CC BY
16
УДК 517. 937
ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В.И. Фомин
Кафедра «Прикладная математика и механика», ГОУ ВПО «ТГТУ» Представлена членом редколлегии профессором Г.М. Куликовым
Ключевые слова и фразы: банахово пространство; оператор-функция; операторный дискриминант; полугруппа; производящий оператор полугруппы; резольвента; характеристический оператор.
Аннотация: Найдены двухпараметрические семейства решений уравнения из заголовка статьи в случае, когда операторный дискриминант позитивен или равен нулю.
В банаховом пространстве E изучается уравнение
u(t) + Bu (t) + Cu(t) = f (t), 0 < t < ¥, (1)
где f (t) e C ([0, ¥); E ) ; B, C e N (E); N (E) - множество замкнутых неограниченных линейных операторов, действующих из Е в Е, с плотными в Е областями определения.
2
Рассмотрим операторный дискриминант Д = B - 4C .
Заметим, что D( Д) = D(B2 ) n D(C). Пусть 2
1) Д = F , где F - некоторый оператор из N(E);
2) характеристические операторы Aj 2 = (1 /2)(—B + F) являются производящими операторами полугрупп Ui(t) и Ü2(t) класса Co ;
3) BFx = FBx, x e D(A2), где D(A2)::=D(A2) = D(A2) = D(A1A2) = = D(A2A1 ) = D(B2 ) n D(C) n D(BF) n D(FB);
4) f (t ) e D(A ) при каждом t e [0, ¥) ;
5) Bf (t), Ff (t), B2f (t), BFf (t), Cf (t) e C([0,¥); E).
Теорема 1. При выполнении условий 1) - 5) уравнение (1) имеет двухпараметрическое семейство дважды непрерывно дифференцируемых решений вида
t
u(t) = U^t)Xi + (t-t)U 1 (t)(X2 - A^)dt +1
0
ds,
(2)
2
где xj, X2 - параметры; xj e Dj, X2 e D(A );
0
0
Д = Б(В2) п Б(ВС) п Б(ВЕ) п Б(FB) п Б(FC).
Перед доказательством теоремы 1 сделаем несколько замечаний, которые понадобятся нам в дальнейшем.
В силу условия 3) справедливы соотношения
(Л 2 + ВЛк + С) х = 0, х е Б (Л2); к = 1,2; (3)
Л1Л2х = Л2Л1Х = Сх, х е Б (л2 ); (4)
(Л1 +Л2) х = -Вх, х е Б(Л), (5)
где Б(Л):: = Б(Л1) = Б(Л2) = Б(В) п Б(Е).
В силу условия 2) имеем при к = 1,2 [1, с. 17]
Пк (0) = I, (6)
ик (г)хе Б(Л), г е [0,¥); и'к (г)х = ЛкПк(г)х = Пк (г)Акх, "хе Б(Л), (7)
кроме того, Б(Л) = Е и операторы Л}, Л2 замкнуты.
В силу условий 3) - 5) справедливо включение ЕВ/(?) е С([0,¥);Е) и из условия 5) следует, что
АрА^/(г) е С([0,¥);Е) ; 1 < /', у < 2; 0 < р, q < 2; 1 < р + q < 2 (8)
(по определению, Л° = I, к = 1,2).
Пусть Ф = Ф([0,¥) ;ДЕ)) - множество оператор-функций А(г) действительного переменного г е [0, ¥) со значениями в Ь(Е), где ДЕ) - пространство линейных ограниченных операторов, действующих из Е в Е. Рассмотрим семейство сильно непрерывных по ? е [0, ¥) на пространстве Е функций:
фЕ = {А(г) еФ | А(г)хе С([0, ¥); Е) при каждом х е Е} .
В силу условия 2) справедливо включение
ик (?) еФЕ; к = 1,2. (9)
Ниже неоднократно будет использован без дополнительных оговорок следующий факт: если А(г) ефЕ, g(t) е С([0, ¥); Е), то А(№) е С([0, ¥); Е) , т. е. композиция сильно непрерывной операторнозначной функции и непрерывной векторнозначной функции является непрерывной функцией [2, с. 21].
Замечание 1. В силу (7), (9) справедливо включение
ик (г) х е С!([0, ¥); Е), "х е Б (Л), к = 1,2.
В дальнейшем потребуются частный случай формулы дифференцирования интеграла по параметру
J g (t, t )d t
/
t
0
J [g (t, t)]t dt+g (t, t), (10)
0
а также следующие вспомогательные утверждения.
Лемма 1. При выполнении условий 1) - 3) справедливо соотношение
Л2Пі(і)у = )Л2у, у є Б(Л). (11)
Доказательство. Покажем вначале, что
Л2и1(і)х = и1(г)Л2X, Xє £(Л2), (12)
для чего достаточно установить, что
^(0X = и1(ґ)^х, х є £(Л2), (13)
ибо формула (12) следует из (13) в силу равенства Л2 = Л! + Р и соотношения (см. (7))
Л1и1(і)X = и^ОЛ^, X є П(Л). (14)
Покажем справедливость (13). По условию 3) Л1 является производящим оператором полугруппы и(/) класса С0. Известно [2, с. 61], что производящий оператор полугруппы класса Со для всех 1 с достаточно большой вещественной частью имеет резольвенту и справедливо представление
О+г»
их(/) У = -— \ ektRлl(X)уdX, у є £>(Л), (15)
2тг 1
О—'1»
где Rл1 (1) = (Л1 -11 )-1. Если у є Д(Л), то в силу (7) и^)у є Б(Л), следовательно, и^)у є -О(Р). Тогда, используя формулу (15) и замкнутость оператора Р, получаем соотношение
О+г»
ри^)у = -— [ eXtFRл.(DУd 1, у є £>(Л). (16)
2т •> 1
С—г»
Покажем, что
FRл1 (1)у = Rл1 (1)Ру, у є £>(Л). (17)
Пусть Н = Л1 -11, тогда Н 1 = Rл1 (1). В силу условия 3)
РШ = HFx , X є Б(Л2). (18)
Пусть уєБ(Л) = Д(Л^. Тогда Н_1уєО(А^)=Д(Л2), ибо Rл1 (1)[-0(Л1)] = В(Л2) [2, с. 30]. Используя соотношение (18), получаем:
РН-1 у = Н-1[(НР)Н-1у] = Н-1[(РН)Н-1 у] = Н-1[Р(НН-1 у)] = Н-1Ру .
