Об одном семействе однолистных отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Математика и механика № 1(5)

УДК 517.54

Г.А. Юферова

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ОДНОЛИСТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Приводится новый пример интегрирования уравнения Левнера с управляющей функцией, зависящей от параметра. Показано, что среди полученных отображений содержится то, которое дает экстремальное отображение в задаче об оценке аргумента производной для однолистных конформных отображений.

Ключевые слова: уравнение Левнера, экстремальные функции в оценке аргумента производной.

Обозначим через 8 класс голоморфных однолистных отображений /(2) круга Е = {2ІС; |2| < 1}, удовлетворяющих условиям: /(0) = 0, /7(0) = 1, и через 8М подкласс таких отображений, удовлетворяющих дополнительному условию:

| /(2) | < М, М > 1.

Теорема. При фиксированном т, 0 < т < +® и фє [0, 2п], функция

„-2гф

z, ф) = e

l + XC-\/l-2iCX2 ImX

C

где X = X(t, ф) = cos ф-e— + 1 - cos2 ф- e—x , (1)

П n( ) T Z - cosф -T

C = C (t Z, ф) = 2~--------— e

(1 - eu* z )2

осуществляет однолистное конформное отображение круга E в единичный круг {^C; |?| < 1} с разрезом, начинающимся в точке

q1 = q(t,е1ф,ф) = 2isinф-eT + X -e~2iq> -2ie^^/sin2^—e^2i^ simpX^ImAe-^ (2)

и оканчивающимся в точке

q (t, z2 3, ф) = e~2iq,A (1 + 2iX ImX) , (3)

где

єіф + 2a ±^4a2 - 2a (є2іф -1) єіф

г2 3 =---------------—-------------, а = /К 1т X- е Т, Уф е (0,2п) \ {п} .

При этом q (т,0, ф) = 0 , q' (т,0, ф) = е~т.

Доказательство. Рассмотрим уравнение Левнера

ё q ц(х, ф) + q „

= 'г/—ъ , 0 <т<+оо (4)

ё т ц(х, ф)_q

с управляющей функцией ц(т, ф) = е _2гфк3 (т, ф), где К(т, ф) дается формулой (1), и будем искать решение q(т, г, ф) этого уравнения с начальным условием q(0, г, ф) = г , г е Е .

Существование и единственность решения q(т, г, ф) этой задачи следует из теоремы 1 [1, С.30].

Заменяя в уравнении (4) переменную q на q1 по формуле q = е~2гф^ и q1 на ю по формуле q1 = Кю получим

ё 1п ю (Хт+Х)Х2-(ХТ-Х)с

ё т

Учитывая, что

будем иметь

Х(Х2 -ю)

I =ю (т, 2, ф) , ю (0, 2, ф) = є'ф2 .

ХТ= , С°5 Ф'^

/і 2 -2т

^1 - С°8 ф- Є

IX = 1,

ё 1п ю

ё т

2Х2 1 -ю

X2 -1 X2 - ю

)(0, 2, ф) = Єіф2 .

Перейдем теперь при фиксированном ф к переменной и по формуле / (Е, ф) .

В результате замен приходим к линейному неоднородному уравнению первого порядка с переменными коэффициентами

1

2 є Е , и

ю=є'ф г 1 + є^іф

Общим решением соответствующего однородного уравнения

ё и 1 + ю

является

ё ю ю(1 -ю)

( ) (1 -ю)2

°(ю) = д---------—

где д - произвольная постоянная.

Методом вариаций произвольной постоянной приходим к общему решению

( ) 1 (1 -ю)2

и(ю) =—+Л--------— д

2ю ю

рассматриваемого неоднородного дифференциального уравнения.

С учетом начального условия получим

2ию = 1 + (1 -ю)2 В , В = В (2, ф)= 2 - С°8 ф 1

С05 ф ( _ егфг)2 '

Решая относительно ю квадратное уравнение

&е С; |^< 1}

и выбирая из двух его решений то, которое голоморфно в Е, ю (0,0, ф) = 0, имеем

ю = -

и + В - л/и2 + 2Ви - В

В

где выбрана та ветвь, для которой -\/ї = 1.

