Об одном свойстве сопряженного оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

х : [а,Ь] —)• Яп, абсолютно непрерывных на [а,£о] и (£сь&], имеющих при почти всех Ь производную а/ £ £([а, Ь], Д”), терпящих в точке £о скачок величины х(Ь0 + 0) — х(Ьо) = Рх1°, с метрикой

ь

р(х 1,ж2) = |^1 (а) - х2(а)| + / 1а:'!(в) - ^ •

а

Рассмотрим уравнение

х1 = К х (2)

с оператором К : СЗ([а,Ь], Яп) -> 1<([а, Ь],Д"). Сведение задачи Коши для уравнения (2) к уравнению второго рода в пространстве Ь([а,Ь],Яп) основывается на взаимно-однозначном соответствии между метрическим пространством АСЗ([а,Ь],Яп) и декартовым произведением Ь([а,Ь],Яп) х Д", которое осуществляется отображениями ж £ АСБ (ж', х(а)) £ ЬхЯп, (у, а) £ ЬхДп н х £ АСБ,

х{Г) = х(а) + / у{8) -к)Р / у(в) йэ. Здесь *(*) = | ^

Теорема. Если оператор К : С5([о,Ь], Д") —> Ь([а,Ь], Яп) является непрерывным, ограниченным и вольтерровым, то задача Коши для уравнениея (2) с начальным условием х{а) = а, при любом а, в пространстве АСЗ([а,Ь], Яп) локально разрешима, всякое локальное решение продолжаемо до глобального или предельно продолженного.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.

Поступила в редакцию 8 ноября 2006 г.

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ СОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА © Е.С. Жуковский, М.В. Борзова

<

Для интегрального оператора Уо^егга (Ку)(£) = / /С(£, я) «/(я) действующего в простран-

а

стве Ь([а,Ь\,Я) суммируемых функций, сопряженный оператор К* : 1/оо([а> Я) —> Роо([а,Ь], Я) ь

имеет вид (К*д)(1) = J д(в) ds, то есть является опережающим. Ниже установлена связь

г

между свойствами вольтерровости исходного и сопряженного линейных операторов, действующих в произвольных нормированных пространствах. Используется определение вольтерровости, предложенное в [1].

Пусть В - нормированное пространство, В* - сопряженное пространство, и пусть каждому 7 £ [0,1] поставлено в соответствие отношение эквивалентности и(7) элементов пространства В. Назовем элементы х,у £ В, удовлетворяющие этому бинарному отношению, г>(7)-эквивалентными. Будем предполагать, что совокупность 23 = {и(7) | 7 £ [0,1] } рассматриваемых отношений удовлетворяет условиям: и(0) = В'2\ и(1) = { (х, х) х £ В }; 7 > Г) =» 11(7) С Кроме того, будем

считать, что отношения 1^7) £ ЭД сохраняются при сложении векторов и умножении их на числа, т. е. при каждом 7 £ (0,1), для любых элементов х, х, у, у £ В и всякого числа Л

(х, х) £ и (-у), (у,у)еи(у) => (х + у,х + у) £ и(7), (Ах, Аж) £ и(7).

Определение. Оператор Р : В —» В будем называть вольтерровым на системе Ш, если для каждого 7 £ (0,1) и любых х,у £ В из {х,у) £ г;(7) следует (Рх, Ру) £ V(7).

Определим множества

07 = {у <Е В | (у,0) € и(7)}, 0* = 0^7 = {д £ В* | V у € 0:_7 ду = 0}.

Зададим в сопряженном пространстве В* систему 0?* отношений эквивалентности, считая функционалы /, д V* ^-эквивалентными, если / — д € 0*. Система 53* отношений эквивалентности элементов пространства В* обладает всеми перечисленными выше свойствами.

Т е о р е м а. Если линейный оператор F : В —»• В волътерров на системе 93, то сопряженный оператор F* : В* —> В* будет вольтерровым на системе 93*.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра // Мат. сборник. 2006. Т. 197. № 10. С. 33-56.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 04-01-00324) и Норвежского комитета по развитию университетской науки и образования - NUFU (проект № PRO 06/02).

Поступила в редакцию 8 ноября 2006 г.

POSITIVE INVARIANCE AND PERIODIC SOLUTIONS FOR DIFFERENTIAL INCLUSION WITH NON-CONVEX RIGHT-HAND SIDE

© E. Panasenko

The talk is concerned with the non-autonomous ordinary differential inclusion in finite dimensional space with periodic, compact, but non necessarily convex valued right-hand side. It is shown that if for such an inclusion there exists a strongly positively invariant set then there exists a periodic solution of the inclusion which stays in SDt.

Let be a Euclidian space with the scalar product (x, y), x,y € Rn, usual norm |ar| — \J(x, y), and metric p(x, y) = |x — s/I, and let comp(En) stand for a set of all compact subsets of Rn. By AC {{to, ti], Rn) we denote the space of all absolutely continuous functions x : [io>£i] Rn with the norm IklUc =

|a?(*o)| +

Consider an ordinary differential inclusion

x G F(t,x), (1)

where F : E x E" -) comp(Rn) satisfies Caratheodory conditions. As a solution of (1) on an interval I C E we suppose a function x 6 AC(I,Rn) satisfying inclusion (1) for a.e. t e /, so we deal with the Caratheodory type solutions.

Let a map M : E —t comp(Mn) be continuous and denote a set

971= {{t,x) <E E x En :x 6 (2)

which represents the graph of M. The set VJl is called strongly positively invariant under inclusion (1) if for every point z0 = (t0,x0) £ DJl any solution t —> x(t,z0) of the Cauchy problem for (1) with initial

condition x(io) = £o satisfies (t,x(t,zo)) £ 9Jt for every t ^ to.