Об одном подходе к построению транзитивного множества блочных преобразований Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Погорелов Б. А., Пудовкина М. А. Натуральные метрики и их свойства. Ч. 2. Метрики типа Хемминга // Математические вопросы криптографии. 2012. Т. 3. №1. С. 71-95.

4. Погорелов Б. А. Подметрики метрики Хемминга и теорема А. А. Маркова // Труды по дискретной математике. 2006. Т. 9. С. 190-219.

5. Погорелов Б. А., Пудовкина М. А. Подметрики метрики Хемминга и преобразования, распространяющие искажения в заданное число раз // Труды по дискретной математике. 2007. Т. 10. С. 202-238.

УДК 519.714.5 Б01 10.17223/2226308Х/10/10

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ПОСТРОЕНИЮ ТРАНЗИТИВНОГО МНОЖЕСТВА БЛОЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

И. В. Чередник

Пусть О — произвольное конечное множество и 2(О) —семейство всех бинарных квазигрупп, определённых на множестве О. Отображение Оп — Оп, п € М, реализуемое сетью £ с одной бинарной операцией ^, будем обозначать Доказывается критерий биективности всех преобразований из множества : ^ € 2(О)}, а также определяются условия для транзитивности этого множества.

Ключевые слова: сети, квазигруппы.

1. Понятие сети

Пусть {ж^ ж2,... , жп} — множество переменных и * — символ бинарной операции. Множество всех формул в алфавите {ж1,... , жп, *} будем обозначать М. При сопоставлении символу * конкретной бинарной квазигруппы ^ € <2(П) формула и(ж1,... , жп) реализует отображение ир: Пп — П.

Для исследования свойств отображений (и1,... , эд^): Пп — Пт, ^ € <2(П), соответствующих определённому набору формул (и1,... ,ит) € М™, введём дополнительное представление отображений в виде сети.

Пусть щ0, п1,..., щ € N и

хо= {х1), х2),..., хго(0}, Х1= {х1), х2),..., },..., Xt = {х1), х2),..., жЩ}

— семейство попарно непересекающихся конечных непустых множеств. Тогда квазигрупповой сетью (далее просто сетью) длины £ будем называть простой ориентированный граф Е с множеством вершин Х0 и Х1 и ... и Х4, содержащий только рёбра вида (ж^ ^ж^?), в € {1,. ..,£}, с тем ограничением, что степень захода каждой вершины в € {1,...,£}, равна 1 или 2. При этом если степень захода вершины равна 1, то ребро (ж^ 1) , ж^>) имеет метку 0, а если степень захода вершины равна 2, то рёбра (ж^ и (ж^ имеют различные метки из множества {1, 2}. Число щ0 будем называть размерностью сети Е, а число тах{щ0,..., щ4} — шириной сети Е. Подграф Е5 сети Е, основанный на множестве вершин Х3_ 1 иХ8, будем называть в-м слоем сети Е. Сеть Е будем называть однослойной, если она имеет длину 1.

Пусть Е' и Е" — сети с множествами вершин X' = Х0иХ1 и...иХ^ и X" = Х0'иХ1'и и ... и Х" соответственно и при этом Х' П Х'' = Х^ = Хц. Тогда естественным образом можно определить сеть длины в+£ с множеством вершин Х'иХ1 и.. .иХ^иХ1'и.. .иХ", которую будем называть произведением сетей Е' и Е'' и обозначать Е' • Е''. Нетрудно понять, что всякая сеть является произведением своих слоёв.

28

Прикладная дискретная математика. Приложение

Произвольный набор формул (ш1,...,шт), в котором каждая формула ш], ] € € {1,... , т}, либо имеет вид * , гь г2 С {1,... , п}, либо является некоторой формулой Vi, г € {1,..., п}, будем называть преобразованием набора формул (ь1,..., ьп). Один из естественных способов построения произвольного набора формул (-1,... , шт) заключается в последовательном преобразовании набора переменных (х1,... , хп). Данный процесс допускает наглядную интерпретацию при использовании введённой терминологии сетей.

Пусть (ь1,... , ьп) — произвольный набор формул и Е — однослойная сеть с множеством вершин {х1,... , хП0)} и {х^,...^}. Тогда определим набор формул (-1,... , шт) по следующим правилам:

— если вершине х]1 инцидентно ребро (х^ , х]^) с меткой 0, то полагаем ш] =

(1) "С / (0) (1К / (0) (1)ч о

— если вершине х] инцидентны рёбра (х^ , х] ) и (х^ , х] ) с метками 1 и 2 соответственно, то полагаем ш] = * vi2.

При этом будем говорить, что сеть Е описывает преобразование набора формул (ь1,... , ьп) в набор формул (—1,... , шт).

Произвольная сеть Е является произведением однослойных сетей, являющихся её слоями, и естественным образом описывает преобразование произвольного набора формул, являющееся произведением преобразований, соответствующих слоям.

