Об одном походе к оптимизации управляемых систем с ограничениями на основе задачи о неподвижной точке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

DOI: 10.18101/2304-5728-2018-2-29-41

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ОСНОВЕ ЗАДАЧИ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ1

© Булдаев Александр Сергеевич

доктор физико-математических наук, профессор, Бурятский государственный университет Россия, 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а E-mail: [email protected]

© Трунин Дмитрий Олегович

кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, Бурятский государственный университет Россия, 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а E-mail: [email protected]

Предлагается новый подход к решению задач оптимального управления с ограничениями на основе построения и решения системы условий улучшения управления в форме задачи о неподвижной точке оператора управления. Для построения указанных условий применяется переход к вспомогательной задаче без ограничений с регулярным функционалом Лагранжа. На основе задачи о неподвижной точке конструируются итерационные алгоритмы последовательного улучшения управления. Подход иллюстрируется на примере. Ключевые слова: управляемая система с ограничениями; условия улучшения управления; задача о неподвижной точке.

Введение

Распространенным подходом к решению задач оптимального управления с ограничениями является сведение к вспомогательным задачам без ограничений с помощью функционалов Лагранжа, на основе которых получают необходимые условия оптимальности управления типа принципа максимума [1-3]. В классической форме необходимые условия оптимальности являются неконструктивными, так как остается открытым вопрос о выборе множителей Лагранжа.

Поиск экстремальных управлений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности, обычно разделяется на этапы поиска экстремального управления в вспомогательной задаче без ограничений с множителями Лагранжа и этапы подбора этих множителей для удовлетворения ограничений.

Предлагаемый в статье подход основывается на конструировании ус-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке МОН РФ, проект 1.5049.2017/БЧ; РФФИ, проект 18-41-030005-р_а

ловий улучшения управления с точным выполнением ограничений на базе известных специальных формул приращения функционала вспомогательной задачи, не содержащих остаточных членов разложений. Использование таких формул позволяет интерпретировать условия улучшения допустимых управлений как задачу о неподвижной точке. Это дает возможность применить развитую теорию и методы неподвижных точек для эффективного поиска допустимых улучшающих управлений.

Методы неподвижных точек ранее были построены и обоснованы в классах нелинейных задач оптимального управления без ограничений [4; 5]. В данной работе эти подходы развиваются для задач с ограничениями.

1. Постановка задачи с ограничениями

Рассматривается класс нелинейных задач с ограничениями, приводимых к следующему общему виду:

х(0 = Дх(0,и(0,(), *('„) = > (!)

ы(0еС/, = Ф0(и) = <р0(х(^))+ , (2)

* ие¥

Т

Ф1(м) = ^(х(О) = 0, (3)

в котором х(0 = (Х[(0,...,хи(0) — вектор состояния, м(^) = (м1(^),...,ми!(^))— вектор управляющих функций. Множество и с замкнуто и выпукло. Интервал Т фиксирован. В качестве доступных управляющих функций рассматривается множество V кусочно-непрерывных на Т функций со значениями в множестве II. Функции ср0(х), (р} (х) непрерывно-дифференцируемы на Я", функции /*,,(х,и,/). / (х, и,1) и их частные производные по х, и непрерывны по совокупности аргументов на множестве К" х17 хТ . Функция /(х,//,/) удовлетворяет условию Липшица по х в К" х17 хТ с константой Ь> 0:

||/(х,к,0 -/0,к,0|| ^ Цх -у\\ ■

Условия гарантируют существование и единственность решения х(7, у) . / се / системы (1) для любого доступного управления V е V . Доступное управление V е V называется допустимым, если выполняется функциональное ограничение (3). Множество допустимых управлений обозначим

Рассмотрим функцию Понтрягина с вектором Л = (Я^ ,Я1)еЯ2 Я(1,1//,х,м,0 = (у/,Дх,и,0) - .

Для управления veF обозначим i//(V.v.A). teT — решение сопряженной системы:

1

vit) = -Hx{X,V{t\x{t\u,t), <//(0 = -^<рЛх(0)

¿=0

при x(t) = x(t,v), u(t)= v(t), teT.

