Об одном варианте теоремы стабильности Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУГА серия Математика и Физика

N2 91(9)

УДК 515.168.3

ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ ТЕОРЕМЫ СТАБИЛЬНОСТИ

В. В. СОЛОДОВ Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Красильщиком И. С.

Изучаются действия групп на прямой, не имеющих общих для всей группы неподвижных точек. Как известно, Тауберовы теоремы [1] являются средством изучения поведения функции (последовательности) на бесконечности и ее преобразования Лапласа в нуле. Мы применим их для сравнения скорости убывания на оо образующих фундаментальной группы (Ь) компактного слоя Ь,действующих на прямой посредством отображений голономии [7].

1. Постановка задачи

Дано компактное гладкое многообразие X. Обозначим через У = I х К декартово произведение.

Мы предполагаем, что на У имеется слоение ^ коразмерности один, трансверсальное ко второму сомножителю в У = X хШ, а, Ь = Ь0 = X х {0} — один из его слоев. Тем самым, Ь является компактным слоем и делит У на две части, и верхнюю часть мы будем обозначать У+, У+ = Х х Е+.

Каждый слой слоения ^ в У+ накрывает основание Ь, поскольку Р трансверсально к вертикальным прямым. Слой, проходящий через точку (хо,£), — отмеченная точка в X,

обозначается 1^. Мы будем предполагать, что слои Ьи £ > 0 не компактны, то есть — Ь единственный компактный слой.

Такая ситуация возникает в окрестности ориентируемого компактного изолированного слоя Ь любого слоения коразмерности один, поэтому мы и сделали такие предположения.

О слоении Р можно говорить как о плоской связности в тривиальном расслоении У — X х К, группа голономии Но1(Р) будет фактор-группой фундаментальной группы 7Г1 (Ь) = 7Г!(Х,хо) = С по элементам, тривиально действующим на Е. Мы будем предполагать для простоты, что таких элементов нет, то есть действие С на К эффективно. Итак, мы имеем точное представление голономии

р : К\{Х,х0) —> Е

Гладкостью слоения называется гладкость его карт. Общая теория говорит, что слои можно выбрать гладкими и все сводится к трансверсальному направлению, то есть к гладкости отображений р(д), д € С. Поскольку X компактно, группа т^\{Х^ жо) имеет конечное число образующих дх,д2---дп-

2. Рост групп и стабильность

В этом разделе мы изложим вариант теоремы стабильности, принадлежащий Планте

[4].

Напомним, что для конечно-порожденной группы С рост группы — это показатель экспоненты, с которой возрастает количество различных слов длины не более N.

Более точно, пусть д1,д2,---дк - система образующих группы С. Обозначим через В(М, <?ь <?2, ■■■дк) количество различных элементов группы (7, которые могут быть представлены в виде произведения

XI * Х2 * ... * Ждг, Хг е {01, #2, - -дк}-Тогда группа С? называется группой субжспоненциального роста, если

1°8в(лг,а, 9г,...,ц)

N-¥00 4 N

Мы будем предполагать далее, что ^ слоение коразмерности один.

Теорема 1. Пусть слоение F имеет изолированный компактный слой Ь, фундаментальная группа которого Т1\ (Ь) = (7 имеет субэкспоненциальный рост и голономия Ь нетривиальна. Тогда существует ненулевой элемент, принадлежащий А 6 Н1(Ь,Я).

Если предполагать ориентируемость слоения ^ и рассмотреть одностороннюю окрестность слоя Ь, то условие теоремы 1 можно выразить в терминах действия группы (7 на полупрямой Я+ = [0;оо).

Теорема 2. Если конечно-порожденная группа С субжспоненциального роста действует на Я+, и нет отличных от 0 общих неподвижных точек у С, тогда существует нетривиальный гомоморфизм а : (3 —>■ Я.

Замечание. Гомоморфизм а отвечает классу когомологий А е Н1(Ь,Я) из теоремы 1 при изоморфизме Н1(Ь,Я) = Нот{-К\(Ь),Я). В работе [7] он называется обобщенным числом вращения.

3. Тауберовы теоремы

Тауберовы теоремы [1] являются средством изучения поведения функции (последовательности) на бесконечности и ее преобразования Лапласа в нуле.

Мы применим их для сравнения скорости убывания на оо образующих фундаментальной группы 7г 1 (X/) компактного слоя Ь, действующих на прямой посредством отображений голономии [5].

Дан степенной ряд:

ОО

^2 а(Хг = 3(х), 0 ^ я < 1 (1)

¿=1

и числовой ряд, составленный из его коэффициентов:

ОО

£> = « (2) ¿=1

• Если из свойств ряда (2) выводятся свойства (1), то речь идет о теоремах абелева типа.

• Если из свойств ряда (1) при дополнительных условиях, называемых тауберовыми условиями, выводятся свойства ряда (2) , то речь идет о тауберовых теоремах.

Приведем теорему Абеля

Теорема 3. Если ряд аг — 5 сходится (а* 6

то а1х% = 3(х), 0 ^ х ^ 1 сходится равномерно и

Нш а;хг — Б

X—>1

г=1

Теорема Таубера утверждает:

Теорема 4. Если ряд (1) сходится , Б(х) 5

ап = о(1/гг.) , то ряд (2) сходится к сумме Б.