Соотношение (17) установлено. В силу (16), (17)
О+г»
РЩ^)у = -— [ еХ^л.(к^1, у є £>(Л). (19)
2т •* 1
О-г»
Пусть X є Д(Л2), тогда X є Д(Л), Fx є -О(Л) и в силу (15), (19)
ö+г»
FüY (t)x =-----f eXtRA (l)Fxdl = üY (t)Fx,
2p J 1
S—i¥
т.е. имеет место равенство (13). Соотношение (12) доказано.
Пусть у е D(L) . Известно [2, с. 60], что область определения любой положительной степени производящего оператора полугруппы класса Со плотна в E, 2 2
в частности, D(Lj) = D(L ) плотна в E. Следовательно, существует последова-
2
тельность {xn} с D(L ), такая, что lim xn = у. В силу (12)
L2U (t)Xn = Ü!(t)Ä2Xn , П е Ж. (20)
Учитывая замкнутость оператора Л 2, замкнутость ü(t) при каждом t е [0, ¥) как ограниченного оператора и тот факт, что для замкнутого оператора знак оператора и знак предела можно менять местами, и переходя в равенстве (20) к пре-
делу при n ® ¥ , получаем соотношение (11). Лемма 1 доказана.
В силу равенства B = — F — 2Lj и соотношений (13), (14)
BüY (t)x = U (t)Bx, x е D(L2), (21)
2
откуда следует в силу плотности D(L ) в E и замкнутости операторов B, üj(t) соотношение
Büj(t)x = üj(t)Bx , x е D(L). (22)
Аналогично, из равенства (13) следует, что
Füj (t)x = üY (t)Fx, x е D(L). (23)
22
Используя равенство С = (1/4)(B — F ) и соотношения (22), (23), приходим к формуле вида
Cüj (t)x = üY (t)Cx, x е D(L2). (24)
Пусть x е D(L), x фиксирован. Рассмотрим функцию действительного переменного t е [0, ¥) вида
t
Jj(t,x) = f ü2(t — t)üj(t)xdt.
0
Лемма 2. При любом фиксированном x е D(L) справедливы соотношения
Jj(t, x) е Cj([0, ¥); E), (25)
J{ (t, x) = üj(t)x + Jj (t, Л2x). (26)
Доказательство. В силу включения (9) подынтегральная функция gj(t, t) = ü2(t — t)üj(t)x непрерывна по т и t. В силу (7) справедливо включение üj(t)xе D(L) при каждом те [0,t] и [gj(t,t)]t = ü2(t — t)L2üj(t)x или в силу (11) [ gj (t, t )]t = ü2(t — t)üj(t)L2x , откуда видно в силу (9), что производная [ gj(t, t)]t непрерывна по т и t. Следовательно, можно применить формулу (10), в силу которой и соотношения (6)
J{(t, х) = | и2 -т)и1(т)Л2хёт + и1(/)х = и1(/)х + Л2х),
0
т.е. получили формулу (26), из которой видно, что справедливо включение (25), ибо в силу (9) оба слагаемых в правой части последней формулы непрерывны по г. Лемма 2 доказана.
В силу (7), (11) и замкнутости оператора Л2 формулу (26) можно записать в
виде
3[(г, х) = и1 (г)х + Л231 (г, х). (27)
Пусть 0 = {к(.5) е С([0, ¥); Е) | к(5) е -О(Л) при каждом 5 е [0, ¥); ЛкИ(&') е С([0, ¥); Е), к = 1,2} . Рассмотрим для фиксированной функции й(^) е О функции действительного переменного г е [0, ¥) вида
.Л
■(t, Â(s)) = j
0
j U2(t-5-t)U1(t)h(s)dt
0
ds,
^(г, И(5) = | - 5)к(5)ё5 .
0
Лемма 3. При любой фиксированной функции й(^) е О справедливы соотношения
32 (г, И(5)), 73 (г, И(5)) е С1 ([0, ~); Е), (28)
У2(г,И(5)) = ./2(/,Л2И(5)) + ^(г,к(5)), (29)
у3 (г, к(5)) = ./3 (г, Л1И(5))+И(г). (30)
Доказательство. В силу включения (9) и непрерывности функции И(5) подынтегральная функция
г -5
S2l(s, t) = j U2 (t - s-t)U1(t)h(s)d t
непрерывна по 5 и t как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. При фиксированном значении s подынтегральная функция g22(x,t) = U2(t-s-x)U1(x)h(s) непрерывна по т и t в силу (9).
По условию h(s) е -О(Л), следовательно, в силу (7) справедливо включение Ui(t)h(s) е D(L) и [g22(t, t)]t = U 2(t - s-x)L2Ui(x)h(s) или в силу (11) [g22 (t,t)] = U2 (t-s-t) Ui (t)L2h(s), откуда видно в силу (9), что производная [g22 (t,t)]t непрерывна по t и t. По формуле (10)
t-s
[g2l(s,t)]'t = j U2(t-s-x)Ui(t)L2h(s)dt + Ui(t -s)h(s), (31)
0
откуда видно, что производная [g2i(s, t)]t непрерывна по s и t как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции, ибо подынтегральная
0
функция в формуле (31) непрерывна по 5 и г в силу включения (9) и непрерывности функции Л2И(5) . По формуле (10)
J 2 (t,h ( * )) = J
J U2 (t - *-t)U (t)K2h(s)dt
t
+
0
(32)
JUl(t - *) h (*) ds = J2 (t,À2h(*)) + J3 (t,h(s)),
т.е. справедлива формула (29). Из (32) видно, что (г,И(5))е С1([0,¥);Е), ибо
каждое слагаемое в правой части (32) непрерывно по г как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Докажем формулу (30). В силу включения (9) и непрерывности функции к(5) подынтегральная функция g3 (5, г) = Щ(г - 5)И(5) непрерывна по 5 и г.
