CC BY
25
52 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2005. №5(39).
УДК 539.374
ПОСВЯЩАЕТСЯ 75-ЛЕТИЮ Д.Д. ИВЛЕВА
ОБ ОДНОЙ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНЕЧНОМЕРНОЙ ПОДАЛГЕБРЕ АЛГЕБРЫ СИММЕТРИЙ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
© 2005 Ю.Н.Радаев, В.А. Гудков1
В работе рассматривается одна естественная конечномерная подалгебра алгебры симметрий (алгебры Ли), соответствующей группе симметрий трехмерных уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности. Предполагается, что текучесть описывается критерием Треска и соответствует ребру призмы Треска. Система дифференциальных уравнений в частных производных сформулирована в изостатической координатной сетке. Группа симметрий этой системы вычислена в предшествующей публикации. Построена оптимальная система одномерных подалгебр естественной конечномерной подалгебры указанной алгебры симметрий, насчитывающая один трехпараметрический элемент, 9 двухпараметрических, 49 однопараметрических элементов и 87 индивидуальных элементов.
1. Постановка задачи и основные уравнения
Представляемая работа является прямым продолжением ранее опубликованной статьи [1], в которой были определены непрерывные группы симметрий трехмерных уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности (в предположении, что текучесть описывается критерием Треска и соответствует ребру призмы Треска), сформулированных в изоста-тической системе координат, алгебра симметрий и построена оптимальная система одномерных подалгебр одной конечномерной подалгебры указанной алгебры симметрий.
Уравнения пространственной задачи теории пластичности для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Треска, были получены и проанализированы Д.Д. Ивлевым в 1959 г. Вывод уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности для напряженных состоя-
1 Радаев Юрий Николаевич ([email protected]), Гудков Василий Александрович ([email protected]), кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
ний, соответствующих ребру призмы Треска, в координатной сетке линий главных напряжений приведен в работе [2] (см. также [3]).
Методы группового анализа применительно к системам дифференциальных уравнений в частных производных изложены в классической монографии [4]. Мы будем придерживаться терминологии и обозначений, принятых в этой книге.
Как уже упоминалось, соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Треска, в координатной сетке линий главных напряжений получены в [2, 3]. Эти соотношения являются формально статически определимыми, если граничные условия заданы в напряжениях. Уравнения равновесия, следовательно, могут быть формально рассмотрены независимо от кинематических уравнений. Ребро призмы Треска определяется уравнениями
01 = 02 = 0э ± 2k, (1.1)
где 01, 02, 0э —главные нормальные напряжения, k — предел текучести при сдвиге2. Учитывая условия (1.1), уравнение равновесия divo = 0 можно представить в форме
grado3 + 2kdiv(n <g> n) = 0, (1.2)
где n — единичное векторное поле, имеющее направление главной оси тензора напряжений, соответствующей наибольшему (наименьшему) собственному значению Оэ тензора напряжений. Уравнение (1.2) принадлежит к гиперболическому типу, характеристические направления образуют конус с углом полураствора п/4 и осью, направленной вдоль вектора n (характеристическими являются также направления, ортогональные n).
Воспользуемся свойством расслоенности векторного поля n в зоне пластического течения (n ■ rotn = 0) [3]. Это условие позволяет нам ввести криволинейные координаты (j = 1,2, Э), определяемые по векторному полю n так, что поверхности шэ = const являются слоями поля n. Расслоенное статически допустимое поле напряжений порождает каноническое отображение некоторой области пространства на область пластического течения (см. [3]) Подлежащее определению каноническое преобразование координат имеет форму
xi = f(ш1, ш2, шэ) (i = 1,2, Э), (1.3)
где Xi — пространственные декартовы координаты, wj — канонические изо-
э
статические координаты, причем поверхности ш = const являются слоями поля направлений, соответствующих наибольшему (наименьшему) главному напряжению. Отображающие функции fi должны удовлетворять следующей нелинейной системе уравнений в частных производных:
2Пределы текучести при одноосном растяжении и сдвиге связаны, согласно крите-
рию текучести Треска, соотношением У = 2к.
д/і д/і . д/2 д/2 . д/, д/,
+
+
дш1 дш3 д /2 д /2
+
+
дш1 дш3
д /3 д /3
= 0,
= 0,
дш1 дш3
<9со2 <9со3 <9со2 <9со3 <9со2 <9со3
дЛ д/з_ _ д^д£А дА_ (<№ дА_ _ д^дЬ_\ дЬ_
дш1 дш2 дш1 да>2) дш3 ' ' - - ~
(1.4)
+
дш1 дш2 дш1 дш2/ дш3
дЛд/2 _ дЬ_ дА_\ дь_ =
дш1 д(х>2 дш1 да>2) дш3 ~ '
В [1] была решена задача об отыскании неперерывных групп преобразований, относительно которых система дифференциальных уравнений в частных производных (1.4) будет инвариантной. Такие группы будут являться также группами симметрий этой системы. Напомним, что полная группа симметрий данной системы дифференциальных уравнений — наибольшая группа преобразований, действующая на зависимые и независимые переменные и обладающая свойством переводить решения системы в другие ее решения. В этой же статье указан инфинитезимальный оператор полной группы непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений (1.4). Он зависит от девяти произвольных постоянных и одной произвольной функции Ь = Дш1, ш2). Структура инфинитезимального оператора полной группы непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений (1.4) такова, что допускает одну конечномерную подалгебру алгебры симметрий. В работе [1] мы назвали ее естественной конечномерной подалгеброй алгебры непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений (1.4). Ясно, что естественная конечномерная подалгебра обязана своим появлением лишь формальной схеме анализа определяющих полную группу непрерывных симметрий уравнений.