Известное необходимое условие оптимальности допустимого управления и е D в форме принципа максимума [3] в задаче (1)-(3) при некотором векторе Х = = 0 v 1 можно представить в виде:

u(t) = argmaxH(X,y/(t,u,X),x(t,u), w,t), te T . (4)

wel']

Из условия (4) следует ослабленное необходимое условие в форме дифференциального принципа максимума (ДПМ):

u(t) = argmax(Hu(À,y/(t,u,A),x(t,u),u(t),t),w), teT, (5)

которое можно представить в проекционной форме:

u(t) = Pu(u(t) + aHu(X,y/(t,u,X),x(t,u),u(t),t)), teT, а> 0. (6)

Важно отметить, что для выполнения дифференциального принципа максимума (5) достаточно проверить условие (6) хотя бы для одного а > 0.

Допустимое управление и е U, удовлетворяющее условию (4) при некотором X = (Х0,Х1), Х0=1, называется регулярным управлением. Если все допустимые управления, удовлетворяющие условию (4), являются регулярными, то задача (1)-(3) называется регулярной. В противном случае задача (1)-(3) называется вырожденной.

Функция H соответствует функции Понтрягина в вспомогательной задаче Лагранжа без ограничения (3):

= inf ,

г = 0

в которой условия (4), (5) и (6) являются необходимыми условиями оптимальности.

Поставим задачу улучшения допустимого управления в задаче (1)-(3) в следующей постановке: для заданного допустимого управления и1 eD требуется найти допустимое управление и е D с условием ЛнФ0(М/) = Ф0(«)-Фо("/)<0.

2. Метод улучшения управления

Рассмотрим вспомогательную задачу без ограничений на основе регулярного функционала Лагранжа:

x(t) = f(x(t), u(t), t) , x(t0 ) = x°, (7)

u(t)eU, t еГ = [70,^],

L(À,u) = Ф0(м) + /lOj(и) —>inf , XeR. (8)

ueV

Обозначим (/)(/.. х) = </>, (х) + )jp] (х). Функция Понтрягина с сопряженной переменной y/eR" и стандартная сопряженная система в задаче (7), (8) имеют вид:

H(y/,x,u,t) = (y/,f(x,u,t)) - F0(x,u,t),

y(t) = -Hx(W(t),x(t),u(t),t), tsT, у(0 = -<рх(Л,х(0). (9)

Для доступного управления и eF обозначим 4/(1.11. А). / е Т —решение стандартной сопряженной системы (9) при x{t) = x(t,u).

Рассмотрим задачу улучшения доступного управления в задаче (7), (8): для заданного доступного управления и1 е V требуется найти доступное управление и е V с условием AUL(À, и' ) = L(À, и) - L(À, и1 ) < 0 . В соответствии с [5] нелокальные условия улучшения доступного управления и1 е V на основе использования специальных формул приращения функционала без остаточных членов разложений можно представить следующим образом.

Далее будем использовать следующее обозначение частного приращения произвольной вектор-функции g(y1,...,yl) попеременным _уЛ|. ys :

= g(yi,-,ySl +Aysi,-,ys2 +&ys2,-,yi)-g(yi,-,yi)-

Дополнительно обозначим Ax(t) = x(t,u) — x(t,u' ), Au(t) = u(t) - u1 (t) .

Введем модифицированную дифференциально-алгебраическую сопряженную систему, включающую дополнительную фазовую переменную у(?) = (у1(?),-,Уп(?)),

p(t) = -Hх (p(t),x{t),u(t),t) - r(t), (10)

{H x(p(t),x(t),u(t),t) + r(t),y(t)-x(t)) = AmH(j>(t),x(t),u(t),t) (11)

с краевыми условиями

p(tl) = -cpx(Kx(tl))-q, (12)

{(рх(1,х(0) + Я, У (О- x(0) = A y(tlM^,x(0), (13)

в которой по определению полагаем r{t) = 0, q = 0 в случае линейности функций / , F0, ср по х (линейная по состоянию задача (7), (8)), а также в случае y{t) = x{t) при соответствующих t <еТ .

В линейной по состоянию задаче (7), (8) модифицированная сопряженная система (10)—(13) в силу определения совпадает со стандартной сопряженной системой (9).

В нелинейной по состоянию задаче (7), (8) алгебраические уравнения

32

(11) и (13) всегда можно аналитически разрешить относительно величин r{t) и q в виде явных или условных формул (возможно, не единственным образом).

Таким образом, дифференциально-алгебраическую сопряженную систему (10)—(13) всегда можно свести (возможно, не единственным образом) к дифференциальной сопряженной системе с однозначно определенными величинами r{t) и q .