По условию й(^) е Б(Л), следовательно, в силу (7) справедлива формула [£3(5г)] = ^(/ - 5)Л1к(5), откуда видно, в силу (9) и непрерывности функции Л^я), что производная [£3(5, г)] непрерывна по 5 и г. Применяя формулу (10) и используя (6) при к = 1, получаем соотношение
г
33 (г, й(^)) = | и^г - 5)Л1Й(5)й5 + к(г) = Jз (г, Л^^)) + к(г),
0
т.е. справедлива формула (30), из которой видно, что 33 (г, й(«) )е С1([0, ¥); Е). Лемма 3 доказана.
В силу (7), (11) и замкнутости операторов Л1 , Л2 формулы (29), (30) можно записать в виде
32 (г, к(5)) = Л2 32 (г, к(5)) + 33 (г, од), (33)
33 (г, од) = Л133 (г, И(5)) + И(г). (34)
Доказательство теоремы 1. Пусть
х1 е Б1, х2 е Б (Л2), (35)
и параметры х1, х2 фиксированы. Тогда в силу включения Б1 с Б (л2 )
х1 е Б (Л2), (36)
и в силу включения Б (л2 ) с Б (Л)
х1, х2 е Б(Л). (37)
Покажем, что функция вида (2) является решением уравнения (1). Используя введенные выше обозначения, запишем ее в виде
и (г) = Ц(/)х1 + 31(г, х2 - Лл) + 32 (г, /(5)). (38)
В силу (7), (37)
и[(г) х1 = и1(г)Л1х1. (39)
+
0
0
В силу (36), (37) справедливо включение x2 — AjXj е D(A), следовательно, по формуле (26)
J1(1, x2 — A1x1) = U1(t)(x2 — A1x1) + J1(í, A 2 x2 — A2 A1x1) или в силу (4), (36)
J[(t,X2 — A1X1) = U1(t)(X2 —A1X1) + J(t,A2X2 — CX1). (40)
В силу условия 4) и соотношения (8) справедливо включение f (s) е W , следовательно, по формуле (29)
J2 (t, f (s)) = J2 (t, A2f (s)) + J3 (t, f (s)). (41)
В силу (38) - (41)
u'(t) = U1 (t)X2 + J1 (t, A2X2 — CX1) + J2 (t, A2 f (s)) + J3 (t, f (s)) . (42)
В силу (27), (33) формулу (42) можно записать в виде
u'(t) = U1 (t)X2 + A2J1 (t, X2 — A1X1) + A2J2 (t, f (s)) + J3 (t, f (s)). (43)
В силу (7), (37)
U'(t) X2 = U1(t)A1X2. (44)
В силу (35) справедливо включение A2X2 — CX1 е D(A), следовательно, по формуле (26)
J1(t, A2X2 — Cx1) = U1(t)(A2X2 — Cx1) + J1(t, A2X2 — A2Cx1) . (45)
В силу условия 4) и соотношения (8) справедливо включение A2 f (s) е W , следовательно, по формуле (29)
J2 (t, A2 f (s)) = J2 (t, A2 f (s)) + J3 (t, A2 f (s)) . (46)
По формуле (30)
J (t, f (s)) = J3 (t, Af (s)) + f (t). (47)
В силу (43) - (47) с учетом соотношения (5) получаем, что
u "(t) = Ui(t)(-Bx2 — Cxi) + Ji(t, Л2 X2 —Л 2CX1) +
(48)
+ J2 (t, A2 f (s)) + J3 (t, — Bf (s)) + f (/).
В силу непрерывности функции f (s), условия 4) и включений (8), (9) каждое слагаемое в правой части (48) непрерывно по t, следовательно, u(t) е C ([0,¥);E).
Учитывая (7), (11), (27), (33), (34) и замкнутость операторов A2,B , формулу (48) можно записать в виде
u "(t) = f (t) + U1(t)(—Bx2 — Cx1) + a2 J1(t, x2 — A1X1) + (49)
+ A2 J2 (t, f (s)) — BJ3 (t, f (s)).
Покажем, используя представление (43), что
u (t) е D(B), / е [0, ¥). (50)
В силу (7), (37)
Щ(Г)х2 е Б(Л). (51)
Из (49) видно, что
31(г,х2-Л1х1), 32 (г,/(5))е Б(Л2), (52)
следовательно,
х2-Л1x1), Л232 (г,/(5))е Б(Л) . (53)
Из (47) видно в силу (34), что
33 (г, /(5))е Б(Л). (54)
В силу (43), (51), (53), (54) справедливо включение и '(г) е Б(Л), г е [0, ¥, откуда следует (50). Покажем, используя представление (38), что
и(г) е Б (С), г е [0, ¥). (55)
В силу (24), (36) имеем равенство ^(/^Сх! = Си^г) х1, откуда видно, что
и1(г) х1 е Б(С). (56)
В силу (52)
31(г,х2-Л1х1), 32(г,/(5))е Б(С), (57)
и включение (55) следует из (38), (56), (57).
Учитывая (38), (43), (49), (50), (55), а также соотношения (3), (21), (24), (52), получаем:
и (г) + Ви'(г) + Си(г) = /(г) + и1(г)(-Вх2 - Сх1) + и1(г)Вх2 + и1(г)Сх1 +
+ (Л2 + ВЛ2 + С)J1(/, х2 -Л1х1) + (Л2 + ВЛ2 + С)32 (^ У(5)) -
- В/3 (г, /(5)) + В/3 (г, /(5)) = /(г).
Теорема 1 доказана.
Представление решений уравнения (1) в виде (2) полезно тем, что, как видно из (2), (42), значения параметров х1, х2 - это значения соответствующего решения и его производной в нуле: и(0) = х1 , и (0) = х2 , откуда вытекает
Следствие 1. При выполнении условий 1) - 5) задача Коши для уравнения (1) с начальными условиями и(0) = и0 , и'(0) = и0, где и0 е Б1, и0 е Б(Л2), имеет решение вида (2) с х1 = и0), х2 = и0 .
Пусть оператор ¥ из условия 1) имеет ограниченный обратный ¥_1.
Тогда семейство решений (2) уравнения (1) можно записать в виде
и(г) = ^(0¥ _1(х2 -Л1х1) - и1(г)¥ -Л2 х1) +
г
+ | [и 2 (г - 5) - - 5)] ¥-/(*)&.