Целью представляемой работы являются получение более симметричных форм для инфинитезимального оператора полной группы непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений в частных производных (1.4), а также выявление такой конечномерной подалгебры алгебры непрерывных симметрий указанной системы, которая содержала бы ин-финитезимальные операторы всех важнейших однопараметрических групп симметрий системы (1.4).
2. Естественная подалгебра алгебры симметрий пространственных уравнений
Получим, прежде всего, вместо (2.30) из работы [1], более симметричное выражение для инфинитезимального оператора полной группы непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений (1.4). Для этого, начиная с уравнения (2.25) указанной работы, несколько изменим ход рассуждений.
Вместо функции K, введенной согласно (2.25), рассмотрим соотношения
(2.1)
, (3C1 - C2) , , 2
с, =-------------СО +^i(CO , со ),
2 (3C1- C2) 2 , 2
“2 - 2-со2 + ^(со1, со2).
2
Тогда вместо уравнения (2.26) получим
а-Ц + Щ= 0. (2.2)
дсо1 дсо
Соотношения (2.27) заменятся
дЬ(ш\ ш2) . .
* = (2'3)
= _Д(щ'У)
дсо1 у 7
Произвольную постоянную (ср. (2.28)) следует ввести как
С2 = С2- 3С1. (2.5)
В результате инфинитезимальный оператор полной группы непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений (1.4) будет иметь форму (ср. (2.29) статьи [1]):
С2 , дЦш1, ш2) \ д / С2 2 дЦш1, ш2) \ д
- — со + ------;---- --г +-----—со----------:--- ---Г-
<? а) = ГТш + I+ ГТ“ “ !в^+
дд +((ЗС1 + С2)СО3 + Сз)-^ + (С 1Л + Аз/2 - А2/3 + В{)— + (2.6)
дш3 д /1
дд +(_^зЛ + С1/2 + А1/3 + В2)-г-г + (А2/1 - А1/2 + С1/3 + Вз)——.
д /2 д /3
Положим далее
Ь(ш1, ш2) = С1ош2 - С11ш1 + С12ш1ш2 + Ь2(ш1, ш2),
где Ь2 — новая произвольная функция, и подставим в (2.6). В итоге вместо (2.30) получим
3 д д д д 3 д ш1 д ш2 д
^® = с><3“ ^ + +/2ад+/зад> + с2<“ ^J-y^т-y^>+
+Cз + В‘^Г + В1тЬ + ВътЬ + ~ !г1Г[) + л2<л ^ ""
дш3 д/1 д/2 д/з д/2 д/з д/з д/
д д д д 1 д 2 д
+^(/2ад - Л+ с,, ^ + С,2(ш ^ - ш ^)+
дЬ2(ш1, ш2) д дЬ2(ш1, ш2) д
дш2 дш1 дш1 дш2'
(2.7)
Структура инфинитезимального оператора (2.7) полной группы непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений (1.4) такова,
что допускает одну конечномерную подалгебру алгебры симметрий. Мы по-прежнему будем называть ее естественной конечномерной подалгеброй алгебры непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений (1.4).
Введем следующие обозначения:
д д д д (?1 • д) = Зсо3—^ + А-гг +
дш3 д /1 д /2 д /3
fe ■ д) = ш
ш1 д ш2 д
д
дшэ 2 дш1 2 дш2’
fe> ■ д) =
(?б ■ д) =
А
5/2*
_д_
дТз’
, f д f д (?7 • д) - /зт-т- - /гт-тг,
дf2 д f3
(?8 • д) = fi —— - /з ——,
д/s д f1
(S9 • д) = /г-^г - h-^r, д f1 д f2
(2.8)
fern ■ д) = (?11 ■ д) =
д
дсо1 ’ д
дсо2’
1 д 2 д (S12 • д) = со —- - со —.
дш1 дш2
Можно показать, что fo ■ д) линейно независимы. Поэтому можно ввести линейное пространство, представляющее собой линейную оболочку операторов fo ■ д). Двенадцатимерное линейное пространство с базисом из ин-финитезимальных операторов (2.8) наделяется стандартной алгебраической структурой с помощью билинейной операции коммутации операторов (скобка Пуассона операторов). Чтобы доказать, что линейная оболочка операторов (2.8) образует алгебру Ли, необходимо составить таблицу коммутации базисных инфинитезимальных операторов fo ■ д). Таблица коммутации, приведенная ниже, показывает, что инфинитезимальные операторы (2.8) действительно определяют подалгебру алгебры непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений (1.4).
