CC BY
11
Международный научно-исследовательский журнал ■ № 10 (41) ■ Часть 4 ■ Ноябрь
3. Gutorov Ju.A., Gutorov A.Ju., Voronova E.V. O mehanizme formirovanija ostatochnyh zapasov v terrigennyh kollektorah neftjanyh mestorozhdenij. Ufa, UGNTU, 2009, 330 s.
4. Gabdrahmanova K.F., Gutorov Ju.A., Larin P.A. Teorija verojatnostej i matematicheskaja stati-stika v primerah i zadachah po razrabotke neftjanyh mestorozhdenij (uchebnoe posobie dopushheno UMO RAE po klassicheskomu uni-versitetskomu i tehnicheskomu obrazovaniju). Ufa:, UGNTU,2013, 134 s.
5. Diplomnyj proekt po teme: “Geofizicheskie metody issledovanija gorizontal'nyh skvazhin Fedorovskogo neftegazovogo mestorozhdenija Zapadnoj Sibiri”/ Rossijskij gosudarstvennyj geologorazvedochnyj universitet, Moskva, 2006.
6. Mirzadzhanzace A.H. Matematicheskie teorii jeksperimenta v dobyche nefti i gaza. M. Nedra, 1997, 205 s.
DOI 10.18454/IRJ.2015.41.142 Пучнин Р.В.1, Швец Ю.В.2, Миллер Н.В.3
1 Кандидат технических наук, 2кандидат педагогических наук, 3кандидат педагогических наук, Сибирский государственный университет путей сообщения ОБ ОДНОЙ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ОЦЕНКЕ
Аннотация
3 Л -б
В статье установлена степенная оценка высокого порядка для функции V(х) =—— J es ds, где Г(х) -
гамма-
г (б)
функция Эйлера.
Показано, что для всех действительных х и всех к из интервала ^1;-^4 J справедливо неравенство V4(x)<V(кх).
Кроме того установлено, что основной результат сохраняется при 0 < к <1 для любого положительного х.
Ключевые слова: интегральные неравенства, гамма-функция, степенные оценки, несобственный интеграл, логарифмически выпуклая функция.
Puchnin R.V.1, Shvets Yu.V.2, Miller N.V.3
1PhD in Engineering, 2PhD in Pedagogy, 3PhD in Pedagogy, Siberian State transport University ABOUT ONE INTEGRATED ASSESSMENT
Abstract
3 -6
In article the sedate assessment of a high order for function V (x) = —— J es ds, where Г(х) - Euler’s gamma function is
Г (6x
established.
It is shown that for all valid x and all к from an interval ^1;^4 J fairly an inequality V4(x)<V(кх). Besides it is
established that the main result remains at 0 < k < 1 for any positive x.
Keywords: integrated inequalities, gamma function, sedate estimates, not own integral, logarithmic convex function.
В
Введение
различных, областях математического анализа естественно возникают срезки известный неопределенных
да да
интегралов. Например, Г(p, х) = J sp1 • e~sds - срезка гамма-функции Эйлера Г(p) = J sp1 • e~sds, а
Y да s2
Q(x) = .— J e 2 ds - нижняя срезка плотности стандартного гауссова распределения. Такие функции часто называют
неполными. В статьях [1] - [4] для срезки Г(p, х) установлены различные двусторонние оценки.
В работе [5] изучается важная в теоретических исследованиях и прикладных вопросах функция Q(х). В этой
статье установлено, что при любом а из интервала ^1;V2J для любого действительного х выполняется неравенство:
Q2(x)<Q(ax). (1)
При этом вопрос о возможности расширения границ для параметра а в этой работе не изучался. В статье [6] было доказано, что замкнутый интервал № ] не может быть расширен, т.е. его правая граница не может быть больше
В, а левая меньше единицы. В работе [7] получены аналогичные оценки для любой четной степени функции Q(х).
V (х) =
Цель данной статьи состоит в получении степенной оценки более высокого порядка типа (1) для функции
да 5
^ = f s 6 • e~sds « 5,5663.
6
да л да
— J es"ds , где Г(-) = J s Е1) х 6 о
Г (6)
Основные результаты данной работы сформулированы ниже.
Теорема 1.1. Пусть к - произвольном числе из интервала ^1;^4 J. Тогда для любого действительного справедливо неравенство:
25
о
х
х
Международный научно-исследовательский журнал ■ № 10 (41) ■ Часть 4 ■ Ноябрь
V4(x)<V(kx) . (2)
Полученная степенная оценка может быть использована в статистике при получении точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределений, а также в эконометрике при анализе остатков трендовых моделей с полиномиальной структурой лага.
Кроме того, справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.2. Оценка в теореме 1.1 остается справедливой при 0 < к <1 для любого положительного х.
Доказательство теоремы 1.2
Наложенные ограничения на константу к и х в формулировке теоремы 1.2 позволяют установить справедливость неравенств 0 < кх <x. Кроме того, очевидно, что подынтегральное выражение в V(x) положительно. Поэтому эта
функция является убывающей. Для любого положительного х имеет место оценка V(x)<V(0) = 1. Отсюда:
V (kx)>V (x)>V 4( x)
Теорема 1.2 доказана.
Доказательство основного результата
Доказательство теоремы 1.1 проводятся по схеме, близкой к рассмотренной в работах [5], [7].
При к = 1 оценка (2) вытекает из того, что для любого действительного х справедливо неравенство 0 < V(x) < 1.