0
Действительно, известно [2, с. 188], что если А2 = А + Q, то
г
(58)
Iи^2(г-т^иА1(т)хёт= \иА2(г)-и^о]х, хе Б(^12); 0
где иАк (г) - полугруппа, порожденная оператором Ак, к =1,2 .
В нашем случае Л 2 = Лі + ¥, следовательно,
І
|и2(ґ- х)¥Щ (х)хёх = [и2(і) -Щ(і)]X, Xє Б(Л2). (59)
0
Известно [3, с. 218], что если обратимый оператор Т коммутирует с оператором А є Ь(Е), то ]
П(Л) с П(¥)
А є Ь(Е), то Т 1 тоже коммутирует с А. Следовательно, в силу (23) и включения
¥_1и1 (г)х = и1 (г)¥_1х , х е Б(Л). (60)
Известно [4], что
¥-1 [Б(Л)]с Б(Л2). (61)
В силу (36), (37), (61)
¥-1(х2 -ЛЛ) е Б(Л2). (62)
В силу условия 4) и включения (61)
¥-1/(5) е Б(Л2). (63)
Используя (59), (60), (62), а также включение х2 - Л^ е Б(Л), получаем:
t t
jU2(t-x)U!(t)(x2 -ЛЛ)dt = jU2(t- t)F[F-1U1 (t)](x2 -ЛЛ)dt =
0 0
t
: jU2 (t - t)F [Ui (t)F-1 ] (X2 - Л1Х1 )dt = j [U2 (t -1)FUl (t)] F-1 (X2 - ЛЛ)dt =
г г
Ь(г-Т)и1(т)(х2-Л^ё Т=| и 2 (г-Т)¥| ¥ и1(Т) | (х2-Л^)
0 0
г г
'2(‘ _ •')■'' 1^1(1-)^ | (х2 -Л1х1)^ - I и 2 (
00
= [и 2(г) - Ц(г)] ¥-1( х2 -ЛЛ).
(64)
Аналогично, учитывая, что /(5) е Б(Л) и включение (63), приходим к формуле
г - 5
I Щ(г-5-т)Щ(т)/(5)ёт= [Щ(г-5)--5)]¥-1/(5). (65)
0
Из (2), (64), (65) следует представление (58).
Если Д = 0, то Л1 = Л2 = Л0 = -(1/2) В; следовательно, Щ(г) = и 2(г) = и (г), где и (г) - полугруппа, порожденная оператором Л0 = -(1/2)В, и формула (2) с учетом полугруппового свойства и(^)и((2) = и([1 + г2) принимает вид
г
и (г) = и (г) \ х1 + (х2 - Л0х1) г] +1 и (г - 5)(г - 5)/(5)ё5. (66)
0
Получаем следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:
а) Д = 0, т.е. С = (1/4) В2;
б) оператор Л0 =-(1/2)5 является производящим оператором полугруппы U(t) класса Со;
в) f (t) е D(Lo) при каждом t е [0, ¥;
г) Ло f (t), Л2 f (t) е С ([0, ¥); E).
Тогда уравнение (1) имеет двухпараметрическое семейство дважды непрерывно дифференцируемых решений вида (66), где xi, Х2 - параметры;
x1 е D(Лo), Х2 е D(A-o ).
Заметим, что в условиях в), г) вместо оператора Ло можно записать оператор В , ибо, D(Lq ) = D(Bk), к е N .
Теорема 2 доказывается аналогично теореме 1, при этом используются замкнутость оператора Ло, соотношения U(0) = I, U(t) е фЕ ; U(t)x е D(Lo), U'(t)x = = LoU(t)x = U(ОЛ0x,"xе D^0), вытекающие из условия б); включение U (t) е Ф^Л0), где Ф^Л0) = {A(t) еФ | А^еС1^ ¥); E) при каждом xе D(Л0)};
известный факт о том, что композиция сильно непрерывно дифференцируемой операторнозначной функции и непрерывно дифференцируемой векторнозначной функции является непрерывно дифференцируемой функцией [2, с. 22], в силу которого для любой функции j(t) е W , где W = {j(t) е С1([0, ¥); E) | j(t) е D^0) при каждом t е [0, ¥)} , справедливы включение U(t)j(t) е С1([0, ¥); E) и формула
[U (t)j(t)] = U'(t )j(t) + U (t )j'(t); а также следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 4. При любой фиксированной функции h(s) е W0, где Q0 =
= {h(s) е С([0,¥);E) | h(s) е D^0) при каждом s е[0,¥ и Лoh(s) е С([0,¥);E)},
для функций действительного переменного t е [0, ¥) вида J (t, h (s)) =
t t
= Ju(t - s)(t - s)h(s)ds, J4 (t, h(s)) = j U(t - s)h(s)ds справедливы соотношения
0 0
J (t, h(s)), J4 (t, h(s)) е С1([0, ¥); E); J' (t, h(s)) = J (t, Лoh(s)) + J4 (t, h(s));
J4 (t, h(s)) = J4 (t, Л0h(s)) + h(t).
Лемма 4 доказывается аналогично лемме 3 .
Следствие 2. При выполнении условий а) - г) задача Коши для уравнения (1) с начальными условиями u(0) = щ, и'(0) = щ, где U0 е D(B3), u0 е D(B2), имеет решение вида (66) с x1 = U0, x2 = u0 .
Аналоги формул (58), (66) в случае В, С е ¿(E) найдены в [5].
Формулы (2), (66) позволяют получить оценки сверху по норме для решений уравнения (1). В силу известной оценки [6, с. 211] имеем для к = 1, 2
II Uk (t)|| < Mkd exp(Wk5t), 0 < t <¥, (67)
где Wk5 = ®k +d, Wk - тип полугруппы Uk (t), 5 - произвольное сколько угодно малое положительное число, Mkd = const, Mkd > 0 .
Используя неравенства (67) и обозначение N(t) = max || f (s)||, получаем
0<s<t
следующую оценку для решений вида (2) уравнения (1):
|| u(t)|| < M15 exp(W1dt) || x1 || +[(M15M25)/(W2 -W1)]{|| x2 -ЛlХl || exp(W1dt) X x [exp ( (W2 -Ю1) t)-1] + [N(t) /(Ю15Ю25 )] X X[w -W1 + exp(W1dt)[W15 exp((W -Ю1)t)-W25 ]]}.