Таблица
Таблица коммутации инфинитезимальных операторов (2.8), определяющих естественную конечномерную подалгебру алгебры непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений (1.4)
($1 ' 9) ($2 • 9) ($3 ' 9) ($4 ' 9) ($5 ' 9) ($6 • 9) ($7 ' 9) ($8 ' 9) ($9 ' 9) ($10 • 9) ($п • 9) ($12 '
($1 9) 0 0 -3($з ■9) “($4 9) “($5 9) -($6 9) 0 0 0 0 0 0
($2 9) 0 0 -($3 9) 0 0 0 0 0 0 1/2($к ■9) 1/2($1 ■9) 0
($3 9) 3($з 9) ($з • 9) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
($4 9) ($4 ' 9) 0 0 0 0 0 0 ($6 • 9) -($5 9) 0 0 0
($5 9) ($5 ' 9) 0 0 0 0 0 -($6 9) 0 ($4 ' 9) 0 0 0
($6 9) ($6 ' 9) 0 0 0 0 0 ($5 • 9) -($4 9) 0
($7 9) 0 0 0 0 ($6 • 9) -($5 9) 0 ($9 • 9) “($8 9) 0 0 0
($8 9) 0 0 0 -($6 9) 0 ($4 • 9) -($9 9) 0 ($7 ' 9) 0 0 0
($9 9) 0 0 0 ($5 • 9) -($4 9) 0 ($8 ' 9) “($7 9) 0 0 0 0
($10 ■д) 0 — 1/2($ю • 9) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ($10 •
($11 ■д) 0 -1/2($п • 9) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -($11
($12 ■д) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -($10 ■9) ($11 • 9) 0
СЛ
-я
Об одной естественной конечномерной подалгебре алгебры симметрий
3. Оптимальная система одномерных подалгебр
Построим однопараметрические группы автоморфизмов рассматриваемой алгебры Ли, порождаемые базисными векторами qj (_/' = 1,12). Для каждого базисного вектора qj (_/' = 1,12) имеем соответствующую группу внутренних автоморфизмов, действующую на постоянные Сх, С2, Сз, Ах, А2, Аз, Вх, В2, Вз, Схо, Схх, Сх2 в разложении общего инфинитезимального оператора (2.7), определяемую системой обыкновенных дифференциальных уравнений [4, о. 189]:
х) С[ =
Ах =
2) С' =
Ах =
3) С' =
Ах =
4) С' =
А =
5) С* =
Ах =
6) с* =
Ах =
7) С* =
Ах =
8) С* =
А =
9) С'х =
А =
0,
0,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
-А3,
С2 = о,
А,г = о,
С2 = о,
А2 = о,
С' = о,
А2 = о,
С2 = о,
А2 = о,
С2 = о,
А2 = о,
С2 = о,
/12 = о,
С2 = о,
4 = A3,
сх, = о,
А 2 = о сх, = о,
й' — 'ХП' Ъ' — г?' о' — г?' о' — г?'
С3 = 3^ В х = Вх^ В2 = В2> ВЪ = B3,
а^З = о, С*о = о, С* х = о, Сх2 = о;
С3 = сз, В; = о, -2 = о, -з = о,
А' = О Г' = --С' С' = --С'
и, 9 10’ '“'11 9 11’
2^хо’
и
211
СХ 2 = °;
с3 = -зсх - с2, вх = о, в2 = о, в3 = о,
= о, С* х = о, С *2 = о;
= -С', В 2 = А3, В 3 = -А'
= о, С* х = о, С х2 = о;
хо
С' 1
/12 = -А
хо) Сх 4 =
хх) Сх
А'х =
х2) С *
4 =
о,
А*
= о, о, А2 = о,
= о, 2 х
о,
= о, о,
А3 = о,
Сз = о,
А3 = о,
сЪЗ = о,
А3 = о,
сЪЗ = о,
аЪЗ = о,
Сз = о, В'
/13, = -А2,
С3 = о, Вх
, А3 = ^
С3 = о, Вх
х, ^3 = 0,
сх = о, съз = о, в
Вх = -^ В2 = -СХ, В3 = ^
= о,
= ^ = о,
= о,
СХ о = = -В3 СХ о =
С* х = о, С' 2 = о;
12
В2 = -^ В3 = -с!,
С' = о С' = о-
хх х2
В2 = -з, вз = --2,
о, с:*х = о, С*2 = 0;
В2 = о, Вз = -х,
о, С хх = о, С* 2 = 0;
Аз 0 с:*о
сЪ2 = о, Сз = о, В А2 = о, /13 = о, С'о сЪ 2 = о, С3 = о, В
= -2, в2 = --х, вз = о,
о, С' х = о, С' 2 = 0;
В2 = о, вз = о,
- ^ схх = 0, в2 = о, вз = о,
А2 = 0,
/13 = 0, С'
1о
С' = 1о= 1 = о,
= -С'
2 2
1 = о, 1= о,
1 = о,
= С'
СХ 2 = 0;
С' = А Г' + С
°11 2°2^°12’
В; = о, вз = о,
СХ 2 =0;
С' = — с' С' = о
^хх И ’ 12
(3.1)
11
12
Здесь дифференцирование (обозначаемое точкой) производится по параметру т. Решая каждую из двенадцати выписанных систем с начальными данными
сх |т=о = ^ С21т=0 = C2, С31т=0 = C3,
В,х1т=0 = Вх, В2|т=0 = В3|т=0 = Вз,
А,х|т=0 = Ах, А2|т=0 = А2, А3|т=0 = Аз,
х0|т=0
= Схо, С'хх|т=о = Схх, С' 2 и = Сх2,
х2|т=0
в результате определим, как действуют на постоянные Сі, С2, Сз, А і, А2, Аз, Ві, В2, В3, С10, Сіі, С12 в разложении общего инфинитезимального оператора (2.7) однопараметрические группы автоморфизмов, соответствующие базисным касательным векторным полям qj (] = і, і2):
1) С1' = С1, С2' = С2, С3' = С3Є3т, Ві = Віет, В2 = В2ет, В3 = В3
А'1 = А1, А2 = А2, А3 = А3, С1'0 = Сі0, С'п =С1 1, С1'2 = С12;
2) С1' = С1, С2' = С2, С3' = С3Єт , В'1 = Вь В2 = В2, В3 = Вз,
А'1 = А1, А2 = А2, А3 = А3, С' 10 = Сі0Є-т/2, С' °11 = Сііе-т/2,
С' 12 = Сі2;
3) С1' = С1, С2' = С2, С3' = С3 - 3тСі - тС2, Ві =В1 , В2 = ^
В3 = В3, А'1 = А1, А2 = А2, А3 = А3, С1'0 = С10, С1'1 = С11,
С' 12 = Сі2;
4) С1' = С1, С' = 2= С2, С' = 3= С3, В'1 = Ві - тСі, В2 = В2 + тАз,
В3 = В3 - ТА2, А'1 =А1, А2 = А2, А3 = Aз, С1'0 = C10,
С' °11 =С1 1 'С 2 = 1С 2;
5) С1' = С1, С' = 2= С2, С' = 3= С3, В'1 = 3 Ат3 - В1 В2 = В2 - тС1,
В3 = В3 + тА і, А'1 =А1, А2 = А2, А3 = Aз, С1'0 = C10,
С' ^11 =С1 1 'С 2 = 1С 2;