Очевидно, что достаточно доказать неравенство (2) для k = 644 , т.к. функция V(x) убывает.
Обозначим:
H(x) = V4(x) - V$4x)
Очевидно, что для функции H (x) выполняются соотношения:
1 1 7
H (0) =------=----<0
16 2 16
lim H (x) = lim (V4 (x) - V(^4x)) = 1 -1 = 0
x^-w x^-w
lim H (x) = lim (V4(x) — V$4x)) = 0 — 0 = 0
x^+w x^-w
Используя формулу дифференцирования несобственного интеграла по параметру, получаем равенства:
V( x) = -
3
- Ф
V$4x) = -
3^4
ц
Из (3), (7), (8) следует, что:
ii'z ч ii/V \ 3 - х6 . 3^4 -4х6
H (x) = -4V (x)--------— е Н---------— е
-Ф
^(6)
3^ е-х‘(е-Ъх‘ - Ч45У3 (х)) = 3^
-Ф
- (6)
е~х -г(х)
Где:
Очевидно, что:
у(х) = е~Ъх - 3(х) .
у(0) = 1 --— >0 8
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
lim у(x) = -^4 <0
Из соотношений (10) - (12) следует, что на интервале [- да;0] функция у(х) возрастает и один раз меняет знак минус на плюс. Отсюда, из равенства (9) получаем, что Н(х) имеет один минимум при х<0. Цель дальнейших вычислений заключается в том, чтобы доказать положительность у(х) при положительных х.
Заметим, что:
ч 3 f ,-6 , 3 г s-6 6s
V(x) = —т 1е ds<-----------------г 1е '
ds = —
- (6
6Д-)
6
2- (-) ■ х5 6
2- (-) ■ х5 6
х
Отсюда:
26
Международный научно-исследовательский журнал ■ № 10 (41) ■ Часть 4 ■ Ноябрь
v 3( х)<-
8Г 3(-) • х5 6
Следовательно:
__ б[д5,,-3х6
у(х) = е-Зх6 -ФФу3(х)>е-3х6------—.---------= е-3х
8Г 3(^) • х15 6
Неравенство (13) показывает, что функция у( х) положительна при:
1
1 -
ф256Г 3(1) • х15 6
х>
90256 • f1)
-6
3х
e
(13)
Осталось оценить функцию у(х) на интервале
0;
$256 • f1)
. Так как функция f (х) = e-x на данном
интервале убывает, а V(х)< — при положительных х, тогда:
у(х) = е-* --— У\х)>е 8
5Г6(-) 64:
я
>0
3^4
Таким образом показано, что Н (х) =-----— е х • у(х) один раз меняет знак с минуса на плюс на всей числовой
Г <6»
оси. Поэтому, при всех действительных х функция Н(х) имеет единственный минимум. Вместе с (4) - (6) это
показывает, что Н (х)<0 при любом х.
Теорема 1.1 доказана.
Литература
1. Н. Alzer. On some inequalities for the incomplete gamma function, Math. Comp. 66 (1997), no 218, 771-778
2. P. Natalini and B. Palumbo. Inequalities for the incomplete gamma function, Math. Inequal. Appl. 3 (2000), no. 1, 69-77
3. F. Qi, Monotonicity results and inequalities for the gamma and incomplete gamma functions, Math. Inequal. Appl. 5 (2002), no. 1, 61-77
4. A. Baricz. A functional inequality for the survival function of the Gamma distribution, J. Inewual. Pure and Appl. Math., 9, 1 (2008), Article 13.
5. Xiao-Li Hu. Two new inequalities for Gaussian and gamma distributions, Journal of mathematical inequalities. Volume 4, Number 4 (2010), 609-613
6. Пекельник H.M., Хаустова О.И., Трефилова И.А. Замечания об одном интегральном неравенстве. X международная научно-практическая конференция: «Научные перспективы XXI века. Достижения и перспективы нового столетия» №3(10) 2015, часть 9, 72 -74
7. Пожидаев А.В., Пекельник Н.М., Хаустова О.И., Трефилова И.А. Об оценке четных степеней срезок некоторых интегралов, Наука и мир Международный научный журнал, №1 (17), 2015, том 1, 29 - 34
References
1. Н. Alzer. On some inequalities for the incomplete gamma function, Math. Comp. 66 (1997), no 218, 771-778
2. P. Natalini and B. Palumbo. Inequalities for the incomplete gamma function, Math. Inequal. Appl. 3 (2000), no. 1, 69-77
3. F. Qi, Monotonicity results and inequalities for the gamma and incomplete gamma functions, Math. Inequal. Appl. 5 (2002), no. 1, 61-77
4. A. Baricz. A functional inequality for the survival function of the Gamma distribution, J. Inewual. Pure and Appl. Math., 9, 1 (2008), Article 13.
5. Xiao-Li Hu. Two new inequalities for Gaussian and gamma distributions, Journal of mathematical inequalities. Volume 4, Number 4 (2010), 609-613
6. Pekelnik H.M., Haustova O. I., Trefilova I.A. Remarks on one integrated inequality. X international scientific and practical conference: "Scientific prospects of HHI of an eyelid. Achievements and prospects of new century" No. 3(10) 2015, part 9, 72-74
7. Pozhidayev A.V., Pekelnik N. M., Haustova O. I., Trefilova I.A. About an assessment of even extents of cuts of some integrals, Science and the world the International scientific magazine, No. 1 (17), 2015, volume 1, 29 - 34
DOI 10.18454/IRJ.2015.41.025
27