Пусть Г € 2(П) —произвольная квазигруппа и сеть Е описывает преобразование набора переменных (х1,... , хп) в набор формул (—1,... , шт). Тогда отображение ,... ,—т): Пп ^ будем обозначать через Ер. Будем говорить, что две сети Е' и Е'' эквивалентны, если при выборе любой квазигруппы Г отображения Е'р и Е''р совпадают. Нетрудно понять, что если сети Е' и Е'' описывают преобразование набора переменных (х1,..., хп) в наборы формул (ш',... , ш1т) и (ш'',... , ) соответственно, то совпадение указанных наборов формул является достаточным условием для эквивалентности сетей Е' и Е''. В частности, если Е = Е1 • Е2, то при выборе любой квазигруппы Г справедливо равенство Е^ = Еf • Е^.

2. Условия биективности и транзитивности сетей

Сеть Е будем называть биективной для множества П, если при выборе любой квазигруппы Г € <2(П) отображение Е^ является биективным. Очевидно, что для биективности сети Е с множеством вершин Х0 и Х1 и ... и X необходимо, чтобы выполнялось равенство |Х0| = |Х4|. Сеть Е с множеством вершин Х0 и Х1 и ... и X будем называть сетью постоянной ширины, если |Х0| = |Х1| = ... = |Х4|.

Вершину х(0) € Х0 однослойной сети Е постоянной ширины с множеством вершин Х0 и Х1 будем называть неподвижной, если сеть Е содержит ребро (х(0),х(1)). Однослойную сеть постоянной ширины будем называть элементарной, если все её вершины неподвижны и ровно одна вершина имеет степень захода 2. Нетрудно понять, что произвольная элементарная сеть является биективной для любого множества.

Ещё одним важным примером биективных сетей являются сети постоянной ширины, у которых степень захода каждой вершины равна 1. Такие сети будем называть перестановочными. Произвольная перестановочная сеть определяет отображение Пп ^ Пп, не зависящее от выбора квазигруппы Г и действующее на множестве Пп как перестановка координат вектора. Отсюда следует, что любая перестановочная сеть эквивалентна однослойной перестановочной сети. Также можно отметить, что произвольная перестановочная сеть эквивалентна произведению перестановочных сетей, у каждой из которых ровно две вершины не являются неподвижными — это следует из

известного результата о представлении произвольной перестановки в виде произведения транспозиций.

Элементарные и перестановочные сети являются примерами простейших биективных сетей и, как показывает следующая теорема, этих примитивов достаточно для реализации произвольной биективной сети постоянной ширины.

Теорема 1. Сеть Е постоянной ширины является биективной для некоторого множества П, |П| ^ 2, в том и только в том случае, когда она эквивалентна произведению

Щ ■ El,i ■ ... ■ EL,t (или Er,i ■ ... ■ ER,t ■ Пд),

где nL (nR) —перестановочная сеть; El1, ... , EL t (Er1, ... , ER t) —элементарные сети. При этом длина произведения равна количеству вершин сети Е со степенью захода 2 и соответственно не зависит от выбора представления.

Следствие 1. Если сеть Е постоянной ширины является биективной для некоторого множества П, |П| ^ 2, то сеть Е является биективной для всех множеств.

Указанные в теореме 1 представления биективной сети Е в виде произведения элементарных сетей будем называть каноническими представлениями сети Е. Количество вершин сети Е со степенью захода 2 будем называть весом сети Е и обозначать ||Е||.

Биективную сеть Е будем называть транзитивной для множества П, если множество отображений {Ef : F G <2(П)} является транзитивным. Основным результатом работы можно считать разработанный автором аппарат разметки сетей, который позволяет проверить транзитивность произвольной биективной сети, а при отрицательном ответе определить особенности строения сети, противоречащие транзитивности. С помощью этого аппарата, например, доказывается следующая теорема.

Теорема 2. Если биективная сеть Е постоянной ширины является транзитивной для некоторого множества П, |П| ^ ||Е||, то сеть Е является транзитивной для любого множества, мощность которого строго больше чем ||Е||.

Стоит отметить, что аппарат разметки позволяет сформулировать и обосновать алгоритм модификации канонического представления произвольной биективной сети Е постоянной ширины n. В результате применения алгоритма получается биективная сеть Е веса ||Е|| ^ ||Е|| + 4n, которая является транзитивной для большей части множеств.

Теорема 3. Модификация Е произвольной сети Е является транзитивной для любого множества, мощность которого строго больше чем | Е| .

Автор благодарит профессора А. В. Черемушкину за постановку задачи и внимание к проводимым исследованиям.

UDC 512.772.7 DOI 10.17223/2226308X/10/11

HYPERELLIPTIC CURVES, CARTIER — MANIN MATRICES AND LEGENDRE POLYNOMIALS

S.A. Novoselov

We investigate the hyperelliptic curves of the form C1 : y2 = x2a+1 + axa+1 + bx and C2 : y2 = x2a+2 + axa+1 + b over the finite field Fq, q = pn, p > 2. We transform these curves to the form C1,p : y2 = x2a+1 -2pxa+1 +x and C2,p : y2 = x2a+2 -2pxa+1 + 1 and