Аналогичная оценка для решений (66) уравнения (1) имеет вид || u(t)||< M5 exp(Wdt) [||x1 ||+t(||x2 ||+(1/2)||Bx1 ||)] +
+M5N(t) (1/W5)texp(Wdt) + (1/Wg)(1 -exp(Wdt)) ,
где W5 = W+8, W - тип полугруппы U(t), 5 - произвольное сколь угодно малое положительное число, M5 = const, M5 > 0 .
Если рассмотреть скалярную задачу Коши
u’(t) + bu (t) + cu(t) = f (t), 0 < t < ¥, u(0) = u00, u'(0) = u0,
то в силу следствий 1, 2 можно, не прибегая к стандартной процедуре нахождения решения задачи Коши [7, с. 281], непосредственно указать ее решение: оно зада-
2
ется в случае Д = b - 4ac > 0 формулой
i(t) - (À2 -11 )
где 112 -(1/2)
(u0 — 11u0 ) — e%1t (u0 — 12u0 ) + i[>(t *) — e%l (t s)
f (s)ds
; а в случае Д - 0 формулой
и(Г) = е1с|Г [м0 + (и'о -10мо) I] +1е1^ -5)/(s)ds,
0
где 1о = —(1/2)Ь .
При исследовании некоторых вопросов приходится иметь дело с решениями дифференциального уравнения, порядок гладкости которых выше порядка уравнения. Такая картина наблюдается, например, при изучении малых стабилизирующих возмущений вырождающихся линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве: оказывается, что решение возмущенного уравнения с порядком гладкости, большим порядка уравнения, сходится при стремлении возмущающего параметра к нулю к ограниченному в точке вырождения решению соответствующего вырождающегося уравнения, тогда как для решения с порядком гладкости, равным порядку уравнения, такая сходимость может отсутствовать [8]. Укажем, как за счет ужесточения требований на операторные коэффициенты В, С , правую часть /(/) и параметры Х1, х2 можно повышать гладкость решений уравнения (1).
Пусть п е N, п > 3. Заметим, что для любых 0 < /, ] < п; 0 < р, д < п;
I + у = п, р + д = п выполняется равенство _0(Л1Л2) = -0(ЛрЛд)::= -0(Лп). Множество Б(Лп) = В(Л1) плотно в Е как область определения положительной степени производящего оператора полугруппы класса С0 .
Теорема 3. Пусть выполнены условия 1) - 3) теоремы 1 и, кроме того,
3.1) х1 е £(Л4),х2 е £(Л3);
3.2) /(^ е Б(А ) при каждом / е [0,¥;
3.3) АрАд/(0 е С([0, ¥);Е); 1 </, у < 2; 0 < р, д < 3; 1 < р + д < 3;
3.4) /(/)е С1([0,¥);Е).
Тогда при фиксированных значениях параметров хь х2 решение вида (2) уравнения (1) удовлетворяет условию ы(1) е С ([0, ¥); Е) и справедлива формула
M(3)(t) = U1(t )
Г 2
Г 2
Z Aj2 i Л2 Х2 - Z Л3 i Л2
i=1
Г Г 2 ^ >
t, Z л2-Л2 / (s) +
v =i о у
+ (68)
Г i .л
Z л1 i Л2
v i=0 у
/ (t) + / (t ).
Доказательство. Из условий теоремы 3 вытекают условия теоремы 1, следовательно, для решения вида (2) уравнения (1) справедлива формула (48), которую можно записать в силу (4), (5) в виде
Ч (t) = Ui(t) [(Л1 + Л2 ) Х2 -Л1Л2Х1 ] + J1 (^ л2(х2 -Л1х1)) + + J2 (^Л2/(s)) + J3 (t> (Л1 + Л2)/(s)) + /(t).
(69)
В силу условия 3.1) справедливо включение (А! +А2)Х2 — А1А2Х1 е Б(А), следовательно, в силу замечания 1
ЩЦ)[(А1 +А2)Х2 —А1А2х1 ]е С1([0,¥);Е), (70)
и в силу (7)
и1() [(А1 + А2)х2 — А1А2Х1 ] = ) [(А1 + А1А2)х2 — А2А2Х1 ] . (71)
2
В силу условия 3.1) справедливо включение А2(Х2 — А1Х1) е Б(А), следовательно, в силу (25), (26)
-1 (/, А2 (Х2 — А1Х1)) е С1 ([0, ¥); Е), (72)
Л А2(х2 — А1Х1)) = и1(0(А2Х2 А2А1х1) + -1 (^ А2(х2 — А1х1)) .
В силу условия 3.1) справедливо включение Х1, А2 Х1 е Б (А ), следовательно, в силу (4)
А2А1х1 = А2[(А2А1)х1] = А2[(А1А2) х1] = (А2А1)А2 Х1 = (А1А2)А2 Х1 = А1А2 Х1-
Тогда
J1 (^ Л2(Х2 - Л1Х1)) = U1(t)(Л2Х2 -Л1Л2Х1) + J1 (^ Л2(Х2 -Л1Х1)) ■ (73)
В силу условий 3.2), 3.3) справедливо включение А2/(5), (А1 +А2)/(5)еО следовательно, в силу (28) - (30)
Л
Л
+
Х
1
- Л Х
2
3
+
72 (г, Л2/(5)) = 32 (г, Л2/(5)) + 7з (г, Л2/(5)), (75)
Гъ (г, (Л1 + Л2)/(5)) = 3з (г, (Л2 + Л1Л2)/(5)) + (Л1 + Л2)/(г) . (76)
В силу (69), (70), (72), (74) и условия 3.4) справедливо включение
и'(г) е С1([0, ¥); Е), т.е. и (г) е С3 ([0, ~); Е).
В силу (69), (71), (73), (75), (76) и условия 3.4)
и(3)(г) = и1(г)[(Л2 +Л1Л2 + Л2)х2 -(Л^Л2 +Л1Л2)х1 ^ +
+31 (г,Л2(^2 -Л1Х1)) + 32 (г,Л2/(5)) + 33 (г,(Л1 +Л1Л2 +Л2)/(5)) +
+ (Л1 +Л 2) / (г) + / '(г).