6) С1' = С1, С' = 2= С2, С' = 3= С3, В'1 = Ві + тА2, В2 = В2 - тА1,
В3 = В3 - тСі, А'1 =А1, А2 = А2, А3 = Aз, С1'0 = C10,
(3.2)
Сі = Сіі, С'і2 = Сі2;
7) Сі = Сі, С2 = С2, С3 = Сз, В'і = Ві, В'2 = В2 со8(т) + В3 8Іп(т),
В'3 = В3 со8(т) - В2 8Іп(т), А'і = А і, А2 = А2 сов(х) + А3 8Іп(т),
А' = А3 со8(х) - А2 8Іп(х), Сі0 = Сіо, Сі = Сіі, С'і2 = Сі2;
8) Сі = Сі, С2 = С2, С3 = С3, Ві = Ві со8(т) - В3 8Іп(т), В'2 = В2,
В3 = В3 со8(т) + Ві 8Іп(т), А'і = А і со8(т) - А3 8Іп(т),
А2 = А2, А3 = А3со8(т) + Аі8Іп(т), С'0 = Сіо, С'п = Сіі, С'2 = Сі2;
9) Сі = Сі, С2 = С2, С3 = С3, Ві = Ві со8(т) + В2 8Іп(т),
В2 = В2 со8(т) - Ві 8Іп(т), В3 = В3, А'і = А і со8(т) + А2 8Іп(т),
А' = А2со8(т) - Аі 8Іп(т), А' = А3, С'0 = Сш, С'п = Сп, С'2 = Сі2;
10) с' = Сі, С2 = С2, С3 = С3, ві = Ві, В2 = Вг, в'3 = В3,
а;=аь А'=А2, А'=А3, с'ш = Сю + ±тС2 - тСі2, С'п = Сіь
С' 2 = Сі2;
11) с' = Сі, С2 = С2, С3 = С3, ві = Ві, В2 = В2, в'3 = В3,
АІ=АЬ А'=А2, А'=А3, С'ш = Сю, С'п = Сц + ітС2 + тСі2,
С1'2 = С12;
12) с' = Сі, С2 = С2, С3 = С3, ві = Ві, В2 = В2, В3 = В3,
Аі = Аі, А2 = А2, А3 = А3, С'10 = Сі0в\ С'п = Спе-\ С'2 = Сі2.
Построение оптимальной системы одномерных подалгебр естественной конечномерной подалгебры алгебры непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений (1.4) мы осуществим с помощью ’’наивного” подхода, состоящего в том, что ”конечномерная” часть общего инфинитези-
мального оператора (2.7) (точнее коэффициенты Сі, С2, С3, Аі, А2, А3, Ві,
в2, В3, Сю, Сц, С12) подвергается различным преобразованиям из списка (1)—(12) так, чтобы ’’упростить” его настолько, насколько это представляется возможным (в частности, стремясь привести к нулевому значению как можно больше из указанных девяти постоянных). Далее мы выбираем из каждого класса инфинитезимальных операторов, переводящихся друг в друга автоморфизмами (1)—(12), по одному простейшему представителю и формируем оптимальную систему одномерных подалгебр ©1 естественной конечномерной подалгебры алгебры непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений в частных производных (1.4).
При поиске указанных простейших представителей, кроме однопараметрических групп автоморфизмов, будем применять также преобразование, заключающееся в умножении простейшего инфинитезимального оператора на некоторую постоянную (так называемое преобразование умножения).
Рассмотрим, как изменяются коэффициенты С1, С2, С3, А1, А2, А3, В1, в2, В3, С10, Сц, С12 в представлении ’конечномерной” части общего ин-финитезимального оператора (2.7) группы симметрий системы уравнений (1.4) при применении к ним однопараметрических групп автоморфизмов из приведенного выше списка (1)—(12).
Рассмотрим А[ и В[ как компоненты векторов А и В в трехмерном пространстве Х1, Х2, Х3. Тогда автоморфизмы (7), (8), (9) представляют собой повороты их как жесткого целого на различные углы т вокруг осей Х1, Х2, Х3.
Если вектор А ненулевой (т.е. хотя бы одна из его компонент А[ не равна нулю), то такими поворотами можно перевести вектор А в положение, когда он будет коллинеарен оси Х1. Ясно, что тогда А2 = А3 = 0, А1 Ф 0. При этом, если вектор В не равен нулю (т.е. хотя бы одна из его компонент В[ отлична от нуля), то поворотом вокруг оси Х1 вектор В можно преобразовать так, чтобы его проекция на ось Х3 (компонента В3) была бы равна нулю (В3 = 0). Применяя последовательно автоморфизмы
В2С1 В2А1
(5), (6) при значениях т, равных соответственно —------- и —-----можно
С2 + А2 С2 + А\
добиться того, чтобы коэффициент В2 стал нулевым, не изменяя при этом нулевого значения В3.
Если вектор А равен нулю (т.е. А1 = А2 = А3 = 0), то поворотами (7), (8), (9) вектор В заведомо может быть переведен в такое положение, когда он будет коллинеарен оси Х1 , и поэтому снова получаем В2 = В3 = 0.
Таким образом, при любых обстоятельствах можно добиться того, чтобы выполнялись равенства А2 = А3 = 0 и В2 = В3 = 0.
Следует отметить, что если С1 ф 0, то, применяя автоморфизм (4) при В1
т, равном —, удается привести к нулевому значению В\.
С1
Дальнейшие рассуждения удобнее всего разбить на четыре этапа.
I. Будем считать до простейшего представителя (3.14), что выполняется условие С2 ± 2С12 Ф 0. Если С2, С12 выбираются так, что С2 ± 2С12 Ф 0,
то, применяя автоморфизмы (10) и (11) при т, соответственно равном 2 С10 -2 Си
--------- и -----------, можно привести к нулевому значению Сю и Си.