Как мы видим, теорема 4 почти обратная к теореме 3, но наложено дополнительное условие (тауберово условие) на скорость убывания коэффициентов ап.

Сделаем замену переменной. Положим г = е~р, г —»• 1 при р -» О

= е~рп

Мы после замены переменного получаем выражение в виде интеграла

а0е р0

Г ОС

+ аіе~р1 + а2е~р2 + ... = / а(ї)е~рі(И >

J о

который является преобразованием Лапласа меры а(£). Теоремы приобретают тогда следующую форму:

Теорема 5. Если интеграл

сходится при р > О, /(р) -> А при р —> 0+, тогда

/(?)

/•ОО

= / о;(£)е_рігі£

J о

/ иа(и)ди = о(£) ¿о

Обратим внимание на то, что интегрирование происходит по лучу (0, оо), обычному для преобразования Лапласа, что имело источником изменение п = 0,1, 2...оо

Теоремы, которые мы рассматриваем в этой работе, изучают поведение суммы степенного ряда при приближении к границе области сходимости.

Обе эти теоремы содержат тауберовы условия, характеризующие скорость убывания коэффициентов ряда ап = о(1/п) в теореме 4, или функции а(£) на бесконечности, в теореме 5.

Мы заменим эти условия при помощи условия медленного изменения функций в смысле Караматы [4] и на основе этого более общего условия откажемся от С1 предположений в теореме 4.2 в [6] для образующих фундаментальной группы тт\{Ь) компактного слоя Ь, действующих на прямой посредством отображений голономии.

4. Правильно меняющиеся функции

Определение 1. Локально интегрируемая функция ¡(х),определенная на (0, оо), называется правильно меняющейся при х —> оо ,если при А > О

Ит = X'.

Х-¥00 Ь(Х)

Если р — 0, то есть для функции Ь(х)

ш = і,

Цх)

Х—ЇОО

то функция Ь(х) называется медленно*меняющейся при х —>■ оо. Примером медленно меняющейся функции будет 1пж. Действительно

МЛх) ln(A) + ln(s))

™ 1п(х) ™ 1п(а:)

Но функция д{х) = 2 + sino; не является ни медленно^ меняющейся, ни правильно меняющейся при х —ї оо, поскольку

д(Хх) 2 + sin(Aa;)

lim = lim -------------r-W-

ж-юо д[х) х-^со 2 + sin(a;J

не существует при х ф 0,1.

По теореме Лагранжа непрерывно дифференцируемая функция будет медленно меняющейся. Имеется следующая теорема об интегральном представлении медленно меняющихся функций.

Теорема 6. Если 1{х) — медленно,меняющаяся функция, то она представляется в виде интеграла

1(х) — с(х) expí [ е(ж)—),

Ja и

где с(х) —> С, е(х) —> 0.

Если всегда с(х) = С , то мы говорим о нормализованном медленном изменении функции 1(х). В этом случае

хІ (х)

е(х) =

В примере 1(х) = In а: будет с(х) = 1, е(х) =

1(х)

1

ln(æ)

Теорема 4 тогда изменится так.

Теорема 7. Если интеграл

roc

fip)= Oi(t)e~ptdt J о

сходится р > 0 , f(p) —> А при р —> 0+ и если a;(i) медленно меняется, то

lim ait) — A.

i—► оо

Дифференцируемая на полуоси (о; оо) функция р(г) называется порядком в смысле Вал ирона, если

(1) существует предел ПШг-^оо р(т) = р ,

(2) lim^oo г In (г р (г)) = 0

Обозначим V(г) = гр(г); эта функция будет обладать свойством

ИтШ = (, (>0,

V(r)

r-ï оо

то есть она будет правильно меняющейся.

Пусть и(г) определена на [0;оо). Тогда

★

limsup-uir) = inf limsup u(r) r^oo E r^oo rtE

Теорема 8. Пусть и(г) локально интегрируема на [0; оо), р(г) - уточненный порядок, р = Нш-г—^оо р(г) и пусть существует предел

и(г)

h = lim sup . . r->oo V{r)

Пусть, кроме того, выполняется:

• Для любого Е линейной плотности 0

1)

Ит ЛП \ г-+оо TV (Т)

f XE\u(t)\dt =

Je

• существует предел

• существует предел

lim \ [ u(t)dt = Н

Чг) Jo

rV(r)

Тогда существует множество F линейной плотности 0 такое, что

у м(г) и

lim —— — h,

г—>00 r£F V (rj

CM. [2].

5. Классы Зигмунда

В конце 19 века немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример нигде не дифференцируемой функции. Г. X. Харди упростил пример Вейерштрасса и придал ему вид лакунарного ряда Фурье. Теперь эту функцию называют функцией Харди-Вейерштрасса

ОО

/а 0е) = ^~Па C0S ^ПХ Ь Ç.N. п=0

При 0 < а < 1 эта функция принадлежит Гельдерову классу Са. Напомним, что это такой класс, что модуль непрерывности

w(/. h) = I f(x + h) - f(x)I = 0(ha).

