CC BY
15
А. Б. Коноплев
УДК 515.126.83
ОБ ОДНОМ С ПОСОБЕ ПОСТРОЕНИЯ ВЕРХНИХ ВЫПУКЛЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯ*
Пусть X = Rn,Y = Rm,Z=XxY, F:X-+2y - многозначное отображение с замкнутыми образами. Рассмотрим функцию расстояния (ФР) от точек до образов многозначного отображения в произвольной норме
dF{z)= inf ¡y-vf, z = (x,y). veF(x)
Введём следующие обозначения: z0 = (х0,у0) е domF х Y, z - (х,у) е Z , 0 y - нулевой элемент пространства X , <-,•> - скалярное произведение, ö|j-|| - субдифференциал нормы, - производная
нормы в точке у по направлению у, Г+ - положительно сопряжённый конус к конусу Г, /'-сопряжённая функция к функции /, 5(zj/í), 5 {z\A) - соответственно индикаторная и опорная функции множества А в точке z [1],
W(z0) = {w е YI \\у0 -Ц < dF(z0)}, 0(zo) = tV(z0)nF(x0),
4V = {y: [0,a0]-> Y\a~V(a) -> 0,a i 0}, Lf(z0,v,x) = {yeY I 3a0 > 0, w(a) e W(z0), v|/(a) e : vv(a) —> v, a 4- 0, w(a) + ay + v|/(a) e F(x0 + ax), a e [0,a0]}.
Определение [1, с. 206]. Пусть/ :Z —> R липшицева функция. Функ-
t — — ция h (z0,z) аргумента z называется верхней выпуклой аппроксимацией
(в. в. а.) функции / в точке z0, если
1) h\z0,z)> /Т (z0, z) = lim sup a"1 [/(z0 + a z) - /(z0 )],
alO
2) h (z0,z) - выпуклая замкнутая положительно однородная функция аргумента z.
Нижеследующая теорема даёт способ построения в. в. а. ФР. Свойства многозначных отображений, используемые в формулировке и доказательстве теоремы, можно найти в монографии [2, с. 22].
ТЕОРЕМА. Пусть v е 0(zo) , ФР - локально липшицева в точке z0, а Г( ) - положительно однородное замкнутое выпуклое многозначное отображение, равномерно ограниченное во всех точках своей эффективной области. Кроме того, для всех х е X выполняется включение
" Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1)-
68
Г(х) с: LF(zQ,v,x). (])
Тогда функция
h't(z0,z) = sup <z,z> (2)
«Юд (x^ -vi-lgrf']'
является в. в. а. ФР в точке z0.
Доказательство. Воспользуемся теоремой 1 из [3]. С учётом включения (1), получаем
jt, ■ f %0-HL ■ r Ф'о-vl
dF(zQ,z)< inf ——----" < ini ----------
QeLF(z0,v,x) d(y-Q Cenx)d(y-Q
Рассмотрим функцию
h(z) = inf
ЩУо - vii
СеГ(х) д(у - О
1. Докажем выпуклость Ыг). Выберем произвольно zi,z-,eZ, ае[0,1]. Принимая во внимание выпуклость отображения Г и положительную однородность производной по направлению нормы, получаем
й(аг,+(1-а)22)= тГ с%о_"Н
СеГ(аХ|+(1-а)дг2)0(а>', + (1 - а)у2 - Q
inf
ЩУо-Ч
+(1-а)С2еаГ(*,)+(1-а)Г(л:1) д(а yi + (1 - О.).V2 ~ О
3||vn—vll 3|yn-v|i
< a inf -ü- + (i_a) inf J -
С^П*, )д(у, -С1) С2еГ(д:2) д(у2 ~ С,2)
= аЛ(г,) + (1-а )Л(*2).
2. Докажем положительную однородность . Возьмем а > 0. С учетом положительной однородности отображения Г и производной по направлению нормы, имеем
иг л ■ * 4У0-И1 • г ( %o-v||
h{az)= inf —11-— = inf "—H--—
a -
ч
= a h(z).
3. Замкнутость функции h(z) следует из леммы 3.5. [2, с. 28] в силу непрерывности производной по направлению нормы как функции направления, равномерной ограниченности и замкнутости отображения Г
4. Подсчитаем h"(2) .
h*(z) = sup{< z,z>-h(z)} = sup{< z,z > - inf =
zeZ zeZ 8(y - Q
Фо"НП1 L- . Фъ-И
"■= sup <<z,z>-^4r
= sup<<z,z>+ sup zeZ I Qer(i)
l, (x.Qegrrl. d(y- Q
veX
= sup <<z,z>- sup <p,y-C,>\ =
O.Oegrt" [ pedjyg -v|
уеУ
= sup inf <(x,p- p),(x,Q>.
(x.QegrT РЩУо~П
Воспользуемся теоремой о минимаксе [2, с. 17], которая применима в данном случае. Получаем
h\z)= inf sup <(x,y-p),(x,Q>= inf =
реЩуо ~v|| РЩУо -v||
= inf i0'
рЩуо-v¡ [+00, z Í {0x,p)~ [grr]
В силу доказанного в п.п. 1 — 3 функция h(z) удовлетворяет определению в. в. а. Из п.п. 1 и 3 по теореме Фенхеля-Моро [2, с. 14] следует, что для функции h(z) справедливо равенство h(z) = h**(z). Подставляя в это равенство выражение для h'(z) из п. 4, получаем требуемое равенство (2). Что и требовалось доказать.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.
2. Минченко Л. И., Борисенко О. Ф., Грицай С. П. Многозначный анализ и возмущенные задачи нелинейного программирования. Минск: Навука i тэхнжа, 1993.
3. Коноплев А. Б. О дифференцируемое™ по направлениям функции расстояния от точек до образов многозначного отображения // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 43 - 46.
УДК 517.984
В. В. Корнев, А. П. Хромов
О РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*
В [1] установлена равносходимость разложений по собственным и присоединённым функциям интегрального оператора
1-х
А/= ¡А(1-х,0/(0Ж, *е[0,1],
' Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1), Российского фонда фундаментальных исследований (проект 03-01-00169) и программы «Университеты России» (проект ур. 04.01.041).