2С12 - С2 2С12 + С2
Если С1, С2 выбираются так, что 3С1 + С2 Ф 0, то, применяя автоморфизм (3) при т, равном -------------, можно привести к нулевому значению
3С1 + С2
С3; применяя затем преобразование умножения, приводим С1 к единице и, таким образом, получаем множество простейших представителей вида:
(51 ■ д) + 01(52 ■ д) + 02(57 ■ д) + 03(512 ■ д). (3.3)
где 01, 02, 03 —произвольные постоянные.
Если С1 = 0, то коэффициент В1 привести к нулевому значению не удается. Если, кроме того, С2 Ф 0 и В1 ф 0, то, применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п 1С2/В11, добиваемся того, чтобы С2 и В1 стали равными по абсолютной величине. В результате получаем простейших представителей вида:
(52 ■ д) ± (54 ■ д) + 01(?7 ■ д) + 02(?12 ■ д). (3.4)
Если С1 = 0 и В1 = 0, то получаем следующих простейших представителей:
(52 ■ д) + 01(57 ■ д) + 02(512 ■ д). (3.5)
Если 3С1 + С2 = 0, то коэффициент С3 сделать нулевым не удается. Если, кроме того, С1 Ф 0, то, применяя автоморфизм (2) при т, равном 1п |Сх/С31, приводим С1 и С3 к значениям, равным по модулю, и, следовательно, получаем множество простейших представителей вида:
(51 ■ д) - 3(52 ■ д) ± (53 ■ д) + 01(57 • д) + 02(512 • д). (3.6)
В случае, когда С1 = 0 и С2 = 0, находим, что С3 и В1 могут не быть
равными нулю. Если при этом С3 Ф 0, В1 Ф 0, А1 Ф 0, то, применяя авто-
морфизм (1) при т, равном 1п |А1 /В11, убеждаемся, что А1 и В1 приводятся к равным по модулю значениям, и, применяя после этого автоморфизм (2) при т, равном 1п А1/С31, приводим к равным абсолютным значениям величины А1 и С3. В итоге получаем простейших представителей
(53 ■ д) ± (54 ■ д) ± (57 ■ д) + 0(512 • д). (3.7)
Здесь 0 — произвольная постоянная.
В случае, когда один из коэффициентов С3, В1 равен нулю, получаем представителей
(53 ■ д) ± (57 ■ д) + 0(512 ■ д), (3.8)
(54 ■ д) ± (57 ■ д) + 0(512 ■ д). (3.9)
В случае, когда А1 равен нулю, применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п 1С12/В11, убеждаемся, что С12 и В1 приводятся к равным по модулю значениям, и, применяя после этого автоморфизм (2) при т, равном 1п 1С12/С31,
приводим к равным абсолютным значениям величины С12 и С3. В результате получаем представителей
(53 ■ д) ± (54 ■ д) ± (512 ■ д). (3.10)
Если два или все три коэффициента из С3, В1, А1 равны нулю, то получаем представителей
(53 ■ д) ± (512 ■ д), (3.11)
(54 ■ д) ± (512 ■ д), (3.12)
(57 ■ д) + 0(512 ■ д), (3.13)
(512 ■ д). (3.14)
II. Если С2, С12 выбираются так, что С2 -2С12 = 0, но С2 + 2С12 Ф 0 (т.е. С2 = 2С12 Ф 0), то коэффициент С10 сделать нулевым не удается. Счита-
- 2С
ем Сю Ф 0. Применяя автоморфизм (11) при т, равном ---------------------, можно
2С12 + С2
привести к нулевому значению Сц.
Если С1 Ф 0 и 3С1 + С2 Ф 0, то, применяя автоморфизмы (4) и (3)
Вх С3
при т, соответственно равном — и ---------------, можно привести к нулевому
С1 3С1 + С2
значению В1 и С3. Так как Сю Ф 0, то, применяя автоморфизм (12) при т, равном 1п |С1/Сю|, убеждаемся, что С1 и Сю приводятся к равным по модулю значениям; применяя затем преобразование умножения, приводим коэффициент С1 к значению, равному единице, и, таким образом, получаем множество простейших представителей вида:
(?1 • д) ± (?10 • д) + 0!((?2 • д) + |(?12 • д)) + 02(?7 • д). (3.15)
Если С1 = 0, то коэффициент В1 привести к нулевому значению не удается. Применяя автоморфизм (12) при т, равном 1п |С2/Сю|, убеждаемся, что С2 и С10 приводятся к равным по модулю значениям. Если В1 Ф 0, то, применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п |Сг/В11, добиваемся того, чтобы С2 и В1 стали равными по абсолютной величине. В результате получаем простейших представителей вида:
(?2 • д) ± (?4 • д) ± (?ю • д) + ^($12 • д) + 0(д7 • д). (3.16)
Если С1 = 0 и В1 = 0, то получаем следующих простейших представителей:
(?2 • д) ± (?ю • д) + ^(?12 • д) + Я(?7 • д). (3.17)
Если 3С1 + С2 = 0, то коэффициент С3 сделать нулевым не удается. Если, кроме того, С1 Ф 0, то, применяя автоморфизмы (2) и (12) при т, равном соответственно 1п |С1 /С31 и 1п |С1 /Сю|, приводим С1, С3 и Сю к значениям, равным по модулю, и, следовательно, получаем множество простейших
представителей вида:
(?1 • д) - 3(^2 • д) ± (?3 • д) ± (?ю • <9) - |(?12 • <9) + Я(?7 • д). (3.18)
III. Если С2, С12 выбираются так, что С2 + 2С12 = 0, но С2 - 2С12 Ф 0 (т.е. С2 = -2С12 Ф 0), то коэффициент Сц сделать нулевым не удается. По-
2С
лагаем, что Сц ф 0. Применяя автоморфизм (10) при т, равном -----------------,
2С12 - С2
можно привести к нулевому значению коэффициент С10.