Для доступных управлений и еУ, и1 eV обозначим pit,и1,и, X), teT — решение модифицированной сопряженной системы ( 10)—(13) при x(f) = x(f,и1 ), yit) = xit,u), uit) = uI it). Из определения следует очевидное равенство pit,и,и,Л) = у/it,и), teT.

Проекционные условия улучшения доступного управления и1 е V с заданным параметром проектирования а > 0 имеют вид:

и(0 = Ри iu1 it) + aiHu ipit, и1, и, Л), xit, и), и1 it), t) + sit))) , teT, (14) \(t)H(P(t,u' Л), xit,u),u1 it), t) =

\ (15) = {Huipit,uI,u,X),xit,u),uIit),t) + sit)Mt)-uIit)},

в котором в уравнении (15) по определению полагается я^) = 0 в случае линейности функции / , по и (линейная по управлению и задача (7), (8)), или в случае и(0 = и1 (?) при ? е Г .

Уравнение (15) всегда можно однозначно разрешить относительно величины я^) (возможно, не единственным образом).

Согласно [5] решение системы (14), (15) обеспечивает улучшение управления и1 еУ для любого параметра а > 0 с оценкой улучшения функционала:

При этом улучшение управления гарантируется не только в достаточно малой окрестности исходного управления и1 еУ, т. е. рассматриваемая процедура улучшения обладает свойством нелокальности в отличие от известных градиентных методов и других локальных методов улучшения управления.

Условия (14), (15) рассматриваются как задача о неподвижной точке в пространстве управлений для определяемого правыми частями этих условий однозначно выбираемого оператора управления.

Как указано в [5], задача (14), (15) является эквивалентной краевой задаче в пространстве состояний:

xit) = fixit),uait),t), x(O = x0,

p(t) = -Hx(p(t),xI(t),uI(t),t)-r(t), (Нх (p(t), х7 (0, и1 (0,0 + КО, х(0 - г7 (0) = = Ax(t)H(p(t),xI(t),uI(t),t) p(t]) = -<px(Lx' (/,))-</, (Я,х7(íj)) + q,x{tx)-xI(tl)) = Ах(4)р(А,x7(íj)),

в которой

(0 = ^ (и7 (0 + а(Я„ (p(t), x{t), и1 (0,0 + Sit))), t еТ, Aua(tH(p(t), x(t),u7 (О, О = (tf н (/>(0, КОУ (0,0 + КО,«" (0 - «7 (0>

и обозначено х7 (0 = x(t, и1), t еТ .

Эквивалентность краевой задачи и задачи о неподвижной точке (14), (15) понимается в следующем смысле. Пусть пара (x(t),p(t)), / е 7 является решением краевой задачи. Тогда управление ua(t), l е / является решением задачи о неподвижной точке (14), (15). Наоборот, пусть доступное управление иа eV является решением задачи (14), (15). Тогда пара (x(t, иа ), p(t, и1, иа, X)), t еТ является решением краевой задачи.

Таким образом, для улучшения управления и1 е V достаточно решить задачу о неподвижной точке (14), (15) или эквивалентную ей краевую задачу.

Решения задачи о неподвижной точке (14), (15) и эквивалентной краевой задачи зависят от множителя Лагранжа Хе R. Дополним указанные задачи условием удовлетворения ограничения (3) с помощью выбора X е R. В результате получим условия улучшения допустимого управления и7 е Z) в задаче (1)-(3) с оценкой, аналогичной [5]:

АмФ0(м7) = AHZ(iy)< -- [|k0-«7(0|f dt. (16)

а*" 11

Предлагаемый подход оптимизации управляемых систем с ограничениями состоит в последовательном решении задач улучшения допустимого управления в форме конструируемых задач о неподвижной точке однозначно определяемого оператора управления с дополнительным условием выполнения ограничения (3).

3. Итерационные алгоритмы

Для реализации задачи (14), (15), (3) рассматривается итерационный процесс с точным выполнением ограничения (3) при к > 0 с заданным начальным управлением и0 е V при к = 0 :

ик+1 (0 = Ри (и1 (0 + а(Ни (р((, и\ик, Л), х(?, ик), и1 (0,0 + зк (?))), Г е Т, (17) А #(/>('У ,ик,Л),х{1,ик),иг(0,0 =

/ V (18)

= (Ян (/>(', и1, ик, Л), хЦ, ик), и1 (0,0 + *к (0, ы* (0 - и1 (0 ),

Ф1(^+1) = Ф1(х(?1,^+1)) = 0, (19)

в котором на каждой итерации решается неявно заданное от множителя ЛеЛ уравнение (19).

