CC BY
73Электронный журнал «Техническая акустика» http://webcenter.ru/~eeaa/ejta/
2005, 21
Ю. В. Ваньков1, Э. Р. Яковлева2
1 Казанский государственный энергетический университет,
420066, г. Казань, ул. Красносельская, 51 2Казанское высшее артиллерийское командное училище,
420025, г. Казань, Октябрьский городок, e-mail: [email protected]
Об одном подходе к оценке затухания свободных колебаний
Рассматривается один из подходов к оценке затухания колебаний при диагностике изделий методом свободных колебаний. Предложен подход на основе робастной оценки затухания колебаний. Оценка параметров затухания проводится как в целом по сигналу, так и на отдельных частотах. Изложена методика робастной оценки параметров затухания колебаний. Приводятся примеры практического применения разработанной методики. Вводится понятие начального амплитудного спектра.
ВВЕДЕНИЕ
При диагностике изделий методом свободных колебаний одним из очевидных является утверждение: наличие дефекта влияет на рассеяние энергии в материале. Отсюда вытекает задача определения характеристик рассеяния энергии. Одной из таких характеристик является коэффициент затухания колебаний, по изменению которого можно судить о наличии дефекта.
Уравнение затухающих колебаний можно представить в виде:
X = Ae~nt ьтірї + <р0),
где A — начальная амплитуда свободных колебаний; <р0 — начальная фаза; т —
круговая частота; п — коэффициент затухания, определяющий быстроту изменения амплитуды.
Коэффициент затухания (по его физическому смыслу) — это величина, обратная промежутку времени, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,73 раз.
1. О СПОСОБАХ ОЦЕНКИ ЗАТУХАНИЯ
На наш взгляд, экспериментальная оценка затухания свободных колебаний возможна несколькими способами:
• по сигналу,
• по спектрам сканирования сигнала,
• косвенным способом.
Получена 24.01.2005, опубликована 01.07.2005
Оценка затухания колебаний по сигналу сводится к отысканию подходящей огибающей графика сигнала. Практически полезной эта оценка может быть для грубой отбраковки изделий (на уровне бинарной логики «исправно-дефектно») и для нормирования спектров как способа преодолеть остаточную нестабильность силы, места и направления удара, возбуждающего свободные колебания. Для уточнения характера дефекта, его положения, размеров и прочей детализации дефекта такая оценка вряд ли будет полезной.
Два других способа связаны с вычислением спектров сканирования сигнала. Под сканированием сигнала понимается процесс перемещения по оси времени с постоянным шагом окна фиксированного размера. Из отсчётов сигнала, попавших в окно в том или ином его положении на оси времени, формируется выборка сигнала для формирования по ней спектра. При формировании спектра используется одна из известных функций оконного взвешивания отсчётов выборки сигнала (окно Бартлетта, Хэмминга и т. д.). Каждому спектру сканирования можно сопоставить определённое время. Проведя сканирование, мы получаем зависимость спектра сигнала от времени.
На рис. 1 показан результат сканирования некоторого сигнала. На этом графике нетрудно заметить затухание всех частотных составляющих сигнала.
И Спектры сканирования сигнала "С:\Эиспврименты\ОСИ\ГОД1-Ь1Е ОСИ\ l_l_0004.wav" В'гПЭ
Начальный отсчёт 1 ООО, конечный - 20231, шаг- 1024, выборка- 2048, шагов -17
□ 2 Д 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Частота, кГц
Рис. 1. Набор спектров сканирования сигнала.
Ось времени направлена к наблюдателю
Косвенной мы называем оценку затухания колебаний по изменению того или иного параметра, вычисленного по каждому из спектров сканирования сигнала. Пример графиков ряда параметров, вычисленных по каждому спектру сканирования с рис. 1, показан на рис. 2.
Рис. 2. Графики статистик для спектров с рис. 1.
По оси абсцисс отложены порядковые номера спектров сканирования
Очевидно, характер изменения этих параметров во времени объясняется именно затуханием сигнала. Однако область применения такой оценки затухания колебаний практически неотличима от аналогичной для упомянутой выше оценки затухания колебаний по сигналу. Недостатком этого подхода является зависимость оценки затухания от параметра, на основе которого она вычислена.