Если С1 Ф 0 и 3С1 + С2 Ф 0, то, применяя автоморфизмы (4) и (3) при
Вх С3
т, соответственно равном — и -------------, можно привести к нулевому зна-
С1 3С1 + С2
чению В1 и С3. Так как Сц Ф 0, то, применяя автоморфизм (12) при т, равном - 1п |С1 /Сц|, убеждаемся, что С1 и Сц приводятся к равным по модулю значениям; применяя затем преобразование умножения, приводим С1 к единице и, таким образом, получаем множество простейших представителей вида:
(?1 • д) ± (^11 • д) + Я1«?2 • д) - ^(?12 • д)) + Я2(?7 • д). (3.19)
Если С1 = 0, то коэффициент В1 привести к нулевому значению не удается. Кроме того, применяя автоморфизм (12) при т, равном - 1п |С2/Сц|, убеждаемся, что С2 и С11 приводятся к равным по модулю значениям.
Если В1 Ф 0, то, применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п |Сг/В11, добиваемся того, чтобы С2 и В1 стали равными по абсолютной величине. В результате получаем простейших представителей вида:
(?2 • д) ± (?4 • д) ± (?Ц • д) - 1(?12 • д) + Д(?7 • д). (3.20)
Если С1 = 0 и В1 = 0, то получаем следующих простейших представи-
телей:
(?2 • д) ± (?ц • д) - ^12 • д) + Я(?7 • д). (3.21)
Если 3С1+С2 = 0, то коэффициент С3 сделать нулевым не удается. Если, кроме того, С1 Ф 0, то, применяя автоморфизмы (2) и (12) при т, равном соответственно 1п |С1 /С31 и - 1п |С1/Сц |, приводим С1, С3 и Сц к значениям, равным по модулю, и, следовательно, получаем множество простейших представителей вида:
(?1 • д) - 3(?2 • д) ± (?3 • д) ± (?ц • д) + |(?12 • д) + Я(?7 • д). (3.22)
IV. В случае, когда С2 = 0 и С12 = 0, находим, что С10 и Сц могут не
быть равными нулю. Если С10 Ф 0 и Сц Ф 0, то, применяя автоморфизм
(12) при т, равном — 1п|Сц/Сю| , убеждаемся, что Сю и Сц приводятся к равным по модулю значениям.
Если С1 Ф 0, то, применяя автоморфизмы (4) и (3) при т, соответственно
В1 С3 „
равном — и -—, удается привести к нулевому значению В\ и С3. Деи-С1 3С1
ствуя автоморфизмом (2) при т, равном -21п |С1/Сю|, убеждаемся, что С1 и С10 приводятся к равным по модулю значениям; применяя затем преобразование умножения, приводим С1 к единице и, таким образом, получаем множество простейших представителей вида:
(51 ■ д) + 0(57 ■ д) ± (510 ■ д) ± (511 ■ д). (3.23)
Далее будем считать, что С1 = 0. Если при этом С3 Ф 0, В1 Ф 0, А1 Ф 0,
то, применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п |А1 /В11, убеждаемся, что А1 и В1 приводятся к равным по модулю значениям, и, применяя после этого автоморфизм (2) при т, равном 1п |А1 /С31, приводим к равным абсолютным значениям величины А1 и С3. В итоге получаем простейшего представителя
(53 ■ д) ± (54 ■ д) ± (57 ■ д) + 0((5ш • д) ± (511 • д)). (3.24)
В случае, когда В1 = 0, применяя автоморфизм (2) при т, равном
-21п |А1 /Сю|, убеждаемся, что А1 и С10 приводятся к равным по модулю значениям, и, применяя после этого автоморфизм (1) при т, равном 1п |А1 /С31/3, приводим к равным абсолютным значениям величины А1 и С3. В итоге получаем простейшего представителя
(53 ■ д) ± (57 ■ д) ± (510 ■ д) ± (511 ■ д). (3.25)
В случае, когда С3 = 0, применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п |А1 /В11, убеждаемся, что А1 и В1 приводятся к равным по модулю значениям, и, применяя после этого автоморфизм (2) при т, равном -21п |А1 /Сю|, приводим к равным абсолютным значениям величины А1 и С10. В итоге получаем простейшего представителя
(54 ■ д) ± (57 ■ д) ± (510 ■ д) ± (511 ■ д). (3.26)
В случае, когда А1 = 0, применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п 11 /В11/3, приравниваем В1 = 1, и, применяя после этого автоморфизм (2) при т, равном 1п 11 /С31, приравниваем С3 = 1. (Применяя автоморфизмы (1) и (2) при
т, связанных равенством т(2) = -2т(1), получим преобразование, по своему действию совпадающее с преобразованием умножения, т.е. преобразования
(1), (2) и преобразование умножения не являются независимыми). В итоге получаем простейшего представителя
(53 ■ д) ± (54 ■ д) + 0((510 ■ д) ± (511 ■ д)). (3.27)
Если два или все три коэффициента из С3, В1, А1 равны нулю, то получаем представителей
(53 ■ д) ± (510 ■ д) ± (511 ■ д), (3.28)
(54 ■ д) ± (510 ■ д) ± (511 ■ д), (3.29)
(57 ■ д) ± (510 ■ д) ± (511 ■ д), (3.30)
(510 ■ д) ± (511 ■ д). (3.31)
Если С11 = 0, то при С1 Ф 0 получаем выражение, совпадающее с (3.15) при 01 = 0. В случае С1 = 0, действуя далее так же, как и при получении простейших представителей (3.24)-(3.31), получим простейших представителей
(53 ■ д) ± (54 ■ д) ± (57 ■ д) ± (510 • д), (3.32)
(53 ■ д) ± (57 ■ д) ± (510 ■ д), (3.33)
(54 ■ д) ± (57 ■ д) ± (510 ■ д), (3.34)
(53 ■ д) ± (54 ■ д) + 0(510 ■ д), (3.35)
(53 ■ д) ± (510 ■ д), (3.36)
(54 ■ д) ± (510 ■ д), (3.37)
(57 ■ д) ± (510 ■ д), (3.38)
(510 ■ д). (3.39)
Если С10 = 0, то при С1 Ф 0 получаем выражение, совпадающее с (3.19) при 01 = 0. В случае С1 = 0, действуя далее так же, как и при получении простейших представителей (3.24)-(3.31), получим простейших представителей
(53 ■ д) ± (54 ■ д) ± (57 ■ д) ± (511 ■ д), (3.40)
(53 ■ д) ± (57 ■ д) ± (511 ■ д), (3.41)
(54 ■ д) ± (57 ■ д) ± (511 ■ д), (3.42)
(53 ■ д) ± (54 ■ д) + 0(511 ■ д), (3.43)
(53 ■ д) ± (511 ■ д), (3.44)
(54 ■ д) ± (511 ■ д), (3.45)
(57 ■ д) ± (511 ■ д), (3.46)
(511 ■ д). (3.47)
Если С10 = 0 и С11 = 0, то получаем простейших представителей, совпадающих с (3.3) при 01 = 0 и 03 = 0, и с (3.7), (3.8), (3.9), (3.13) при
0 = 0. Остаются простейшие представители
(53 ■ д), (3.48)
(54 ■ д).