Но при a = 1 функция fa(x) будет принадлежать классу Зигмунда А*, который характеризуется тем, что модуль гладкости

и>2(/, h) = I f(x + h) - 2 f(x) + f(x-h) I = О (h).

Через Ai обозначим класс функций, которые являются интегралами от ограниченных функций.

Функция fl(x) не принадлежит Al, ПОСКОЛЬКУ коэффициенты Фурье ОТ f'i(x) должны были бы стремиться к 0, а они —постоянны. Но fi(x) ф А*, значит Ai С А*

Теорема 9. Класс Ai содержится в А* — классе нормализованных медленно изменяющихся функциях.

6. Связь тауберовых теорем и теорем стабильности

В следующей теореме Винера группа сдвигов действует на всей прямой (—оо, оо).

Теорема 10. Пусть К\ € 1/1 (К) , преобразование Фурье Е(К\) ф 0, и К2(х) € 1а(К) /(я)

— ограниченная функция на К).

Если существует предел

В этом параграфе мы приведем аналогичные теоремы для действия фундаментальной группы 7Г1 (I/) компактного слоя на трансверсали и получим следующую теорему стабильности Терстона [9].

Теорема 11. Пусть F слоение коразмерности один, класса гладкости С1 и Ь — компактный слой. Тогда существует ненулевой элемент р принадлежащий А е НХ(Ь,К).

Легко видеть, что в нашей записи теорема 11 аналогична теореме 1, хотя предположения у них различны. Теорема 11 переформулируется на языке представления щ (Ь) — (? в группе диффеоморфизмов, как и теорема 1.

Теорема 12. Если конечно-порожденная группа (7 действует на Я.+ диффеоморфизмами класса гладкости С1, и нет отличных от 0 общих неподвижных точек для всей <7, то существует нетривиальный гомоморфизм а : О —> М.

В теореме 12 пункт отсутствия общих неподвижных точек у элементов С? отвечает условию необращения в нуль преобразования Фурье в теореме 10 (т.е. Е(Кг) ф 0), а условие медленной осцилляции /(ж) отвечает классу С1 в теореме 12.

Мы имеем возможность применить общую тауберову теорему 8 к элементам

группы С = 7Гі(Х, жо). Обозначим через V = тахиг, і — 1,2...п. Выберем элемент иг , такой, что при х ос иг(х) = У(х).

Обозначим через Е множество, где иг убывает. Пусть мера це сосредоточена на Е, по ней мы и будем интегрировать в теореме 8.

Теорема 13. Пусть все щ — функции с медленным изменением, тогда существуют пре-

— нетривиален.

Тогда а определяет ненулевой элемент А 6 Н^(Ь,Ж).

Мы можем теперь переформулировать теорему 11, заменив условие гладкости класса С1 на класс Зигмунда. Сформулируем окончательный результат.

то существует и

а если f(x) — медленно осциллирующая, то

lim f(x) — A.

Щ - poguu2 = pog2,...un = pogn

дельї

(см. [8]) и гомоморфизм

а '. G —У М ; a(gi) — hi

Теорема 14. Пусть F слоение коразмерности один, Зигмундова класса гладкости и L компактный слой. Тогда существует нетривиальный гомоморфизм

а : G —У К : ®(<?г) =

представляющий ненулевой класс А Е Яг(1/,М).

ЛИТЕРАТУРА

1. Bingham N. H. et al. Regular variation // Enc. of Math., 27. Cambr.Univ. Press, 1987.

2. Гришин А. Ф. Простейшая тауберова теорема // Мат. заметки, 74 (2003), № 2.

3. Сенета В. Правильно меняющиеся функции // М: ФМГ, 1976.

4. Plante J. F. Stability of codimension one foliations by compact leaves // Topology, 22 (1983),№ 2.

5. Reeb G. Sur certaines propriétés topologique des variétés feuietees // Actuallite Sci. Indust. -Paris: Hermann, 1952,

6. Солодов В. В. Теоремы стабильности слоений // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика. М.: МГТУ ГА, № 16, 1999.

8. Солодов В. В. Топологические вопросы теории динамических систем // Успехи математических наук, 46, № 4, 1991.

9. Thurston W. P. A generalization of the Reeb stability theorem // Topology, 13, № 4,

1982.

10. Татарин В. М. Группа кусочно-линейных автоморфизмов прямой // Математические заметки, 54, № 2, 1993.

ON SOME VARIANT OF A STABILITY THEOREM

Solodov V. V.

The group actions on a real line, such that there are no fixed points common for all group elements, are studied. As is known, the Tauber theorems is a tool for studying the behavior of a function (a sequence) at infinity and its Laplace transform at zero. We use this tool to compare the descent velocity at oo of generators of the fundamental group 7Ti (L) for the compact fiber L; the generators act by holonomy transformations.

Сведения об авторе

Солодов Виктор Владимирович, 1952 г.р. окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1974), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор 16 научных работ, область научных интересов — дифференциальная топология, слоения, динамические системы.