т.е. справедлива формула (68). Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Пусть выполнены условия 1) - 3) теоремы 1; п е N, п > 4 и, кроме того,
4.1) х1 е Б(Лп+1), х2 е Б(Лп);
4.2) / (г) е Б (Лп) при каждом г е [0, ¥);
4.3) (ЛрЛ^ )/(г) е С([0,¥);Е); 1 < г, у < 2; 0 < р, q < п, 1 < р + q < п;
4.4) /(г) е Сп-2([0, ¥);Е);
4.5) /(1\г) е Б(Лп-2-1) при каждом г е [0, ¥), 1 < I < п - 3;
4.6) для любых 1 < т < n - 3, 0 < i < m
(Af-!L2)f(t) e C1([0, ¥); E):
[(лт-iL2)f (t)]' = (Lm-iL2^^'(t) :
4.7) в случае п > 5 для любых 4 < к < п -1, 3 < у < к -1, 0 < г < к - у, (Л^- у -г Л2)/(у-2) (г) е С1 ([0, ¥); Е),
(Lj- j-i L2)f( j-2)(t) = (Л* - j -i L2)f( j-1)(t ).
(77)
(78)
(79)
(80)
Тогда при фиксированных значениях параметров хь х2 решение вида (2) уравнения (1) удовлетворяет условию и (г) е Сп ([0, ¥); Е) и справедлива формула
u(n)(t) = U1(t )
( n-2
( n-1
Z Lf-1-i Л:
I i=0
n-1 ( n-j
( n-1
X2 -
Z ЛГ л
V i=1 J
( ( n-1 ^ \
t, Z лГ‘"'л2 f (s) +
V = О J
+ (81)
Z Ln-2-i Л2 f (t)+Z Z лП-j -iЛ2
V i=0
j=3Vi=0
f( j - 2)(t )+f(n-2)(t).
(n-2) (
■\
+
X
2
3
+
Замечание 2. Запись условия 4.6) корректна, ибо в силу условия 4.2) справедливо включение /(г) е Б(Лт) при каждом г е [0, ¥), 1 < т < п - 3, а в силу условия 4.5) при 1=1 справедливо включение /'(г) е Б(Лп-3), ге [0,¥, следовательно, /'(г) е Б(Лт) при каждом г е [0, ¥), 1 < т < п - 3.
Замечание 3. Запись условия 4.7) корректна, ибо в силу условия 4.5) справедливы включения /(у-2)(г), /(у-1)(г) е Б(Лк-у) при каждом г е [0, ¥),
4 < к < п -1, 3 < у < к -1.
В силу замечаний 2, 3 для справедливости формул (78), (80) достаточно, чтобы операторы вида
Лт 1Л2, 1 < т < n - 3, 0 < i < m,
(82)
были замкнуты.
Доказательство теоремы 4. Покажем вначале справедливость теоремы 4 при п = 4. Из условий теоремы 4 при п = 4 вытекают условия теоремы 3, следовательно, для решения вида (2) уравнения (1) справедлива формула (68). В силу условия 4.1) справедливо включение
( 2 Л
Z л?-1 Л2
V i=0
X2
(2
Z л3-1 л? .1=1
X1 e D(L).
следовательно, в силу замечания 1
U1(t)
(2
Z л?-1 л1
V i=0
X2
( 2 A
Z л3-1 л? i=1
X1
e C1([0, ¥); E),
(83)
и в силу (7)
U1(t )
( 2 'N
Z л?-1 л?
V i=0 (2
( 2 A
Z Л3-1 Л?
J
= U1(t)
Z л3-1 Л2
V i=0
V i=1 A ( 2
X2 '
Z Л4 1Л2
V i=1
X1
(84)
В силу условия 4.1) справедливо включение Л2(Х2 -Л1Х1) е Б(Л), следовательно, в силу (25), (26)
J1 (t,Л?(X?-Л1Х1))е С1([0,¥);E),
J1 (t, Л2(х2 - Л1х1)) = U1(t)(Л2х2 -Л2Л1Х1) + J1 (t, Л2 (х2 -Л1Х1)).
(85)
3 3
В силу условия 4.1) и соотношения (4) справедливо равенство Л2Л1Х1 = Л1Л2 Х1, следовательно,
31 (г,Л2(х2 -Л1Х1)) = и1(г)(Л2х2 -Л1Л2х1) + 31 (г,Л2(х2 -Л1Х1)) . (86)
В силу условий 4.2), 4.3) справедливо включение
/ (5) еО ,
л? f (s),
( 2 A
Z л?-1 л?
V i=0
л
Xo -
X
2
1
Л
следовательно, в силу (28) - (30) J2 (t а3
( ( 2 j А
J3 t, I Л?-1 Л2 / (s)
V V1 =0 I
е С1([0, ¥); E), J 2 (t, Л2/(s)) = J 2 (t, л 4/ со) + J3 (t, л2/ со),
( ( 2 j j ( ( 2 j А ( 2 j
J3 t, (I л2- 1 л2 / (s) = J3 t, (I л3- гл2 / (s) + I л2"г Л2
V V1=0 I V V1=0 I =1 о
Условие 4.6) при п = 4 имеет следующий вид:
Лк/(I) е С1 ([0, ¥);Е) ; [Лк/(I)]' = Лк/'(/), к = 1,2.
В силу (90)
Г 1 А
I Л1"гЛ2 /(t) е С1([0, ¥); E).