Для детализации дефекта наиболее перспективной представляется почастотная оценка затухания колебаний по спектрам сканирования сигнала.
2. МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ЗАТУХАНИЯ
Итак, имеется некоторое число N измеренных значений амплитуды а. (. = 1, N), каждому из которых сопоставлено определённое время ti.
Уравнение изменения амплитуды свободных колебаний в процессе их затухания во времени имеет вид:
а^) = А • п. (1)
Примем, что наблюдаемые и истинные значения амплитуды различаются на величину случайной ошибки А :
а. = а(11) + А.
Логарифмированием уравнения (1) получим:
1п а(Х) = 1п А - п • t. (2)
На основе этой модели (линейной по искомым параметрам в отличие от исходной модели) становится возможным решение поставленной задачи с помощью известных методов математической статистики.
2.1. Получение начального приближения
Начальное приближение искомых оценок будем искать методом наименьших квадратов (МНК) (возможны и другие способы получения начального приближения). Сутью МНК [1] является отыскание таких оценок, которые бы минимизировали сумму квадратов невязок
N
2 Г2 ^ тт,
1=1
где невязки г в нашем случае определяются выражением Г = 1п а - (1п А - п • ti).
Решение МНК в матричной форме имеет вид:
0 = (ХГ WX)-1 Хг WY , где
(3)
(4)
О
X =
(1п А Л
V п
(1 - л
1 - і2
V1
(1п а Л
матрица искомых оценок;
— матрица коэффициентов; Хг — транспонированная матрица X;
У =
1п а2
V1п ам у
— матрица логарифмов наблюдаемых значений амплитуды;
W — матрица весов наблюдений и корреляционных связей между ними;
( )-1 — означает операцию обращения матрицы.
Пренебрегая корреляционными связями и принимая все наблюдения равновесомыми, получим:
' 1 0 ... 0^
0 1 ... 0
W =
V0 0 ... Ь
т. е. в нашей матрице весов все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные - 0;
2.2. Уточнение оценок начального приближения
Оценки О0 начального приближения матрицы 0 являются отправной точкой этапа их уточнения итерационными методами. Для уточнения О0 мы выбрали схему итерационного МНК. Другие методы (например, метод Гаусса-Ньютона) мы не рассматриваем.
Оценки 0у+1 очередной итерации на данном этапе определяются из условия
минимума некоторой функции невязок, нормированных робастной оценкой их среднеквадратического отклонения £ [2-5]:
N
/ £) ^ тіп, (5)
ё {IГ1}
І=1
шв>
5 =
0.6745
Дифференцируя (5) по О, получим:
N
£ХТ -Щг, /5) = 0, (6)
І =1
где ¥(■) = р'() — целевая функция (производная от р).
Умножив и разделив левую часть (6) на г / £, обозначив
",«,) = ^ (7)
г / £
и подставив вместо г, его значение из (3), получим:
N
2 X ■ ,) ■ (у, - х, ■ о,)=о,
,=1
откуда приходим к схеме итерационного МНК для (у +1) -го шага итерационного процесса
N N
о у+.=(2 ХТ ■ ^ (о у) ■х, )-1 ■ 2 ХТ ■(о у) ■ у, •
,=1 ,=1
которая в матричной форме эквивалентна схеме (4) обычного МНК.
2.3. Целевая функция
В качестве целевой функции можно применить одну из известных в робастной статистике [2-5] функций:
1) синусоида Андрюса
Г б1п( х / а), 1x1 <п а
¥(.х) Ч
I 0, х >па
2) трёхчастная сниженная функция Хампеля
П( х) =
х, |х < а
а • sign( х), х < а
Г х - с • ^(х) ^ Ь < |х
о -
0, с < |х|
3) функция Хьюбера
х < а
П(х) = •{ ’ , ,
[а• яі^(х), х > а
4) биквадратная весовая функция (бивес) Тьюки П( х) =
Х'
ґ / у Л2
і-Г х 1
V
а
х < а
у
0,
х > а
На рис. 3 приведен график функции Хампеля в правой полуплоскости. График в левой полуплоскости симметричен ему относительно начала координат.
