Об одной аддитивной задаче с бесквадратными числами Текст научной статьи по специальности «Математика»

References

1. Vorobiev N. N. Fibonacci Numbers. Basel; Boston; Berlin, Birkhauser Verlaf, 2002.

2. Gashkov S. B., Chubarikov V. N. Arifmetika. Algo-ritmy. Slozhnost' vychislenii [Arithmetics. Algorithms. The Complexity of Computations]. Moscow, Drofa, 2005 (in Russian).

3. Romanoff N. P. Über einige Satze der additiven Zahlentheorie. Math. Ann., 1934, vol. 109, pp. 668-678.

4. Erdos P. On some problems of Bellman and a theorem

of Romanoff. J. Chinese Math. Soc., 1951, no. 1, pp. 409421.

5. Prahar K. Raspredelenie prostykh chisel [Distribution of Prime Numbers]. Moscow, Mir, 1967 (in Russian).

6. Arkhipov G. I., Sadovnichii V. A., Chubarikov V. N. Lektsii po matematicheskomu analizu [Lectures on Mathematical Analysis]. Moscow, Vysshaya Shkola, 1999 (in Russian).

УДК 511.34

ОБ ОДНОЙ АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧЕ С БЕСКВАДРАТНЫМИ ЧИСЛАМИ

Д. В. Горяшин

Ассистент кафедры математических и компьютерных методов анализа, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, [email protected]

В работе получена асимптотическая формула для количества представлений натурального числа N в виде (1 + (2 + [а(з], где (1, (2, (з -- бесквадратные числа, а > 1 -- фиксированное иррациональное алгебраическое число.

Ключевые слова: тернарные задачи, бесквадратные числа, асимптотическая формула.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть а > 1 — фиксированное иррациональное число и пусть r3 (а, N) равно количеству разбиений натурального числа N на два бесквадратных слагаемых и слагаемое вида [aq], где q также бесквадратное, т. е. числу представлений числа N в виде

qi + q2 + [aq3] = N, (1)

где q1 ,q2, q3 — бесквадратные числа.

Целью данной работы является нахождение асимптотической формулы для величины r3(a,N) при N ^ го.

Задачи о представлении натурального числа суммой трех слагаемых (называемые тернарными задачами) рассматривались многими авторами. Наиболее известная среди них — тернарная проблема Гольдбаха о представлении натурального числа в виде суммы трех простых чисел, решенная в 1937 г. И. М. Виноградовым [1]. В 1999 г. С. Ю. Фаткина [2] рассмотрела видоизмененную проблему Гольдбаха и доказала асимптотическую формулу для числа представлений натурального числа N в виде N = p1 + p2 + [\/2p3], где p1, p2, p3 — простые числа с почти равными слагаемыми.

С другой стороны, в 1929-1933 гг. Эвелин (C. J. A. Evelyn) и Линфут (E. H. Linfoot) в серии работ [3] получили асимптотические формулы для количества rv(N) представлений числа в виде суммы v бесквадратных чисел, v ^ 2. Оценка остаточного члена в этих формулах в дальнейшем неоднократно уточнялась. Последний результат в этой задаче при v ^ 3 принадлежит Й. Брюдерну (J. Brüdern) и А. Перелли (A. Perelli) [4], которые доказали, что

1_ /_6

(v —Т)Г [Л

где е > 0 произвольно и

rv (N ) = (¡т—Lï)i g <N)W"-1+°(wv"3/2+e :

G<N)=П 1 -7^Г7)7 П !"

(p2 - 1W 11 V (p2 - !)v-1

p2fN ' 7 p2|N V yF '

1

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2 Сформулируем основной результат настоящей работы.

Теорема. Пусть а > 1 — иррациональное алгебраическое число. Тогда при любом е > 0 для количества г3(а,Ж) решений уравнения (1) в бесквадратных числах ^, справедлива асимп-

тотическая формула:

''з^ )=2аШ3 N2 + 0(ЛТ ).

Доказательство теоремы проводится, как и в работах [1,2,4], круговым методом Харди-Литтл-вуда-Рамануджана-Виноградова. Он основан на представлении искомой величины г3(а,Ж) в виде

1

'з (а,Ж) = У <2 (в)<2(в)е-2пг^ ¿в, (2)

о

где

<1 (в)= ^ в2пгвд = ^ д2(п)в2пгвп, <2(в)= X] М2(п)е2пгв[ап].

