;
21 ' ' а2 ' а2 а2 '
которые в силу (1.1) и (3.24) удовлетворяют следующим структурным уравнениям:
«а - Do)al -о/1 лю^1 л®?1 = 0, Л /¡1
«а1 - Dюa^1 -ющ л®"1 -т^1 л®0!1 = 0,
а1 Р1 '
«в - Dоa -аа лав?1 -а^ ла^ = 0,
«а1 - Dо;:l1 - а* л а;;1 - а* л а^ = 0, «а2 -Dma■2-тр2 люав2-ав лаО1 = 0,
У2 У1
-Dвf ^2-а"2 л®"2 -а''2 лаа2 = 0, «2 [>2
«в - а-аа л®в а лав = 0,
«а - Dоa - а* л а;: - а* л = 0.
Это означает, что 2-формы кручения и кривизны связностей С12 и С21 равны нулю на базе Мр многообразия что и доказывает настоящую теорему.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.
2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды московского математического общества. -М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.
3. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. - С. 7-246.
4. Ивлев Е.Т., Молдованова Е.А. О центрировании семейства линейных подпространств в многомерном евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. -2005. - Т. 308. - № 3. - С. 6-10.
5. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга г // Известия вузов. Сер. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.
6. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. - Томск: Томский государственный университет, 2002. -510 с.
УДК 519.644
К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ ПО ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ (п+1)-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Э.А. Шамсиев
Ташкентский государственный технический университет E-mail: [email protected]
Предлагается способ получения кубатурной формулы (2т-1)-й степени точности для многомерной сферы, когда известна формула аналогичной степени точности для сферы, чья размерность на единицу меньше.
Рассмотрим в «-мерном евклидовом пространстве Я" единичную сферу 5„_1={хеЛ"|х12+х22+...+х„2=1}. степени точности Для произвольного одночлена х^хр.-Х'"
Пусть известна кубатурная формула (2т-1)-й
J *i
xe22...xe'dS--
2 II 2 I I 2 I есливсе pt четны
Г
в1 +Р2 +... + Р„ + n
i = 1,2,3,..., n
0, в противномслучае,
да
где Г(к) = Jtk-le~'dt - гамма-функция Эйлера.
J f(x)dS = (a(i)).
(1)
Исследуем вопрос существования кубатурной формулы аналогичной степени точности для вида
т N .-
| / (х )йБ = XТ ХС/ Ц1 -1] а(г),Л), (2)
где Т и ^ определяются как параметры некоторой весовой квадратурной формулы типа Гаусса для отрезка [-1; 1]:
S
n-1
S
n-1