со

е2гф<;

Перейдя к с; по формуле ю =--------- и выполнив простые преобразования, полу-

К

чим решение уравнения (4).

Решение распространяется на границу единичного круга как конформное за исключением точек, в которых

. Ь ./, 2Т_К '2

_гф

,т , (1 _\/ 1 _ 2гСК21т к)

qz=е"т^3 - 2/ 2 = 0.

(1 _ егф г) С 41 _ 2г'СК21т К

то есть точек

' : _ _егф

егф + 2а ±^4а2 _ 2а (е2гф _ 1) ек

42,3 _ е2.ф

Их образами являются соответственно точки, даваемые формулами (2) и (3). Теорема доказана.

Следствие 1. При фиксированном М > 1 и фе [0, 2п] функция

= Ме-2гф

принадлежит классу БМ. Здесь

М q(ln М, г, ф) =;

С

1+ КС _л11 _ 2гСК21т К

q(т, г) = _ет ——2__)— г + ет г + 2 ^2 + 2г (1 _ 2е т ) - г _ 1.

С = С (1пМ, г, ф) = 2 2 С0Б ф 2 .

М (1- егф г )

Эта функция осуществляет однолистное конформное отображение круга Е в единичный круг {£еС; |£| < 1} с разрезом, начинающимся в точке

q/ = q(nМ, егф, ф) = ИМ2 бш ф + КМ - е~2гф _ 2/М^М 2 бш2 ф _ е~ЪфМ бш фК 2 1т К

и оканчивающимся в точке

q2 = q( 1пМ, г2 3, ф) = е~2гфКМ (1 + 2г'К1т К) ,

где

Мегф + 2а ±.14а2 _ 2аМ (е2гф _ 1) егф „

х13 =------------ ------т----------- ---, а = г К 1т К , Уфе( 0,2п) \ {п} .

Ме ф

При этом q (1пМ, 0, ф) = 0 , Мq' (1пМ, 0, ф) = 1.

Следствие 2 При фиксированном т, 0 < т< +о, функция

q(т,г) = К_ет 1—— _е^1 г V1 + 2гК2 1тК-е~Т _г ,

2 2

где К = К(т) = е_ + г>/1 _е~2т ,

осуществляет однолистное конформное отображение круга Е в единичный круг {£еС; |£| < 1} с выкинутой лункой, ограниченной дугой единичной окружности и

дугой кривой, лежащей в единичном круге и имеющей концы в точках q/ = q(т,1) = К и q2 = q(т,г2) = К + 2г'К2 1тК ,

где

г2 = 1 + 4гК2 1тКе Т (рис.1).

Следствие 3. При фиксированном т, 0 < т< +о, функция

q(т, г ) = _ет —-—— г + ет г + 2 у]г2 + 2г (1 _ 2е~т ) -

г _ 1.

осуществляет однолистное конформное отображение круга Е в единичный круг {£1С; |£| < 1} с разрезом, начинающимся в точке

( т ________Л2

q/ =q(т, ^, ф) = г

и оканчивающимся в точке

q2 =q(т, г2,3 ) = г, где г2,3 =г ■

2

При этом q (т,0, ф) = 0 , q' (т,0, ф) = е т.

Следствие 4. При фиксированном т, 0 < т< +о, функция 1 + г Л тл/Т-

q(т, г) = ет + К_ ет —лЯ+г_4г^21тКё_т

где

К = К (т) = _е т + гл/ 1 _ £

_2т

осуществляет однолистное конформное отображение круга Е в единичный круг {£1С; |£| < 1} с выкинутой лункой, ограниченной дугой единичной окружности и дугой кривой, лежащей в единичном круге и имеющий концы в точках

q/ = q(т, _1) = К и q(т, г2 ) = К + 2г'К2 1т К ,

где

г2 = _1 + 4гК 1т Ке Т.