д бесквадратное

В доказательстве также используются методы работ Г. И. Архипова, К. Буриева и В. Н. Чубарико-ва [5,6] и оценка тригонометрической суммы с бесквадратными числами по «малым дугам» [7-9]. Зафиксируем параметр Q так, что

1 < Q < л/Ж, и положим т = (значение Q, а значит, и т выберем позднее). В силу 1-периодичности подынтегральной функции интеграл в правой части (2) можно представить в следующем виде:

1-1/т 1/т 1-1/т

'з(а,Ж)= У = У <2(в)<2(в)е-2пгвМ¿в + I <2(в)<2(в)е-2пгвМ¿в = /1 + /2•

-1/т -1/т 1/т

2. ИНТЕГРАЛ /1: ВЫДЕЛЕНИЕ ГЛАВНОГО ЧЛЕНА АСИМПТОТИКИ

При в ^ [-1/т, 1/т] преобразуем сумму 51 (в) следующим образом. Пусть

6

К(х) = м2(п) = —х + О^у^).

Тогда

п2

51 (в) ^ М2(п)е2пгвп = £ (К(п) - К(п - 1))

6

К (п) (е2пгвп - е2пгв(п+1)) + К (Ж )е2пг^ = п (е2пгвп - е2пгв(п+1)) +

(п) (е"'"^'" - е"'"^""" ') + К (Ж '= — > п' -2пгвп

п2

1<п^М-1 1<п^М-1

+А. + О ( ^ ^п е2пгвп - е2пгв(п+1) + у/Ж | =

\1<п^М-1

6 ^ е2пгвп + |в| + 1)) = п6, <§1 (в) + |в| + 1)) •

Далее, сумму 52(в) представим в следующем виде:

<2(в) = ^ м2(п)е2пгв[ап] = ^ м2(п)е2пгвапе-2™в{ап} =

= ^ м2(п)е2пгвап(1 + О(|в|))= ^ М2(п)е2пгвап + О(Ж|в|).

п^М/а п^М/а

К получившейся сумме в правой части применяем такое же преобразование, как к сумме 51 (в) (с заменой N на Ж/а и в на ва). Получим:

<2(в) = -П2 ^ е2пгвап + О (Ж|в| + 1)) •

1<п^М/а

Учитывая, что

е2п»вап = ^^ е2пгв[ап] е2пгв{ап> = ^^ е2пгв[ап] + О(Ж |в |) 1<п^М/а 1<п^М/а 1<п^М/а

сумму 52 (в) можно записать также в виде

<2(в) = ^ е2пгв[ап] + О (Ж|в| + 1)) = <2 (в) + О (Ж|в| + 1)) •

1<п^М/а

Подставляя полученные выражения для 51 (в) и 52(в) в интеграл /1, будем иметь:

1/т

/1 = i (в)<2(в)е-2пгвМ¿в =

-1/т

1/т . 2

-2<1(в) + О (Ж|в| + 1))) (-62<2(в) + О (^(Ж|в| + 1))) е-2п^¿в =

-1/т

\3 1/т

6А У <2(в)<§2(в)е-2пгв^в + О (^1 (Ж,т)), -1/т

где

<1 (в )= е2пгвп, <?2 (в )= X] е2пгв[ап],

1<п^М 1<п^ЛУ а

1/т

Г / ч Ж 7/2

Д1 (Ж,т) = (ж5/2(Ж|в| + 1) + Ж2(Ж|в| + 1)2 + Ж3/2(Ж|в| + 1)3) ¿в < — = Ж3/2Q2•

-1/т

Полученный интеграл представим в виде

1/т 1- 1/т 1- 1/т 1 1 — 1/т

У ^(в)^(в)е-2пгвМ¿в = У - У =У ^(в)^(в)е-2пгвМ¿в - У <2(в)<2(в)е-2пгвМ¿в.

-1/т -1/т 1/т о 1/т

Очевидно, первый из интегралов в правой части равен количеству решений уравнения

п1 + п2 + [ап3 ] = Ж

в натуральных числах п1, п2, п3 с условиями 2 ^ п1 ,п2 ^ Ж, 2 ^ п3 ^ [Ж/а]. Поскольку при фиксированном п3 уравнение п1 + п2 = Ж - [ап3] имеет Ж - [ап3] - 3 решения в натуральных числах п1, п2 с условием 2 ^ п1 ,п2 ^ Ж, искомое количество решений равно

£ (Ж - [ап3] - 3) =--X] ап3 + О(Ж) =--а - + О(Ж) = — + О(Ж).