Рис. 3. График функции Хампеля
Напомним, что аргументом целевой функции является нормированная невязка г / £,
а через её значение определяется вес (7) соответствующего наблюдения. На примере функции Хампеля выделим следующие области различной степени доверия к наблюдениям в зависимости от их невязок:
1) область полного доверия |х| < а, в которой соответствующие наблюдения получают одинаковый вес, равный 1;
2) область ограниченного доверия а < |х| < Ь , в которой наблюдения получают вес тем меньший единицы, чем дальше расположен аргумент от первой области;
3) область нарастающего сомнения Ь < |х| < с, в которой вес наблюдений снижается ещё резче вплоть до нуля;
4) область полного недоверия |х| > с, наблюдения из которой вообще не
учитываются при уточнении оценок.
Все или почти все названные области можно выделить и на графиках других названных целевых функций.
3. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДИКИ
Изложенная методика реализована нами в виде программы для ПК, с помощью которой и получены следующие ниже результаты.
На рис. 4 приведён пример оценки затухания одной из частотных составляющих (частотой порядка 6,5 кГц) свободных колебаний дефектной железнодорожной оси (тот же снимок в большем масштабе см. в приложении 1.). Основные характеристики принятого звукового сигнала показаны в заголовке снятого окна программы: одноканальный сигнал длительностью 20563 отсчёта (0,466 с) при разрядности 16 бит и частоте дискретизации 44100 Гц. Сканированием сигнала в пределах от 100-го до 20563-го отсчётов выборкой по 2048 отсчётов (с шагом 1024 отсчёта между соседними выборками) получены 18 спектров. По оси абсцисс на данном и других графиках отложено время (в секундах), по оси ординат — амплитуда колебаний (в единицах шкалы АТ ЦП). Оценка начального приближения показана красным цветом, а результат её уточнения — синим.
Рис. 4. Результаты оценки затухания свободных колебаний на одной из частот спектра
В табл. 1 приведён отчёт об этой оценке затухания (полную версию этого отчёта, созданную программой, см. в приложении 2). 1-й этап оценивания — получение начального приближения параметров экспоненты — принёс следующие результаты: начальная амплитуда А = 42,938065, коэффициент затухания п = 0,254541, средняя невязка наблюдаемых значений относительно расчётных равна - 0,000001, а
среднеквадратическое отклонение (СКО) невязок — 0,278419. 2-й этап оценивания — уточнение оценок начального приближения — после 17 итераций (при достижении заданного уровня относительной сходимости 0,00001) остановился на значениях 58,456093; 1,197345; - 0,032922 и 0,099446 соответственно.
Таблица 1. Отчёт об оценке затухания
№ Время Измер. Начальное приближение Уточнение
Расч. Невяз. Норм.нев. Вес Расч. Невяз. Норм.нев. Вес
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 0,002 4,190 3,759 0,431 1,548 1,000 4,066 0,125 1,252 0,942
2 0,025 3,754 3,753 0,001 0,004 1,000 4,038 -0,283 -2,849 0,721 *
3 0,049 3,234 3,747 -0,513 -1,844 1,000 4,010 -0,776 -7,804 0,000 ***
4 0,072 4,069 3,741 0,327 1,175 1,000 3,982 0,086 0,869 0,972
5 0,095 3,091 3,736 -0,644 -2,314 1,000 3,954 -0,863 -8,678 0,000 ***
6 0,118 4,010 3,730 0,280 1,005 1,000 3,927 0,083 0,834 0,974
7 0,142 3,337 3,724 -0,387 -1,388 1,000 3,899 -0,562 -5,647 0,163 **
8 0,165 3,815 3,718 0,097 0,349 1,000 3,871 -0,056 -0,562 0,989
9 0,188 3,998 3,712 0,286 1,026 1,000 3,843 0,155 1,554 0,912
10 0,211 3,769 3,706 0,063 0,225 1,000 3,815 -0,047 -0,470 0,992
11 0,234 3,709 3,700 0,009 0,033 1,000 3,788 -0,078 -0,787 0,977
12 0,258 3,775 3,694 0,081 0,290 1,000 3,760 0,015 0,151 1,000
13 0,281 3,745 3,688 0,057 0,204 1,000 3,732 0,013 0,132 1,000
14 0,304 3,729 3,682 0,046 0,167 1,000 3,704 0,025 0,248 0,998
15 0,327 3,703 3,676 0,027 0,097 1,000 3,676 0,027 0,272 0,998
16 0,351 3,637 3,671 -0,034 -0,122 1,000 3,649 -0,012 -0,120 1,000
17 0,374 3,631 3,665 -0,033 -0,120 1,000 3,621 0,011 0,106 1,000
18 0,397 3,565 3,659 -0,094 -0,336 1,000 3,593 -0,028 -0,280 0,997
Здесь 2-й столбец содержит значения времени , 3-й — логарифмы измеренных
значений амплитуды 1п аi, 4-й — логарифмы расчётных значений амплитуды
1п А - п ■ ti, 5-й — невязки г, 6-й — нормированные невязки г / £, 7-й — веса;
назначение столбцов 8-11 аналогично столбцам 4-7; в столбце 12 помечены отдельные наблюдения (при уточнении признанные выделяющимися).