(3.49)
Перечисленные выше инфинитезимальные операторы образуют оптимальную систему ©1 одномерных подалгебр естественной конечномерной подалгебры алгебры непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений (1.4). Для удобства полный список элементов, составляющих систему ©1, приводится в прил. 1. В приложении 2 дано наглядное представление алгоритма построения оптимальной системы ©1.
Построенная оптимальная система одномерных подалгебр естественной конечномерной подалгебры алгебры симметрий системы дифференциальных уравнений (1.4) насчитывает один трехпараметрический элемент, 9 двухпараметрических, 49 однопараметрических элементов и 87 индивидуальных элементов. В этом списке знаки не согласованы и могут быть выбраны независимо. В каждом элементе списка один из базисных операторов (5у ■ д) может быть замещен своим коллинеарным аналогом. При построении списка не учтены дискретные симметрии системы дифференциальных уравнений (1.4).
Оптимальная система ©1 используется для редукции системы дифференциальных уравнений в частных производных (1.4) к системам, содержащим лишь две независимых переменных, которые, в свою очередь, могут быть подвергнуты групповому анализу также с целью их дальнейшей редукции к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Ясно, что этот процесс является достаточно трудоемким, но, при очевидном отсутствии альтернативы, единственным имеющимся в распоряжении средством развития теории пространственной задачи теории пластичности.
Свойства симметрии чрезвычайно важны при анализе нелинейных математических моделей и здесь теоретико-групповые методы (теория групп и алгебр Ли) играют главенствующую роль. В этом плане, несмотря на то, что теория симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных была создана более ста лет тому назад, в математической теории пластичности в настоящее время наблюдается заметный пробел, который должен быть восполнен. Более или менее систематическое изложение основ теории вариационных симметрий и вывод с их помощью основных соотношений механики деформируемого твердого тела имеется в работе [5]. Следуя по этому пути, возможно, можно будет найти новые точные решения пространственных соотношений теории пластичности. Как свидетельствует проведенный анализ, трехмерные уравнения Д.Д. Ивлева обладают высокой степенью симметрии, что оставляет надежду получить ряд новых точных решений, описывающих трехмерное напряженное состояние жесткопластических тел при условии полной пластичности.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ©і
1) (51 д) + £1(52 ■ д) + Й2(?7 ■ д) + £3(512 ■ д),
2) (52 д) ± (54 ■ д) + £1(57 ■ д) + £2(512 ■ д),
3) (52 д) + А(?7 ■ д) + £2(512 ■ д),
4) (51 д) - 3(52 ■ д) ± (53 ■ д) + £1(57 ■ д)) + £2(512 ■ д),
5) (53 д) ± (54 ■ д) ± (57 ■ д) + 0(512 ■ д), (53 ■ д) ± (57 ■ д) + £(512 ■ д),
6) (54 д) ± (57 ■ д) + £(512 ■ д), (53 ■ д) ± (54 ■ д) ± (512 ■ д),
7) (53 д) ± (512 ■ д), (54 ■ д) ± (512 ■ д), (57 ■ д) + £(512 ■ д), (512 ■ д),
8) (51 3) + (?ю • д) + £і(($2 • 3) + §($і2 • д)) + £2($7 • 3),
9) (52 (9) + ($4 • <9) + ($10 • <9) + §($і2 • (9) + £($7 • д),
10) (52 «9) + ($ю • «9) + §($12 • «9) + £>($7 • <9),
11) (51 <9) - 3(?2 • «9) + ($з • <9) + ($ю • «9) - §($12 • «9) + £>($7 • «9)),
12) (51 3) + ($ц • д) + £>і(($г • <9) - £($12 • -9)) + £2($7 • 3),
13) (52 «9) + ($4 • (9) + ($11 • <9) - §($12 • (9) + £>($7 • <9),
14) (52 «9) + ($ц • «9) - §($12 • «9) + £>($7 • «9),
15) (51 <9) - 3(?2 • «9) + ($3 • «9) + ($ц • «9) + §($12 • «9) + £>($7 • «9)),
16) (51 д) + 0(57 ■ д) ± (510 ■ д) ± (511 ■ д),
17) (53 д) ± (54 ■ д) ± (57 ■ д) + £((510 ■ д) ± (511 ■ д)),
18) (53 д) ± (57 ■ д) ± (510 ■ д) ± (511 ■ д),
19) (54 д) ± (57 ■ д) ± (510 ■ д) ± (511 ■ д),
20) (53 д) ± (54 ■ д) + £((510 ■ д) ± (511 ■ д)),
21) (53 д) ± (510 ■ д) ± (511 ■ д),
22) (54 д) ± (510 ■ д) ± (511 ■ д),
23) (57 д) ± (510 ■ д) ± (511 ■ д),
24) (510 )д (51 +1 )д
25) (53 д) ± (54 ■ д) ± (57 ■ д) ± (510 ■ д),
26) (53 д) ± (57 ■ д) ± (510 ■ д),
27) (54 д) ± (57 ■ д) ± (510 ■ д),
28) (53 д) ± (54 ■ д) + £(510 ■ д),
29) (53 д) ± (510 ■ д), (54 ■ д) ± (510 ■ д), (57 ■ д) ± (510 ■ д), (510 ■ д),
30) (53 д) ± (54 ■ д) ± (57 ■ д) ± (511 ■ д),
31) (53 д) ± (57 ■ д) ± (511 ■ д),
32) (54 д) ± (57 ■ д) ± (511 ■ д),
33) (53 д) ± (54 ■ д) + £(511 ■ д),
34) (53 д) ± (511 ■ д), (54 ■ д) ± (511 ■ д), (57 ■ д) ± (511 ■ д), (511 ■ д),
35) (53 д), (54 ■ д).