а а 2 а 2а

пз=2 пз=2 4 '

Для оценки второго интеграла воспользуемся тривиальным неравенством

1Ж

|<1(в)| < щ ^ т = д, если в е [1/т, 1 - 1/т] . Математика 43

Получим:

1- 1/т

С (в )С (в }в-2пгв^ ¿в

1/т

1-1/т 1

г ~ N г ~ ж2

^ С (в )|2 |С (в )|^в < ^ С (в )||&(в)Ив « д-

1/т 0

так как

| <?!(в)|2^в = Ж, / |С(в)|2¿в = [Ж/а],

1 \ 1/2

/ I С (аМ2,

Таким образом,

J 1С (в)||$2(в)Ив Ч У 1С (в )№у ^(вЖ ¿в | << N. 0 \0 0

I'-(¿V N2 + + «V).

3. ОЦЕНКА ИНТЕГРАЛА /2

Разобьем отрезок интегрирования [1/т, 1 — 1/т] = [ф/Ж, 1 — д/Ж] на два множества:

Е =

ф .1 ф

N. N

где

м(д) = и и

п м(ф), Е =

а фа + ф

ф .1 ф

N. N

П т(ф),

т(ф) = М\М(ф).

(а,д) = 1

(3)

В соответствии с этим разбиением интеграл /2 также разбивается на два интеграла; пусть /2 = /Е1, /2' = /е2 . Интеграл /2' оценим с помощью следующей леммы об оценке тригонометрической суммы с бесквадратными числами по «малым дугам» (см. [7-9]). Отметим, что в работе [7] эта оценка доказана в предположении, что ф ^ N1/3; при ф ^ л/Ы она доказана в 2004 г. независимо двумя авторами в работах [8,9].

Лемма 2. Пусть 1 Тогда С!(в) ^ 0 для всех в £ т(ф).

По лемме 2 имеем:

так как

|/2' I < / |С1(в)|2 С (в )Мв < тах (в )| / С (в )||^(в)Мв «

Е2

N 2+е

-1 -1

(в)|2¿в = X] М2(п) < N5 /|^2(в)|2¿в = X] М2(п) < N (4)

0 п^М 0 п^М/а

-1 -1 -1 1/2

У (в)||^(в)Мв ^ I У С (в )№/|^2(в)|2 ¿в) << N. 0 \0 0 /

Оценим теперь интеграл /2 по множеству Е1. Для этого применим следующую лемму [10, п. II, лемма 1].

Лемма 3. Пусть в, х — вещественные числа, Р — натуральное число, Р > 2. Тогда имеет место формула

1 _ е —2пгв

е-2пгвМ = ^ 1_^__е2пгкх + 0(Др (х)),

2пг(в + к)

1

1

0

0

1

1

1

0

где

ЯР (х) =

1

Л + р 2-2 = £ Ск е

2пгкх

+О

1п Р

1п Р

> I к |/Р

РР Пользуясь леммой 3, преобразуем сумму <2(в) следующим образом:

<2(в) м2(п)е2пгв[ап] = X] м2(п)е2пгвап ^

п^М/а

п^М/а

|к|<Р

1 _ е~2пгв

2-г(в + к)'

2пгкап

+ ЯР (апм =

Е

1 _ е-2пгв

2-,(в + к) £ М2(п)е2-(в+к)ап + О| £ м2(п)яр(ап)

1 _ е-

Е

1

2— в + к

|к|<Р п^М/а

X] М2(п)е2пг(в+к)ап + О(Я2(Ж)).

Положим Р = Ж1/6. Если а — алгебраическое число, то для Я2(Ж) справедлива оценка

Я(Ж)= X] м2(п)Яр(ап)= X] М2(п) X] Ске

п^М/а п^М/а 1<|к|<Р 1п Р

2пгкап

+О

/Ж 1п Р

V-Р"

<

<

1п Р

Е

Е М2(п)

п^М/а

2 /п)е2п^кап

+

Ж 1п Р

Р

Ж

Г+е

1<|к|<Р 1п Р

(доказательство оценки последней тригонометрической суммы см. в [11]). Следовательно,

|<2(в)| «

£ м2 (п)е

п^М/а

2 (п)е2пгвап

£ м2(п)е

п^М/а

« Е

+ £ 1

1<3(а(в + к))| + 6 +е |к| + 1 + '

2(п)е2пг(в+к)ап

+ Ж 6 +е <

|к|<Р

где <3(в) = М2(п)е2пгвп (т. е. <3(в) отличается от <1(в) лишь длиной промежутка суммирова-