Анализ данных табл. 1 с учётом графика рис. 4 позволяет сделать такие выводы:
1. Результаты 1-го и 2-го этапов оценивания существенно различны.
2. Оценка начального приближения явно неудачна вследствие влияния 3-4 выделяющихся наблюдений. Веса всех наблюдений, равные 1 (7-й столбец табл. 1), а также и средняя невязка, практически равная нулю, являются характерной особенностью начального приближения. Значения нормированной невязки (6-й столбец), по модулю не превышающие 3, не позволяют отбраковать какое-либо из наблюдений как явно выделяющееся (сомнительное).
3. Этап уточнения оценок позволил исправить неудачное начальное приближение. Двум выделяющимся наблюдениям присвоен нулевой вес, а веса ещё двух наблюдений существенно снижены. Гораздо меньше (т. е. лучше) стал и разброс невязок: 0,099446 вместо начального 0,278419.
На рис. 5 показано ещё несколько примеров существенных различий начальных и конечных оценок.
Рис. 5. Примеры существенных отличий начальных и конечных оценок
В табл. 2 (см. также файл приложение 3) приведены результаты почастотной (для нескольких первых мод спектра) оценки затухания свободных колебаний в серии опытов с одним бездефектным изделием без изменения его состояния и положения относительно опоры и ударника. В этих опытах, как и во всех других, ставилась задача стабилизации силы удара.
Таллина 2 Шшдотфтидя оценка чаїухании и серии оіштон с одним изделием
.№ Имя фай/іа сигнала М'ІЛЬІ II 14 II | мій. імпсрі ІИИ V 11.іЧЕІІЛ МІЧ
Ле Чжпипь Г гі Л п II ІДСЇ-іР А п
1 2 .ї 4 і й 7 і! 9
1 :_1_1Н1м| ™г пі 48И,5 15350 9 1,705 3 15.345.4 1.700
26* 5776.5 57Ш 2лЯ 26 575-1.2 2.ПІ4
2.зя і 12-і.'} ■1512.6 5.703 ■І ■151 7.3 5.7 І3
і Лі *3.1 4255,2 4.545 15 4 1 №\7 З.Н7Н
181 3901,} iJT4.il гш } 1372,4 2 і ,і їм
120 25*6,5 200?. 1 --3:2 4 2611,0 3.357
: і 58*1 ,2 2522.0 1 ІТИ 3 1510,5 1 551
172 37^7.3 2381 >6 Я,626 5 2.366,1 Ю'ЧІ
2 2 ] ПППЗдчц 217 4*92.5 І?443г4 1.503 1 1 1 Ш>3 1.582
5 43.1 3473. 1 л.ЮИ 1 1 45М.4 3,863
26* 5776,5 Ї930.3 2.75-1 3 .3929,3 2.754
23* 5 12і)» }503.3 ¡¿т 4 3510.0 5, НІ?