V i=0
Г 1
Iл1 i Л2
V i=0
(87)
(88)
/(t). (89)
(90)
(91)
/ (t)
( 1 А
Iл1 1 л2
V 1=0
(92)
В силу (68), (83), (85), (87), (91) и условия 4.4) справедливо включение и(3)(/) е С1([0, ¥); Е), т.е. ы(г) е С4([0, ¥); Е). В силу (68), (84), (86), (88), (89), (92) и условия 4.4)
и(4) (t) = U1(t)
1=0
I л3-1 л21Х2 - л4-1 л21Х1
1=1
+^1(t )(Л2 x2 -Л1Л2 x1)+J1 (^ л2( x2 -Л1 x1))+
+J 2 (t, л 2f (s))+J3 (^ л2f (s))+J3 V ^ V i л31 л2 jf (s) I+ + ( I л2-1 л2j /(t) +( I л1-1 л21 /V) + /'(t)
1=0
1=0
m(4) (t) = U1(t)
( 3 j ( 3
IЛЗ-1 Л2
V1=0
3 j
I3 л4-1 Л2 x1 +
1=1 I _
( (3 л j
t, I л3-1 л2 / (s)
V V1=0 I I
( 2 j Iл21 л2
V1 =0
/(t)+
( 1 а Iл11 л2
V1=0
Г (t)+At),
т.е. получена формула (81) при п = 4. Теорема 4 при п = 4 доказана. Пусть теорема 4 верна для к, где 4 < к < п -1, т.е. и(/) е Ск ([0, ¥); Е) и справедлива формула
+
+
+
/k Ht ) = Ui(t )
V i=0 j
-Л, x
X Lk-1-i Л2 x2 - X Lk-i L
V i=0
+J1 (t,Л2(х2 -Л1 x1)) + J2 (^Л2 f (s)) +
( ( k -1 A A ( k -2 A
+J3 t, XL?-1- '■ Л2 f (s) + X L ~2~‘ Л2
V Vi=0 J J = О
f (t ) +
k-1 (k
X X Lk-j-i l
j=3V i=0
f( j -2)(t) + f(k“ 2)(t ).
(k-2) (
Покажем, что теорема 4 верна для к +1. В силу условия 4.1) справедливо включение
( k-1 A
X Lk-1-i Л2
V i=0
x2
( k-1 A
X L- Л2
i=1
X1 e D(L).
следовательно, в силу замечания 1 U1(t )
(k-1 A (k-1 A
X Lk 11Л2 x2- X Lk 1Л2
Vi=0
i =1
x1
e c1([0, ¥); E),
(94)
и в силу (7)
Ui(t )
= U1(t)
( k -1
X L Л2
V i=0 J
( k -1 A
X Lk- Л2
V i =0 J
(k-1 A X Lk-i Л2
V i =1
(k-1 A X Lk+1-i Л2
V i =1
(95)
В силу условия 4.1) справедливо включение Л2(х2 -Л1Х1) е -О(Л), следовательно, в силу (25), (26)
3Х (/, Л2 (Х2 - Л1Х1)) е С1([0, ¥); Е), (96)
31 (^ Л2(х2 -Л1Х1)) = и1()(Л2х2 -Л2Л1Х1) + 31 (^ Л2+1(х2 -Л1Х1)) •
В силу условия 4.1) и соотношения (4) справедливо равенство л| Л1Х1 = Л^| Х1, следовательно,
31 (/,Л2(Х2 -Л1Х1)) = ^1(/)(Л§Х2 -Л1Л2Х1) + 3 (/,Л2+1(Х2 -Л1Х1)) . (97)
В силу условий 4.2), 4.3) справедливо включение
Г к-1 ^
Xл1 -1-гЛ2 /(5)ео,
V1=0 у
следовательно, в силу (28) - (30)
Л2 f (S) ..
+
x
1
Л
x-
2
x-
x
2
J2 (t
( ( к-1
л Л
X лк-1- лг'
f (s)
е С1([0, ¥); E),
(98)
J 2 (t, л2 f (s)) = J2 (t, л2+1/ (s)) + J3 (t, л2 f (s) ), (99)
л
f(t). (100)
( (к-1 Л Л ( ( k -1 Л Л ( k -1 Л
J3 t, X лк- 1-1 л2 f (s) = J3 t, x л1 - г л2 f (s) + X л?-1-,л2
V Vi=0 j J V Vi=0 J J Vi=0 J
В силу условия 4.6) при m = к - 2 ( к < n -1 ^ к - 2 < n - 3, т.е. m < 3 ) (лк-2-iл^)/ (t) е С1([0, ¥);E), 0 < i < к - 2 ,
(лк-2-i л 2
=(лк-2-i л2^
0 < i < к - 2
Следовательно,
( к-2 Л
X лк-2-i лг2 f (t ) е с1([0, ¥); E) ,
V i=0
( k-2 Л / (k-2 Л
X лк-2- л2 f (t) = X лк-2- л2
= о J = о
f (t).
(101)
(102)
В силу условия 4.7)
к-1 ( к - j Л
X X лк- j-iл2 f( j-2)(t) е С1([0, ¥); E), j=3Vi=0 J
к -1 ( к - j
X X лк-j-i л
j=3Vi=0
f( j-2)(t )
к-1 ( к - j
= X X лк - j -i л
j=3 V i=0
(103)
(104)
В силу (93), (94), (96), (98), (101), (103) и условия 4.4) справедливо включение Ы(к\г) е <^([0, ¥);Е), т.е. ы(г) е Ск+1([0,~); Е). В силу (93), (95), (97), (99), (100), (102), (104) и условия 4.4)
и(к+1)(t) = U1(t )
( к-1
Л ( к-1
V i=0
x2 -
X лк+1- л2
V i=1
+ U1(t)(л2x2 -л1л2x1 ) +
+J1 (t,л2+1(х2 -л1 x1)) + J2 (t,л2+1/'(s)) + J3 (t,л2 f (s))
+ J т.
( ( к -1 Л Л
t, X лк- л2 f (s)
V = О J
( к -1 Л X лк -1- л2
V i=0
(к-2
f (t)+
к-1 (к-
X лк-2-л^ fxt)+X X лк-j-л-
V i=0
j=3 V i=0
f( j -1)(t) + f(к- 1)(t).
(к-1)(
x
+
+
Заметим, что
( к-1 А
X лк-' л2
к А
X лк-' л;
*2 +Л2 *2 =
V '=0 ) V'=0
к-1 к
(X лк+1 ' л2) *1+л1 л2 *i = (X лк+1 ' л2) *1
'=i
к-1
'=1
к
л2/(5) + (Xлк-'L2)/(s) = (Xлк-'л'2)/(*) ; '=0 '=0
( к-2
к-1 ( к -j
X лк-2-' л2 /\f)+X X лк-j -' л2
'=0 ) j =3 V '=0
к ( к+1-j А
= X X лк+1-'-'л2
j=3 V '=0
/( j -1)(t )=
Тогда
и(к+1)(t ) = U1(t )
(к
X лк-' л2
V'=0
/( j -2)(t).