п^М/а

ния: Ж/а вместо Ж). Таким образом,

/2 = 1<1 (в) 121 <2 (в) I ¿в « £

1

Е1

,кР|к|+1 Е1

(в )|2 |<3(а(в + к))|<(/5 + N 11/6+е

(здесь мы вновь воспользовались неравенством (4)). Снова разобьем множество интегрирования Е1 на две части — Е11 и Е12, в зависимости от того, принадлежит число а(в + к) множеству М^) или ш^) соответственно. Тогда интеграл по множеству Е12 также оценивается с помощью леммы 2, так как число а(в + к) удовлетворяет ее условиям:

Е

1

I к I <Р|к| + 1

|<1 (в)|2|<3(а(в + к))|¿в «

Ж 1+е

1<1 (в)|2¿в £

1 Ж2+е/2 п „ <--— 1п Р.

I к I ^Р

|к| + 1

Q

Наконец, для оценки интеграла по множеству Е11 воспользуемся следующей леммой, являющейся вариантом леммы Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова о мере пересечения «больших дуг» в разбиении Фарея [12] (см. также [6,13]).

Лемма 4. Пусть 1 < Q1,Q2 < а > 1 — некоторое фиксированное иррациональное алгебраическое число, к — целое число. Тогда при любом е > 0 для меры м(Т) множества Т точек в е ^/Ж; 1 - Q1/N] п М^!.) таких, что а(в + к) е справедлива оценка

М(Т) « (|к| + 1)Q2Q2N-2+е.

1

о

Доказательство этой леммы проводится по той же схеме, что и в работе [12]. Применим лемму 4 к интегралу по множеству Ец при ф1 = ф2 = ф. Оценивая тривиально подынтегральные функции, получаем:

1-

Е

i^|k| + 1 Е{

|Si(в)|2|$з(а(в + k))|de << N3Q4N-2+е ^ 1 = PQ4N1+е

|k|<P

Выберем параметр ф равным ф = Р = N1/6. Тогда, собирая все оценки, для интеграла /2 имеем:

N2+e N2+e/2

|12 | <

+

ln P + PQ4N1+е + N11/6+е < N11/6+е.

ф ф

Окончательно, учитывая асимптотическую формулу (3) для интеграла /1, получаем: Г3(а, N) = /1 + /2 =(-^У + О + 0^3/2ф2) + 11/6+£) = (¿У N2 + 11/6+£),

2а

Q J

что и требовалось доказать. Библиографический список

1. Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // Докл. АН СССР. 1937. Т. 15. С. 291-294.

2. Фаткина С. Ю. О представлении натурального числа суммой трех почти равных слагаемых, порожденных простыми числами // УМН. 2000. Т. 55, вып. 1. С. 197198.

3. Evelyn C. J. A., Linfoot E. H. On a problem in the additive theory of numbers. I // Math. Z. 1929. Vol. 30. P. 433-448; II : J. Reine Angew. Math. 1931. Vol. 164. P. 131-140; III : Math. Z. 1932. Vol. 34. P. 637-644; IV : Ann. of Math. 1931. Vol. 32. P. 261-270; V : Quart. J. Math. 1932. Vol. 3. P. 152-160; VI : Quart. J. Math. 1933. Vol. 4. P. 309-314.

4. Briidern J., Perelli A. Exponential Sums and Additive Problems Involving Square-free Numbers // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4). 1999. Vol. XXVIII. P. 591613.

5. Архипов Г. И., Буриев К., Чубариков В. Н. О мощности особого множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами // Труды МИАН. 1997. Т. 218. С. 28-57.

6. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Об исключительном множестве в бинарной проблеме гольдбахова типа // Докл. АН. 2002. Т. 387, № 3. С. 295-296.

7. Briidern J., Granville A., Perelli A., Vaughan R. C., Wooley T. D. On the exponential sum over k-free numbers // Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A. 1998. Vol. 356. P. 739-761.

8. Tolev D. I. On the exponential sum with squarefree numbers // Bull. London Math. Soc. 2005. Vol. 37. P. 827-834.

9. Schlage-Puchta J. C. The exponential sum over squarefree integers // Acta Arith. 2004. Vol. 115. P. 265268.

10. Попов О. В. Арифметические приложения оценок сумм Г. Вейля от многочленов растущей степени // Фунд. и прикл. математика. 1998. Т. 4, № 2. С. 595640.

11. Горяшин Д. В. Бесквадратные числа в последовательности [an] // Чебышевский сб. 2013. Т. 14, вып. 3. С. 60-66.

12. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О мере «больших дуг» в разбиении Фарея // Чебышевский сб. 2011. Т. 12, вып. 4. С. 35-38.