120 25Н6,5 3155,3 3,811 12 31*1,8 3.736
]Н| 3901.3 2У4ИГ4 3.0І6 1 1 2^54,3 3,045
271 58*1 ,2 22|}„1 І 453 6 2344.5 1 45 і
17; 3707,3 1575.0 7.-ІЗО 4 1*73,4 7.4 Г
1 2 ] СКЮй іма 221 4*92.5 |7м77г5 1 .647 0 17053.0 1,050
2бя 577(-.5 0128.9 2.515 7 (И28,7 2.555
23* 5 129.3 4ИУУГІ У 55 4 4 100.1 5.151
271 58*1.2 3482,<! 1,274 5 1441 і 1.273
120 25*6,5 3303.9 3,В23 7 3 3 2^- ,5 3.350
181 }2і'4.7 2.Ш 4 ІІІ)І 1 2 531
20і 4418,6 2604.9 5.535 1 26>>.5 5.0 15
І ■й 43.1 2311,6 1.704 У 22Я4^8 1,54Н
4 2 ] 0007жм 25-7 4Н9;.н |}РП9Л 1-517 4 13788,4 1 і, 1 1
2 45.1 5454.2 5.20л 5 5599,2 5.213
26Н 577^.5 2.935 3 5077.5 2.34і І
1 2'.' 25Н6,5 І212.7 4,353 7 3 1 *12,6 1.527
23# 5129,0 }ИЗУго 4.972 3 3037,} 1 3 .'4
181 ,1901,} зози 2,'#4 19 ¿97 1.11 2.8Я7
271 51Н 1.2 2745.5 1,655 5 2773,1 1,030
172 3707.} 2і“,і.і 1ГЙ 4 1561.4 5,333
5 2 ] імій.иїи, 217 4*92.5 І373И.Ч 1.707 1 1 13751,3 І.7НН
2 *3,1 53Н 0.9 4,22-5 5 5-5-35.-І 1.203
26* 5776,5 4370.6 2,916 4 43*1,0 2,323
181 ,1901,} } 135.9 2/>34 10 Пі7.ґ, 2 7 17
23Н 512").'} 2678.0 4,551 7 26Н7.7 1.0 Ю
110 25И6.5 іоои 3.505 5 1676.2 3.527
271 5Я4І.2 254ІЬ4 1.766 3 2546.3 ■ ■,
Здесь в 3 и 4 столбцах размещены сведения об основных модах спектра (порядковый номер частоты в спектре и значение частоты (Гц) соответственно), а в столбце 7 — число итераций уточнения оценок начального приближения.
Анализ этих результатов позволяет сделать следующие выводы:
1. Оценки начального приближения, как правило, мало отличаются от уточнённых оценок.
Из этого факта, однако, было бы неверно сделать вывод о ненужности, бесполезности этапа уточнения. Примеры существенного улучшения оценок начального приближения в результате их уточнения приведены выше. Из них видно, что этап уточнения оценок начального приближения, автоматически уменьшая влияние случайных факторов (сомнительных данных), является дополнительной гарантией надёжности, достоверности итоговых оценок. В конечном счете, это влияет на результат диагностики.
2. При уточнении оценок начального приближения заданный уровень относительной сходимости (0,00001) достигается, как правило, менее чем 10 итерациями.
3. На всех частотах имеет место значительный разброс оценок в разных опытах.
Из этого следует, что в этих опытах задача стабилизации силы удара не была решена. С учётом массы и размеров объекта испытаний — железнодорожной колёсной оси — эта задача и не была тривиальной. Далёкими от идеала были и условия записи акустических сигналов в этих экспериментах — цех по ремонту железнодорожных вагонов с хаотически работающим оборудованием. С другой стороны, не будет лишней и реализация мер парирования нестабильности силы удара. Это может быть, во-первых, корректировка методики регистрации и анализа данных путём введения в неё этапа предварительного (например, при записи сигналов) анализа стабильности экспериментов. Во-вторых, возможно то или иное нормирование спектра.
4. Имеет место изменение рангов основных мод спектра.
Следовательно, помимо силы удара не удалось обеспечить и стабильность направления удара, следствием чего и стало неодинаковое возбуждение колебаний на разных частотах.
5. Скорости затухания свободных колебаний на разных частотах существенно различны.