Для численного решения указанной задачи (17)—(19) относительно Л е Я можно использовать известные методы.

Распространенный подход основывается на замене условия (19) эквивалентным уравнением:

Л = С(Л,ик+1), (20)

в котором функцию (}(Л,ик 1) можно выбирать различными способами по аналогии с [6]. Например, (¡(/..и1' 1) = Л + /?Ф,(»* '), ¡5 Ф 0 .

Тогда для решения задачи (17), (18), (20) можно использовать известные одношаговые методы последовательных приближений и их модификации [6]. В частности, метод простой итерации при / > 0 с заданным

е Я при ./ = 0:

\к (()#(/>('У ,ик,Лг), х(Г,ик ),и' (0, о =

= (Ни{рЦ,и1,ик,К),х«,ик),и1{ (),() +^ ((),ик (()-и1 (О), Л]+1 =С(Л] ,ик+1).

Критерием окончания внутренних итераций по индексу / > 0 может служить неявное условие:

где ех > 0 — заданная точность выполнения ограничения (3).

Расчет внешних итераций по индексу к > 0 проводится до первого выполнения условия:

Ф0(^+1) + £2<Ф0(М7),

где е2 > 0 — заданная точность улучшения допустимого управления. В этом случае строится новая задача (14), (15), (3) для улучшения полученного расчетного управления, рассматриваемого как и1, и итерационный алгоритм повторяется. При этом в качестве начального приближения управления и0 <еУ при к = 0 для итерационного процесса (17)—(19) выбирается полученное расчетное управление.

Если улучшения управления в указанном смысле не происходит, то численный расчет задачи о неподвижной точке (14), (15), (3) проводится до выполнения условия:

II к+1 „к || ^ „ И —И <£, ,

II Нс(г) 3

где е3 > 0 — заданная точность расчета задачи о неподвижной точке. На этом построение и расчет последовательных задач улучшения управления заканчиваются.

В результате получаем релаксационную последовательность управлений ик е V, удовлетворяющих ограничению (3) с заданной точностью > 0 .

В рассматриваемой схеме реализации для решения задачи (17)—(19) можно использовать другие известные методы. В частности, двухшаго-вый итерационный процесс при / > 1 с двумя начальными приближениями Л° и Л1, являющийся аналогом метода секущих [6]:

uk+\t) = Pu(u\t) + a(HXp(t,u\u\V)Mt,uk\uI(tlt) + skm, tsT,

\t ^Щр^и1 ,ик,Лг), x(t,uk ),u' (t),0 =

= (xHSp{t,uI,uk,V),x{t,uk),uI{t),t) + sk{t),uk{t)-uI{t)),

Aj+l = --У"1''1 , Ф Auk+l).

ФДг/^-ФДг/) lV

Альтернативный подход к решению задачи (14), (15), (3) основывается на ее эквивалентном представлении в форме задачи о неподвижной точке относительно вектора (и, Л) :

u(t) = Ри (и1 (t) + а(Ни {pit, и1, и, Л), x{t, и),и1 (t), t) + s{t))) ,teT, (21)

ЛМ(0ЯСР(/У Л), x{t,u),u1 (0,0 = / \ (22) = {Hu(p(t,uI,u,X),x(t,u),uI(t),t) + s(t)Mt)-uI(t)},

Л = С(Л,и). (23)

Тогда для ее решения можно использовать соответствующие аналоги известных методов последовательных приближений и их модификаций [6]. В частности, метод простой итерации при к > 0 :

uk+\t) = Pu{u\t) + a{Hu(j>{tyyX\x{t,uk\u\t\t) + s\m, tsT,

Auk(t)H(p(t,uI,uk,Ak),x(t,uk),uI(t),t) =

= (Hu(p(t,uI,uk,Ak),x(t,uk),uIm) + sk(t),uk(t)-uI(t)),

Xk+l =G(Ak,uk+l).

При к = 0 задаются начальное управление и0 е V и начальный множитель Л° е R.

Расчет итерационным алгоритмом задачи о неподвижной точке (21)-(23) проводится до первого одновременного выполнения условий:

£(А*+1У+1) + е2<£(А*+1У),

где ех > 0 , е2 > 0 — заданные точность выполнения ограничения и точность улучшения управления соответственно. В этом случае строится новая задача о неподвижной точке (21)—(23) для полученного расчетного управления и итерационный алгоритм повторяется. При этом в качестве начального приближения управления и0 е V для итерационного процесса выбирается полученное расчетное управление.