13. BrUdernJ., Cook R. J., Perelli A. The Values of Binary Linear Forms at Prime Arguments // Sieve Methods, Exponential Sums and Their Applications in Number Theory. Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1997. P. 87100.

On an Additive Problem with Squarefree Numbers

D. V. Goryashin

Moscow State University, Russia, 199991, Moscow, Leninskie Gory, 1, [email protected]

An asymptotic formula for the number of representations of a positive integer N in the form qi + q2 + [aq3] is obtained, where

qi, q2, q3 are squarefree numbers and a > 1 is a fixed irrational algebraic number.

Key words: ternary problem, squarefree numbers, asymptotic formula.

References

1. Vinogradov I. M. Representation of an Odd Number as a Sum of Three Primes. Doklady AN USSR. 1937, vol. 15, pp. 291-294 (in Russian).

2. Fatkina S. Yu. On the representation of a natural number as a sum of three almost equal terms generated by primes. Russian Mathematical Surveys [Uspekhi Mat. Nauk], 2000, vol. 55, no. 1, pp. 171. DOI: 10.1070/RM2000v055n01ABEH000254.

3. Evelyn C. J. A., Linfoot E. H. On a problem in the additive theory of numbers. I : Math. Z. 1929, vol. 30, pp. 433-448; II : J. Reine Angew. Math., 1931, vol. 164, pp. 131-140; III : Math. Z., 1932, vol. 34, pp. 637-644; IV : Ann. of Math., 1931, vol. 32, pp. 261-270; V : Quart. J. Math., 1932, vol. 3, pp. 152-160; VI : Quart. J. Math., 1933, vol. 4, pp. 309-314.

4. Brüdern J., Perelli A. Exponential Sums and Additive Problems Involving Square-free Numbers. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 1999, vol. XXVIII, pp. 591613.

5. Arkhipov G. I., Buriev K., Chubarikov V. N. On the power of a singular set in binary additive problems with prime numbers. Proc. Steklov Inst. Math., 1997, vol. 218, pp. 23-52.

6. Arkhipov G. I., Chubarikov V. N. On the exceptional set in a Goldbach-type binary problem. Dokl. Math.

YflK 511.9

[Dokl. Akad. Nauk], 2002, vol. 66, no. 3, pp. 338-339.

7. Brüdern J., Granville A., Perelli A., Vaughan R. C., Wooley T. D. On the exponential sum over k-free numbers. Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 1998, vol. 356, pp. 739-761.

8. Tolev D. I. On the exponential sum with squarefree numbers. Bull. London Math. Soc., 2005, vol. 37, pp. 827-834. DOI: 10.1112/S0024609305004753.

9. Schlage-Puchta J. C. The exponential sum over squarefree integers. Acta Arith., 2004, vol. 115, pp. 265268. DOI: 10.4064/aa115-3-7.

10. Popov O. V. Arithmetic applications for estimates of Weyl sums of polynomials of increasing degree. Fundam. Prikl. Mat., 1998, vol. 4, no. 2, pp. 595-640 (in Russian).

11. Goryashin D. V. Squarefree numbers in the sequence [an]. Chebyshevskii Sb., 2013, vol. 14, no. 3 pp. 60-66 (in Russian).

12. Arkhipov G. I., Chubarikov V. N. On the measure of «large arcs»' in the Farey partition. Chebyshevskii Sb., 2011, vol. 12, no. 4, pp. 39-42.

13. Brüdern J., Cook R. J., Perelli A. The Values of Binary Linear Forms at Prime Arguments. Sieve Methods, Exponential Sums and Their Applications in Number Theory. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1997, pp. 87-100.

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВОГО МЕТОДА В ПРИБЛИЖЕННОМ АНАЛИЗЕ

Л. П. Добровольская1, М. Н. Добровольский2, Н. М. Добровольский3, Н. Н. Добровольский4, И. Ю. Реброва5

1 Кандидат физико-математических наук, доцент, Институт экономики и управления, Тула, [email protected]

2Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Геофизический центр РАН, Москва,

dobrovolsky.michael @ gmail.com

3Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, [email protected]

4Аспирант кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет, [email protected]

5Кандидат физико-математических наук, декан факультета математики, физики и информатики, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, [email protected]

В данной работе дается обзор некоторых актуальных проблем метода оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова. Данный обзор был сделан 12 сентября 2013 года в г. Саратове на XI Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения».

Ключевые слова: метод оптимальных коэффициентов, алгебраические решётки, теорема Гельфонда, гиперболическая дзета-функция.