В табл. 3 приведены результаты оценки затухания (в целом по сигналу) свободных
колебаний в серии экспериментов с одним изделием (исправной железнодорожной
осью) в четырёх различных её положениях относительно опоры (с поворотом на 90°).
Таблица 3. Оценка затухания в целом по сигналу
№ Имя файла Нач. приближение Уточнение
А п А п
1 1 1 0004.wav 29192,7 2,686 29162,5 2,681
2 1 1 0006.wav 29694,8 2,834 29697,8 2,836
3 1 1 0008.wav 27074,2 3,013 26887,2 2,986
4 1 1 0011.wav 29522,9 3,084 29471,5 3,081
5 1 1 0013.wav 26311,1 3,064 26247,8 3,056
6 1 1 0015.wav 28232,1 2,924 28184,3 2,922
7 1 1 0017.wav 30183,9 2,649 30172,0 2,647
8 1 1 0019.wav 31400,9 2,780 31374,5 2,776
Среднее 28951,57 2,8792 28899,71 2,8732
СКО 1667,72 0,1684 1705,92 0,1648
9 1 2 0021.wav 32655,5 2,516 32763,1 2,524
10 1 2 0022.wav 26590,1 2,480 26521,3 2,470
11 1 2 0023.wav 27438,2 2,532 27392,4 2,521
12 1 2 0024.wav 27141,7 2,607 27122,9 2,604
13 1 2 0025.wav 27634,9 2,668 27472,8 2,651
14 1 2 0026.wav 26178,7 2,562 26002,0 2,538
15 1 2 0027.wav 25759,3 2,626 25756,5 2,624
16 1 2 0028.wav 32616,2 2,558 32763,5 2,580
17 1 2 0029.wav 25529,0 2,526 25440,5 2,512
18 1 2 0030.wav 29455,4 2,572 29467,9 2,579
Среднее 28099,91 2,5646 28070,29 2,5604
СКО 2637,74 0,0564 2721,60 0,0565
19 1 3 0031.wav 28342,9 2,761 28076,0 2,731
20 1 3 0032.wav 29914,5 2,689 29751,5 2,673
21 1 3 0033.wav 29295,9 2,902 29166,4 2,885
22 1 3 0034.wav 28941,4 2,814 28904,4 2,812
23 1 3 0035.wav 30524,4 2,848 30403,8 2,836
24 1 3 0036.wav 30229,9 2,869 30171,0 2,862
25 1 3 0037.wav 30405,7 2,772 30404,3 2,775
26 1 3 0038.wav 31611,2 2,815 31643,4 2,817
27 1 3 0039.wav 31266,6 2,891 31247,2 2,891
28 1 3 0040.wav 28009,7 2,825 27992,9 2,826
Среднее 29854,21 2,8185 29776,09 2,8108
СКО 1193,08 0,0650 1238,17 0,0684
29 1 4 0041.wav 29338,5 3,176 29284,4 3,172
30 1 4 0042.wav 30152,5 3,087 30165,6 3,088
31 1 4 0043.wav 32384,2 3,469 32330,9 3,465
32 1 4 0044.wav 30731,2 3,379 30809,7 3,394
33 1 4 0045.wav 31476,8 3,399 31486,1 3,403
34 1 4 0046.wav 30621,0 3,378 30637,6 3,382
35 1 4 0047.wav 32719,3 3,525 32762,0 3,540
36 1 4 0048.wav 32759,9 3,216 32762,7 3,216
37 1 4 0049.wav 33186,5 3,642 33152,9 3,638
38 1 4 0050.wav 30138,4 3,421 30183,5 3,427
Среднее 31350,83 3,3691 31357,55 3,3725
СКО 1340,98 0,1677 1335,40 0,1691
Здесь в 1-м положении изделия выполнено 8 опытов, а во всех других — по 10. После каждой серии опытов вычислены оценки положения и разброса параметров искомой экспоненты.
Анализ этих результатов позволяет сделать следующие выводы:
1. Ранее сделанный вывод о нестабильности условий проведения экспериментов остаётся в силе.