Если улучшения в указанном смысле не происходит, то численный расчет задачи о неподвижной точке (21)—(23) проводится до одновременного выполнения условий:

II к+1 „к || ^ „ И —И <£, ,

II Нс(г) 3

где £3 > 0 — заданная точность расчета задачи о неподвижной точке. На этом построение и расчет последовательных задач улучшения управления заканчивается.

Для анализа условий сходимости итерационных процессов можно применить известный принцип возмущений аналогично работе [4]. Основным условием сходимости указанных выше итерационных процессов является выполнение свойства «сжимания» [6] для оператора правой части задачи о неподвижной точке. Для сходимости процессов большое значение имеет выбор функции (¡(Л.и) и выбор начального приближения

множителя Лагранжа, которые определяются свойствами конкретной задачи (1)-(3).

Принципиальную возможность сходимости релаксационной последовательности управлений к оптимальному решению можно обосновать на основе достаточных условий существования минимизирующей последовательности управлений в задачах с ограничениями аналогично работе

[7].

4. Пример

В качестве иллюстрации приводится простой пример улучшения допустимого управления методом неподвижных точек.

Рассматривается задача оптимального управления с терминальным ограничением-равенством:

х(0 = и(0, х(0) = 0 , и(0 е Я, г е Т = [ОД], (24)

Ф0(ы)= 1"(х2(0-"2(0)<^->11^ , (25)

т

Ф» = х(1) = 0. (26)

Поставим задачу улучшения допустимого управления и1 = 0, которому соответствует решение х(?,и') = 0. / е / и значение функционала

Ф0(м/) = 0.

Рассмотрим вспомогательную задачу на основе регулярного функционала Лагранжа:

ЦЛ,и) = Г(х2(0-и2(0)Л + Ах(1)-ипГ, ЛеЛ. (27)

т

Функция Понтрягина и модифицированная дифференциально-алгебраическая сопряженная система в задаче Лагранжа (24), (27) имеют следующий вид:

Н = ри-х2 + и2,

р^) = 2х(0-г(0, р(\) = -Л,

-у2 (0 + х2 (0 = (-2х(0 + гШу(Г) - х(0) • После преобразований модифицированная сопряженная система принимает форму:

р{() = х(() + у((), р(\) = -Л.

Условия улучшения доступного и1 е V при а >0 в форме задачи о неподвижной точке в вспомогательной задаче (24),(27) имеют вид:

= м7(0 + а(р^,и',и,Л) + 2и ,

р(г,и1 ,и, Л)(и(0 - и7 (0)+и2(0 - {и1 (О)2 =

= (р(Г,и' ,и, Л) + 2и' (0 + 5(0)(м(0 - г/(0)-После преобразования и присоединения ограничения-равенства задача улучшения управления принимает вид:

и(0 = и'+ ,и,Л) + и^) + и1 ,

х(1, и) = 0.

Для заданного управления и1 = 0 получаем систему уравнений:

и^)=сс(р^,и ,и,Л) + и^)), (28)

х(1,и) = 0 . (29)

Краевая задача, эквивалентная системе (28),(29), имеет вид: х(0 = «а(0, х(0) = 0 , х(1) = 0 ,

¿(*) = х(0,

иа(0 = а(р(0 + иа(0). При этом множитель Лагранжа определяется соотношением

Л = -р( 1).

При а = 1 краевая задача допускает единственное решение х(0 = 0,

p{t) = 0, t <еТ с выходным управлением и"~ (!) = О . t <еТ .

При а ^ 1 краевая задача принимает эквивалентную форму:

m = T^~P(t), х(0) = 0, х(1) = 0, 1 -а

p(t) = x{t).

Проводя анализ уравнения второго порядка:

x{t) + -^—x{t) = 0 , х(0) = 0 , х(1) = 0 , а -1

к2п2 ,

несложно показать, что при ОС = -, к > 1 кроме нулевого решения

к ж — 1

существуют ненулевые решения краевой задачи:

С

x(t) = Csmknt, p(t) =--cos knt, teT, Сф 0

kn

с выходными допустимыми управлениями иа (!) = Скпcosknt, t <еТ .

Указанные выходные управления, согласно (16), обеспечивают строгое улучшение управления и1 = Ос оценкой

г Г2

Лн„ Ф0 (и1) < -С2{к2л2 -1) jcos2 kntdt =--(к2л2 -1).

