Об одном специальном квазианалитческом классе функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛЕММА 5. Пусть xe[0,ß-Si] и для функции f2{x) выполняются условия теоремы 3. Тогда

f2-Sl+h(f2) = o( 1) при больших л:, где Sl+h(f2) представляет собой частичную сумму ряда Фурье функции /2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 .ХромоеА. П. Дифференциальный оператор с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат. заметки. 1976. Т. 19. № 5. С. 763 - 772.

2. Freiling G. Irreguläre Mehrpunkt-Eigenwertprobleme mit zerfallenden Randbedingungen: Habilitationsschrift dem Fachbereich 11 - Mathematik. Duisburg, 1979. 90 s.

УДК 517.5

В. И. Шевцов

Ob ОДНОМ СПЕЦИАЛЬНОМ КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКОМ КЛАССЕ ФУНКЦИЙ

В данной статье рассматриваются ряды вида

the4*- (О

Представления функций рядами вида (1) изучались многими математиками. Фундаментальные исследования по теории представления функций рядами (1) проведены А. Ф. Леонтьевым [1, 2] и его учениками.

Пусть Цк) = £dkXk - целая функция уточненного порядка р(г) и

*=о

типа о. По определению функция р(г) называется уточненным порядком, если существуют lim p(r) = р, lim rp'(r)\nr = 0. Обозначим через г = ф(?)

г—>х

функцию, обратную к функции t = rp(r'. Предположим, что все нули функции L(X) простые, обозначим их через Хк. В дальнейшем 0< р < 1.

X х

Система функций е к неполна в метрике С ни на каком отрезке, так как ® 1

<сс при условии 0 < р < 1 [2, с. 61] . Обозначим через Ат класс

бесконечно дифференцируемых на интервале \a:b\ функций /(х), удовлетворяющих условиям:

1) !/(я)(*)! < В}тп (п > 0), а < х < b , 2) lim = 0, (2)

1 J л->=о (р(и)

где В] - постоянная, для каждой функции f\x) своя.

Класс Ат не является квазианалитическим. Например, если

т„=па", 1 < а < —, 0 < р <1, тогда Ат< не является квазианалитическим р "

классом функций [3, 4].

Обозначим А*Шг подкласс , что любая функция f е А*П1 удовлетворяет следующему уравнению бесконечного порядка:

М^Л- 1<,/(п)«=0. (3)

я=0

Элементарными решениями (3) являются функции е'"к>', Цкк) = 0. При исследовании класса Ат важное значение имеет интерполирующая функция, которая определяется следующим образом. Обозначим через Сп(у.) (п = 0,1,2...) тейлоровские коэффициенты функции:

„с.

Функция

<йА(ц,/,а) = ¿Си((Д.)/^"')(а), а < а <Ь, реС, (4)

и=0

называется интерполирующей функцией. Если / б Лот> , то интерполирующая функция является целой функцией комплексного переменного р .

Отметим необходимое в дальнейшем свойство интерполирующей функции: если / е А*т , тогда справедливо равенство

е1*(«-^а)1(Х4,/,х0) = ае(о;Ь). (5)

Далее, со£(ц,/,.х0) будем обозначать через Функции / е

приведем в соответствие ряд

/ ~ ±Ьк(а)е^.. . (6)

4=1

Справедливы следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 1. Если f^Am и ^(а) = 0 {к = 1,2,...), тогда

/м(а) = 0 (и = 0,1,...).

Доказательство теоремы 1 в основном проводится методами, предложенными в [5, 6].

ТЕОРЕМА 2. Класс Ат квазианалитический.

п

Доказательство. В силу линейности класса Ат необходимо доказать, что если и = 0, /0 е(д;6) (и = 0,1,2,....), тогда

/(0 = 0. Рассмотрим случай, ког да (0 = " ^ - ■ применяя (5), получаем ¿„(а) = 0 (и = 1,2,...) для любого оге(л;Л), отсюда по теореме 1 /(?) = 0. Пусть ?] * г0 и / (^) = 0 (и = 0,1,...), используя (5), находим юх ,/,?,) = со £ ,/) = 0, отсюда как и выше /(?)н0. Теорема доказана.

Рассмотрим задачу, связанную с аналитическим продолжением функции / е А*, . Эту задачу будем рассматривать в случае, когда характеристическая функция ЦК) уравнения (3), удовлетворяет следующим дополнительным условиям:

1) дх)=п 1-

X2 ^

> и* >°; (7)

2) lim-г In-—!—г < оо, 0 < h < 1. (8)

\xk\h \L'ak)\

ТЕОРЕМА 3. Пусть / е и выполнены условия (7) и (8), тогда /(А') допускает аналитическое продолжение в полосу а < Rez < Ъ ив этой

■Г/ \ V- Л12

полосе /(*) = 2>te ' . а* = - г,,. . •

i=l А (Л* )

Доказательство данной теоремы опирается на оценки коэффициентов ак при условиях (7), (8) для / е Ат и теоремы 1 и 2.

Рассмотрим теперь задачу, когда функция / е удовлетворяет также уравнению

МА(/) = 0, *еД, Äc(e;i), (9)

где Д - интервал; характеристическая функция /.[(Ä.) - целая функция уточненного порядка p(r)> lim p(r) = р и конечного типа.

г * 1

ТЕОРЕМА 4. Для функции f е А%т , удовлетворяющей условию (9),

справедливы следующие утверждения:

1) если функции ЦК) и Lx (/.) не имеют общих нулей, тогда f(x) = 0, хе(а;Ь).

2) если функции ЦК) и Ц(к) имеют общие нули Кк, тогда в условиях теоремы 3

к=1 L\Kk) 140

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М., 1976.

2. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.. 1980.

3. Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. М.;Л., 1937.

4. Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей, применения. М., 1955.

5. Шевцов В. И. Об одном квазианалитическом классе функций. Саратов, 2000. 15 с. Деп. в ВИНИТИ 20.04.2000, №1ЮЗ-ВОО.

6. Шевцов В. И. Уравнение бесконечного порядка в одном квачианалитическом классе функций // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов, 1999. С. 72-75.

УДК 519.517.948

Е. В. Шишкова

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ С'|0,1| *

Рассмотрим уравнение Абеля:

И1 = Дх), 0<*<1, 0<(3<1. (1)

В данной статье, используя общий подход из [1], по аналогии с [2] построен метод нахождения приближений к решению и(х) е С[0,11 уравнения (1), а также к производной от решения (если и(х)еС'[0,1]), когда правая часть /(х) уравнения задана ее б-приближением в метрике £2[0,1]:||/-/8|Х2 <5.

Подход из [1] заключается в следующем: если для уравнения известен обратный оператор А ' и имеется семейство операторов Та такое, что -и| -> 0 при а—>0, то семейство операторов Яа =ГаА~1 будет ре-гуляризируюгцим для исходного уравнения в случае, если Ла является ограниченным оператором, действующим из в С.

Известно [3], что

Г(1-0)Л1о'(х-О

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).

141