(к
X лк+1-' л2
+J1 (t.л2+1(*2-л1 *1))+ J2 (t.л2+У(s)) + J3 t. Xлк 'л2
( к+1-j
=1 ) _
( ( к А А
t. X лк-' л2 / (s) +
V = о )
(к-1 А к(
+ X лк-1- ' л2 М
V i =0 ) j=3 V
^+1- j -' л2
/( j-2)(t ) + /(к- 1)(t ).
(к-1),
Т еорема 4 доказана.
Заметим, что условия 4.1) - 4.7), несмотря на их жесткость, имеют естественное происхождение. Если рассмотреть случай В, С е Ь(Е), то Л1, Л 2 е Ь(Е) [5]. Следовательно, операторы вида (82) тоже ограничены, а значит непрерывны [9, с. 119] и замкнуты [9, с. 162], в силу чего для справедливости включения
и(/) е Сп([0,¥);Е) достаточно выполнимости условия 4.4) и включений (77), (79). В скалярном случае для справедливости включения и(?) е Сп ([0, ¥);К) достаточно потребовать, чтобы /(/) е СП-2 ([0, ¥); К).
Аналогично повышается гладкость решений уравнения (1) в случае Д = 0 . Теорема 5. Пусть выполнены условия а), б) теоремы 2 и, кроме того,
5.1) X! е £(Л4), х2 е £(Л0);
5.2) /(?)е -0(Л0) при каждом /е [0,¥);
5.3) Л™/(О е С([0, ¥); Е), 1 < т < 3;
5.4) /(I) е С1([0,¥);Е).
Тогда при фиксированных значениях параметров хь х2 решение вида (66) уравнения (1) удовлетворяет условию и(?) е С ([0, ¥); Е) и справедлива формула
и(3)(Г) = и(/) 3Л2Х2 -2Л0х1 + (л3Х2 - Л4х1 )t +7(/,Л3./(5)) + 3./4 (/,Л2/(5)) + 2Л0/(Г) + /'(Г).
Л
+
*
2
1
Теорема 6. Пусть выполнены условия а), б) теоремы 2; п є N, п > 4 и, кроме
6.1) X! е В (ЛП+1), х2 е £(ЛП);
6.2) /(?) е В (лП) при каждом t е [0, ¥);
6.3) лтт/(?)е С([0,¥);Е), 1 < т < п;
6.4) /(?) е Сп-2([0,¥);Е);
6.5) /(1)(?) е В (лП-2-1 ) при каждом ?е [0, ¥), 1 < I < п - 3;
6.6) лт/(?) е С1([0,¥);Е), [лт/(?)]' =лт/'(?), 1 < т < п - 3;
6.7) в случае п > 5 для любых 4 < к < п -1, 3 < ] < к -1, справедливы вклю-
чения Л0 Jf(J 2)(t)є С1([0,¥);£■) и формула
Л0-Jf( J-2)(t )
= л0-Jf( J-1)(t )
Тогда при фиксированных значениях параметров хь х2 решение вида (66) уравнения (1) удовлетворяет условию и(?) е Сп([0,¥);Е) и справедлива формула
u(n)(t) = U (t )
пЛ0 1х2 - (n - 1)Л0Х1 + (Л0Х2-Л0+1х1) t
+J (t, L°f (5)) + °J4 (t, Л° 1f (s)) + (o - 1)Л° 2f (t)
п-1
+X (п +1 - 7)ЛП-(у -2) (?) + /(п-2) (0.
} =3
Доказанные выше утверждения анонсированы в [10]; они обобщают результаты работы [4], в которой уравнение (1) исследовано в предположении, что оператор ¥ из условия 1) имеет ограниченный обратный.
+
Список литературы
1. Иванов, В.К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филинков. - М. : Физматлит, 1995. -176 с.
2. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. - М. : Физматлит, 1967. - 464 с.
3. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. - М. : Мир, 1972. - 740 с.
4. Фомин, В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. - 2005. - Т. 41, № 8. - С. 1130-1133.
5. Фомин, В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. -2002. - Т. 38, № 8. - С. 1140-1141.
6. Балакришнан, А.В. Прикладной функциональный анализ / А.В. Балак-ришнан. - М. : Наука, 1980. - 384 с.
7. Зимина, О.В. Высшая математика / О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова. - М. : Физматлит, 2001. - 368 с.
8. Фомин, В.И. Малые возмущения сингулярных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве : автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 / В.И. Фомин. - Воронеж, 1989. - 15 с.
9. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. - М. : Наука, 1980. - 496 с.
10. Фомин, В.И. Об одном семействе решений линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве / В.И. Фомин // XI научная конференция ТГТУ. Фундаментальные и прикладные исследовантя, инновационные технологии, профессиональное образование : сб. тр. в 2 ч. / - Тамб. гос. техн. ун-т. - Тамбов, 2006. - Ч. 1. - С. 24-28.
On a Family of Solutions for a Second-Order Linear Differential Equation with Constant Unbounded Operator Coefficients in a Banach Space
V.I. Fomin
Department of Applied Mathematics and Mechanics, TSTU
Key words and phrases: Banach space; characteristic operator; generator of semi-group; operator-function; operator discriminant; resolvent; semi-group.
Abstract: Two-parameter families of solutions for the above-mentioned equation under the operator discriminant being positive or equal to null are found.
Über eine Familie der Beschlüsse der linearen Differentialgleichung der zweiten Ordnung mit den ständigen unbeschränkten Operatorenkoeffizienten im Banachischen Raum
Zusammenfassung: Es sind die zweiparametrischen Familien der Beschlüsse der Gleichung aus dem Titel des Artikels im Falle gefunden, wenn die Operatrendiskri-minante positiv oder der Null gleich ist.
Sur une famille des solutions de l’équation linéaire du deuxième ordre avec un coefficient différentiel opérateur constant non limité dans un espace de Banach
Résumé: Sont trouvées les propriétés de deux paramètres pour la solution de l’équation du titre de l’article dans le cas discriminant est positif ou bien égal à zéro.