т ^

Заключение

Предлагаемый подход неподвижных точек на основе вспомогательной задачи с регулярным функционалом Лагранжа основывается на представлении условий улучшения допустимого управления в форме задачи о неподвижной точке конструируемого оператора управления.

Выделим отличия предлагаемого подхода от известных подходов.

Известный метод Лагранжа основывается на поиске управлений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности в задаче с ограничениями, представляемых с помощью обобщенного функционала Лагранжа.

Предлагаемый подход неподвижных точек состоит в построении релаксационной последовательности допустимых управлений на основе системы условий улучшения управления в вспомогательной задаче без ограничений с регулярным функционалом Лагранжа, дополненных условиями удовлетворения ограничений с помощью выбора множителя Лагранжа.

Разработанная форма системы условий улучшения управления в виде задачи о неподвижной точке позволяет применить теорию и методы неподвижных точек для построения релаксационных последовательностей допустимых улучшающих управлений, обладающих принципиальной возможностью сходимости к оптимальным решениям задач оптимального управления с ограничениями.

Литература

1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 428 с.

2. Необходимое условие в оптимальном управлении / А. П. Афанасьев [и др.]. М.: Наука, 1990. 320 с.

3. Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000. 160 с.

4. Булдаев А. С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. Улан-Удэ: Изд-во Бурят, гос. ун-та, 2008. 260 с.

5. Булдаев А. С. Методы неподвижных точек на основе операций проектирования в задачах оптимизации управляющих функций и параметров динамических систем // Вестник Бурятского госуниверситета. Математика, информатика. 2017. № 1. С. 38-54. DOI: 10.18101/2304-5728-2017-1-38-54.

6. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

7. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1997. 288 с.

ON ONE APPROACH ТО OPTIMIZATION OF THE CONTROLLED SYSTEMS WITH RESTRICTIONS ON THE BASIS OF A FIXED POINT PROBLEM

Aleksandr S. Buldaev

Dr. Sci. (Phys. and Math.), Prof.,

Buryat State University

24a Smolina St., Ulan-Ude 670000, Russia

E-mail: [email protected]

Dmitriy O. Trunin

Cand. Sci. (Phys. and Math.), Senior Lecturer, Buryat State University 24a Smolina St., Ulan-Ude 670000, Russia E-mail: [email protected]

In the article we consider a new approach to solving optimal control problems with constraints based on construction and solution of a system of conditions for improving control in the form of a fixed point problem for control operator. To construct these conditions we apply the transition to an auxiliary problem without restrictions and with a regular Lagrange functional. Iterative algorithms for successive control improvement are constructed on the basis of a fixed point problem. We illustrate this approach by an example.

Keywords: controlled system with constraints; conditions for improving control; a fixed point problem.

References

1. Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomin S. V. Optimal'noe upravlenie [Optimal Control], Moscow: Nauka Publ., 1979. 428 p.

2. Afanasiev A. P., Dikusar V. V., Milyutin A. A., Chukanov S. A. Neobkhodimoe uslovie v optimal'пот upravlenii [Necessary Condition in Optimal Control]. Moscow: Nauka Publ., 1990. 320 p.

3. Srochko V. A. Iteratsionnye me tody resheniya zadach optimal'nogo upravleniya [Iterative Methods for Solving Optimal Control Problems]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2000. 160 p.

4. Buldaev A. S. Metody vozmushchenii v zadachakh uluchsheniya i optimizatsii upravlyaemykh sistem [Perturbation Methods in Problems of Improving and Optimizing Control Systems], Ulan-Ude: Buryat State University Publ, 2008. 260 p.

5. Buldaev A. S. Metody nepodvizhnykh tochek na osnove operatsii proektiro-vaniya v zadachakh optimizatsii upravlyayushchikh funktsii i parametrov di-namicheskikh sistem [Fixed-Point Methods Based on Design Operations in Optimization Problems of Control Functions and Parameters of Dynamical Systems]. Vestnik Buryatskogo gosuniversiteta. Matematika, informatika — Bulletin of Buryat State University. Mathematics, Computer Science. 2017. No. 1. Pp. 38-54. DOI: 10.18101/23045728-2017-1-38-54.

6. Samarskii A. A., Gulin A. V. Chislennye metody [Numerical Methods]. Moscow: Nauka Publ., 1989. 432 p.

7. Gurman V. I. Printsip rasshireniya v zadachakh upravleniya [Expansion Principle in Control Problems]. Moscow: Nauka Publ., 1997. 288 p.