Следствие 5. При фиксированном т, 0 < т< +о, функция

д(х, г ) = -г1 -—— - + г1 -——Jz2—2—(+2£~Т\~z-1

2г 2г ’ ' ’

осуществляет однолистное конформное отображение круга Е в единичный круг Ж |?| < 1} с разрезом, начинающимся в точке

( Т _______Л2

- ) = -и оканчивающимся в точке

л/ъ

e 2 + V1 + e

\

^2 ^("Т z2,3 )= , где z2,3 = i

С т ___________________________Л2

±41-

e 2 ±V 1 + e

V J

Функции exq(T,z,ф) = z +... при фиксированном т осуществляют однолистное конформное отображение круга EE . Поскольку lim exq(T, z,ф) отличен от постоянной, то по известной теореме об однолистных функциях предельной функции для семейства однолистных отображений [2, С.10, теорема 1] функция

,,, ч z - cos ф-Z2 f (z, ф)=^———

(1 - e,<f z )

однолистна в E и принадлежит классу S.

Ее можно представить в виде

' 1 - e~^ z

f(z, ф) = ^------------ dz.

0 (1 - eгфz)

показывающем, что она дается формулой Кристоффеля - Шварца. Легко видеть, что /(г, ф) отображает круг Е на плоскость V = и + -V, разрезанную по лучу, лежащему на прямой V = с tg2ф• и +--1—. Он начинается в точке / [ г-ф, — | = —.

48Шф V 2 у 4

Его продолжение пересекает ось абсцисс в точке - С°8 ф

2cos2ф Следствие 6. Функция

f (z, ф) = ——C0Sф ^ , Уфе[0,2п], z е E .

(1 - ёф z )2

осуществляет однолистное конформное отображение круга E на плоскость

w = u + iv с разрезом вдоль прямой v = с tg2ф• и +----1—, начинающейся в точке

4si^

гф ^ | = 1 Л1 C0Sф

f I eгф,— I = — и пересекающей ось абсцисс в точке —

4 2о^2ф

При изменении ф от П до нуля точка / (г-ф, ф) перемещается вверх от точки

/1 г ф,— I = — до бесконечности (рис. 2); при ф = — - плоскость с разрезом вдоль

V 2 у 4 4

прямой V =—^ (рис. 3); при ф ^ да области / (Е, ф) сходятся как к ядру отно-2ы2

сительно точки V = 0 к полуплоскости /(Е,0) = {^ е С;Яе^ > -1}.

Г.М. Голузиным [3] и И.Е. Базилевичем [4] была получена точная оценка а^/[ (г,ф) на классе 8 при фиксированном г е Е:

|а^ /'(г )|<

4агс8ш|х\, при I Л <—^,

•42

I |2 л

л \А I I 1

л + ^ 1 ' , при I Л >-/=,

1 - Ы л/2

без указания экстремальных функций.

Покажем, что / (.г, ф) = ——С08 ф *2 является экстремальной в этой задаче при

(l - єіф z )

l

условии, что |z| < —r= .

v2

Имеем

arg fz (z, ф) = arg (l - e^ z )- Зarg (l - єіф z ).

Отсюда при z = p, 0 <p<l,

arg f '(p, ф) = arg [l -p( cos ф- і sin ф)] - Зarg (1 -p( cos ф + і sin ф)) =

p sin ф

= 4arcsin

Vl - 2p cos ф + p2

Фиксируем pe^0, j и в семействе f (z,ф) выделим функцию, для которой

cos ф = p , то есть рассматриваемую функцию

41 \ z -pz2

f (z,arccosp) =--------- ------- .

гі-(p+<71-7^

Таким образом, функция f (z,arccos p) является экстремальной в задаче об оценке аргумента производной на классе S. Это отображение отличается от отображения, осуществляемого функцией Кебе, тем, что продолжение разреза плоскости не проходит через начало координат.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров И.А. Параметрическое продолжение в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.

2. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001.

3. Голузин Г.М. О теоремах искажения в теории конформных отображений // Математический сборник. 19З6. Вып. 1. С. 127 - 1З5.

4. Базилевич И.Е. Sur les theoremes de Koebe - Bieberbach // Математический сборник. 19З6. Вып. 1. С. 28З - 292.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

ЮФЕРОВА Галина Александровна, аспирантка кафедры математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: [email protected]

Статья принята в печать 26.01.2009 г.