2. В 4-м положении изделия скорость затухания свободных колебаний самая высокая. А во 2-м положении (диаметрально противоположном 4-му) — самая низкая.
3. Проведение при каждом фиксированном положении изделия серии опытов и последующее усреднение позволяют повысить надёжность результатов.
4. С учётом отмеченных ранее существенных различий в затухании частотных составляющих сигнала практическая ценность оценки затухания в целом по сигналу невелика. Эта оценка, однако, может пригодиться для упомянутого выше нормирования спектров.
На наш взгляд, приведенных примеров достаточно для иллюстрации работоспособности методики (проведение на базе этой методики обширного исследования целью настоящей статьи не являлось). Однако уже этот (пока небольшой) опыт практического применения методики привёл нас к некоторым обобщениям.
Так, нам представляется полезным введение в оборот понятия начальный амплитудный спектр свободных колебаний. Определим его как спектр, состоящий из почастотных оценок начальной амплитуды свободных колебаний, полученных по описанной выше методике. Мы полагаем, что начальный спектр (как полученный аппроксимацией совокупности спектров по всему сигналу и характеризующий спектральный состав сигнала в момент начала свободных колебаний) является лучшим представителем исходного сигнала, нежели любой другой спектр, полученный на каком-либо (произвольном) интервале этого сигнала. Именно начальный спектр и надо использовать на последующих этапа анализа при диагностике изделий методом свободных колебаний.
Однако формирование начального спектра требует аккуратности. Так, очевидным является следующее утверждение: оценку начальной амплитуды на каждой частоте надо формировать на интервале сигнала от момента возбуждения свободных колебаний до затухания этой частотной составляющей сигнала. Практически определение правой границы обрабатываемого интервала сигнала возможно по крайней мере двумя способами. Во-первых, для каждой частоты можно подобрать подходящее значение на основе анализа тенденции изменения амплитуды на этой частоте в нескольких первых спектрах сканирования (например, по точке затухания амплитуды до некоторой доли первоначального уровня сигнала или до некоторого абсолютного уровня). Во-вторых, для основных мод спектра это можно сделать путём последовательного исключения их вклада в итоговый сигнал: оценив параметры 1-й моды, вычесть из исходного сигнала соответствующий 1-й моде сигнал, затем по остатку аналогично учесть вклад 2-й моды (возможно, с попутным уточнением вклада 1-й моды) и т. д. Остановить процесс последовательного исключения мод можно при уменьшении энергии оставшегося сигнала до некоторой доли первоначальной энергии.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Суть настоящей работы состоит в следующем:
1. Предложена методика оценки параметров затухания свободных колебаний.
2. Эта методика позволяет оценить искомые параметры как в целом по сигналу, так и на отдельных частотах.
3. Объектом почастотной оценки затухания в первую очередь должны быть основные моды спектра.
4. Скорость затухания свободных колебаний на основных модах спектра существенно различна.
5. На основе предложенной методики возможно формирование начального амплитудного спектра свободных колебаний.
На наш взгляд, начальный спектр является лучшим представителем анализируемого сигнала, нежели любой иной спектр.
6. При диагностике изделий методом свободных колебаний необходима стабильность условий проведения экспериментов.
Обеспечение такой стабильности может включать в себя комплекс мер организационного, технического и методического характера. К последним можно отнести такие меры, как повторное проведение экспериментов до достижения приемлемого разброса данных и (как средство преодоления оставшейся нестабильности) нормирование спектров каким-либо способом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки информации. - М.: Физматгиз, 1962, 352 с.
2. Аджи У. С., Тернер Р. Х. (Agee W. S., Turner R. H.). Применение методов
помехоустойчивого оценивания в анализе данных о траекториях движения. В кн.: Устойчивые статистические методы оценки данных. Пер. с англ. - М.:
Машиностроение, 1984, с. 86-105.
3. Ершов А. А. Стабильные методы оценки параметров: Обзор. Автоматика и телемеханика, 1978, № 8, с. 66-100.
4. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния. Пер. с англ. - М.: Мир, 1989, 512 с.
5. Хьюбер П. Дж. (Huber P. J.). Робастность в статистике. Пер. с англ. - М.: Мир, 1984, 304 с.