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ©1
1-7: С2 ± 2С12 Ф 0, при этом коэффициенты С10, Сц приводятся к нулю 1-4: С1 Ф 0 или С2 Ф 0
1-3: 3С1 + С2 Ф 0, при этом коэффициент С3 приводится к нулю 1: С1 Ф 0, при этом коэффициент В1 приводится к нулю 2-3: С1 = 0 2: В1 Ф 0 3: В1 = 0 4: 3С1 + С2 = 0 5-7: С1 = 0 и С2 = 0
5-6: ни один или лишь один из коэффициентов С3, В1, А1 равен нулю
7: два или три из коэффициентов С3, В1, А1 равны нулю;
8-11: С2 - 2С12 = 0, С2 + 2С12 Ф 0, при этом Сц приводится к нулю 8-10: 3С1 + С2 Ф 0, при этом коэффициент С3 приводится к нулю 8: С1 Ф 0, при этом коэффициент В1 приводится к нулю 9-10: С1 = 0 9: В1 Ф 0 10: В1 = 0 11: 3С1 + С2 = 0;
12-15: С2 + 2С12 = 0, С2 - 2С12 Ф 0, при этом С10 приводится к нулю 12-14: 3С1 + С2 Ф 0, при этом коэффициент С3 приводится к нулю 12: С1 Ф 0, при этом коэффициент В1 приводится к нулю 13-14: С1 = 0 13: В1 Ф 0 14: В1 = 0 15: 3С1 + С2 = 0;
16-35: С2 = 0, С12 = 0 16: С1 Ф 0 17-35: С1 = 0
17-24: С10 Ф 0, Сц Ф 0
17: ни один из коэффициентов С3, В1, А1 не равен нулю 18-20: лишь один из коэффициентов С3, В1, А1 равен нулю 21-23: ровно два из коэффициентов С3, В1 , А1 равны нулю 24: все три коэффициента С3, В1, А1 равны нулю 25-29: С10 Ф 0, Сп = 0
25: ни один из коэффициентов С3, В1, А1 не равен нулю 26-28: лишь один из коэффициентов С3, В1, А1 равен нулю 29: два или три из коэффициентов С3, В1 , А1 равны нулю 30-34: Сц Ф 0, С10 = 0
30: ни один из коэффициентов С3, В1, А1 не равен нулю 31-33: лишь один из коэффициентов С3, В1, А1 равен нулю 34: два или три из коэффициентов С3, В1, А1 равны нулю 35: С10 = 0, С11 = 0.
Номера соответствуют строкам в списке элементов оптимальной системы ©1.
Литература
[1] Радаев Ю.Н., Гудков В.А., БахареваЮ.Н. Группы симметрий и алгебра симметрий трехмерных уравнений математической теории пластичности // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2005. №2(36). С. 106-124.
[2] Радаев Ю.Н. О канонических преобразованиях Пуанкаре и инвариантах уравнений пластического равновесия // Изв. АН СССР. Мех. тверд. тела. 1990. №1. С. 86-94.
[3] Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2004. 147 с.
[4] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
[5] Радаев Ю.Н., ЛычевС.А. Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Самара: Изд-во Универс-групп, 2005. 60 с.
Поступила в редакцию 2/1Х/2005; в окончательном варианте — 2/1Х/2005.
ON A NATURAL SUBALGEBRA OF THE LIE ALGEBRA OF THREE-DIMENSIONAL EQUATIONS OF THE MATHEMATICAL PLASTICITY
© 2005 Y.N.Radayev, V.A. Gudkov3
Group analysis of the system of partial differential equations of threedimensional plastic equilibrium is given. The Tresca yielding criterion is employed to formulate the involved system. Stress state is presumed correspond to an edge of the Tresca prism thus allowing formally consider the static equations independently on the flow rule. The system of static equilibrium equations is represented in the stress principal lines co-ordinate net (isostatic net). The symmetry group of this system is obtained.
The Lie algebra and a first order optimal system of subalgebras of the symmetry group of partial differential equations of the three-dimensional mathematical theory of plasticity are studied. The optimal system which consists of 1 three-parametric, 9 two-parametric, 49 one-parametric and 87 individual elements is obtained.
Paper received 2/IX/2005. Paper accepted 2/IX/2005.
3Radayev Yuri Nickolaevich ([email protected]), Gudkov Vasilij Alexandrovich ([email protected]), Dept. of Continuum Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
